चाप की लंबाई, यानी परिधि में केंद्रीय कोण का हिस्सा

0:00एक ही लम्बाई, 2 तरह से लिखी हुई। परिधि pi times diameter भी है, और 2 pi times radius भी। यहाँ diameter है, और यहाँ radius। diameter, radius का 2 गुना होता है। बस यही पुल है दोनों के बीच। तो ये 2 अलग नियम नहीं हैं। एक ही बात, 2 बार लिखी गई है। आधा-आधा unit बढ़ाते हुए 100 अलग radius पर दोनों forms जाँचे गए। 100 बार जवाब एक ही आया, और 0 बार अलग।

0:31अब असली सवाल। इस परिधि का एक टुकड़ा कितना लम्बा होगा? ऊपर वाला यह टुकड़ा चाप कहलाता है, और यही आगे नापना है। एक diameter खींचिए। ऊपर वाला आधा चाप एक रंग में, नीचे वाला दूसरे रंग में। अब इसी diameter पर मोड़िए। ऊपर वाला चाप ठीक नीचे वाले पर आकर बैठ जाता है। पहली नज़र में लग सकता है कि यह सिर्फ़ देखने की बात है। पर एक दूसरे पर ठीक बैठ जाना, यही तो बराबर होने का मतलब है।

1:01दोनों मिलकर पूरी परिधि बनाते हैं। तो हर एक आधी परिधि के बराबर है, यानी pi r। यह 100 अलग radius पर pi r से मिलाकर देखा गया। हर बार बराबर निकला। अब मोड़िए मत। यहाँ देखिए — इस बार पूरे circle को उसके केंद्र पर आधा घुमा दीजिए। घुमाने से कोई चीज़ खिंचती नहीं। तो दोनों की लम्बाइयाँ वैसी की वैसी रहती हैं। दोनों चाप आपस में जगह बदल लेते हैं।

1:32तो फिर वही बात — दोनों बराबर, और हर एक pi r। आप सोच रहे होंगे कि यह वही दलील दोबारा है। ऐसा नहीं है। मोड़ना और घुमाना 2 अलग काम हैं, और दोनों एक ही जवाब पर पहुँचे। अब यहाँ 2 diameter खींचिए, एक दूसरे के ठीक आर-पार। परिधि 4 टुकड़ों में बँट जाती है। अब इसे एक चौथाई घुमाइए। देखिए, हर टुकड़ा ठीक अगले टुकड़े पर जा बैठता है।

2:01इसका मतलब चारों बराबर हैं। तो हर एक परिधि का चौथाई है, यानी pi r बटा 2। और 4 को वापस जोड़ दें तो क्या मिलेगा? पूरी परिधि ही मिलती है। टुकड़े ठीक बैठ जाते हैं। ये दोनों जवाब सामने पड़े हैं। इन्हें थोड़ा अलग तरह से लिखते हैं, ताकि हिस्सा दिखने लगे। आधा चाप pi r है। इसे यूँ लिखिए — पूरी परिधि times 180 बटा 360। यहाँ नीचे वाला अंश देखते रहिए।

2:32और चौथाई चाप को यूँ — पूरी परिधि times 90 बटा 360। दोनों घेरे हुए अंशों में ऊपर वही angle है जो केंद्र पर बनता है, और नीचे पूरा turn, यानी 360। इसीलिए दोनों एक ही साँचे के हैं। अब यहाँ देखिए। केंद्र पर बना angle न 90 है, न 180 — कोई भी angle है। तब क्या होगा? तो चाप की लम्बाई होगी — पूरी परिधि times वह angle, बटा 360।

3:02पहली नज़र में यह रटने वाला नियम लगता है। ऐसा है नहीं। यह सिर्फ़ हिस्सा है — जितना angle, उतना हिस्सा। पर ज़रा रुकिए। अब तक हमने सिर्फ़ 2 cases जाँचे हैं — 90 और 180। क्या 2 cases से पूरा नियम तय हो जाता है? यहाँ देखिए, एक दूसरा नियम भी बनाया जा सकता है। यह इन दोनों जगह ठीक वही जवाब देता है — 90 पर भी, और 180 पर भी।

