odd numbers जोड़ने से squares क्यों मिलते हैं

0:00यहाँ देखो, हम odd numbers को एक-एक करके जोड़ते जाएँगे, और हर बार जवाब लिखते जाएँगे। पहली line में सिर्फ़ 1 है। फिर 1 में 3 जोड़ो, तो 4 मिलता है। उसमें 5 जोड़ो, तो 9 बनता है। फिर 7 जोड़ो, तो 16 होता है। अब 9 जोड़ने पर 25 होता है, और 11 जोड़ने पर 36 होता है। इस तरह ऊपर से नीचे तक 6 lines बन गई हैं।

0:26अब दाईं तरफ़ के जवाब देखो — 1, 4, 9, 16, 25, 36। क्या ये numbers तुमने पहले कहीं देखे हैं? हाँ, ये square numbers हैं — वही numbers, जिनके dots पिछली बार एक square में सजे थे। अब यहाँ से आगे बढ़ने से पहले रुक कर कुछ सवाल पूछने चाहिए। पहला सवाल यह है कि ऐसा होता क्यों है। odd numbers का squares से भला क्या लेना-देना है? और अगला सवाल यह है कि क्या यह हमेशा चलता रहेगा — 7 odd numbers पर भी, और 100 पर भी?

1:03शायद तुम सोच रहे हो कि 6 lines में यह ठीक निकला, तो बात पक्की हो गई। पर circle वाली पहेली याद करो। वहाँ pieces 1, 2, 4, 8, 16 आए, हर बार दुगुने होते हुए, और फिर 32 की जगह 31 pieces आए। यानी कोई pattern कई बार सही निकल कर भी अगली बार टूट सकता है। 6 बार check करने से बस इतना पता चलता है कि 6 बार ठीक रहा — उससे वजह नहीं मिलती।

1:33तो चलो, वापस तस्वीर पर चलते हैं। square number आख़िर है क्या? square number वो गिनती है, जिसके dots एक पूरा square भर देते हैं। यहाँ देखो, 6 dots की 6 rows बनाओ, तो 36 dots का एक square बनता है, जिसमें कहीं कोई जगह ख़ाली नहीं है। अब वही सवाल तस्वीर की भाषा में पूछते हैं, क्योंकि dots के साथ सवाल ज़्यादा साफ़ दिखता है। क्या यहाँ के इन 36 dots को ऐसे टुकड़ों में काटा जा सकता है, जिनमें 1, 3, 5, 7, 9 और 11 dots हों?

2:10काटने का मतलब साफ़ है — हर dot किसी एक टुकड़े में जाए, कोई dot बाहर न बचे, और कोई dot 2 टुकड़ों में न गिना जाए। तुम्हें लग सकता है कि कोई भी कट चलेगा। पर एक ऐसा कट देखो जो काम नहीं करता। सीधी rows में काटो, तो 6 टुकड़े बनते हैं, और हर टुकड़े में 6 dots हैं। 6 even है, तो इस कट से odd numbers कभी नहीं मिलेंगे।

2:34अगर ऐसा कट मिल गया, तो जोड़ और square असल में एक ही dots को गिन रहे होंगे — बस अलग तरीके से। नीचे के कोने में 1 dot से शुरू करो। यह पहला odd number है, और अपने आप में 1 का square भी है। अगला square कैसे बनेगा? उसके ऊपर 1 dot रखो, बगल में 1 dot, और कोने पर 1 dot। यह 3 dots की एक मुड़ी हुई पट्टी है, और अब 4 dots का square बन गया।

3:02अगली पट्टी में 5 dots हैं, जो उस square को लपेट कर 9 dots का square बना देती है। फिर 7 की पट्टी से 16 बनता है, 9 की पट्टी से 25 बनता है, और 11 की पट्टी से पूरे 36 बन जाते हैं। और देखो, हर पट्टी जोड़ते ही जो square बनता है, वो शुरुआत वाली line का जवाब है। 1 में 3 जोड़ कर 4, फिर 5 जोड़ कर 9 — यानी हर line बस एक पट्टी और जोड़ती है।

