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Chapter 6 · Measuring Space: Perimeter and Area

π को घेरना: अंतर्लिखित polygons से Mādhava की सटीक श्रेणी तक

Perimeter, and the constant hidden in every circle16 मिनट

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जिस number को कोई लिख नहीं सकता, उसे उन शक्लों से घेरा जाता है जो कोई भी बना सकता है — और घेर लेना उसका नाम बता देना नहीं है। अन्दर वाला hexagon आधा border ठीक 3 देता है, एक पूरी संख्या, जिसमें कहीं कुछ अंदाज़े से नहीं; और बाहर वाला hexagon वर्ग करने पर ठीक 12 देता है — तो एक ही तस्वीर से वह constant 3 और 3.46 के बीच फँस जाता है।

मुख्य idea

चार हज़ार साल तक π पर हुई हर प्रगति एक ही चाल से आई: circle की जगह कोई सीधी भुजाओं वाली आकृति रख दीजिए जिसे नापा जा सके, और शिकंजा कसते जाइए। वह तरीक़ा π को उतने ही सँकरे अंतराल में क़ैद कर सकता है जितना आपका धीरज इजाज़त दे, और इससे ज़्यादा वह कभी कुछ नहीं कर सकता — कोई polygon कभी circle होता ही नहीं। Mādhava की तोड़ यह थी कि उन्होंने आकृति का सन्निकटन करना छोड़ दिया और भिन्नों की एक कभी न ख़त्म होने वाली सूची जोड़नी शुरू कर दी, जो π को ऐसे लक्ष्य से — जिसके पास आप धीरे-धीरे पहुँचते हैं — बदलकर ऐसी सीमा बना देती है जिसे कोई सूत्र ठीक-ठीक नाम दे देता है। इसलिए chapter में values का यह जुलूस मामूली जानकारियों की सूची नहीं है; यह एक तरीक़े को उसकी छत तक धकेले जाने और फिर छोड़ दिए जाने का ब्योरा है।

आपको क्या आना चाहिए

  • समझाइए कि circle के अंदर खींचा गया polygon π के लिए निचली सीमा क्यों देता है, और बाहर खींचा गया ऊपरी सीमा
  • अंतर्लिखित सम hexagon से दिखाइए कि π, 3 से बड़ा है
  • परिलिखित सम hexagon से दिखाइए कि π, 2√3 से छोटा है, और hexagon की भुजा निकालने के लिए Baudhāyana–Pythagoras प्रमेय का इस्तेमाल कीजिए
  • Archimedes का परिबंधन बताइए, और कहिए कि भुजाओं की संख्या बढ़ाने से क्या हासिल होता है और क्या नहीं हो सकता
  • chapter में नाम लिए गए values को समय में रखिए और उन्हें सटीकता से क्रम में लगाइए, और ध्यान दीजिए कि सटीकता लगातार बढ़ती नहीं गई
  • Mādhava की π वाली श्रेणी बताइए और समझाइए कि वह किस अर्थ में सटीक है जबकि उससे पहले की हर value नहीं थी
  • Mādhava की श्रेणी के पहले कुछ आंशिक योग निकालिए और बताइए कि वे कैसा बर्ताव करते हैं
  • समझाइए कि श्रेणी का सटीक होना उसे बहुत सारे अंक निकालने का व्यावहारिक तरीक़ा क्यों नहीं बना देता, और इससे यह क्या निकलता है कि Mādhava ग्यारह दशमलव स्थानों तक कैसे पहुँचे
  • π चिह्न का हिसाब दीजिए: किसने शुरू किया, कब, और किस शब्द से

