Tokens से घटाना, पहले zero pairs डालकर

0:00पिछली बार token जोड़ने के काम आए थे। हरा plus का एक दबाव, लाल minus का एक दबाव, और दोनों की एक जोड़ी का मोल 0। अब बारी है घटाने की। token से घटाना बिल्कुल वैसा ही है जैसा सुनने में लगता है। पहली संख्या मेज़ पर रखिए, और फिर दूसरी संख्या उस पर से उठा लीजिए। सवाल है plus 5 में से plus 4 घटाना। plus 5 रखिए, यानी 5 हरे token।

0:27अब plus 4 निकालिए, यानी मेज़ से 4 हरे token उठाइए। एक हरा बचता है, तो जवाब plus 1 है। इसमें कोई चालाकी नहीं थी। ये पूछना ज़रूरी है कि ये इतना आसान क्यों था, क्योंकि थोड़ी देर में ये आसान नहीं रहेगा। ये आसान इसलिए था कि सवाल जो माँग रहा था, वो सब पहले से मेज़ पर था। उसे 4 हरे चाहिए थे, और मेज़ पर 5 हरे थे।

0:54तो पहले कुछ सजाना नहीं पड़ा। इसी तरह का एक और सवाल। minus 7 में से minus 5 घटाइए। minus 7 रखिए, यानी 7 लाल token। अब minus 5 निकालिए, यानी मेज़ से 5 लाल उठाइए। मेज़ पर 2 लाल बचते हैं। तो minus 7 में से minus 5 घटाने पर minus 2 आता है। अब देखिए कि अभी क्या हुआ, क्योंकि negative संख्याओं में सबसे मुश्किल यही लगता है।

1:24शुरुआत minus 7 से हुई। कुछ घटाया गया, और आख़िर में minus 2 मिला, जो शुरुआत से ऊपर है। number line पर minus 7 से minus 2 तक दाईं ओर 5 कदम हैं। यानी घटाने से संख्या बड़ी हो गई। sign के किसी नियम से ये बस मानना पड़ता है। token के साथ ये होते हुए दिखता है। 7 लाल token कुल को नीचे खींच रहे थे। उनमें से 5 मेज़ से चले गए, और अब सिर्फ़ 2 खींच रहे हैं।

1:55negative को ढेर से निकालिए, तो वही चीज़ निकलती है जो उसे negative बना रही थी। और एक सवाल, जिस पर थोड़ा रुकना चाहिए। minus 7 में से minus 5 घटाने पर minus 2 आया। और minus 7 में plus 5 जोड़ें, तो क्या आएगा? 7 लाल हैं, और 5 हरे आते हैं। 5 जोड़ियाँ कटती हैं, 2 लाल बचते हैं, यानी ये भी minus 2 है। जवाब वही है।

2:245 लाल हटाना और 5 हरे रखना, दोनों ने ढेर के साथ एक ही काम किया। इस बात को याद रखिए। ये आख़िर में लौटेगी, और तब हम बता पाएँगे कि ऐसा होना ही क्यों था। अब वो हालत, जहाँ ये सब अटक जाता है, और उसे लाना मुश्किल नहीं। सवाल है plus 5 में से plus 6 घटाना। plus 5 रखिए, मेज़ पर 5 हरे token। अब निर्देश है कि plus 6 निकालिए।

2:54एक-एक करके 5 हरे उठ जाते हैं। और अब हम अटक गए, क्योंकि छठा हरा है ही नहीं। ये असली मुश्किल है, बनाई हुई नहीं। निर्देश 6 हरे माँगता है, और मेज़ पर 5 हैं। ध्यान दीजिए कि ठीक क्या कम है, क्योंकि आगे यही संख्या सारा काम करेगी। एक हरा कम है, बस एक। यानी हमें कहीं से ठीक एक हरा token चाहिए, और वो भी मेज़ का मोल बदले बिना।

