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Chapter 1 · Real Numbers

किसी composite number का prime factorisation एक ही क्यों होता है, कोई दूसरा नहीं

Factorising into primes15 मिनट

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prime संख्याओं का गुणा करना आसान है, उसमें कुछ ग़लत नहीं हो सकता। असली सवाल उल्टी दिशा में है: क्या एक संख्या को prime में दो अलग तरीकों से तोड़ा जा सकता है?

मुख्य idea

कोई composite number primes में टूटता है, यह Theorem 1.1 का सस्ता आधा हिस्सा है; यह किसी भी factor tree पर होता हुआ दिख जाता है। जो आधा हिस्सा theorem को उसका नाम दिलाता है, वह यह है कि हर बार वही primes निकलते हैं, क्योंकि यही बात एक नकारात्मक दावे की इजाज़त देती है — अगर कोई prime एक factorisation में कभी नहीं आता, तो वह हर factorisation से ग़ायब है, इसलिए आप बेझिझक कह सकते हैं कि संख्या उस prime से विभाज्य नहीं है। Example 1 ठीक इसी ढाँचे का है, और Exercise 1.1 Q5 भी — अगर कहीं कोई दूसरा, अलग factorisation छिपा होता तो इनमें से कोई भी सुरक्षित न होता। chapter uniqueness पर उलटी दिशा में भी टिकता है, और व्याख्या को सिर्फ़ इनकार वाली दिशा नहीं, दोनों दिशाएँ दिखानी चाहिए: p. 4 पर बताया गया HCF और LCM तक पहुँचने का prime factorisation वाला रास्ता indices से एक संख्या खड़ी करता है, और Theorem 1.2 का प्रमाण, p. 6 पर, दो बार यह निष्कर्ष निकालता है कि कोई prime दी गई सूची में से एक है। Uniqueness ही वह चीज़ है जो किसी factorisation को ऐसी चीज़ बनाती है जिससे तथ्य पढ़े जा सकें; divisibility को ख़ारिज करना उन तथ्यों में सबसे चौंकाने वाला है, इकलौता नहीं।

आपको क्या आना चाहिए

  • primes का एक चुना हुआ समूह, दोहराव के साथ, गुणा करके composite numbers बनाना, और समझाना कि सिर्फ़ यह प्रक्रिया उलटी दिशा को कभी सिद्ध क्यों नहीं करती
  • किसी बड़ी संख्या का factor tree बनाना और उसकी पत्तियों को prime घातों के गुणनफल में इकट्ठा करना
  • उसी संख्या के लिए एक दूसरा, अलग ढंग से शाखाओं वाला tree बनाना और देखना कि पत्तियों का समूह नहीं बदला
  • Theorem 1.1 क्या कहता है यह बताना, अस्तित्व (existence) वाले दावे को अद्वितीयता (uniqueness) वाले दावे से अलग करके, और यह कहना कि किसी दिए गए तर्क में दोनों में से कौन-सा काम कर रहा है
  • factorisation को chapter के ascending-prime, combined-powers वाले रूप में लिखना, और समझाना कि order तय कर देने से theorem के बच निकलने का इकलौता रास्ता क्यों बंद हो जाता है
  • यह तर्क देना कि कोई बताई गई संख्या अंक शून्य पर ख़त्म नहीं हो सकती, यह दिखाकर कि उसके factorisation में prime 5 ग़ायब है
  • समझाना कि "primes का गुणनफल जमा एक साझा factor" जैसा expression composite क्यों है, पूरा मान पहले निकाले बिना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
prime1 से बड़ी पूर्ण संख्या जिसके पूर्ण-संख्या भाजक सिर्फ़ वह ख़ुद और 1 होंअभाज्य संख्या§1.2, p. 2 में जगह-जगह छपा
composite number1 से बड़ी पूर्ण संख्या जो prime नहीं है, इसलिए उसका अपने और 1 के अलावा भी कोई भाजक हैभाज्य संख्या§1.2, p. 2 में छपा
Fundamental Theorem of Arithmeticवह परिणाम कि composite number primes में टूटता है, और जिन primes में वह टूटता है उनका समूह तय हैअंकगणित की आधारभूत प्रमेय§1.2 के शीर्षक और Theorem 1.1 के रूप में छपा, pp. 2–3
prime factorisationसंख्या का वह रूप जब उसका हर factor prime तक तोड़ दिया गया होअभाज्य गुणनखंडन§1.2, p. 3 में छपा
factor treeशाखाओं वाला चित्र जो संख्या को तोड़ता है, फिर हर factor को दोबारा तोड़ता है, जब तक सिरों पर सिर्फ़ primes न बचेंगुणनखंड वृक्ष§1.2, p. 2 में छपा, tree ख़ुद artwork की तरह बना हुआ
powers of primesवही factorisation, हर दोहराए गए prime को एक index के नीचे इकट्ठा करकेअभाज्य संख्याओं की घातें§1.2, p. 3 में छपा
conjectureऐसा कथन जो उदाहरणों के आधार पर सच माना जाता है पर अभी सिद्ध नहीं हुआप्राक्कल्पना§1.2, p. 3 में छपा, Theorem 1.1 कहे जाने से पहले की अवस्था के लिए
ascending orderकिसी factorisation के primes को सबसे छोटे से शुरू करके लिखने की परिपाटीआरोही क्रम§1.2, p. 4 में छपा
natural numberगिनती की संख्या, 1, 2, 3, और आगेप्राकृत संख्या§1.2, p. 2 में छपा
canonical formfactorisation लिखने का एक तय तरीका, ताकि दो factorisations की तुलना चिह्न-दर-चिह्न की जा सकेमानक रूपइस पाठ का शब्द; chapter p. 4 पर ऐसा रूप तय करता है, पर उसे नाम नहीं देता
multisetऐसा समूह जिसमें दोहराव गिने जाते हैं, इसलिए तीन 2 और दो 2 अलग हैंबहुसमुच्चयइस पाठ की शब्दावली; इस chapter में नहीं छपा

