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Chapter 7 · Fractions

Mixed fractions: 1 से आगे जो है उसका नाम रखना

Fractions as numbers on a line11 मिनट

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1 बटा 2 के 7 टुकड़ों से बनी पट्टी का नाम 7 बटा 2 है। नाम सही है, पर वो छुपा लेता है कि इसमें कितनी पूरी इकाइयाँ हैं। आधों की जोड़ियाँ बनाइए: 3 पूरी इकाइयाँ, और 1 बटा 2 बचा — 3 पूरे और 1 बटा 2। संख्या वही, बस दोबारा सजाई गई।

मुख्य idea

सात आधों को सात आधे लिखना सही तो है पर काम का नहीं: इससे क़दम का आकार और क़दमों की गिनती तो पता चलती है, पर वह एक चीज़ छिप जाती है जो आप सच में जानना चाहते हैं — आपके पास कितनी पूरी units हैं। mixed रूप संख्या को बिलकुल नहीं बदलता — वह उसी गिनती को फिर से समूहों में बाँटता है, दो-दो आधों के पूरे set अलग निकालता है और बचे हुए को पीछे छोड़ देता है। इसीलिए यह बदलाव दोनों दिशाओं में आसानी से चलता है, और इसीलिए "ऊपर वाली संख्या नीचे वाली से बड़ी" वाली जाँच रटने लायक़ नियम नहीं है: वह सिर्फ़ इतना कहती है कि आपने एक पूरे के लिए ज़रूरी क़दमों से ज़्यादा क़दम लिए।

आपको क्या आना चाहिए

  • भिन्नों की एक सूची को एक पूरे से कम और एक पूरे से ज़्यादा वाली भिन्नों में बाँटना
  • एक पूरे से बड़ी भिन्न के लिए आकार वाली जाँच बताना, और समझाना कि वह सच क्यों होनी ही चाहिए
  • गिनना कि किसी दी गई भिन्न में कितनी पूरी units हैं
  • 1 से बड़ी किसी भिन्न को mixed रूप में फिर से लिखना, और उसके दोनों हिस्सों के वे नाम बताना जो किताब देती है
  • mixed रूप को वापस एक अकेली भिन्न के रूप में लिखना, और वह क़दम समझाना जो दोनों को बराबर बनाता है
  • तय करना कि 1 से बड़ी हर भिन्न को mixed रूप में लिखा जा सकता है या नहीं, और बताना कि ठीक पूरे पर क्या होता है
  • mixed रूप को number line पर रखना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
mixed numberपूरों की गिनती, बची हुई भिन्न के बगल में लिखी हुईमिश्र संख्या§7.5, p.162 पर छपा
mixed fractionउसी रूप का किताब में दिया दूसरा नाममिश्र भिन्न§7.5, p.162 पर छपा
whole partmixed रूप में पूरी units की गिनतीपूर्ण भाग§7.5, p.162 पर छपा
fractional partबचा हुआ हिस्सा, जो हमेशा एक पूरे से कम होता हैभिन्नात्मक भाग§7.5, p.162 पर छपा
whole unitएक पूरी unit, fractional units के एक पूरे set से बनीपूर्ण इकाईपूरे §7.5, p.161 में छपा
numeratorभिन्न में कितनी fractional units हैंअंश§7.3, p.158 पर छपा; §7.5 की जाँच इसी के आधार पर कही गई है
denominatorकितनी fractional units मिलकर एक पूरा बनाती हैंहर§7.3, p.158 पर छपा; इसी तरह
fractional unitवह क़दम जिससे गिनती बनी हैइकाई भिन्न§7.1, p.152 पर छपा
improper fractionएक पूरे के बराबर या उससे आगे वाली भिन्न का, दूसरी जगहों पर आम नामविषम भिन्नयहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा
proper fractionएक पूरे से कम वाली भिन्न का, दूसरी जगहों पर आम नामउचित भिन्नयहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash का हिंदी संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल हुई सामग्री में नहीं है, इसलिए ये cells हिंदी छपाई से नहीं मिलाए गए — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "mixed रूप एक अलग, बड़ी संख्या है।" यह वही संख्या है, फिर से समूहों में बाँटी हुई। कोई भी हिसाब करने से पहले दोनों रूपों को number line के एक ही बिंदु पर आते हुए दिखाओ।
  • "दो और दो तिहाई का मतलब है दो गुणा दो तिहाई।" छोटा notation एक plus चिह्न छिपा लेता है, और यह सच में उलझाने वाला है। जब भी यह रूप आए, plus को ज़ोर से बोलो, कम से कम section 10 तक।
  • "वापस बदलने के लिए whole part को denominator से गुणा करो और जोड़ो — यही नियम है।" नियम यही है, पर p.163 पर किताब इसे हर पूरे को fractional units के एक पूरे set से बदलकर और गिनकर कमाती है। पहले गिनती दिखाओ; नियम वह है जिसमें गिनती सिमट जाती है।
  • "एक से बड़ी भिन्न ग़लत है और उसे mixed रूप में ठीक करना ही होगा।" कोई भी रूप दूसरे से ज़्यादा सही नहीं है। §7.8 भिन्नों को जोड़ेगा और एक ही पन्ने पर जवाब दोनों रूपों में छोड़ेगा।
  • "अगर ऊपर वाली संख्या बड़ी है तो भिन्न बड़ी है।" यह सिर्फ़ तब सच है जब नीचे वाली संख्याएँ एक जैसी हों। इस section में कहीं भी दो अलग denominators की तुलना नहीं होती।
  • "1 से आगे वाली हर भिन्न में कुछ बचता है।" चार आधे में नहीं बचता। §7.3 में chapter का अपना आठवें हिस्सों वाला सिलसिला ठीक एक पूरे पर ख़त्म हुआ था, और §7.5 p.162 पर यह सवाल सीधे पाठक से पूछता है। Section 9 को इसका जवाब देना चाहिए, और वैसे ही देना चाहिए जैसे किताब देती है, बजाय इसके कि student को जवाब सिर्फ़ solutions appendix में मिले।

