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Chapter 7 · Fractions

Brahmagupta का तरीक़ा: सिर्फ़ एक ही आकार की units जोड़ी जा सकती हैं

Adding and subtracting, and where the notation came from13 मिनट

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4 खानों वाली चॉकलेट बार — एक बच्चा आधा खाता है, दूसरा चौथाई। आपकी आँख 1 और 1 नहीं जोड़ती, ना 2 और 4: वो आधे को 2 चौथाई में काटती है, और गिनती है — 2 और 1, यानी 3 बटा 4। नीचे वाली संख्या नहीं बदलती, क्योंकि वो गिनी जा रही चीज़ का नाम है।

मुख्य idea

भिन्नों को जोड़ना कोई नई क्रिया है ही नहीं — यह गिनना है, और गिनना सिर्फ़ एक जैसी चीज़ों पर चलता है। दो पाँचवें और एक पाँचवाँ मिलकर तीन पाँचवें ठीक उसी वजह से बनते हैं जिस वजह से दो सिक्के और एक सिक्का मिलकर तीन सिक्के बनते हैं। तो "अलग denominators" वाली मशहूर मुश्किल का जोड़ से कोई लेना-देना नहीं: समस्या यह है कि गिनने से पहले दोनों ढेरों को तुलना लायक़ बनाया जाए, और यह वही बदलने वाला क़दम है जिसकी तुलना को पहले से ज़रूरत थी। विधि का जो क़दम सबसे कठिन लगता है, वही अकेला हिस्सा है जो जोड़ नहीं है।

आपको क्या आना चाहिए

  • ऐसी दो भिन्नों को जोड़ना और घटाना जिनकी fractional unit पहले से साझा है, और समझाना कि सिर्फ़ गिनतियाँ ही क्यों बदलती हैं
  • समझाना कि अलग fractional units वाली भिन्नों को जैसी हैं वैसे ही क्यों नहीं जोड़ा जा सकता
  • भिन्नों की किसी जोड़ी को एक साझा fractional unit में बदलना और जोड़ पूरा करना
  • किताब जिस तीन-क़दम वाले तरीक़े को Brahmagupta का बताती है, उसे क्रम से बताना
  • काम करने लायक़ साझा denominator चुनना, और पहचानना कि एक से ज़्यादा चुनाव चलते हैं
  • कहे जाने पर नतीजे को lowest terms तक घटाना, या उसे mixed रूप में फिर से लिखना
  • दोनों हालतों में भिन्नें घटाना, और बताना कि एक ही तरीक़ा दोनों क्रियाओं पर क्यों लागू होता है
  • शब्दों में बताई गई किसी स्थिति को भिन्नों के जोड़ या अंतर में बदलना और वही सवाल हल करना जो पूछा गया था

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
sumदो या ज़्यादा भिन्नों को जोड़ने का नतीजायोग§7.8, p.176 पर छपा
subtractएक भिन्न को दूसरी में से निकालनाघटाना§7.8, p.180 पर छपा
fractional unitवह क़दम जो गिनने से पहले दोनों भिन्नों को साझा करना पड़ता हैइकाई भिन्न§7.1, p.152 पर छपा; पूरे section की धुरी
common denominatorवह साझा नीचे वाली संख्या जिसमें दोनों भिन्नें फिर से लिखी जाती हैंउभयनिष्ठ हर§7.8, p.178 पर छपा
common multipleऐसी संख्या जिसे दोनों नीचे वाली संख्याएँ भाग देती हैं, वह साझा unit ढूँढ़ने के लिए इस्तेमालउभयनिष्ठ गुणज§7.8, p.178 पर छपा
smallest common multipleऐसी सबसे छोटी संख्या, जो हल को छोटा रखती हैलघुत्तम समापवर्त्य§7.8, p.179 पर छपा
equivalent fractionsफिर से लिखे गए रूप जो गिनना मुमकिन बनाते हैंतुल्य भिन्न§7.6, p.164 पर छपा; पूरे §7.8 में इस्तेमाल
lowest termsजवाब का सबसे छोटा नामनिम्नतम पद§7.6, p.172 पर छपा; §7.8, p.179 में नतीजों पर लागू
rectangular stripरंगी हुई पट्टी वाला model जिससे section हिसाब करता हैआयताकार पट्टी§7.8, p.176 पर छपा
Brahmaguptaसातवीं सदी के भारतीय गणितज्ञ, जिनके नाम पर यह तरीक़ा हैब्रह्मगुप्त§7.8, p.178 और §7.9, p.182 पर छपा
like fractionsउन भिन्नों का, दूसरी जगहों पर आम नाम जिनका denominator पहले से साझा हैसमान भिन्नयहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में नहीं छपा

