π अपरिमेय है, और इससे क्या ख़ारिज हो जाता है

0:00हर fraction एक ही test पास करता है। चलिए वह test करके देखते हैं। 1 को 7 से भाग दीजिए। और हर step पर जो शेष बचता है, उसे साथ-साथ लिखते जाइए। पहला digit 1, शेष 3। फिर 4, शेष 2। फिर 2, शेष 6। फिर 8, शेष 4। फिर 5, शेष 5। फिर 7, शेष 1। अब अगला शेष क्या आएगा? 3 — वही जो सबसे पहले आया था।

0:34जिस पल शेष लौटा, उसी पल पूरा हिसाब लौट गया। digits वही क्रम दोहराने लगेंगे — 1, 4, 2, 8, 5, 7। 6 अलग शेष आए। और उनमें एक भी 0 नहीं था। वह लौटना किस्मत नहीं था। 7 से भाग देने पर शेष सिर्फ़ 0 से 6 तक ही हो सकता है। यानी गिनती के लिए इतनी ही जगहें हैं। तो अगर भाग चलता ही रहे, तो क्या होगा?

1:06कोई न कोई शेष दोबारा आना ही पड़ेगा। और दोबारा आते ही digits दोहराने लगेंगे। इसीलिए हर fraction का दोहराव उसके अपने भाजक से छोटा रहता है। 300 तक के हर ऐसे fraction पर यह जाँचा गया। एक भी ऐसा नहीं निकला जिसका block उसके भाजक जितना लम्बा हो। पहले 100 में सबसे लम्बा block 96 digits का है। और वह 97 से भाग देने पर मिलता है। यानी block आना मजबूरी है, और उसकी लम्बाई पर भी हद है।

1:383 fractions लीजिए। और तीनों को भाग देकर देखिए। 1 बटा 3 का दोहराव सिर्फ़ 1 digit का है — 3, 3, 3, बिना रुके। 1 बटा 11 का दोहराव 2 digits का है — 0 और 9, बारी-बारी। 1 बटा 7 का दोहराव 6 digits का है — 1, 4, 2, 8, 5, 7। लम्बाई अलग-अलग है। पर block हर बार है। अब पहले वाले पर एक बार और नज़र डालिए।

2:081 बटा 3 कभी नहीं रुकता। फिर भी वह 2 पूरी संख्याओं के भाग से बना है। तो 'कभी न रुकना' अपने आप अपरिमेय होना नहीं है। न रुकना और न दोहराना — दोनों चाहिए। अब यही test उस constant पर कीजिए जिसका पीछा हम कर रहे हैं। इसके 2000 digits लिए गए। फिर 300 तक की हर block लम्बाई आज़माई गई। और हर लम्बाई को पहली 51 जगहों में से कहीं से भी शुरू होने दिया गया।

2:39कितने block मिले? एक भी नहीं। पूरा 0। digits चलते रहते हैं, और कोई कोष्ठक कभी बंद नहीं होता। यही वह लक्षण है, जिसे देखकर कहा जाता है कि यह number अपरिमेय है। पर यहाँ रुककर एक बात सोचिए। कोई search कुछ न पाए, तो इससे 2 बातें निकल सकती हैं। या तो वहाँ कुछ है ही नहीं। या search ख़ुद अंधी है। तो वही search fractions पर चलाकर देखी गई।

3:091 बटा 7 पर उसने 6 का block तुरंत पकड़ लिया, पहली ही जगह से। 1 बटा 28 पर भी उसने 6 का block पकड़ा — पर 2 digits आगे बढ़कर। यानी न वे लम्बाइयाँ सजावट थीं, न शुरू होने की जगहें। और वे digits ख़ुद किसी एक instrument से नहीं आए। 2 अलग रास्तों से बने bracket आपस में मिलते हैं, और मिलकर 2134 दशमलव places तय करते हैं।

3:34कोई ख़ुद को ख़ुद से नहीं जाँच रहा। अब उस शब्द का ठीक-ठीक मतलब। परिमेय संख्या वह है जो एक पूरी संख्या को दूसरी से भाग देकर बनती हो। नीचे वाली संख्या 0 नहीं होनी चाहिए। बस इतनी ही शर्त है। 1 बटा 3 परिमेय है। 22 बटा 7 परिमेय है। 355 बटा 113 भी परिमेय है। अपरिमेय का मतलब है — इसी पूरे परिवार के बाहर। ध्यान दीजिए, यह बताता है कि number क्या नहीं है।

4:08तो यह पता कैसे चला कि वह इस परिवार के बाहर है? digits से नहीं। और अगला हिस्सा यही दिखाएगा कि क्यों नहीं। उस search की एक हद है। वह 300 तक की ही block लम्बाइयाँ आज़माती है। 300 से नीचे के हर भाजक का block उससे छोटा होता है। ऐसे 298 भाजक हैं, और search उन सबको पकड़ लेती। और उसके बाद वाले 300 भाजक? उनमें से 20 पहले ही उसकी पहुँच से बाहर हैं।