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
inscribedcircle के अंदर इस तरह खींचा हुआ कि हर शीर्ष उसी पर होअंतर्लिखित§6.2 की hexagon वाली सीमाओं की चर्चा में छपा है (p. 121)
circumscribedcircle के बाहर इस तरह खींचा हुआ कि हर भुजा उसे छूती होपरिलिखितFig. 6.7 के caption में और Archimedes वाले अनुच्छेद में छपा है (p. 121)
Baudhāyana–Pythagoras theoremकिसी समकोण त्रिभुज में दोनों लंब भुजाओं के वर्ग जुड़कर कर्ण का वर्ग बनाते हैंबौधायन–पाइथागोरस प्रमेयFig. 6.7 के नीचे संकेत की तरह छपा है (p. 121) और आगे बार-बार इस्तेमाल होता है
asannaĀryabhaṭa का अपनी value के लिए शब्द, जो उसे बराबर नहीं बल्कि पास पहुँचता हुआ बताता हैआसन्न§6.2 में, तिरछे अक्षरों में छपा है (p. 122)
YuelüZu Chongzhi का सुविधाजनक अनुपात, 22/7यूलू (सन्निकट अनुपात)§6.2 में अपनी व्याख्या के साथ छपा है (p. 122)
MiüZu Chongzhi का नज़दीकी अनुपात, 355/113मीयू (सूक्ष्म अनुपात)§6.2 में अपनी व्याख्या के साथ छपा है (p. 122) — वर्तनी जाँचने लायक़ है, देखिए Notes
infinite seriesऐसा कभी न ख़त्म होने वाला योग जिसके आंशिक योग किसी value के पास पहुँचते जाते हैंअनंत श्रेणीजहाँ Mādhava का सूत्र पेश होता है वहाँ छपा है (p. 122)
calculusगणित का वह क्षेत्र जो ऐसी श्रेणियाँ जोड़ने से पनपाकलन§6.2 के अंत में छपा है (pp. 122–123)
circle-cutting methodLiu Hui का polygon वाला तरीक़ा, इसी नाम सेवृत्त-छेदन विधि§6.2 में छपा है (p. 122)
bracket for πvalues की वह जोड़ी जिनके बीच π का होना ज्ञात होπ का परिबंधनव्याख्या का अपना वाक्यांश; chapter असमिका लिखता है और उसे कोई नाम नहीं देता
convergence rateकिसी श्रेणी के आंशिक योग अपनी सीमा के कितनी तेज़ी से पास आते हैंअभिसरण दरव्याख्या का अपना शब्द; इस chapter में छपा नहीं है

हिंदी column में standard हिंदी शब्दावली दी गई है, और दोनों चीनी अनुपात-नामों के लिए लिप्यंतरण; Ganita Manjari का हिंदी संस्करण मैंने नहीं देखा।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "हर बार बेहतर values मिलती गईं, यानी गणित आगे बढ़ता गया।" नहीं बढ़ता गया, सीधी रेखा में तो नहीं। Brahmagupta का √10, जो 628 CE का है, उस 3.125 से बदतर सन्निकटन है जो लगभग 1900 BCE के Mesopotamia से आता है, और उन्होंने इसे यह जानते हुए अपनाया कि यह किस काम का है — बीजगणितीय हेर-फेर की आसानी। सटीकता कई लक्ष्यों में से एक लक्ष्य है।
  • "22/7 Zu Chongzhi की खोज है।" chapter 22/7 को उनका Yuelü बताता है (p. 122) और 3 + 1/7 भी देता है, जो वही संख्या है, सात सदी पहले की Archimedes की ऊपरी सीमा की तरह (p. 121)। दोनों कथन आमने-सामने के pages पर हैं। चीन में नया जो था वह वह व्यवस्थित तरीक़ा था जिसने इसके साथ-साथ 355/113 निकाला।
  • "96 भुजाओं वाला polygon तो लगभग circle ही है।" वह polygon है। उसका परिमाप हमेशा, सख़्ती से, circle से कम रहता है, आप भुजाएँ चाहे जितनी ले लीजिए। यह तरीक़ा कभी ख़त्म नहीं होता और कभी बराबरी नहीं देता — और ठीक इसीलिए Mādhava की चाल मायने रखी।
  • "अनंत श्रेणी तो बस एक लंबा सन्निकटन है।" यह श्रेणी एक सटीक कथन है: संख्या π/4 उन आंशिक योगों की सीमा है। उसका कोई भी परिमित टुकड़ा सन्निकटन है; श्रेणी ख़ुद नहीं।
  • "सटीक का मतलब तेज़।" यह श्रेणी सटीक है और निराशाजनक हद तक धीमी। सटीकता और कार्यक्षमता अलग-अलग गुण हैं, और chapter की सूची में आगे के नाम — Machin, Ramanujan, Chudnovsky — सब दूसरे वाले गुण के बारे में हैं।
  • "polygon वाला तरीक़ा सिर्फ़ निचली सीमाएँ देता है।" अंतर्लिखित polygons निचली सीमाएँ देते हैं; परिलिखित polygons ऊपरी। Archimedes का योगदान दोनों को इस्तेमाल करना था, और Fig. 6.7 दोनों को एक ही तस्वीर में दिखाती है।
  • "π का नाम किसी व्यक्ति पर पड़ा।" यह अक्षर 1706 में Jones ने इसलिए चुना क्योंकि perimetros, जो परिमाप के लिए ग्रीक शब्द है, इसी से शुरू होता है (p. 123)।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript2,299 शब्द