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash का हिंदी संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल हुई सामग्री में नहीं है, इसलिए ये cells हिंदी छपाई से नहीं मिलाए गए — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "ऊपर वाली जोड़ो और नीचे वाली जोड़ो।" इस topic की सबसे आम ग़लती। पट्टी वाला model इसे देखते ही ख़त्म कर देता है: नीचे वाली संख्याएँ जोड़ने से blocks का आकार बदल जाता है, जबकि चित्र में ऐसा कुछ नहीं होता। ग़लत जवाब को number line पर ग़लत जगह पर उतरते दिखाओ।
  • "अलग denominators मतलब सवाल हल ही नहीं हो सकता।" इसका मतलब है एक तैयारी वाला क़दम। साफ़-साफ़ कहो कि जोड़ ख़ुद कभी नहीं बदलता।
  • "दोनों नीचे वाली संख्याओं का गुणनफल ही इस्तेमाल करना ज़रूरी है।" p.179 वाली जोड़ी कुछ और दिखाती है, और किताब वहाँ लघुत्तम समापवर्त्य इस्तेमाल करती है। कोई भी उभयनिष्ठ गुणज चलता है; गुणनफल वह है जो बिना सोचे हमेशा मौजूद रहता है।
  • "जवाब lowest terms में होना ही चाहिए।" किताब p.179 पर चाहें तो कहती है। घटाना सफ़ाई है, जोड़ का हिस्सा नहीं। बताओ कि व्याख्या कौन-सा चलन अपना रही है और उसी पर टिके रहो।
  • "घटाव एक अलग तरीक़ा है।" यह वही तरीक़ा है जिसमें एक चिह्न बदला है, इसीलिए किताब इसे नई सामग्री नहीं, विस्तार के रूप में लाती है।
  • "'A को B में से घटाओ' का मतलब A minus B है।" p.182 के items जान-बूझकर इसी तरह लिखे गए हैं। हर class में कोई न कोई इनमें से तीन को उल्टा कर देगा।
  • "1 से बड़ा जवाब मतलब ग़लती।" p.177 पर चार सातवें और छह सातवें का जोड़ ठीक ऐसी ही हालत है और किताब उसे दोनों लिखावटों में छापती है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 7.8 (1) Q1, Figure it Out · 7.8 (1) Q2, Figure it Out · 7.8 (1) Q3, Figure it Out · 7.8 (2) Q1, Figure it Out · 7.8 (2) Q2, Figure it Out · 7.8 (2) Q3, Figure it Out · 7.8 (3) Q1, Figure it Out · 7.8 (3) Q2, Figure it Out · 7.8 (3) Q3

पूरा transcript1,886 शब्द

एक चॉकलेट बार, 4 बराबर खानों वाली, और उसमें से खाते 2 बच्चे। एक बच्चा बार का 1 बटा 2 खाता है, और दूसरा 1 बटा 4। बार में 4 बराबर खाने हैं। तो आधा यानी 2 खाने, और चौथाई यानी 1 खाना। दोनों ने मिलकर बार का कितना हिस्सा खाया? आपकी आँख 1 और 1 नहीं जोड़ती, ना ही 2 और 4। वो रुकती है, जब तक टुकड़े एक आकार के न हो जाएँ, और फिर गिनती है।

यही इस पूरे वीडियो की बात है। बाकी सब उसी का विस्तार है। आधा और चौथाई, अलग-अलग आकार के टुकड़े हैं। इसलिए अभी गिनने लायक कुछ नहीं है। आधे को बीच से काटिए। अब वो 2 चौथाई है — चॉकलेट उतनी ही, बस छोटे टुकड़ों में। अब बार का हर टुकड़ा 1 बटा 4 का है। एक बच्चे के 2 चौथाई, दूसरे का 1 चौथाई। 2 और 1 मिलकर 3।

यानी पूरी चॉकलेट का 3 बटा 4। गिनते समय चौथाई का आकार ज़रा भी नहीं बदला। बदली सिर्फ़ गिनती। यहीं एक दूसरा सवाल भी है: बार का कितना हिस्सा बचा? 4 खानों में से 1 खाना — यानी 1 बटा 4। आपने पूरी चॉकलेट, यानी 4 बटा 4, में से 3 बटा 4 हटाया। ये घटाना है, और आपने बिना सिखाए कर लिया। वही तरीका, उल्टी दिशा में: टुकड़े एक आकार के, फिर गिनती।