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पूरा transcript1,596 शब्द

एक पट्टी सोचिए, जो 1 बटा 2 के 7 टुकड़ों से बनी है। उसका नाम है 7 बटा 2। ये नाम बिल्कुल सही है। वो बताता है कि हर कदम कितना बड़ा है, और कितने कदम लिए गए। पर वो वही बात छुपा लेता है, जो हम सबसे पहले जानना चाहते हैं: इसमें कितनी पूरी इकाइयाँ हैं? आज हम उसी संख्या को दोबारा सजाएँगे, ताकि पूरी इकाइयाँ साफ़ दिखें — संख्या वही रहेगी।

मान लीजिए इन टुकड़ों से पूरी पट्टियाँ जोड़नी हों। कितनी पूरी बनेंगी, और कितना बचेगा? 7 बटा 2 ये सीधे नहीं बताता। पिछली बार number line पर जो पट्टियाँ बनाई थीं, उन्हें 2 खानों में बाँटिए। एक खाना उन पट्टियों का, जो 1 से पहले रुक जाती हैं। दूसरा उनका, जो 1 से आगे निकल जाती हैं। किस खाने में जाए, ये तय करने के लिए हर पट्टी के कदम 0 से चलिए, और देखिए वो कहाँ रुकती है।

1 बटा 2, 2 बटा 3, 2 बटा 5, और 4 बटा 5 — ये सब 1 से पहले रुकती हैं। और 3 बटा 2, 6 बटा 5, 7 बटा 5, 8 बटा 5, 9 बटा 5 — ये 1 के आगे जाती हैं। यही छँटाई असली सबक है। अब देखिए, दूसरे खाने वालों में क्या बात एक जैसी है। दूसरे खाने के हर भिन्न की ऊपर वाली और नीचे वाली संख्या आपस में मिलाइए।

3 और 2, 6 और 5, 9 और 5 — हर बार ऊपर वाली संख्या बड़ी है। 7 और 5, 8 और 5 में भी यही: ऊपर वाली बड़ी। पहले खाने में उल्टा: 1 और 2, 4 और 5 — ऊपर वाली हमेशा छोटी। पर कुछ उदाहरणों में दिखा पैटर्न, अभी वजह नहीं है। क्या ये हमेशा सच होगा? असली सवाल ये है — एक पूरी इकाई बनाने के लिए कितने कदम चाहिए?

आधे कदमों से, 2 कदम में आप 1 पर पहुँचते हैं। 1 बटा 3 से, 3 कदम में। 1 बटा 5 से, 5 कदम में। यानी नीचे वाली संख्या ठीक उतने कदम बताती है, जितने एक पूरी इकाई में लगते हैं। और ऊपर वाली संख्या बताती है कि असल में कितने कदम लिए गए। 4 बटा 5 में 4 कदम लिए गए, जबकि इकाई को 5 चाहिए। इसलिए वो 1 से पहले ही रुकेगी।

तो अगर लिए गए कदम, एक इकाई की ज़रूरत से ज़्यादा हैं, तो आप 1 के आगे होंगे ही। ये मजबूरी है, इत्तफ़ाक़ नहीं। एक गोले पर 1 बटा 3 के टुकड़े, एक-एक करके रखिए। 3 टुकड़ों के बाद गोला पूरा बंद हो जाता है, और हमें ठीक 1 मिलता है। अब चौथा टुकड़ा कहाँ जाए? उसके लिए नया गोला शुरू करना पड़ता है। कुल, 1 से 1 बटा 3 आगे।