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। इस पाठ्यपुस्तक का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इस column को standard चलन मानें, हिंदी संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "theorem बस इतना कहता है कि संख्याओं के factors बनाए जा सकते हैं।" उसका आधा हिस्सा यही कहता है, और वह आधा किसी भी tree पर दिख जाता है। असली काम वाला clause कहता है कि कहीं कोई दूसरा, असहमत factorisation छिपा नहीं है। कथन को उसके दो दावों में बाँटिए और दोनों को अलग रखिए।
  • "अलग-अलग factor trees अलग जवाब देते हैं।" जो students 32760 को 360 × 91 से शुरू करते हैं, 2 × 16380 से नहीं, वे अक्सर अलग नतीजे की उम्मीद करते हैं और चौंककर सोचने लगते हैं कि उनसे ग़लती हुई। दोनों trees को साथ-साथ चलाइए ताकि सहमति ऐसी चीज़ बने जिसे उन्होंने होते हुए देखा।
  • "3803 × 3607 एक prime factorisation है।" तब तक नहीं, जब तक किसी ने यह न जाँच लिया हो कि दोनों में से कोई factor आगे नहीं टूटता। chapter यह जाँच पाठक को सौंपने के बारे में असामान्य रूप से साफ़ है।
  • "factorisation unique है, बस।" सिर्फ़ तब, जब order तय कर दिया जाए। 2 × 3 × 5 × 7 और 7 × 5 × 3 × 2 दो अलग strings हैं और factorisation एक, और ठीक इसीलिए chapter ascending order तय करता है।
  • "4ⁿ कभी 0 पर ख़त्म नहीं होता, क्योंकि पहली छह घातें जाँचकर देख ली गई हैं।" table में दिखा pattern शक करने की वजह है, दावा करने की नहीं। प्रमाण यह है कि prime 5 उपलब्ध ही नहीं है, और यह हर n को एक साथ ढक लेता है।
  • "1 prime है, इसलिए वह factorisation में आ सकता है।" 1 को आने देने से आप किसी भी factorisation में जितने चाहें उतने अतिरिक्त factors भर सकते, और uniqueness उसी पल ख़त्म हो जाती। 1 को बाहर रखने की ढाँचागत वजह यही है।

Worked answers: Exercise 1.1 · Exercise 1.2 · this video explains Exercise 1.1 Q1, Exercise 1.1 Q5, Exercise 1.1 Q6

पूरा transcript2,469 शब्द

पूरी संख्याओं के साथ एक काम बहुत आसान है, और उसी का उल्टा काम काफ़ी मुश्किल। आसान काम ये है कि कुछ prime संख्याएँ उठाइए, और उन्हें आपस में गुणा कर दीजिए। जैसे 2, 3 और 5 का गुणा करने पर 30 मिलता है, और इस दिशा में कुछ भी ग़लत नहीं हो सकता। उल्टा काम ये है कि कोई संख्या उठाइए, और उसे तोड़कर वापस prime संख्याओं तक पहुँचिए।