3:31पर 60 पर देखिए यह क्या कहता है — चाप उतना ही लम्बा जितना 90 पर। यह साफ़ ग़लत है। तो 2 जगह मिल जाना, पूरे नियम का सबूत नहीं है। बीच में कुछ भी हो सकता है। तो फिर फ़ैसला किस चीज़ से होगा? लग सकता है कि एक और case जाँच लेने से बात बन जाएगी। पर फ़ैसला एक और चीज़ करती है। यहाँ देखिए — 2 चाप सिरे से सिरा जोड़िए, तो लम्बाइयाँ जुड़ जाती हैं।

4:02अब 30 वाले चाप को 2 बार जोड़िए। मिलकर वह ठीक 60 वाला चाप बनना चाहिए। पर उस दूसरे नियम में वे लम्बे निकलते हैं — ठीक 12 बटा 7 गुना। जुड़ना टूट गया। यह जाँच हर पूरे angle पर चलाई गई। सही नियम 179 में से 179 पर पास हुआ। दूसरा नियम 177 पर फेल हुआ। वह सिर्फ़ 2 जगह बचा — 90 पर, जहाँ उसे बनाया ही ऐसा गया था, और 150 पर, वह भी बस इत्तेफ़ाक़ से।

4:33आप सोच रहे होंगे कि इतनी सी बातों से पूरा नियम कैसे निकलेगा। ऊपर लिखी 2 बातें ही काफ़ी हैं — घुमाने से लम्बाई नहीं बदलती, और चाप जुड़ते हैं। यहाँ पूरे turn को बराबर-बराबर angles में काटिए। घुमाने वाली बात कहती है कि इसीलिए इनके चाप भी बराबर होंगे। अब इनमें से कई टुकड़े साथ ले लीजिए। जोड़ने वाली बात कहती है कि उनकी लम्बाइयाँ जुड़ जाएँगी। तो इन 2 बातों के बाद चाप की लम्बाई के लिए सिर्फ़ 1 ही जवाब बचता है।

5:05और वह ठीक वही हिस्से वाला नियम निकलता है। यह मिलान हर पूरे angle पर किया गया। 360 में से 360 बार दोनों एक ही जवाब पर आए, और 0 बार अलग। जो angles पूरे degree नहीं हैं, उन पर भी — 3 ऐसे angles जाँचे गए, और तीनों पर यही जवाब आया। अब एक और सवाल। अगर हिस्सा कोई साफ़-सुथरा अंश ही न हो, तब क्या? यहाँ देखिए — ऐसे angle को नीचे से भी घेरिए और ऊपर से भी।

5:35दोनों तरफ़ ऐसे हिस्से लीजिए जो साफ़ हैं। मान लीजिए हिस्सा 7 बटा 10 से बड़ा है और 3 बटा 4 से छोटा। तो चाप 15 दशमलव 4 और 16 दशमलव 5 के बीच होगा। अब दोनों अंशों को पास ले आइए — 70 बटा 100 और 71 बटा 100। पट्टी सिकुड़कर 15 दशमलव 4 से 15 दशमलव 6 2 रह जाती है। असली चाप दोनों ही पट्टियों के अंदर था।

6:03और यह सिकोड़ना जितना चाहें चलाया जा सकता है। काफ़ी दूर तक ले जाइए तो दोनों सिरे 30 दशमलव जगहों तक एक जैसे हो जाते हैं। चाप पक्का हो गया, बिना किसी अंश के। अब असली संख्याएँ। board पर radius 3 दशमलव 5 का circle है। इसकी परिधि 22 है, आधा चाप 11, और चौथाई चाप 5 दशमलव 5। 60 वाला हिस्सा पूरे turn का छठा भाग है। तो इस circle पर चाप 3 दशमलव 6 7 लम्बा है।

6:36पहली नज़र में 3 दशमलव 6 7 पूरा जवाब लगता है। यहाँ नीचे देखिए — यह दशमलव में कभी रुकता ही नहीं। अब radius 6 दशमलव 3 का circle लीजिए, और उस पर 120 वाला चाप। वह ठीक 13 दशमलव 2 0 निकलता है, पूरा का पूरा। नियम दोनों में वही था। फ़र्क़ सिर्फ़ दी गई संख्याओं का है — एक बार जवाब रुक गया, एक बार नहीं। अब एक सवाल आपके लिए।