इसलिए भिन्नों को जोड़ना और घटाना, 2 अलग विषय नहीं, एक ही विषय है। 2 बटा 5, यानी 5 खानों वाली पट्टी में 2 रंगे खाने। और 1 बटा 5, यानी 1 रंगा खाना। दोनों को साथ खिसकाइए: 3 रंगे खाने। यानी 3 बटा 5। नीचे वाली संख्या नहीं हिली, और हिलनी भी नहीं चाहिए। वो बताती है कि खाने किस आकार के हैं, और किसी खाने का आकार बदला ही नहीं।

2 पाँचवें और 1 पाँचवाँ मिलकर 3 पाँचवें — ठीक वैसे ही, जैसे 2 सेब और 1 सेब मिलकर 3 सेब। नीचे वाली संख्या, गिनी जा रही चीज़ का नाम है। ये रटने का नियम नहीं, तस्वीर खुद यही करती है। अब 4 बटा 7 जोड़ 6 बटा 7। खाने एक आकार के हैं, तो सीधे गिनिए: 4 और 6 मिलकर 10। यानी 10 बटा 7। पर पूरी चॉकलेट तो सिर्फ़ 7 बटा 7 है।

इसलिए 10 बटा 7, 1 पूरी चॉकलेट से ज़्यादा है। 10 बटा 7, या 1 पूरा और 3 बटा 7 — एक ही संख्या, 2 तरह से लिखी हुई। 1 से बड़ा जवाब कोई ख़तरे का निशान नहीं है। दोनों हिस्सों ने बस एक पूरी चॉकलेट भर दी, और बाकी दूसरी चॉकलेट में चला गया। 7 खानों वाली एक चॉकलेट में 10 खाने नहीं समा सकते। 7 खाने एक चॉकलेट भर देते हैं, और 3 अगली चॉकलेट में जाते हैं।

यही जोड़ number line पर चलकर देखिए, 1 बटा 7 के कदमों में। 4 कदम, और आप 4 बटा 7 पर हैं। अब 6 कदम और। कुल मिलाकर 7वाँ कदम ठीक 1 पर पड़ता है, और आप 10 बटा 7 पर जाकर रुकते हैं। 1 के आगे, 3 कदम और — फिर वही, 1 पूरा और 3 बटा 7। तो भिन्नों को जोड़ना मुश्किल कब होता है? सिर्फ़ तब, जब खाने अलग-अलग आकार के हों।

1 बटा 4 और 1 बटा 3: दोनों पट्टियाँ आमने-सामने रखिए। 1 बटा 4 का खाना और 1 बटा 3 का खाना, एक चीज़ नहीं हैं। इन्हें साथ गिनना ईमानदारी नहीं होगी। 1 बटा 3 वाला खाना बड़ा है, क्योंकि पूरी चॉकलेट 4 नहीं, सिर्फ़ 3 खानों में भर जाती है। मुश्किल जोड़ने में नहीं है। मुश्किल है, गिनने से पहले दोनों ढेरों को एक जैसा बनाने में। यहाँ सबसे आम गलती: ऊपर वाली संख्याएँ जोड़ो, और नीचे वाली भी।

1 जोड़ 1, बटा 4 जोड़ 3 — यानी 2 बटा 7। पर 2 बटा 7 तो 1 बटा 3 से भी छोटा है — उन्हीं 2 चीज़ों में से एक से, जिनसे हमने शुरू किया। कुछ जोड़ने से कोई मात्रा घट नहीं सकती। वो जो भी था, जोड़ नहीं था। number line पर, 2 बटा 7, 1 बटा 3 के बाईं ओर पड़ता है — उसी संख्या से पीछे, जिसमें हमने कुछ जोड़ा था।

नीचे वाली संख्याएँ जोड़ने का मतलब, खानों का आकार बदल देना — और तस्वीर में ऐसा कुछ हुआ ही नहीं। इलाज वही है, जो तुलना करते समय सीखा था: ऐसा कदम ढूँढिए, जिसमें दोनों लिखे जा सकें। चौथाई और तिहाई, दोनों 1 बटा 12 के खानों में समा जाते हैं — क्योंकि 4 गुणा 3 बराबर 12। बार में 12 खाने हों, तो उनमें से 3 मिलकर एक चौथाई बनाते हैं, और 4 मिलकर एक तिहाई।