3:22तो ये रहा वो कदम जो इसे ठीक करता है, और कुछ पल के लिए ये धोखे जैसा लगता है। मेज़ पर एक zero pair रखिए। एक हरा और एक लाल, साथ में। ये होते हुए मोल पर नज़र रखिए। पहले plus 5, और जोड़ी रखने के बाद भी plus 5। ऐसा ही होना था। हरा और लाल मिलकर 0 के बराबर हैं, और किसी चीज़ में 0 जोड़ने से वो बिल्कुल वैसी ही रहती है।

3:49यानी मेज़ पर जो भी रखा जाए, अगर उसका मोल 0 है, तो कुल मोल नहीं हिलता, चाहे कितनी भी जोड़ियाँ रखी जाएँ। पर अब तस्वीर देखिए। मेज़ पर 6 हरे token हैं, और एक लाल। मोल वही है, बस उसकी तस्वीर बदल गई है। अब निर्देश पूरा हो सकता है। plus 6 निकालिए, यानी 6 हरे, और मेज़ पर 6 हरे हैं। एक-एक करके सब उठाइए, छठा भी, वो जो थोड़ी देर पहले था ही नहीं।

4:19और मेज़ पर एक अकेला लाल token बचता है। तो plus 5 में से plus 6 घटाने पर minus 1 आता है। और ये उसी असली सवाल का जवाब है, किसी नए सवाल का नहीं। जो जोड़ी रखी थी उसका मोल 0 था, तो मेज़ का मोल हर पल plus 5 ही रहा। हमने संख्या नहीं बदली। बस उसे रखने का तरीका बदला। ये रहे 12 सवाल, और इनमें कुछ छिपा हुआ है।

4:47पहले 6 सवाल। plus 10 में से plus 7 घटाइए, जवाब plus 3। minus 8 में से minus 4 घटाइए, जवाब minus 4। minus 9 में से minus 4 घटाने पर minus 5 आता है। plus 9 में से plus 12 घटाने पर minus 3 आता है। minus 5 में से minus 7 घटाने पर plus 2 आता है। minus 2 में से minus 6 घटाने पर plus 4 आता है।

5:18अब दूसरे 6। minus 5 में से minus 7 घटाने पर plus 2 आता है। plus 10 में से plus 13 घटाने पर minus 3 आता है। minus 7 में से minus 9 घटाने पर plus 2 आता है। plus 3 में से plus 8 घटाने पर minus 5 आता है। minus 2 में से minus 7 घटाने पर plus 5 आता है। और plus 3 में से plus 15 घटाने पर minus 12 आता है।

5:46और ये रहा छिपा हुआ। minus 5 में से minus 7 दोनों सूचियों में है। एक ही सवाल, 2 बार, अलग-अलग निर्देशों के साथ। यानी 12 सवालों में असल में 11 अलग सवाल हैं। अब एक सवाल, जिसमें काम के लिए कुछ भी नहीं है। plus 4 में से minus 6 घटाइए। plus 4 रखिए, यानी 4 हरे token। अब minus 6 निकालना है, यानी मेज़ से 6 लाल उठाने हैं।

6:16मेज़ पर लाल हैं ही नहीं, एक भी नहीं। हम पूरे 6 से पीछे हैं। तो 6 zero pairs रखे जाते हैं। 6 हरे और 6 लाल साथ आते हैं, और मेज़ का मोल अब भी plus 4 है। अब मेज़ पर 10 हरे और 6 लाल हैं। 6 लाल निकाल दीजिए। 10 हरे बचते हैं। plus 4 में से minus 6 घटाने पर plus 10, यानी घटाने से संख्या 6 बढ़ गई।

6:43number line पर भी देखिए। minus 6 से plus 4 तक दाईं ओर 10 कदम हैं, यानी plus 10। negative निकालने से संख्या और negative नहीं होती। लाल मेज़ से जाते हैं, और जिन हरों के साथ वो जुड़े थे, वो आज़ाद हो जाते हैं। तो पूरा तरीका एक संख्या पर टिका है, और वो किसी token को छूने से पहले ही सवाल से पढ़ी जा सकती है। कितने चाहिए, और कितने हैं?