3:296 पट्टियाँ हैं, हर पट्टी एक odd number है, और सब मिल कर पूरा square भरती हैं — कोई dot नहीं बचा, और कोई dot दोबारा नहीं गिना गया। ध्यान दो, ये पट्टियाँ सीधी धारियाँ नहीं हैं। हर पट्टी कोने पर मुड़ती है, और पिछले square को बाहर से लपेटती है। अब एक पट्टी को ध्यान से देखो। मान लो 5 की 5 rows वाले square को 6 की 6 rows वाला बनाना है।

3:57इस पट्टी में कितने dots होंगे? इसके लिए ऊपर 5 dots की एक नई row चाहिए, किनारे पर 5 dots का एक नया column, और कोने में 1 dot। शायद तुम सोच रहे हो कि हर पट्टी बस एक नई row है। अगर कोई सिर्फ़ row और column जोड़े और कोना भूल जाए, तो 10 dots आते हैं, और 10 even है। row और column हमेशा बराबर होते हैं, इसलिए उनका जोड़ हर बार even होता है।

4:24कोने का 1 dot उसी even को odd बना देता है। इसलिए हर पट्टी odd होती है। यही बात किसी भी size पर लागू होती है। square में जितनी rows हैं, अगली पट्टी में उतने dots की row, उतने ही dots का column, और 1 कोना होता है। और हर पट्टी पिछली से 2 dots बड़ी होती है, क्योंकि row में 1 dot बढ़ता है और column में भी 1 dot।

4:48इसलिए पट्टियाँ क्रम से 1, 3, 5, 7 बनती जाती हैं, और कोई odd number नहीं छूटता। अब सबसे ज़रूरी सवाल यह है — क्या इस कट में 6 का कोई ख़ास हाथ है? यहाँ देखो, 3 की 3 rows वाला square लो, तो पट्टियाँ 1, 3 और 5 आती हैं। 5 की 5 rows में 1 से 9 तक की पट्टियाँ हैं। और 8 की 8 rows में 8 पट्टियाँ हैं, 1 से 15 तक।

5:19अब ऐसा square सोचो, जिसका size तुम्हें पता ही नहीं है। उसे भी कोने से लपेटो, तो पट्टियाँ 1, 3, 5 से शुरू हो कर क्रम से बढ़ती जाती हैं, और square पूरा भर जाता है। इन सबको ध्यान से देखो। कट हर बार उसी तरह होता है — कोने से शुरू करो, और लपेटते जाओ। square कितना भी बड़ा हो, हर पट्टी एक row, एक column और एक कोना ही होती है।

5:45यह कट 1 से 60 तक के हर size पर परखा गया है, और एक बार भी नहीं टूटा। पर असली वजह परखना नहीं है। असली वजह यह है कि कट का तरीका size पर निर्भर ही नहीं करता। यही फ़र्क है — 6 lines बताती हैं कि 6 बार ठीक रहा, और तस्वीर बताती है कि हर बार ठीक रहेगा। अब इस वजह से कुछ कमा कर देखते हैं।

6:10पहले 10 odd numbers का जोड़ कितना होगा? तुम्हें लगेगा कि इसके लिए 10 numbers जोड़ने पड़ेंगे, पर जोड़ने की ज़रूरत नहीं है। 10 पट्टियाँ मिल कर 10 की 10 rows वाला square बनाती हैं, यानी 100 dots। और अगर पहले 100 odd numbers जोड़ें, तो क्या मिलेगा? 100 पट्टियाँ 100 की 100 rows वाला square बनाती हैं, यानी 10000 dots। और पहले 20 odd numbers का जोड़ चाहिए, तो 20 की 20 rows वाला square सोचो, यानी 400।