1 बटा 4 बन जाता है 3 बटा 12, और 1 बटा 3 बन जाता है 4 बटा 12। अब खाने मिलते हैं, तो गिनिए: 3 और 4 मिलकर 7। यानी 7 बटा 12। और 7 बटा 12, 1 बटा 4 और 1 बटा 3, दोनों से बड़ा है — जैसा किसी जोड़ को होना चाहिए। इसे क्रम से लिखा जाए, तो ये 3 कदम हैं। पहला: दोनों नीचे वाली संख्याओं का कोई साझा गुणज लेकर, एक साझा खाने का आकार ढूँढिए।

दूसरा: गिनतियाँ जोड़िए, और नीचे वाली संख्या वही रखिए। तीसरा: चाहें, तो जवाब को छोटा कर लीजिए। ध्यान दीजिए, सिर्फ़ पहला कदम जोड़ नहीं है। वो तुलना वाला नाम बदलना है। 2 और जोड़, क्योंकि असली समझ साझा खाना चुनने में है। 2 बटा 3 जोड़ 1 बटा 5: तिहाई और पाँचवें, पहली बार 15 पर मिलते हैं — और 15 ही दोनों का गुणा भी है। 10 बटा 15 जोड़ 3 बटा 15 — बराबर 13 बटा 15।

यहाँ गुणा और सबसे छोटा विकल्प, एक ही संख्या निकले। अब 1 बटा 6 जोड़ 1 बटा 3। नीचे वाली संख्याएँ गुणा करें तो 18 आता है, और 1 बटा 18 के खाने चल जाएँगे। पर दोबारा देखिए: 6 तो पहले से 3 से पूरा बँटता है। तो 1 बटा 6 के खाने, दोनों को सँभाल लेते हैं। और 1 बटा 6 को बदलना ही नहीं पड़ता। 1 बटा 6 जोड़ 2 बटा 6, बराबर 3 बटा 6।

छोटी संख्याएँ, कम लिखना। कोई भी साझा गुणज चलेगा। गुणा बस वो है, जो बिना सोचे हमेशा मिल जाता है। 3 बटा 6 का एक छोटा नाम भी है। 3 और 6, दोनों 3 से बँटते हैं, तो ये 1 बटा 2 है। number line पर देखिए — नाम बदलते समय बिंदु अपनी जगह से नहीं हिलता। लंबा रास्ता, 18 वाला, देता 3 बटा 18 जोड़ 6 बटा 18, यानी 9 बटा 18।

और वो भी 1 बटा 2 है। रास्ता अलग, लिखावट अलग, पर line पर बिंदु वही। छोटा करना सफ़ाई है, जोड़ पूरा करने का हिस्सा नहीं। जोड़ तो पहले ही हो चुका था। इस वीडियो में, जो जवाब आसानी से छोटा हो, उसे छोटा करेंगे। अब घटाना — इसमें कहने को कम है, क्योंकि तरीका वही है। 6 बटा 7, यानी 7 में से 6 रंगे खाने। इनमें से 4 हटा दीजिए।

बचे 2 खाने — यानी 2 बटा 7। नीचे वाली संख्या पूरे समय 7 ही रही — उसी वजह से, जो जोड़ में थी। किसी खाने का आकार नहीं बदला। 5 बटा 8 में से 3 बटा 8 घटाएँ, तो 2 बटा 8 बचता है — जो छोटा होकर 1 बटा 4 बनता है। 7 बटा 9 में से 5 बटा 9 घटाएँ, तो 2 बटा 9। ये छोटा नहीं होता — 2 और 9 में कोई साझा गुणनखंड नहीं।

और 10 बटा 27 में से 1 बटा 27 घटाएँ, तो 9 बटा 27 — यानी 1 बटा 3। घटाना एक सवाल है, छोटा करना दूसरा। दोनों को अलग रखिए। जब आकार अलग हों, तो पहला कदम पता है। जैसे 3 बटा 4 में से 2 बटा 3। 1 बटा 12 के खाने, दोनों को सँभालते हैं। पर 3 बटा 4 को 3 से, और 2 बटा 3 को 4 से ही क्यों गुणा करें?