7:04पहले circle पर 60 वाले 2 चाप जोड़ दीजिए, और सामने 120 वाला 1 चाप रखिए। कौन सा लम्बा होगा? कोई भी नहीं। दोनों 7 दशमलव 3 3 हैं। यही तो जोड़ने वाली बात है, फिर से काम करती हुई। एक ग़लती बहुत होती है। चाप को पूरी slice की सीमा समझ लेना। slice की सीमा पर चलकर देखिए। पहले बाहर की तरफ़ एक radius, फिर चाप, फिर वापस दूसरा radius।

7:36radius 14 का circle लीजिए, और उसमें से 75 वाली slice। अकेले चाप की लम्बाई 18 दशमलव 3 3 है। अब 2 radius जोड़िए — 28 और। पूरी सीमा 46 दशमलव 3 3 हो जाती है, यानी अकेले चाप से दुगुने से भी ज़्यादा। अब आप बताइए। तार से slice का किनारा बनाना है — क्या 2 radius जोड़ेंगे? और सिर्फ़ मुड़े हुए किनारे की लम्बाई चाहिए — तब? तार वाले सवाल में 2 radius ज़रूर जोड़िए, क्योंकि तार पूरी सीमा पर जाता है।

8:12और सिर्फ़ मुड़े हुए किनारे में नहीं, क्योंकि वहाँ सिर्फ़ चाप है। अब एक असली चीज़। दौड़ने का track — 2 सीधे हिस्से, और दोनों सिरों पर मुड़े हुए हिस्से। यहाँ सबसे अंदर वाली border का मोड़ 36 दशमलव 5 के radius पर है। और हर सीधा हिस्सा 84 दशमलव 3 9 लम्बा। अब एक बात जो आसानी से छूट जाती है। लग सकता है कि दौड़ने वाली border पर ही दौड़ती है।

8:40नहीं — वह उससे 0 दशमलव 3 बाहर दौड़ती है। तो जो radius असल में काम आता है वह 36 दशमलव 5 नहीं, 36 दशमलव 8 है। आगे यही चलेगा। हर अगला lane एक lane की चौड़ाई बाहर है। यहाँ वह चौड़ाई 1 दशमलव 2 2 है। ध्यान दीजिए — सीधे हिस्से हर lane में एक जैसे ही हैं। सिर्फ़ मुड़े हुए हिस्से बाहर खिसकते हैं। दोनों मुड़े हुए हिस्से मिलकर 1 पूरा circle बनाते हैं।

9:11इसका radius 36 दशमलव 8 है। उस circle की परिधि 231 दशमलव 2 2 है। यही पूरे lap का मुड़ा हुआ हिस्सा है। अब इसमें 2 सीधे हिस्से और जोड़िए — 168 दशमलव 7 8। कुल कितना हुआ? एक पूरा lap 400 निकलता है। पर सच यह है कि यह ठीक 400 नहीं है। pi की इस value पर यह 1 दशमलव 7 6 millimetre ज़्यादा निकलता है। वही lap pi की दूसरी वाली value पर 400 दशमलव 0 9 निकलता है।

9:44यानी दोनों values यहाँ एक जैसी नहीं हैं। अब pi को कोई value देने के बजाय नीचे और ऊपर दोनों तरफ़ से घेरिए। दोनों तरफ़ से lap 400 दशमलव 0 0 आता है। तो track सचमुच 400 पर बंद होता है। गड़बड़ track में नहीं, उस अंश वाली value में है। board पर देखिए। अगर सब एक ही line से शुरू करें, तो कौन ज़्यादा दौड़ेगा? बाहर वाला lane। यहाँ lane 2 का एक lap 407 दशमलव 6 7 है, जबकि lane 1 का 400 दशमलव 0 0।

10:21फ़र्क़ है 7 दशमलव 6 7। यही वह दूरी है जितना lane 2 की start line आगे रखी जाती है। और यह फ़र्क़ ठीक 2 pi times lane की चौड़ाई है। सीधे हिस्सों का इसमें कोई हाथ नहीं। आठों lanes सामने हैं। एक सवाल — lane 7 और 8 के बीच का फ़र्क़ भी उतना ही होगा, जितना lane 1 और 2 के बीच? 8 lanes में पड़ोसी जोड़ियाँ 7 बनती हैं।