जैसे 30 को तोड़ें तो फिर से 2, 3 और 5 मिलते हैं, और सारी दिलचस्प बात इसी दिशा में छिपी है। यहाँ सवाल ये नहीं है कि किसी संख्या को prime संख्याओं में तोड़ा जा सकता है या नहीं, वो तो आसान हिस्सा है। असली सवाल ये है कि क्या एक ही संख्या को अलग अलग तरीकों से तोड़ने पर हाथ में अलग अलग prime आ सकते हैं? इसका जवाब है कि ऐसा कभी नहीं होता, और यही बात आगे चलकर बहुत बड़ा काम करती है।

पहले आसान दिशा को थोड़ा ध्यान से देखते हैं, एक तरीके के साथ। मान लीजिए आपके पास prime संख्याओं का एक भंडार है, जिसमें 2, 3, 7, 11 और 23 रखे हैं। इनमें से कोई भी संख्या उठाइए, जितनी बार चाहें उतनी बार, और सबका गुणा कर दीजिए। जैसे 7, 11 और 23 का गुणा करें, तो 1771 मिलता है। इसके आगे एक 3 और लगा दें, तो 5313 बनता है।

और उसके आगे एक 2 और लगाने पर 10626 बनता है। भंडार की हर संख्या लेना ज़रूरी नहीं है, और किसी एक संख्या को एक से ज़्यादा बार भी लिया जा सकता है। जैसे 2 की घात 3, गुणा 3, गुणा 7 की घात 3, इन सबसे 8232 बनता है। इसमें भंडार की 5 संख्याओं में से सिर्फ़ 3 काम आईं, और उन 3 में से 2 संख्याएँ एक से ज़्यादा बार आईं।

इसीलिए इसे भंडार कहा, ये कोई checklist नहीं है जिसका हर खाना भरना ज़रूरी हो। और इस मशीन से बनी हर संख्या पहले से टूटी हुई आती है, क्योंकि आपने उसे उसके अपने टुकड़ों से ही बनाया है। अब इस मशीन को उल्टा घुमाते हैं, और उसे prime संख्याओं की जगह एक पूरी संख्या देते हैं। पहले छोटा सवाल, क्या कोई ऐसी composite संख्या है जिस तक prime संख्याओं का कोई गुणनफल पहुँच ही न पाए?

ऐसी कोई संख्या नहीं है, और इसकी वजह समझना ज़रा भी मुश्किल नहीं। कोई भी composite संख्या लीजिए, जैसे 60, तो composite होने का मतलब ही है कि वो छोटी संख्याओं में टूटती है, जैसे 6 और 10 के गुणनफल में। अगर कोई टुकड़ा अब भी composite है तो उसे फिर तोड़िए, 6 से 2 और 3 मिलते हैं, और 10 से 2 और 5 मिलते हैं। टुकड़े हर बार छोटे होते जाते हैं, इसलिए ये तोड़ना हमेशा नहीं चल सकता, और ये वहीं रुकता है जहाँ हाथ में सिर्फ़ prime बचें।

तो हर composite संख्या prime संख्याओं में टूटती है, ये बात पक्की है, और इसमें कोई मुश्किल नहीं थी। असली मुश्किल सवाल इसके नीचे छिपा हुआ है, और अब उसी की बारी है। अब एक बड़ी संख्या लेते हैं, 32760, और उसे सच में तोड़कर देखते हैं। ये संख्या सम है, इसलिए इसमें से एक 2 निकलता है, और बची हुई संख्या 16380 है। ये भी सम है, तो एक और 2 निकलता है, और अब हाथ में संख्या 8190 है।

ये फिर से सम है, तो तीसरा 2 निकलता है, और आगे की संख्या 4095 है। अब 4095 विषम है, इसलिए 2 का निकलना यहीं रुक जाता है। पर इसके अंकों का जोड़ 18 है, और 18 में 3 पूरा जाता है, इसलिए 3 निकलता है, और बची हुई संख्या 1365 है। अब 1365 के अंकों का जोड़ 15 है, तो एक और 3 निकलता है, और अब हाथ में संख्या 455 है।

संख्या 455 के आख़िर में 5 है, इसलिए एक 5 निकलता है, और आगे की संख्या 91 है। और 91 को तोड़ें तो 7 गुणा 13 मिलता है। अब रुक जाइए, क्योंकि इस पेड़ के हर सिरे पर अब एक prime संख्या है। पेड़ के सिरों पर ये संख्याएँ हैं, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 7 और 13, कुल मिलाकर 8 संख्याएँ, और सब prime हैं। अब यही काम फिर से कीजिए, पर इस बार जानबूझकर अलग तरीके से।