7:10इन दोनों गिनतियों का फ़र्क़ ही बताता है कि कितनी जोड़ियाँ रखनी हैं। इसे एक सवाल पर आज़माइए, minus 3 में से plus 5 घटाइए। सबसे पहले पूछिए कि कितने हरे चाहिए, और जवाब है 5। minus 3 यानी 3 लाल token, तो मेज़ पर कितने हरे हैं? एक भी हरा नहीं है, इसलिए पूरी 5 जोड़ियाँ चाहिए। उन्हें रखते ही मेज़ पर 5 हरे और 8 लाल हो जाते हैं।

7:395 हरे निकालिए। 8 लाल बचते हैं, यानी जवाब minus 8 है। आप चाहें तो इससे ज़्यादा जोड़ियाँ भी रख सकते हैं, जवाब फिर भी सही आएगा। ठीक उतनी रखने से बस काम एक ही बार में पूरा हो जाता है। अब 6 और सवाल, और ये सब अटकने वाले हैं। हर एक में पहले जोड़ियाँ गिनिए। minus 3 में से plus 10 घटाने में 10 जोड़ियाँ लगती हैं, और जवाब minus 13 है।

8:07plus 8 में से minus 7 घटाने में 7 जोड़ियाँ, और जवाब plus 15। minus 5 में से plus 9 घटाने में 9 जोड़ियाँ, और जवाब minus 14। minus 9 में से plus 10 घटाने में 10 जोड़ियाँ, और जवाब minus 19। plus 6 में से minus 4 घटाने में 4 जोड़ियाँ, और जवाब plus 10। minus 2 में से plus 7 घटाने में 7 जोड़ियाँ, और जवाब minus 9।

8:38हर एक में वही तरीका है। जोड़ियाँ रखिए, जो माँगा है वो निकालिए, और जो बचे वही जवाब है। अब एक ज़रूरी आदत। भरोसा मत कीजिए, जाँचिए। plus 3 में से plus 8 घटाइए। token पर 3 हरे रखे हैं और 8 हरे चाहिए, तो 5 जोड़ियाँ। अब 8 हरे और 5 लाल हैं। 8 हरे निकालिए, तो 5 लाल बचते हैं, और जवाब minus 5 है। अब यही सवाल number line पर।

9:09शुरुआत plus 8 पर है और मंज़िल plus 3 पर। कौन सी चाल वहाँ ले जाती है? बाईं ओर 5 कदम, यानी minus 5 की चाल। 2 बिल्कुल अलग तरीके हैं, जिनमें सवाल के अलावा कुछ साझा नहीं। दोनों एक ही संख्या पर पहुँचते हैं, और हर बार पहुँचेंगे। आख़िर में मेज़ पर एक बार और नज़र, क्योंकि अब उसमें एक पैटर्न है। हर बार, कुछ निकालने का रास्ता उसका उल्टा रखने से होकर गया।

9:406 लाल निकालने के लिए 6 हरे साथ आए। 5 हरे निकालने के लिए 5 लाल आए। बस इतनी सी बात है। कोई संख्या घटाना, उसके जोड़ीदार को रखने जैसा ही है। और यही वो सवाल था जिसे हमने रोक रखा था। minus 7 में से minus 5 घटाना, और minus 7 में plus 5 जोड़ना, एक ही जवाब देते हैं, क्योंकि मेज़ पर दोनों एक ही काम हैं। यही बात पहले भी दिखी थी, जब घटाने को उसके जोड़ीदार के जोड़ में बदला गया था।

10:13token उसी को मेज़ पर करके दिखाते हैं। token कभी धीमा तरीका नहीं थे। वो इस नियम के सच होने की वजह थे।