10:50सातों में फ़र्क़ एक ही निकलता है — 7 दशमलव 6 7। वजह यहाँ दिख रही है। एक lane बाहर जाने पर मोड़ में हर बार वही टुकड़ा जुड़ता है। इसीलिए हर जोड़ी में फ़र्क़ बराबर है। आप सोच रहे होंगे कि stagger के बाद भी बाहर वाला lane ज़्यादा दौड़ता है। पर क्या यह सचमुच ऐसा है? नहीं, यह ग़लत है। यहाँ देखिए — stagger उतना ही रखा गया है जितना ज़्यादा दौड़ना पड़ता।

11:19तो वह ज़्यादा ठीक कट जाता है। आठों lanes की दूरी निकालकर गिनिए। 8 दूरियाँ हैं, पर उनमें अलग-अलग value सिर्फ़ 1 है। हर lap को 2 हिस्सों में तोड़िए। आठों के मोड़ 8 अलग लम्बाई के हैं, पर बचा हुआ सीधा हिस्सा आठों में 1 ही है — 168 दशमलव 7 8। और वह 1 दूरी कोई नई नहीं है। वह ठीक अंदर वाले lane का अपना lap है — 400 दशमलव 0 0।

11:48अब एक चौंकाने वाला सवाल। छोटे track पर stagger भी छोटा होगा? यहाँ मोड़ का radius 5 से 200 तक, आधा-आधा बढ़ाते हुए बदला गया। 391 अलग मोड़ जाँचे गए, और stagger हर बार वही निकला। यह जाँच अंधी नहीं है। ठीक यही sweep दोनों lanes के बीच के क्षेत्रफल पर चलाइए तो 391 अलग-अलग जवाब आते हैं। वजह घटाने में है। board पर देखिए — मोड़ का radius दोनों laps में है, तो घटाते ही कट जाता है।

12:21बचती है सिर्फ़ lane की चौड़ाई। इसका मतलब — इसी चौड़ाई वाले हर track पर stagger का एक ही table चलेगा। track नापने की ज़रूरत नहीं। अब यहाँ 2 छोटे tracks हैं। दोनों 200 के हैं, पर बने अलग-अलग तरह से। पहली नज़र में ये दोनों बिल्कुल अलग लगते हैं। बाएँ वाले में सीधा हिस्सा है ही नहीं — पूरा गोल। दाएँ वाले में 2 सीधे हिस्से हैं, 40-40 के।

12:49दोनों के मोड़ का radius साफ़ अलग है। तो क्या दोनों के stagger भी अलग होंगे? दोनों को ठीक वही stagger चाहिए जो बड़े track को चाहिए था — 7 दशमलव 6 7। तीनों tracks पर एक ही। कुछ तो बदलता ही है। बड़े track पर हर lap का 58 प्रतिशत हिस्सा मुड़ा हुआ है। और 200 वाले ovals में सीधे हिस्से की लम्बाई बदलिए तो यह हिस्सा 160 अलग values लेता है।

13:18stagger 1 ही रहता है। यह इत्तेफ़ाक़ नहीं है। यही तो वह कटने वाली बात कह रही थी — stagger को track के आकार से कोई मतलब नहीं। तो क्या-क्या तय हुआ? board पर ऊपर से देखिए। पहली बात — चाप उतना ही हिस्सा है, जितना angle पूरे turn का है। दूसरी — यह 2 cases देखकर नहीं माना गया। घुमाने और जोड़ने वाली 2 बातों ने इसे मजबूर किया।

13:44तीसरी — slice की सीमा और चाप एक चीज़ नहीं हैं। सीमा में 2 radius और जुड़ते हैं। और चौथी — track पर stagger के बाद आठों lanes की दूरी 8 अलग नहीं, 1 ही है। और नीचे आख़िरी बात। असल चीज़ हिस्सा है। नियम तो सिर्फ़ उसी को लिखने का तरीक़ा है।