पहले कदम पर कोई मजबूरी नहीं थी, हर बार सबसे छोटा prime निकालना बस एक आदत थी, कोई नियम नहीं। इस बार ध्यान दीजिए कि 32760 बराबर 360 गुणा 91 है, और वहीं से शुरू कीजिए। अब 360 को तोड़ें तो 8 गुणा 45 मिलता है, फिर 8 से 2 गुणा 4, और 4 से 2 गुणा 2 मिलता है। उधर 45 से 9 गुणा 5 मिलता है, और 9 से 3 गुणा 3 मिलता है।

और 91 पहले की तरह इस बार भी 7 गुणा 13 ही देता है। पहला कदम अलग था, और नीचे उतरने का पूरा रास्ता भी अलग रहा। रास्ते में ये पेड़ 7 संख्याओं पर रुका, और उनमें से 5 संख्याएँ पहले पेड़ में कहीं भी नहीं थीं। फिर भी सिरों पर वही संख्याएँ हैं, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 7 और 13, न एक कम, न एक ज़्यादा। वही 8 संख्याएँ मिलीं, बस वहाँ तक पहुँचने का रास्ता बिल्कुल अलग था।

पेड़ों का यूँ मिल जाना अच्छा लगता है, पर अकेले इससे कोई बड़ी बात साबित नहीं होती। आप पूछ सकते हैं कि कोई तीसरा पेड़, जिसे किसी ने बनाया ही नहीं, कहीं अलग जवाब तो नहीं देगा? तो यहीं मत रुकिए, और इस संख्या का हर मुमकिन पेड़ बनाइए। सबसे ऊपर इस संख्या को 47 अलग तरीकों से खोला जा सकता है, यानी 1 से बड़ी संख्याओं की 47 जोड़ियाँ, जिनका गुणनफल यही संख्या है।

फिर हर टुकड़े को भी हर उस तरीके से खोलिए जिसकी वो इजाज़त देता है, बिल्कुल नीचे तक। इस पूरे परिवार को गिनें तो इस एक संख्या के 15015 अलग अलग factor trees बनते हैं। इनमें से हर एक पेड़ बनाया गया, और हर एक पेड़ के सिरे पढ़े गए। और हर पेड़, बिना किसी अपवाद के, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 7 और 13 पर ही ख़त्म होता है।

ज़्यादातर पेड़ नहीं, सिर्फ़ वो पेड़ नहीं जो आप आम तौर पर बनाते, बल्कि सारे के सारे। अब ये कोई इत्तफ़ाक़ नहीं रहा, ये गिनकर देखी हुई बात है। अब जो दावा सामने आया है, वो असल में एक नहीं बल्कि 2 दावे हैं, जो एक साथ चलते हैं। पहला दावा ये है कि हर composite संख्या को prime संख्याओं के गुणनफल की तरह लिखा जा सकता है। दूसरा दावा ये है कि ऐसा सिर्फ़ एक ही तरह से किया जा सकता है।

पहला दावा किसी भी पेड़ पर होता हुआ दिख जाता है, और उसकी वजह हमने एक ही साँस में समझ ली थी। दूसरा दावा ही मुश्किल है, और असली ताक़त भी उसी में छिपी है। इन दोनों को मिलाकर Fundamental Theorem of Arithmetic कहते हैं, और यहाँ fundamental शब्द सजावट के लिए नहीं है। पूरी संख्याओं के साथ आप जो कुछ भी करेंगे, उसका लगभग सब कुछ दूसरे दावे पर टिका होता है, भले ही उसका ज़िक्र न हो।

इसलिए हर बार ये बता पाना ज़रूरी है कि आप इन दोनों में से कौन सा दावा इस्तेमाल कर रहे हैं। यहाँ एक ढीला धागा है, और उसे बाँधना ज़रूरी है, वरना ये theorem सच ही नहीं रहता। इन 8 संख्याओं को 3360 अलग अलग क्रमों में लिखा जा सकता है। कभी छोटे से बड़े क्रम में, कभी बड़े से छोटे क्रम में, और कभी 13 को बीच में रखकर।