क्योंकि 4 गुणा 3 बराबर 12, तो 3 बटा 4 बनता है 9 बटा 12। और 3 गुणा 4 बराबर 12, तो 2 बटा 3 बनता है 8 बटा 12। 9 में से 8 गए, बचा 1। यानी 1 बटा 12। बहुत छोटा जवाब — और होना भी चाहिए, क्योंकि 3 बटा 4 और 2 बटा 3 लगभग बराबर हैं। कदम वही हैं, जो जोड़ के थे — बस एक चिह्न बदला है।

साझा खाना ढूँढिए, फिर नीचे वाली संख्या रखते हुए गिनती घटाइए, और चाहें तो छोटा कीजिए। ये कभी नया तरीका था ही नहीं। इसलिए इसके लिए कोई नया नियम नहीं चाहिए। यहाँ शब्दों का क्रम अहम है — 1 बटा 4 को 5 बटा 8 में से घटाइए। शुरुआत 5 बटा 8 से होती है। यानी 5 बटा 8 घटा 1 बटा 4। इस वाक्य में, 'में से' वाली संख्या से शुरू करते हैं, और 'को' वाली संख्या हटाई जाती है।

1 बटा 8 के खानों में: 5 बटा 8 घटा 2 बटा 8, बराबर 3 बटा 8। उल्टा पढ़ें, तो 1 बटा 4 ही 5 बटा 8 से छोटा है — उसमें से 5 बटा 8 निकल ही नहीं सकता। आख़िर में, वो सवाल जो वाक्यों के अंदर छिपे आते हैं। एक पेंटर, एक रंग का 2 बटा 3 लीटर, दूसरे रंग के 3 बटा 4 लीटर में मिलाता है।

1 बटा 12 में: 8 जोड़ 9, बराबर 17। यानी 17 बटा 12 लीटर। मतलब 1 लीटर, और 5 बटा 12 लीटर ऊपर से। 17 बारहवें हिस्सों में से 12 मिलकर 1 लीटर बनाते हैं, और 5 बचते हैं। 2 लोग, 1 मीटर लंबी किनारी के लिए रिबन खरीदते हैं: एक 2 बटा 5 मीटर, दूसरा 3 बटा 4 मीटर। 1 बटा 20 में: 8 जोड़ 15, बराबर 23। यानी 23 बटा 20।

23 बटा 20, 20 बटा 20 यानी 1 मीटर से ज़्यादा है। तो हाँ, रिबन काफ़ी है — और 3 बटा 20 मीटर बच भी जाता है। अगर कुल 20 बटा 20 से कम आता, तो जवाब होता 'नहीं' — जोड़ चाहे कुछ भी हो। जो सवाल पूछा गया है, उसका जवाब दीजिए — सिर्फ़ अंदर छिपे जोड़ का नहीं। स्कूल 7 बटा 10 किलोमीटर दूर है। 1 बटा 2 किलोमीटर साइकिल से, और बाकी पैदल।

1 बटा 10 में: 1 बटा 2 बराबर 5 बटा 10। तो 7 बटा 10 घटा 5 बटा 10, बराबर 2 बटा 10। 2 बटा 10 छोटा होकर 1 बटा 5 बनता है। यानी 1 बटा 5 किलोमीटर पैदल। जाँचिए: 5 बटा 10 साइकिल, और 2 बटा 10 पैदल — मिलकर स्कूल तक के पूरे 7 बटा 10। एक आख़िरी जाल: 2 धावक, एक चक्कर में 10 बटा 3 मिनट और 13 बटा 4 मिनट लेते हैं।

कौन तेज़ है? 1 बटा 12 में: 40 बटा 12, बनाम 39 बटा 12। 13 बटा 4 कम समय है। और जिसका समय कम, वही तेज़ धावक है। समय से नापी गई दौड़ में, बड़ी संख्या हारती है — उल्टा सोचना यहीं जाल है। कितना तेज़, ये 40 घटा 39 बताता है: 1 खाना, यानी 1 बटा 12 मिनट। भिन्नों को जोड़ना और घटाना, असल में गिनती है। और गिनती सिर्फ़ एक जैसी चीज़ों की होती है।

अलग नीचे वाली संख्याओं का मतलब, बस एक तैयारी वाला कदम: साझा खाने में नाम बदलना। जो कदम सबसे मुश्किल दिखता है, वही अकेला ऐसा है, जो जोड़ नहीं है। और जो जवाब 1 से आगे चला जाए, या छोटा हो सके, वो भी वही जोड़ है — बस अलग तरह से लिखा हुआ। अगली बार: भिन्न लिखने के ये चिह्न आए कहाँ से।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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