किसी भी circle का border लीजिए, और उसे आर-पार की सीधी लम्बाई से भाग दीजिए। जवाब हर बार वही एक number आता है। छोटे circle के लिए भी, बड़े के लिए भी, किसी भी size के लिए। यह बात पक्की हो चुकी है। लेकिन वह number है कितना? इस सवाल पर हमला करने का बहुत लम्बे समय तक सिर्फ़ एक ही तरीक़ा रहा। और वह तरीक़ा एक ही चाल पर टिका है।

circle का border घुमावदार है। ruler सीधा है। घुमावदार चीज़ पर सीधा ruler रखकर नापा नहीं जा सकता। तो circle की जगह कोई ऐसी shape रख दीजिए जिसकी हर side सीधी हो। उसे ruler से नापा जा सकता है। यही पूरी चाल है। एक circle लीजिए जिसका centre से rim तक ठीक 1 है। उसके अंदर एक hexagon बनाइए — 6 corners, और हर corner rim पर। centre से हर corner तक एक line खींचिए।

hexagon 6 बराबर triangles में बँट जाता है। जो triangle रोशन है, उसे देखिए। इन triangles की हर side ठीक 1 निकलती है। तो hexagon का पूरा border 6 है, और उसका आधा ठीक 3। यहाँ ध्यान दीजिए — कुछ भी लगभग नहीं लिया गया। 3 पूरा है, ठीक है। और हर side के ऊपर rim का जो टुकड़ा है, वह उस side से लम्बा है — क्योंकि 2 points के बीच सीधा रास्ता ही सबसे छोटा होता है।

तो circle का border इस hexagon के border से लम्बा हुआ। यानी pi, 3 से बड़ा है। वह 'ठीक 1' कोई याद की हुई बात नहीं है। उसे निकाला जा सकता है। एक point के चारों तरफ़ के पूरे घुमाव को 6 बराबर हिस्सों में बाँटिए। हर हिस्सा 60 degrees निकलता है। 60 degrees का cosine भी याद करने की चीज़ नहीं है। 60 को 3 बार लीजिए तो पूरा आधा चक्कर बन जाता है।

इस शर्त से जो relation बनता है, उसका 0 और 1 के बीच सिर्फ़ 1 हल है। और वह हल ठीक 1 बटा 2 है। तो जिस triangle की 2 sides radius हैं और उनके बीच 60 degrees है, उसकी तीसरी side भी ठीक radius के बराबर निकलती है। और यह किसी एक radius के लिए नहीं है — हर radius के लिए है। इसीलिए यह हद circle की है, इस circle की नहीं।

अब वही circle लीजिए, और उसके बाहर एक hexagon बनाइए — इस बार हर side circle को छूती हुई। centre से किसी एक side पर सीधा गिराइए। वह लम्बाई ठीक 1 है, और वह उस side को बीच से बराबर बाँटती है। तो एक right-angle वाला triangle मिल गया। उसकी 2 छोटी sides में से एक है a का आधा, और दूसरी है 1। इनके squares जोड़ने पर a का square मिलता है, और वह निकलता है 4 बटा 3।

hexagon का पूरा border 6a है, और उसका आधा 3a। उस आधे का square ठीक 12 निकलता है। 12 का square root लगभग 3.46 है। अंदर वाली shape छोटी थी, क्योंकि सीधा रास्ता सबसे छोटा होता है। पर बाहर वाली लम्बी क्यों है? यह अपने आप नहीं मान लेना चाहिए। हर touching point के दोनों तरफ़ जो sides जाती हैं, वे उस arc को पूरी तरह अपने अंदर ले लेती हैं।

arc कहीं भी उनसे बाहर नहीं निकलती, इसलिए वह उनसे छोटी है। circle का border इस बाहर वाले hexagon के border से छोटा है। यानी pi, 3.46 से छोटा है। अब दोनों बातें एक साथ रखिए। pi, 3 से बड़ा है और 3.46 से छोटा। यह एक ही तस्वीर से निकला। न कुछ नापा गया, न कहीं गोल किया गया। इसी को दबाना कहते हैं — एक तरफ़ से नहीं, दोनों तरफ़ से एक साथ।

