PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 6 Mathematics · Chapter 10, The Other Side of Zero
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खाते में 130 हैं, और 150 की ख़रीद होती है। balance minus 20 हो जाता है। क्या ये हो भी सकता है, और अगर हाँ, तो minus 20 का मतलब क्या है?
मुख्य idea
Negative balance कोई छोटी रक़म नहीं है। वह उधार है, और sign यह दर्ज करता है कि क़र्ज़ किस तरफ़ का है। बैंक का हिसाब वह जगह है जहाँ negative संख्याओं को पहली बार सिर्फ़ बर्दाश्त नहीं किया गया, बल्कि सचमुच उनकी ज़रूरत पड़ी, क्योंकि खाता-बही को किसी लेन-देन की दोनों दिशाएँ एक ही column में लिखनी होती हैं — और जब दोनों दिशाएँ एक column साझा करती हैं, तो उस column का चलता कुल एक integer जोड़ होता है, और कुछ नहीं।
आपको क्या आना चाहिए
- जमा (credit) को positive चाल और नामे (debit) को negative चाल की तरह पहचानिए
- हर लेन-देन के साथ balance को बदलते चलिए, चलते कुल को signed रखते हुए
- जमा और नामे की सूची से, किसी भी क्रम में, अंतिम balance निकालिए
- negative balance का मतलब ऐसे शब्दों में बताइए जिन्हें बैंक का ग्राहक पहचान ले
- समझाइए कि बैंक balance को 0 से नीचे जाने की इजाज़त क्यों दे सकता है, और वह किस बात का पैसा लेता है
- पहचानिए कि balance एक स्थिति है जबकि लेन-देन एक चाल
- तय कीजिए कि कुछ समय के लिए negative balance कब मान लेना समझदारी है
जानने लायक़ शब्द
| शब्द | एक पंक्ति में अर्थ | हिंदी / क्षेत्रीय समकक्ष | पहली बार कहाँ |
|---|---|---|---|
| credit | खाते में डाला गया पैसा, positive दर्ज होता है | जमा | §10.3, p.259 पर छपा और परिभाषित |
| debit | खाते से निकाला गया पैसा, negative दर्ज होता है | नामे | §10.3, p.259 पर छपा और परिभाषित |
| balance | अब तक के हर जमा और नामे के बाद खाते में जो है | शेष | §10.3, p.259 पर छपा |
| passbook | वह किताब जिसमें बैंक हर जमा और नामे दर्ज करता है | पासबुक | §10.3, p.259 पर छपा |
| interest | 0 से नीचे के balance पर बैंक जो रक़म ले सकता है | ब्याज | §10.3, p.259 पर छपा |
| fee | उसी शुल्क का दूसरा नाम जो किताब देती है | शुल्क | §10.3, p.259 पर छपा |
| bank account | वह चीज़ जिसका हिसाब रखा जा रहा है | बैंक खाता | §10.3, p.259 पर छपा |
| accounting | वह क्षेत्र जिसका यह अंकगणित, किताब के अनुसार, हिस्सा है | लेखांकन | §10.3, p.260 पर छपा |
| deposit | खाते में पैसा डालना | जमा करना | §10.3, p.259 पर छपा |
हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है, उन अर्थों में जिनमें भारतीय बैंकिंग में ये इस्तेमाल होते हैं। Ganita Prakash का हिंदी संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल हुए corpus में नहीं है, इसलिए इन शब्दों को हिंदी छपाई से मिलाकर नहीं देखा गया — Notes देखिए।
लोग कहाँ चूकते हैं
- "Negative balance का मतलब है खाता ख़ाली है।" ख़ाली यानी 0। 0 से नीचे का मतलब है बैंक ने ऐसा पैसा आगे दिया है जो वापस आना ही है।
- "आपके पास जितना है उससे ज़्यादा कभी ख़र्च नहीं किया जा सकता।" किताब साफ़ कहती है कि कुछ बैंक कुछ समय के लिए इसकी इजाज़त देते हैं, और इसका पैसा लेते हैं। यह बैंकिंग के बारे में एक तथ्य है, कोई छूट नहीं।