4:39सबसे पहला 313 है। 313 से भाग देने पर block 312 digits लम्बा निकलता है — search जितना देखती है, उससे लम्बा। वही search उस fraction पर चलाइए, और उसे कुछ नहीं मिलेगा। जबकि वह fraction ही है। तो 'कोई pattern नहीं मिला' एक लक्षण है, सबूत नहीं। digits ने गिनी-चुनी fractions को बाहर किया है, सबको नहीं। असली जवाब digits से नहीं, कहीं और से आता है — और वह इस class के बाद पढ़ा जाता है।

5:11अब 3 ग़लतफ़हमियाँ, एक-एक करके। पहली — कि अपरिमेय का मतलब है 'हमें पता नहीं'। यह ग़लत है। board पर देखिए — इसी video का bracket 2134 दशमलव places तय कर देता है। अपरिमेयता number के बारे में एक बात है, हमारी जानकारी के बारे में नहीं। दूसरी — कि इसे ठीक-ठीक लिखा ही नहीं जा सकता। यह भी ग़लत है। एक अनंत जोड़ इसे ठीक-ठीक लिख देता है, और वहाँ बराबरी का चिह्न पूरा सच है।

5:43जो नहीं हो सकता, वह है इसे 2 पूरी संख्याओं के भाग की शक्ल में लिखना। तीसरी — कि अपरिमेय number खींचा नहीं जा सकता। यह सबसे भ्रामक ग़लती है। नीचे देखिए — 1 भुजा वाले square का विकर्ण अपरिमेय है, और वह ruler और compass से ठीक-ठीक खिंच जाता है। तो यह शब्द असल में मना क्या करता है? सिर्फ़ 1 बात — एक fraction बन जाना। और उसी अकेली मनाही का सबसे काम का नतीजा आगे है।

6:16नतीजा यह है — इस number के सबसे क़रीब कोई fraction है ही नहीं। कोई भी fraction लाइए। उससे ज़्यादा क़रीब वाला हमेशा मौजूद होगा। यह अजीब लगता है। कोई एक तो सबसे क़रीब होना ही चाहिए? नहीं होना चाहिए। और इसकी वजह बहुत सीधी है। यह कोई खुली हुई पहेली नहीं है, जिस पर लोग अब भी काम कर रहे हों। यह उसी अकेली मनाही का सीधा नतीजा है।

6:44और अगला हिस्सा उसे करके दिखाएगा। मान लीजिए आपने कोई fraction दिया। वह fraction इस constant के बराबर हो ही नहीं सकता। यही तो अपरिमेय होने का मतलब है। तो दोनों के बीच का फ़ासला 0 नहीं है। वह एक पूरा, धनात्मक number है। अब constant के अपने digits लीजिए, और उन्हें कहीं काट दीजिए। कटा हुआ हिस्सा ख़ुद एक fraction है — दशमलव के बाद जितने digits, नीचे 10 की उतनी घात।

7:14और जितना आगे काटिए, वह constant के उतना ही पास होता जाता है। तो उसे उस फ़ासले के अंदर गिराने के लिए कितना आगे जाना पड़ेगा? कुछ ही places। फ़ासला जितना छोटा हो, गिनती उतनी बड़ी — पर हमेशा गिनी हुई। यह सिर्फ़ कहने की बात नहीं है। इसे असली fractions पर करके देखिए। 3 को हराने के लिए constant के सिर्फ़ 1 दशमलव place काफ़ी हैं। 22 बटा 7 को हराने के लिए 3 places चाहिए।

7:463.14 को हराने के लिए भी 3 places। और 355 बटा 113 को हराने के लिए 7 places। हर बार गिनती ख़त्म होती है। और हर बार यह सचमुच हराना है, बराबरी नहीं। चारों में एक भी टाई नहीं निकली। जिस fraction से भी शुरू कीजिए, उसे हराने वाला कुछ ही places दूर बैठा है। एक सवाल अब भी बचता है। अगर fraction पहले से बहुत अच्छा हो, तब भी?