6:4420 बार जोड़ने की कोई ज़रूरत नहीं है। 100 बार जोड़ने की जगह बस एक गुणा करना पड़ा। किसी pattern की वजह जानने का यही फ़ायदा है। अब यहाँ तुम भी करके देखो — 1, 3, 5, 7, 9, 11 और 13 का जोड़ कितना है? ये 7 odd numbers हैं, तो 7 की 7 rows बनती हैं, यानी 49। अब इन्हीं squares तक पहुँचने का एक और रास्ता देखते हैं — ऊपर चढ़ो, और फिर वापस नीचे उतरो।

7:15क्या इस रास्ते पर भी squares मिलेंगे? यहाँ पहली line में 1 अकेला है। फिर 1, 2 और 1 का जोड़ 4 है। फिर 1, 2, 3, 2 और 1 का जोड़ 9 है। 4 तक चढ़ कर वापस उतरो, तो 16 मिलता है। 5 तक जाओ, तो 25 मिलता है, और 6 तक जाओ, तो 36। फिर वही 1, 4, 9, 16, 25, 36 आए — वही squares, पर बिल्कुल अलग जोड़ से।

7:48पहली नज़र में लग सकता है कि यह squares के बारे में कोई नई बात है। तो क्या यह भी कोई इत्तफ़ाक़ है, या इसकी भी कोई तस्वीर बन सकती है? यहाँ वही 36 dots वाला square है, पर इस बार उस पर कोई कट नहीं है। इसे देखो, और ऐसे काटो कि टुकड़ों में 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2 और 1 dots आएँ। video रोक कर पहले ख़ुद कोशिश करो।

8:22एक कोने के dot से शुरू करो — वह अकेला है, यानी 1। उसके बगल वाली तिरछी line पर 2 dots हैं, फिर 3, फिर 4, फिर 5, और बीच वाली सबसे लंबी तिरछी line पर 6 dots हैं। उसके बाद lines छोटी होती जाती हैं — 5, 4, 3, 2, और आख़िर में सामने वाले कोने पर फिर 1 dot। ऐसा क्यों होता है? कोने से बीच की तरफ़ बढ़ते हुए हर तिरछी line में 1 dot बढ़ता है।

8:53बीच के बाद square के किनारे lines को काटने लगते हैं, इसलिए हर line में 1 dot घटता जाता है। अगर square को उसके एक कोने पर खड़ा करके देखो, तो ये तिरछी lines सीधी rows बन जाती हैं। 3 की 3 rows वाले square में ये rows 1, 2, 3, 2 और 1 dots की होती हैं। यानी तिरछी lines में काटने पर ठीक यही ऊपर-नीचे वाला जोड़ मिलता है, और हर dot किसी एक ही line में आता है।

9:22वही square है, वही 36 dots। मुड़ी हुई पट्टियों में काटो, तो odd numbers मिलते हैं, और तिरछी lines में काटो, तो ऊपर-नीचे वाला जोड़ मिलता है। तो 1 से 100 तक चढ़ कर वापस 1 तक उतरो, तो जोड़ क्या होगा? यह 100 की 100 rows वाले square की तिरछी lines हैं, यानी 10000। और 50 तक चढ़ कर उतरो, तो 50 की 50 rows बनती हैं, यानी 2500।

9:49तो आख़िर में, असल में साबित क्या हुआ? 6 lines का जोड़ सिर्फ़ इतना बताता है कि pattern 6 बार ठीक चला। कट बताता है कि यह हर बार ठीक चलेगा, क्योंकि कट का तरीका square के size पर निर्भर नहीं करता। शायद तुम्हें लग सकता है कि तस्वीर जवाब याद रखने का बस एक आसान तरीका है। पर बात उलटी है — जवाब वो है जो तस्वीर से ज़बरदस्ती निकलता है।

10:14तस्वीर को हटा कर देखो, तो बस एक अंदाज़ा बचता है, जो 6 बार सही निकला। यहाँ तस्वीर कोई सजावट नहीं है — तस्वीर ख़ुद वजह है। जब भी तुम्हें कोई pattern मिले, तो रुक कर पूछो कि यह क्यों होता है — और हो सके, तो उसे dots से बना कर देखो।