और ध्यान दीजिए: ठीक एक इकाई, 1 के आगे नहीं है। 2 बटा 2, 3 बटा 3, 5 बटा 5 — ये सब ठीक 1 पर रुकते हैं। अब गिनिए, 3 बटा 2 के अंदर कितनी पूरी इकाइयाँ हैं। आधे टुकड़ों की जोड़ियाँ बनाइए। एक जोड़ी से एक पूरी इकाई बनती है, और 1 बटा 2 बच जाता है। 5 बटा 2 में 2 जोड़ियाँ बनती हैं — 2 पूरी इकाइयाँ — और फिर 1 बटा 2 बचता है।

ध्यान दीजिए, हमने कुछ जोड़ा या घटाया नहीं। वही आधे टुकड़े, बस अलग ढंग से सजाए। number line पर भी यही दिखता है: 3 बटा 2, 0 से एक पूरी इकाई और एक आधा कदम आगे है। अब आपकी बारी: 7 बटा 2 में कितनी पूरी इकाइयाँ हैं? आधों की जोड़ियाँ: 3 पूरी इकाइयाँ, और 1 बटा 2 बचा। 4 बटा 3 में 3 टुकड़ों वाले सेट बनाइए: 1 पूरी इकाई, और 1 बटा 3 बचा।

7 बटा 3 में: 2 पूरी इकाइयाँ, और फिर 1 बटा 3। सेट का आकार हमेशा नीचे वाली संख्या है: आधों के लिए 2, 1 बटा 3 वालों के लिए 3। अब 3 और भिन्न हैं — 8 बटा 3, 11 बटा 5, और 9 बटा 4। 8 बटा 3: 3-3 के 2 सेट, यानी 2 पूरी इकाइयाँ, और 2 बटा 3 बचा। 11 बटा 5: 5-5 के 2 सेट, और 1 बटा 5 बचा।

9 बटा 4: 4-4 के 2 सेट, और 1 बटा 4 बचा। बचा हुआ हिस्सा कभी पूरा सेट नहीं होता — वरना वो भी एक इकाई बन जाता। इसलिए बचा हिस्सा हमेशा 1 से कम है। 8 बटा 3 का मतलब निकला: 2 पूरी इकाइयाँ, और 2 बटा 3 ज़्यादा। यानी 2 जोड़ 2 बटा 3। छोटे तरीके में जोड़ का निशान हटा देते हैं, और बचा हिस्सा पूरी इकाइयों के ठीक बगल में लिख देते हैं।

पर वो जोड़ छुपा है, गायब नहीं। 2 और 2 बटा 3 का मतलब गुणा नहीं, जोड़ है। इसलिए इसे पढ़ते समय और ज़रूर बोलिए: 2 पूरे और 2 बटा 3। इस रूप को मिश्र संख्या कहते हैं। इसे मिश्र भिन्न भी कहा जाता है। पूरी इकाइयों की गिनती, यानी 2, इसका पूर्ण भाग है। और बचा हिस्सा, 2 बटा 3, इसका भिन्नात्मक भाग है — जो हमेशा 1 से कम होता है।

पूर्ण भाग और भिन्नात्मक भाग — बीच में एक छुपा हुआ जोड़। क्या 3 पूरे और 1 बटा 2, 7 बटा 2 से कोई अलग या बड़ी संख्या है? 0 से 1 बटा 2 के 7 कदम चलिए। आप एक बिंदु पर रुकते हैं। अब 3 पूरे कदम चलिए, फिर आधा और। आप ठीक उसी बिंदु पर पहुँचते हैं। ऐसे ही 8 बटा 3, और 2 पूरे और 2 बटा 3 — एक ही बिंदु।

एक संख्या, लिखने के 2 तरीके। बस इतना फ़र्क है। अभ्यास: 9 बटा 2 को मिश्र रूप में लिखिए। आधों की जोड़ियाँ: 4 पूरी इकाइयाँ, और 1 बटा 2 बचा। यानी 4 पूरे और 1 बटा 2। 9 बटा 5: 5 का 1 सेट, और 4 टुकड़े बचे। यानी 1 पूरा और 4 बटा 5। 21 बटा 19: 19 का 1 सेट, और 2 टुकड़े बचे। यानी 1 पूरा और 2 बटा 19।