- "नामे घटाए जाते हैं, इसलिए वे जोड़ का हिस्सा नहीं हैं।" वे एक ही जोड़ के negative पद हैं। उन्हें घटाने की तरह लिखने और negative जोड़ की तरह लिखने से एक ही अंतिम balance आना चाहिए, और यही दिखाना The additive inverse, and how it turns every subtraction into an addition से वापस जुड़ाव है।
- "क्रम से जवाब बदल जाता है।" अंतिम balance लेन-देन के क्रम पर निर्भर नहीं करता, हालाँकि बीच के balances करते हैं — और खाता कभी 0 से नीचे गया या नहीं, यह भी क्रम पर निर्भर करता है। दोनों बातें सच हैं और दूसरी वाली दिलचस्प है।
- "Interest वह पैसा है जो बैंक आपको देता है।" इस हिस्से में वह एक शुल्क है, भुगतान नहीं। किताब यह शब्द उधार वाले अर्थ में इस्तेमाल करती है, और जिस student ने इसे सिर्फ़ बचत वाले अर्थ में देखा है वह वाक्य को ग़लत पढ़ेगा।
- "₹128 का क़र्ज़, ₹256 से कटकर ₹256 छोड़ता है।" वह अंतर छोड़ता है। दूसरा खाता ठीक इसी चूक को पकड़ने के लिए बना है।
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पूरा transcript1,464 शब्द
एक bank खाता खोला गया है, पिछले महीने की पूरी बचत से। बचत है 100। ये 100 एक balance है। balance बताता है कि खाते में इस वक़्त कितना है, यानी खाता कहाँ खड़ा है। इसलिए इसे एक scale पर निशान की तरह रखा जा सकता है, ठीक वैसे जैसे lift के shaft में floor लिखा होता है। scale पर 0 का निशान है, और balance उससे 100 ऊपर बैठा है।
अगले कुछ दिनों में इस खाते के साथ 4 चीज़ें होंगी, और हर एक इस निशान को हिलाएगी। उनमें से एक इसे ऐसी जगह ले जाएगी, जिस पर बहुत लोगों को यक़ीन नहीं होता। पहले दिन काम की कमाई से balance में 60 जुड़ते हैं। जब रक़म खाते में आती है, तो उसे credit कहते हैं। इसे जमा भी कहते हैं। credit यानी रक़म का आना, और scale पर ये ऊपर की चाल है।
100 से 60 ऊपर जाइए, तो balance 160 हो जाता है। दूसरे दिन 30 बाहर जाते हैं, बिजली के बिल के लिए। जब रक़म खाते से बाहर जाती है, तो उसे debit कहते हैं, या नामे। scale पर ये नीचे की चाल है। 160 से 30 नीचे आइए, तो balance 130 रह जाता है। credit ऊपर, debit नीचे। बस इतनी ही भाषा है, इसके बाद सब हिसाब है। तीसरे दिन 150 बाहर जाते हैं, एक छोटे कारोबार के लिए सामान ख़रीदने में।
balance 130 है, और ख़रीद 150 की है। यानी ख़रीद 20 ज़्यादा है। scale पर निशान को देखिए। वो नीचे आता है, 0 तक पहुँचता है, और वहाँ रुकता नहीं। वो सीधा 0 के पार जाता है और 20 नीचे जाकर ठहरता है। 130 से minus 20 तक की चाल minus 150 है। अब खाते का balance minus 20 है। अगर ख़रीद ठीक 130 की होती, तो निशान ठीक 0 पर रुकता।
खाता ख़ाली होता, पर उधार में नहीं। इस जगह बहुत लोग यक़ीन करने से मना कर देते हैं, और ये बिल्कुल ठीक है। तो सवाल ये है, क्या ये हो भी सकता है? आपत्ति कुछ ऐसी है। जिस दराज़ में 130 सिक्के रखे हों, उससे 150 सिक्के नहीं निकाले जा सकते। और ये बात सच है, दराज़ ऐसा नहीं कर सकती। पर खाता दराज़ नहीं है, और पूरा फ़र्क़ यहीं है।