8:17तब भी वही होगा। इसे सबसे कठिन जगह पर आज़माया गया। यहाँ देखिए — constant को उसके अपने 50 दशमलव places पर काटिए। वह fraction बेहद क़रीब है। अब 51 places पर काटिए। 51 वाला 50 वाले से और क़रीब निकलता है। दलील कभी ख़त्म नहीं होती, क्योंकि digits कभी ख़त्म नहीं होते। इसीलिए लिखते वक़्त चिह्न ध्यान से चुनिए। board पर तीनों सामने हैं। pi लगभग 22 बटा 7 — यह सही है।

8:50pi बराबर 22 बटा 7 — यह ग़लत है। दोनों बातें एक साथ सच हैं, और यही पूरी बात है। वही अनुशासन square root पर भी लागू होता है। 2 का square root लगभग 1.414 है। बराबर नहीं है। 1.414 का square, 2 से 0.000604 कम पड़ता है। इसे जाँचने के लिए square root के बारे में कुछ जानने की ज़रूरत नहीं। और चौथे दशमलव place पर वे अलग हो जाते हैं।

9:22अब वे 2 fractions जो सबसे ज़्यादा सुनाई देते हैं, एक ही पैमाने पर। 22 बटा 7 तीसरे दशमलव place पर अलग हो जाता है। यानी वह 2 places तय करता है। 355 बटा 113 सातवें place पर अलग होता है। यानी वह 6 places तय करता है। नीचे वाली scale पर देखिए — फ़ासले में यह फ़र्क़ और साफ़ दिखता है। 22 बटा 7 ऊपर की तरफ़ 0.0013 दूर है।

9:53355 बटा 113 ऊपर की तरफ़ 0.000000267 दूर है। दूसरा पहले को 4700 गुना हराता है। दोनों fractions हैं। दोनों constant नहीं हैं। फ़र्क़ बस इतना है कि कौन कितना पास है। उस fraction के बारे में एक और सवाल। क्या 355 बटा 113 सचमुच सबसे अच्छा है, या बस मशहूर? 15000 से नीचे के हर भाजक के लिए सबसे क़रीब वाला fraction निकाला गया। उनमें से 0 ने इसे हराया।

10:31132 ने इसकी बराबरी की। और वे 132 ठीक-ठीक 113 के गुणज हैं। यानी वही fraction, दोबारा लिखा हुआ। तो छोटे भाजकों में इससे बेहतर कुछ नहीं। और फिर भी, इससे बेहतर fractions मौजूद हैं — बस उनके भाजक बड़े हैं। अब उस दूसरे अपरिमेय number पर आइए, जिसे आप पहले से जानते हैं। 2 का square root अपरिमेय है। और इसकी वजह सिर्फ़ पूरी संख्याओं से समझी जा सकती है।

11:01यहाँ बाईं तरफ़ देखिए — किसी भी पूरी संख्या के square में 2 का गुणनखंड सम बार आता है। और किसी square के दुगुने में वह विषम बार आता है। सम और विषम एक ही गिनती नहीं हो सकते। इसलिए a का square कभी b के square का दुगुना नहीं हो सकता। 2000 तक के हर a और b पर यह जाँचा गया। एक भी हल नहीं मिला, और हर बार सम-विषम वाली बात टिकी रही।

11:28फिर भी 1 भुजा वाले square का विकर्ण ठीक यही number है — 1 का square जोड़ 1 का square, बराबर 2। यानी अपरिमेय होकर भी वह ruler और compass से ठीक-ठीक खिंच जाता है। तो circle को square में बदलने वाला पुराना सवाल किस वजह से रुकता है? अपरिमेयता की वजह से नहीं। अभी-अभी हमने एक अपरिमेय number खींचकर देख लिया। फ़र्क़ कहीं और है। और उसे गिनकर देखा जा सकता है।

11:594 तक की घात वाली वे सारी equations लीजिए, जिनके 5 coefficients पूरी संख्याएँ हों, और हर एक -6 से 6 के बीच हो। ऐसे 371292 equations बनती हैं। अब दाईं तरफ़ देखिए। हर एक से दोनों numbers के बारे में पूछा गया — क्या यह इसका root हो सकता है? इस constant के लिए हिसाब ने सब के सब 371292 को बाहर कर दिया। एक भी बचा नहीं। 2 के square root के लिए 370978 बाहर हुए, और 314 बच गए।

12:33और वे 314 ठीक-ठीक एक ही equation के गुणज हैं — x का square घटा 2। यही वह equation है जिसकी वह root है। इस constant के पास ऐसी कोई equation नहीं। तो आख़िर में बात क्या बची? ऊपर से एक बार देखिए। digits वाला test हर fraction पास करता है और यह constant fail करता है — पर वह लक्षण है, सबूत नहीं। search की अपनी हद है, और 313 पर वह हद दिख जाती है।

13:04शब्द सिर्फ़ 1 बात मना करता है — 2 पूरी संख्याओं के भाग की शक्ल में बन जाना। वह न तो जानने से मना करता है, न ठीक-ठीक लिखने से, और न खींचने से। पर उसी अकेली मनाही से सबसे क़रीब वाला fraction ग़ायब हो जाता है। इसीलिए हम एक चुनते हैं, और जानते हैं कि क्या चुन रहे हैं — 22 बटा 7, या 355 बटा 113। एक 2 places तय करता है, दूसरा 6।

13:31और लिखते वक़्त 'लगभग' लिखते हैं, 'बराबर' नहीं। पूरी ईमानदारी इतनी ही है।