नीचे की संख्या बड़ी हो, तो सेट भी बड़ा — और पूरी इकाइयाँ कम बनती हैं। 47 बटा 9: 9 के 5 सेट बनते हैं, और 2 टुकड़े बचते हैं। यानी 5 पूरे और 2 बटा 9। 12 बटा 11: 11 का 1 सेट, और 1 टुकड़ा बचा। यानी 1 पूरा और 1 बटा 11। 19 बटा 6: 6 के 3 सेट, और 1 बचा। यानी 3 पूरे और 1 बटा 6।

हर बार बचा हिस्सा 1 से कम निकला — जैसा होना ही था। अब एक खुला सवाल: क्या 1 से बड़ा हर भिन्न, मिश्र रूप में लिखा जा सकता है? अब 4 बटा 2 लेते हैं — 2 जोड़ियाँ बनती हैं, और कुछ नहीं बचता। 8 बटा 4: 4-4 के 2 सेट, और फिर कुछ नहीं बचता। मिश्र संख्या को एक भिन्नात्मक भाग चाहिए — 1 से कम, पर कुछ तो।

यहाँ लिखने को कुछ है ही नहीं। इसलिए जवाब है: नहीं। 4 बटा 2 बस पूरा अंक 2 है, उसे मिश्र रूप की ज़रूरत नहीं। ऐसा तब होता है, जब ऊपर वाली संख्या पूरे सेटों में ठीक-ठीक बँट जाए। तब भिन्न असल में एक पूरा अंक है। अब उल्टी दिशा: 3 पूरे और 3 बटा 4 को एक अकेले भिन्न में बदलिए। हर पूरी इकाई को खोलिए: हर एक में 1 बटा 4 के 4 टुकड़े हैं।

4 ही क्यों? क्योंकि एक पूरी इकाई में 1 बटा 4 के ठीक 4 टुकड़े होते हैं — यहाँ भी नीचे वाली संख्या ही सेट का आकार है। पूरी इकाइयों से 4 जोड़ 4 जोड़ 4 टुकड़े, और ऊपर से 3 टुकड़े। कुल 15 टुकड़े, हर एक 1 बटा 4 का। यानी 15 बटा 4। हमने हर टुकड़ा गिना। कोई नियम नहीं मान लिया। अब यही गिनती दोबारा लिखिए, पर छोटी करके।

4 जोड़ 4 जोड़ 4 मतलब 4 के 3 सेट, यानी 3 गुणा 4, जो 12 है। फिर बचे हुए 3 जोड़िए: 12 जोड़ 3, यानी 15। फिर से 15 बटा 4। तो पूर्ण भाग गुणा नीचे वाली संख्या, फिर जोड़ ऊपर वाली — ये कोई नया नियम नहीं। ये वही गिनती है, छोटी करके लिखी हुई। अब एक अभ्यास — 3 पूरे और 1 बटा 4। 3 पूरे मतलब 12 टुकड़े, और 1 और — यानी 13 बटा 4।

7 पूरे और 2 बटा 3: 7 पूरे मतलब 21 टुकड़े, और 2 और — यानी 23 बटा 3। 9 पूरे और 4 बटा 9: 81 टुकड़े, और 4 और — यानी 85 बटा 9। हर बार वही तरीका: पूरी इकाइयों को सेटों में खोलो, फिर बचे टुकड़े जोड़ो। 3 पूरे और 1 बटा 6: 18 टुकड़े, और 1 और — यानी 19 बटा 6। 2 पूरे और 3 बटा 11: 22 टुकड़े, और 3 और — यानी 25 बटा 11।

3 पूरे और 9 बटा 10: 30 टुकड़े, और 9 और — यानी 39 बटा 10। इनमें से किसी को भी फिर से सेट में बाँटिए, तो वही मिश्र रूप लौट आता है। दोनों दिशाएँ खुली हैं। एक गलतफ़हमी: कि 1 से बड़ा भिन्न गलत है, और उसे मिश्र रूप में सुधारना ज़रूरी है। दोनों रूप सही हैं। जो रूप उस समय काम आए, वही चुनिए। 7 बटा 2 कदम दिखाता है।

3 पूरे और 1 बटा 2, पूरी इकाइयाँ दिखाता है। और ऊपर वाली संख्या का बड़ा होना बस इतना कहता है: एक इकाई की ज़रूरत से ज़्यादा कदम लिए गए। इससे ज़्यादा कुछ नहीं। तो दोबारा सजाने से क्या हुआ? पूरे सेट अलग निकल आए, और बचा हुआ हिस्सा बगल में रह गया। संख्या एक बार भी नहीं बदली — सिर्फ़ उसे लिखने का तरीका बदला। मिश्र रूप तक जाना हो, तो सेट बनाइए।

एक भिन्न पर लौटना हो, तो सेट खोलिए। दोनों एक ही गिनती के 2 चेहरे हैं। अगली बार: एक ही भिन्न के अलग-अलग नाम।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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