तो क्या ये 3360 लिखावटें अलग अलग factorisations मानी जाएँगी? बिल्कुल नहीं, ये एक ही factorisation है, जिसे 3360 तरीकों से लिखा गया है। इसलिए तय कर लीजिए कि इन्हें हमेशा छोटे से बड़े क्रम में ही लिखा जाएगा। इन 3360 क्रमों में से सिर्फ़ 1 क्रम ऐसा है जो छोटे से बड़े की तरफ़ जाता है, और सब वही लिखते हैं। फिर दोहराई गई संख्याओं को घात में समेट लीजिए, 2 की घात 3, गुणा 3 की घात 2, गुणा 5, गुणा 7, गुणा 13, और यही इसका पक्का रूप है।

अब किसी संख्या का हर factorisation बस symbols की एक कतार है, और ऐसी कतारों को symbol दर symbol मिलाया जा सकता है। आपको आज़ादी सिर्फ़ क्रम की मिली थी, और उसे तय कर देना ही uniqueness को कहने लायक बनाता है। एक और धागा भी है, और उसे खींचने से एक ऐसा नियम समझ आता है जो मनमाना सा लगता है। आपको बताया गया होगा कि संख्या 1 prime नहीं है, पर शायद ये नहीं बताया गया कि ऐसा क्यों है।

मान लीजिए संख्या 1 को भी factorisation के अंदर आने की इजाज़त दे दी जाए। जैसे संख्या 12 को 2 गुणा 2 गुणा 3 लिखा जाता है। पर तब 1 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 3 वाली कतार भी 12 का factorisation बन जाएगी। और 1 गुणा 1 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 3 वाली कतार भी, और ये सिलसिला कभी ख़त्म नहीं होगा। जब कतार की लंबाई ज़्यादा से ज़्यादा 4 हो तो 12 की 2 कतारें बनती हैं, लंबाई 5 पर 3 कतारें, और लंबाई 6 पर 4 कतारें।

तब uniqueness सिर्फ़ कमज़ोर नहीं पड़ती, वो उतनी बुरी तरह टूटती जितना आप उसे तोड़ना चाहें। इसलिए 1 को बाहर रखा जाता है, और ठीक इसी theorem को बचाने के लिए। हर संख्या इतनी आसानी से नहीं खुलती, कुछ संख्याएँ अड़ जाती हैं। अब वो संख्या लीजिए जो 1 से 9 तक के अंकों को क्रम से लिखने पर बनती है। इसके अंकों का जोड़ 45 है, और 45 में 9 पूरा जाता है, इसलिए एक 9 बाहर निकलता है।

जो बचता है वो 8 अंकों की एक संख्या है, और वो 3803 गुणा 3607 के बराबर है। तो लगता है जवाब मिल गया, 3 की घात 2, गुणा 3803, गुणा 3607 वाली कतार। पर अभी ये prime factorisation नहीं है, और इसकी वजह पर ध्यान देना ज़रूरी है। किसी ने अब तक जाँचा ही नहीं है कि 3803 और 3607 prime संख्याएँ हैं। जब तक ये जाँच न हो, तब तक ये 3 संख्याओं में तोड़ना है, prime संख्याओं में नहीं।

तो जाँचते हैं, 3844 से छोटी किसी भी संख्या के लिए 61 तक के prime से भाग देना काफ़ी है, क्योंकि 62 का वर्ग 3844 है। अब 61 तक की prime संख्याएँ गिनें तो कुल 18 निकलती हैं, और इनमें से हर एक से दोनों संख्याओं को भाग देकर देखते हैं। इनमें से कोई भी किसी संख्या को पूरा नहीं काटता, और अब जाकर ये prime factorisation बना है। इस मोड़ पर ये पूछना ठीक है कि क्या इसमें से कुछ भी सच में साबित हुआ है?

सच कहें तो यहाँ अब तक कुछ भी साबित नहीं हुआ है। इतने सारे पेड़ों का एक साथ मिलना बहुत दमदार है, पर ये proof नहीं है। जिस संख्या पर ये सब देखा गया, वो बस एक संख्या थी, और दावा हर संख्या के बारे में है। टूटने वाला हिस्सा बहुत पुराना है, और गणितज्ञ उसे बहुत पहले से जानते थे। एक ही तरह से टूटने वाला हिस्सा दिखने से कहीं ज़्यादा मुश्किल है, और उसका इंतज़ार बहुत लंबा चला।

उसका पहला पूरा और सही proof सदियों बाद जाकर आया। इतना लंबा फ़ासला ही सबसे अच्छा सबूत है कि दूसरा दावा अपने आप में साफ़ नहीं है। वो साफ़ इसलिए लगता है क्योंकि वो सच है, और आपने उसे कभी टूटते हुए नहीं देखा। अब इसका फ़ायदा देखते हैं, और ये फ़ायदा एक इनकार की शक्ल में आता है। क्या 4 की कोई भी घात ऐसी हो सकती है जिसका आख़िरी अंक 0 हो?