minus 20 का मतलब ये नहीं कि खाते में थोड़ी सी रक़म बची है। इसका मतलब है कि खाते में कुछ भी नहीं है, और balance 0 से भी 20 नीचे है, यानी उधार। 0 का मतलब ख़ाली। 0 से नीचे का मतलब उधार। ये 2 अलग हालतें हैं, और इन्हें अलग सिर्फ़ चिह्न करता है। तो bank ऐसा होने ही क्यों देगा? कुछ bank थोड़े समय के लिए और एक हद तक ये होने देते हैं।
पर ये कोई मेहरबानी नहीं है। इसके बदले वो कुछ वसूलते हैं, और उसका नाम ब्याज है। ये शब्द आपने शायद उल्टी दिशा में सुना होगा। बचत पर ब्याज वो है जो bank आपको देता है। 0 से नीचे के balance पर ब्याज वो है जो आप bank को देते हैं। शब्द वही, दिशा उल्टी, और कौन सी दिशा है ये balance का चिह्न बताता है। तो 0 से नीचे रहने की एक क़ीमत है।
इसे याद रखिए, आख़िरी सवाल इसी पर टिका है। चौथे दिन, और इस कहानी का असली दिन यही है। उसी ख़रीद की वजह से कमाई होती है, और balance में 200 जुड़ते हैं। balance minus 20 है। 0 तक पहुँचने के लिए 20 का credit चाहिए, और वापस 100 तक पहुँचने के लिए 120 का। पर आते हैं 200। निशान ऊपर चढ़ता है, 0 पार करता है, और चढ़ता रहता है।
वो 180 पर जाकर ठहरता है। यानी आख़िर में खाता 180 पर है, जो शुरुआत के 100 से 80 ऊपर है। ख़रीद 150 की थी और उसने 200 लौटाए। यानी ख़रीद ने अपनी क़ीमत निकाली, और scale पर निशान उससे भी 50 ऊपर गया। यही वो बात है जिसके लिए ये कहानी सुनाई गई, और आख़िर में हम इस पर लौटेंगे। अब सारे दिनों को एक जगह लिखकर देखिए। ऐसे हिसाब में आम तौर पर 2 खाने होते हैं।
एक तरफ़ आई रक़म, दूसरी तरफ़ गई रक़म, दोनों अलग-अलग। आई रक़म में 60 और 200 हैं। गई रक़म में 30 और 150 हैं। और अब वो चाल, जिससे negative संख्याएँ काम की बनती हैं। दोनों खानों को एक खाने में डालिए, और हर रक़म के आगे चिह्न लगाइए। तो खाना ऐसा दिखता है: plus 60, minus 30, minus 150, plus 200। रक़म की 2 उल्टी दिशाएँ, एक ही खाने में, और उन्हें अलग करता है सिर्फ़ आगे लिखा चिह्न।
एक खाने में आते ही, आख़िरी balance निकालना कोई लंबा तरीका नहीं रहता। वो बस एक जोड़ है। 100 में plus 60, minus 30, minus 150 और plus 200 जोड़िए। जवाब 180 है, ठीक वही जो हमें एक-एक दिन चलकर मिला था। या दोनों खानों को अलग-अलग जोड़िए। 260 आए और 180 गए, तो 100 में 260 जोड़कर 180 घटाइए, और फिर भी 180 आता है। debit को घटाव की तरह लिखिए या negative के जोड़ की तरह, जवाब नहीं बदलता।
minus 30 और minus 150 मिलकर एक ही debit हैं, minus 180। 2 बिल्कुल अलग रास्ते एक ही संख्या पर पहुँचे। तो ये पूछना ज़रूरी है कि उन्हें मिलना ही क्यों था। balance एक जगह है। transaction एक चाल है। जगह में चाल जोड़िए, तो अगली जगह मिलती है। minus 60 से plus 60 तक हर balance और हर चाल पर ये जाँचा गया है। यही वाक्य lift के floor बदलने का है, और number line पर कदम चलने का भी।
bank का balance बस अलग कपड़ों में एक floor है। अब 2 और खाते बंद करने हैं, और दोनों 0 से शुरू होते हैं। पहले खाते में 30, फिर 40, फिर 50 आते हैं। उसके बाद 40, फिर 50, फिर 60 जाते हैं। balance 30, 70 और 120 तक चढ़ता है, फिर 80 और 30 पर उतरता है। कुल 120 आए और 150 गए। तो खाता minus 30 पर बंद होता है, यानी 30 उधार।