यही इस पूरे तरीक़े की जान है। अब सवाल सिर्फ़ इतना बचता है कि इस पकड़ को कितना कसा जा सकता है। आगे की पूरी चाल एक ही है, बार-बार दोहराई हुई: corners की गिनती दोगुनी कर दीजिए। नीचे लिखी row देखिए — 6 से 12, 12 से 24, 24 से 48, और 48 से 96। हर बार अंदर वाली shape का border बढ़ता है, और बाहर वाली shape का border घटता है।

यहाँ यह चाल 26 बार दोहराई गई। आख़िरी shape के 402653184 corners हैं। हर एक क़दम पर अंदर वाला बढ़ा, हर एक क़दम पर बाहर वाला घटा, और दोनों ने एक-दूसरे को कभी पार नहीं किया। अब एक बात पर ध्यान दीजिए, क्योंकि इसी में इस पूरे तरीक़े की हद छिपी है। इस zoom को देखिए। अंदर वाली shape हमेशा circle से छोटी रहती है। बाहर वाली हमेशा बड़ी। बराबर कभी नहीं।

किसी भी stage पर नहीं। जितने stages जाँचे गए — 24 — उन सब में दोनों तरफ़ का फ़ासला बना रहा। एक बार भी shape ने circle को छुआ नहीं। 96 corners वाली shape 'लगभग circle' नहीं है। वह polygon है। वह हमेशा polygon ही रहेगी। इसलिए यह तरीक़ा कभी ख़त्म नहीं होता। यह pi को घेरता है, बताता नहीं। 96 corners वाली shape hexagon को 4 बार दोगुना करने से मिलती है।

उससे जो पकड़ बनती है, उसके दोनों सिरे आम तौर पर 2 fractions की शक्ल में लिखे जाते हैं: 3 और 10 बटा 71, और 3 और 1 बटा 7। हर fraction के नीचे उसका decimal लिखा है। देखिए — 3.14084 और 3.14285। इन दोनों सिरों के बीच का फ़ासला ठीक 1 बटा 497 है। और वह कितने decimal places पक्के करता है? सिर्फ़ 2। तीसरा खुला रह जाता है।

अब ऊपर वाली पूरी row देखिए — 6, 12, 24, 48, 96। और उनके पक्के places — 0, 0, 1, 1, 2। यानी पहली 4 stages ने लगभग कुछ भी नहीं दिया। सारी कमाई आख़िर में आई। अब इसी तरीक़े को बहुत आगे धकेलिए — 24576 corners तक। यह hexagon को 12 बार दोगुना करना है। इससे 7 decimal places पक्के हो जाते हैं। 96 से 24576 तक sides 256 गुना हो गए।

पकड़ कितनी गुना कसी? पकड़ पूरे 66000 गुना कसी। अब नीचे लिखा number देखिए। 66000 कोई अजीब number नहीं है। 256 का square 65536 है — यानी लगभग वही। यानी पकड़ की चौड़ाई sides के square के हिसाब से घटती है। और उससे बेहतर कुछ नहीं। 256 गुना काम करके 5 और digits मिले — 2 places से 7 places तक। हर नया digit पिछले से कहीं महँगा पड़ता है।

मान लीजिए 11 decimal places चाहिए। इसी तरीक़े से उसके लिए 18 बार दोगुना करना पड़ेगा। नीचे देखिए — उस shape के corners होंगे 1572864, यानी 15 लाख से ज़्यादा। उन सब sides को ठीक-ठीक निकालना है, हर बार square root लेना है, और कहीं भी गोल नहीं करना है। यह तरीक़ा ग़लत नहीं है। यह काम करता है। बस इसकी क़ीमत हर digit पर गुना होती चली जाती है।