पहली कुछ घातें लिखें तो 4, 16, 64, 256, 1024 और 4096 मिलती हैं। इनके आख़िरी अंक बारी बारी से 4 और 6 आते हैं, और 0 कहीं नहीं आता। पर ये सिर्फ़ देखी हुई बात है, कोई तर्क नहीं, क्योंकि pattern टूट भी जाते हैं। अब असली तर्क ये है, और इसमें किसी pattern की ज़रूरत नहीं पड़ती। किसी संख्या का आख़िरी अंक 0 तभी होता है जब 10 उसे पूरा काटे, और 10 तभी काटता है जब 2 और 5 दोनों काटें।

तो जिस घात का आख़िरी अंक 0 हो, उसके अंदर एक 5 होना ही चाहिए। पर 4 की घात n असल में 2 की घात है, n के दुगुने वाली, यानी उसके factorisation में 2 के सिवा कोई prime नहीं। और uniqueness कहती है कि यही उसका इकलौता factorisation है, इसलिए किसी दूसरे factorisation में कोई 5 छिपा नहीं बैठा। जब 5 है ही नहीं, तो आख़िरी अंक 0 हो ही नहीं सकता, और ये हर n के लिए सच है, सिर्फ़ ऊपर वाली 6 घातों के लिए नहीं।

यही चाल आप जब चाहें तब चल सकते हैं, किसी भी संख्या पर। किसी factor को नकारना हो, तो factorisation कीजिए और वो prime ढूँढिए जो उसमें ग़ायब है। अब आपकी बारी, क्या 6 की कोई घात ऐसी हो सकती है जिसका आख़िरी अंक 0 हो? देखिए, 6 की घात n बराबर है 2 की घात n गुणा 3 की घात n, उसमें कोई 5 नहीं, इसलिए ऐसा कभी नहीं हो सकता।

और पढ़ने की यही आदत एक बिल्कुल अलग दिखने वाले सवाल का जवाब भी दे देती है। क्या 7 गुणा 11 गुणा 13, प्लस 13, एक prime संख्या है? इसका जवाब पाने के लिए पूरा जोड़ निकालने की कोई ज़रूरत नहीं है। पहले हिस्से में 13 एक factor है, और दूसरा हिस्सा ख़ुद 13 है, इसलिए 13 पूरे जोड़ को काटता है। जिस संख्या का ख़ुद और 1 के अलावा कोई और भाजक हो, वो composite है, और ये आपने कुछ भी गुणा किए बिना देख लिया।

हिसाब पूरा करके देखें तो ये जोड़ 1014 बनता है, जो 13 गुणा 78 के बराबर है। एक और जोड़ लीजिए, 7 से लेकर 1 तक की हर संख्या का गुणनफल, और उसमें 5 जोड़िए। क्या बिना गुणा किए पता चल सकता है कि ये जोड़ prime संख्या है या नहीं? पहले हिस्से में 5 एक factor है, और जोड़ा भी 5 ही गया, इसलिए 5 इस जोड़ को काटता है, और ये composite है।

हिसाब करें तो गुणनफल 5040 है, उसमें 5 जुड़कर 5045 बनता है, और 5045 बराबर 5 गुणा 1009 होता है। यहाँ 1009 ख़ुद एक prime संख्या है, इसलिए पूरा factorisation बस 5 गुणा 1009 वाली कतार है। ये तरीका हर बार चलता है, जो संख्या दोनों हिस्सों को काटती है वो उनके जोड़ को भी काटती है। तो आख़िर में uniqueness आपको देती क्या है, ये एक बार फिर से समेट लेते हैं।

हर composite संख्या prime संख्याओं में टूटती है, और सिर्फ़ एक ही तरह से, अगर क्रम छोटे से बड़े तय कर दिया जाए। संख्या 1 को बाहर रखना और क्रम तय करना, यही इस uniqueness की शर्तें हैं। अब factorisation कोई हिसाब भर नहीं रहता जो आपने किया, बल्कि एक ऐसी चीज़ बन जाता है जिससे बातें पढ़ी जा सकती हैं। और सबसे काम की बात ये है कि उससे वो बातें भी पढ़ी जा सकती हैं जो उसमें मौजूद नहीं हैं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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