और ध्यान दीजिए कि ये वहाँ कैसे पहुँचा। ये खाता आख़िरी पंक्ति तक 0 से ऊपर रहा, और सिर्फ़ आख़िर में नीचे गया। आख़िरी balance बताता है कि खाता कहाँ ख़त्म हुआ। वो ये नहीं बताता कि खाता रास्ते में कहाँ-कहाँ गया। और इसे वापस 0 पर लाना हो, तो कितना चाहिए? minus 30 से 0 तक 30 ऊपर, यानी 30 का एक credit। दूसरा खाता अजीब है। उससे पहले 1 जाता है, फिर 2, फिर 4, फिर 8।
फिर 16 जाते हैं, फिर 32, फिर 64, और आख़िर में 128। हर रक़म अपने से पहले वाली की ठीक दुगुनी है। और इस दुगुनेपन में एक छिपी बात है। हर रक़म अपने से पहले की सारी रक़मों के जोड़ से ठीक 1 ज़्यादा है, जैसे 1 और 2 और 4 मिलकर 7, और अगली रक़म 8। इन 8 के बाद balance minus 255 है। फिर एक ही बार में 256 आते हैं।
जवाब से पहले एक पल रुकिए, क्योंकि यहाँ 2 आसान ग़लत जवाब इंतज़ार कर रहे हैं। तो खाते में क्या बचेगा? जवाब 256 नहीं है, और 128 भी नहीं है। आने वाली रक़म एक उधार से टकराती है, और जो बचता है वो फ़र्क़ है। 255 के सामने 256, तो बचता है 1। इस सब में एक बात ध्यान देने लायक़ है, और ये इस पूरी कहानी की सबसे चौंकाने वाली बात है।
पहली कहानी के 4 transaction लीजिए, और उन्हें किसी भी क्रम में फेंट दीजिए। उन्हें 24 तरीकों से सजाया जा सकता है, और हर एक 180 पर बंद होता है। आख़िरी balance को इससे फ़र्क़ नहीं पड़ता कि रक़म किस क्रम में आई और गई। अगर 150 की ख़रीद सबसे पहले हो, तो balance 100 से सीधा minus 50 पर गिरता है। और अगर 200 सबसे पहले आएँ, फिर 60, फिर 30 और 150 जाएँ, तो balance 300, 360, 330 और 180 होता है, और कभी 0 से नीचे नहीं जाता।
अब एक अलग सवाल पूछिए। क्या खाता कभी 0 से नीचे गया? 24 में से 11 क्रम 0 से नीचे जाते हैं, और 13 कभी नहीं जाते। रक़म वही, आख़िरी balance वही, पर रास्ता बिल्कुल अलग। और अब आख़िरी सवाल, जो असल में हिसाब का सवाल है ही नहीं। positive balance आम तौर पर negative से बेहतर है, और वजह वही है जो पहले दिखी। 0 से नीचे रहने की क़ीमत लगती है।
तो 0 से नीचे का balance कब रखने लायक़ है? तीसरे दिन को फिर देखिए। खाता 20 के उधार में गया, ताकि ऐसी ख़रीद हो सके जिसने 200 लौटाए। वो सिर्फ़ 1 दिन 0 से नीचे रहा, और आख़िर में 80 ऊपर था। ख़रीद ने अपनी क़ीमत से 50 ज़्यादा लौटाए। पूरा फ़ैसला यही है। 0 से नीचे का balance न कोई आफ़त है, न मुफ़्त। ये एक क़ीमत है, जो तब चुकाने लायक़ है जब उससे मिलने वाली चीज़ उस क़ीमत से ज़्यादा की हो।
यह कहाँ बैठता है
यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.
किस पर टिका है
- Addition as movement: starting position plus movement gives target positionकक्षा 6 · Ch 10, The Other Side of Zero
- Laying the integers out in order, and why −8 is less than −2कक्षा 6 · Ch 10, The Other Side of Zero
- Zero pairs: why a positive and a negative token cancelकक्षा 6 · Ch 10, The Other Side of Zero
आगे फिर कहाँ आता है
- Brahmagupta's rules, and how long it took the world to accept themकक्षा 6 · Ch 10, The Other Side of Zero
इसके ठीक पहले और ठीक बाद
- Subtracting with tokens by first putting zero pairs inकक्षा 6 · Ch 10, The Other Side of Zero
- Sea level and freezing point: zero as a chosen reference, not an absenceकक्षा 6 · Ch 10, The Other Side of Zero