अब एक अलग तरह का board। यहाँ 6 numbers हैं जो अलग-अलग जगहों पर pi की जगह इस्तेमाल किए गए। 3 और 1 बटा 8। फिर 377 बटा 120। फिर 22 बटा 7। फिर 355 बटा 113। फिर 3.1416। और आख़िर में 10 का square root, जो 3.1623 है। इन्हें किसी और चीज़ से मत लगाइए — सिर्फ़ pi से फ़ासले के हिसाब से। पर यहाँ एक पल रुकिए। pi से फ़ासला — जबकि pi को यहाँ कभी पूरा लिखा ही नहीं गया।

तो यह फ़ासला तय कैसे होगा? हर फ़ासला उसी पकड़ के ख़िलाफ़ तय होता है जो इस video के पहले हिस्से में बनाई गई थी। pi को लिखने की ज़रूरत ही नहीं पड़ती। और अगर कोई value उस पकड़ के अंदर ही गिर जाए, तो जवाब अंदाज़े से नहीं दिया जाता। जवाब दिया ही नहीं जाता। इनमें सबसे पुराना कम है — 0.0166 से। 377 बटा 120 ज़्यादा है — 0.000074 से।

22 बटा 7 ज़्यादा है — 0.0013 से। बीच वाले हिस्से का zoom देखिए। 3.1416 ज़्यादा है, 0.000007 से। और 355 बटा 113 ज़्यादा है, पर उसका फ़ासला 0.0000003 से भी कम है। और 10 का square root ज़्यादा है — 0.0207 से। इन 6 में यह सबसे दूर है। अब उस board की 2 entries को साथ रखकर देखिए। पहली — 22 बटा 7। वही ratio जो आज भी हर जगह इस्तेमाल होता है।

दूसरी — 3 और 1 बटा 7। यह वही थी जो 96 corners वाली shape से ऊपर की तरफ़ की हद बनी थी। ये दोनों एक ही number हैं। बिलकुल एक ही। यानी जिसे लोग pi की value की तरह इस्तेमाल करते हैं, वह असल में एक ऊपर की हद थी। value नहीं, सिर्फ़ हद। अब 96 corners वाली उस पकड़ को इसी scale पर वापस ले आइए — वही जो hexagon को 4 बार दोगुना करने से बनी थी।

इन 6 numbers में से कितने उस पकड़ के बाहर गिरते हैं? छायादार पट्टी को देखिए। 3 बाहर। और 3 अंदर। 1 इसलिए बाहर है कि वह बहुत छोटा है — वही सबसे पुराना वाला। और 2 इसलिए बाहर हैं कि वे बहुत बड़े हैं। उन 2 में से एक है 10 का square root। और दूसरा है 22 बटा 7 — वही जो आज भी इस्तेमाल होता है। और 10 का square root सिर्फ़ बाहर नहीं है।

वह pi से उस सबसे पुराने number से भी दूर है, जो इस board पर सबसे कम था। यानी एक ऐसा number इस्तेमाल होता रहा, जिसे काग़ज़ पर बनाई जा सकने वाली एक shape पहले ही ख़ारिज कर चुकी थी। तो यह सोचना ग़लत है कि values लगातार बेहतर होती चली गईं। सटीकता अकेला मक़सद नहीं थी — आसानी भी एक मक़सद थी। अब उस एक number पर वापस आइए जो सबसे क़रीब गिरा था — 355 बटा 113।

पर क्या यह सचमुच सबसे अच्छा है, या सिर्फ़ मशहूर है? इसे जाँचा जा सकता है। 15000 से नीचे का हर denominator लीजिए। हर एक के लिए pi के सबसे क़रीब वाला fraction निकालिए। उन सब में से एक भी उसे नहीं हरा पाता। एक भी नहीं। जो columns रोशन हुए, उन्हें देखिए। बराबरी करने वाले ठीक 132 हैं। और वे सब 113 के गुणज हैं — यानी वही fraction दोबारा लिखा हुआ।

यानी छोटे denominators की पूरी दुनिया में इससे बेहतर कुछ है ही नहीं। यह मशहूर होने के अलावा सचमुच सबसे अच्छा है। अब तक हर चाल एक ही थी — circle की जगह सीधी sides वाली shape रखो, और दोनों तरफ़ से दबाओ। वह चाल pi को जितना चाहो उतना कसकर घेर सकती है। पर बता कभी नहीं सकती। अगला क़दम shape नापना छोड़ देना था। उसकी जगह fractions की एक कभी न ख़त्म होने वाली list जोड़िए।

1, फिर 1 बटा 3 घटाइए, फिर 1 बटा 5 जोड़िए, फिर 1 बटा 7 घटाइए। और ऐसे ही आगे — हर बार अगला विषम denominator, बारी-बारी जोड़ और घटाव। इस पूरे जोड़ का 4 गुना — वही pi है। यह लगभग वाली बात नहीं है। इस list का जो limit है, pi ठीक वही है। बराबर, क़रीब नहीं। अब इसे सचमुच जोड़कर देखिए — एक-एक term करके। 1 term लेने पर जवाब आता है 4।

2 terms पर 8 बटा 3, यानी 2.67। 3 terms पर 52 बटा 15, यानी 3.47। 4 terms पर 304 बटा 105, यानी 2.90। और 5 terms पर 1052 बटा 315, यानी 3.34। अब पूरी टेढ़ी-मेढ़ी लकीर देखिए। ये बारी-बारी pi के ऊपर और नीचे गिरते हैं। उस पर कभी नहीं। और हर एक पिछले से ज़्यादा क़रीब है। यानी यह list सचमुच pi की तरफ़ जा रही है। यह तो हुआ कि list pi की तरफ़ जा रही है।

पर कितनी तेज़ी से? n terms जोड़ने के बाद जो फ़ासला बचता है, वह अगले term से छोटा होता है। यहाँ तक तो आम बात है। पर वह सिर्फ़ छोटा नहीं होता। वह अगले term का ठीक आधा होता है — हर उस count पर जो जाँचा गया। नीचे लिखे ratios देखिए — 0.52, फिर 0.5, फिर 0.5। यानी फ़ासला 1 बटा 2n की रफ़्तार से घटता है। इससे एक क़दम भी तेज़ नहीं।

तो 11 decimal places के लिए इस list के कितने terms जोड़ने पड़ेंगे? जवाब है 4 खरब terms। पूरा number board पर लिखा है। सिर्फ़ इस list को जोड़ते-जोड़ते 11 places तक पहुँचना, किसी के बस की बात नहीं है। जो 11 places लिखे जाते हैं — 3.14159265358 — वे सही हैं। पर वे अकेले इस list से नहीं आ सकते थे। कुछ और भी रहा होगा। और यही असली सबक़ है।

exact होना और तेज़ होना 2 अलग-अलग ख़ूबियाँ हैं। यह list exact है, और बेहद धीमी। एक आख़िरी जाँच बाक़ी है, और वह भरोसे के बारे में है। polygons वाली पकड़ यहाँ इतनी कसी हुई है कि वह pi के 15 decimal places पक्के कर देती है। अब एक बिलकुल अलग रास्ता लीजिए — जो polygons से कुछ भी साझा नहीं करता। fractions की 2 अलग lists, जोड़कर मिलाई हुईं।

देखिए, वह रास्ता उसी पकड़ के ठीक अंदर गिरता है — दोनों सिरों पर जगह छोड़कर। यह अहम है। जब कोई तरीक़ा ख़ुद को ही जाँचता है, तो वह अपनी ही ग़लती नहीं पकड़ सकता। यहाँ 2 ऐसे instruments एक ही जवाब पर आ रहे हैं जो एक-दूसरे से कुछ भी उधार नहीं लेते। तो पीछे मुड़कर देखिए कि हर क़दम ने असल में क्या ख़रीदा। एक hexagon अंदर, एक बाहर — और pi 3 से 3.46 के बीच क़ैद हो गया, बिना कुछ नापे।

corners दोगुने करते जाइए, और यह पकड़ जितनी चाहें उतनी कसी जा सकती है। पर वह बंद कभी नहीं होती। कोई polygon circle नहीं होता — कभी नहीं। और उसकी क़ीमत sides के square के हिसाब से चढ़ती है, इसलिए हर नया digit पिछले से कहीं महँगा है। इसी बीच जो 6 numbers लोग इस्तेमाल करते रहे, उनमें से 3 एक ऐसी shape से पहले ही बाहर हो चुके थे जो काग़ज़ पर बनाई जा सकती है।

और आख़िर में instrument बदला। shapes नापना छोड़कर fractions जोड़ना शुरू हुआ। उस list ने pi को घेरा नहीं। उसका नाम रख दिया — ठीक-ठीक। पर नाम रख देना और गिन लेना, 2 अलग बातें हैं। यह पूरा video उसी फ़र्क़ के बारे में था।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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