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Chapter 2 · The Baudhāyana-Pythagoras Theorem

समद्विबाहु समकोण triangle: उसका hypotenuse a√2 ही क्यों होना चाहिए

The theorem, and the number it produces13 मिनट

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2 भुजाएँ 1 लंबी, बीच में 90 degree का कोना, तो तीसरी भुजा कितनी? 1 और 1 जोड़कर 2 नहीं, वो मुड़ा हुआ रास्ता है, और पैमाना भी जवाब नहीं देता।

मुख्य idea

इस hypotenuse तक तुम उसे नापकर नहीं पहुँच सकते, और दोनों legs को जोड़कर तो बिल्कुल नहीं। जिस चीज़ तक तुम length जाने बिना भी पहुँच सकते हो, वह है उस पर बने square का area — क्योंकि वह square ठीक §2.1 वाला दुगुना करने का construction है, इसलिए उसका area किसी leg पर बने square के area का दुगुना है। area को दो तरह से लिखो, c × c और 2a², और length अपने-आप निकल आती है: c² = 2a², इसलिए c = a√2. साथ ले जाने लायक़ चाल यह है कि एक length को area के ज़रिए ढूँढ़ा गया, और यही चाल सामान्य theorem एक section बाद चलेगा।

आपको क्या आना चाहिए

  • right triangle के hypotenuse को right angle के सामने वाली side के रूप में पहचानना
  • legs 1 वाला समद्विबाहु right triangle दिया हो, तो उस hypotenuse पर बने square का area निकालकर hypotenuse ढूँढ़ना
  • chapter की अक्षरों वाली figure को समझना और बताना कि किस square का area 1 है और किसका area 2
  • बताना कि unit समद्विबाहु right triangle का hypotenuse ऐसी length है जिसका square 2 है, और उसे radical sign से लिखना
  • length a वाले legs तक सामान्य करना और उसी figure से c² = 2a² निकालना
  • संबंध को आगे की दिशा में इस्तेमाल करना, legs से hypotenuse पाने के लिए, और पीछे की दिशा में, hypotenuse से legs पाने के लिए
  • candidates का square करके किसी अटपटे hypotenuse को दो पूर्ण संख्याओं के बीच, और फिर एक decimal वाली दो संख्याओं के बीच घेरना
  • पहचानना कि square का diagonal और समद्विबाहु right triangle का hypotenuse एक ही segment हैं, इसलिए diagonal वाला सवाल और hypotenuse वाला सवाल एक ही सवाल है

जानने लायक़ शब्द

Termएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
hypotenuseright triangle में right angle के सामने वाली sideकर्णइसी chapter में bold में छपा (Part II, §2.3, p.37)
isosceles right triangleऐसा right triangle जिसके दोनों legs बराबर होंसमद्विबाहु समकोण त्रिभुजइसी chapter में छपा (Part II, §2.3, p.37)
right triangleएक right angle वाला triangle; chapter इसे right-angled triangle भी लिखता हैसमकोण त्रिभुजइसी chapter में छपा (Part II, §2.3, p.37)
sq. unitsarea की square units के लिए chapter का संक्षिप्त रूपवर्ग इकाईइसी chapter में छपा (Part II, §2.3, p.37)
PEAR§2.3 की figure में unit square के लिए chapter के अक्षरPEARइसी chapter में छपा (Part II, §2.3, p.37)
RESTउस square के diagonal पर खड़े square के लिए उसके अक्षरRESTइसी chapter में छपा (Part II, §2.3, p.37)
General Solutionunit वाली स्थिति से length a वाले legs तक के क़दम के लिए chapter का bold उपशीर्षकसामान्य हलइसी chapter में छपा (Part II, §2.3, p.40)
legright triangle की दो छोटी sides में से कोई भीसमकोण भुजाइस chapter में कहीं नहीं छपा; chapter दो बराबर sides और perpendicular sides की बात करता है और उनमें से किसी को एक अकेला नाम नहीं देता
boundऐसी संख्या जिसके बारे में पता हो कि वह ढूँढ़ी जा रही value से नीचे, या ऊपर हैपरिबंधइसी chapter में lower bound और upper bound के रूप में छपा (Part II, §2.3, p.38)
radical signकिसी संख्या से पहले लिखा जाने वाला चिह्न, जिसका मतलब है वह length जिसका square वह संख्या हैकरणी चिह्नइस पाठ का शब्द; chapter चिह्न इस्तेमाल करता है पर उसे कभी नाम नहीं देता

Hindi column में standard Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 Part II का Hindi संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं, standard शब्दावली मानें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "hypotenuse 1 + 1 = 2 है।" legs को जोड़ देना सबसे आम गलत चाल है, और इसे ख़त्म करना आसान है: 2 दोनों legs के साथ-साथ मुड़े हुए रास्ते की length है, और सीधा रास्ता छोटा होता है। दोनों बनाओ और student को देखने दो कि कौन लंबा है।
  • "hypotenuse सबसे लंबी side है, इसलिए वह लगभग 1.5 होगा।" अनुमान लगाना ठीक है; अनुमान पर रुक जाना ठीक नहीं। chapter का जवाब ऐसी length है जिसका square ठीक 2 है, और अगला topic दिखाता है कि कोई terminating decimal और कोई fraction वह length नहीं हो सकता।
  • "√2 का मतलब है आधा लेना।" radical sign का आधा करने से कोई लेना-देना नहीं। अगर student इसे 2 पर कोई क्रिया समझे, तो वह 1 निकाल लेगा। परिभाषा पर ज़ोर दो: वह length जिसका square 2 है।
  • **"c² = 2a² का मतलब c = 2a।"** दो चीज़ों के गुणनफल का square root लेने का मतलब है दोनों का square root लेना। यह इस section की सबसे आम algebra वाली चूक है, और Example 1 इसे पकड़ने की अच्छी जगह है: अगर c होता 2a, तो legs 12 का जवाब 24 होता, न कि 16 और 17 के बीच की कोई संख्या।
  • "hypotenuse ढलान वाली side है।" वह right angle के सामने वाली side है। Part II p.53 की exercise figures में अलग-अलग चित्रों में right angle ऊपर, नीचे-बाएँ और एकदम बाईं तरफ़ बैठा है, और छह में से तीन में लिखी हुई side leg नहीं, hypotenuse है — वे जिन पर 40/41, 10/√200 और 27/45 लिखा है। जो student "तिरछी वाली" ढूँढ़ेगा, वह figure गलत पढ़ेगा।
  • **"यह Pythagoras theorem है, तो बस a² + b² = c² लगा दो।"** अभी नहीं। chapter ने यह अभी साबित नहीं किया; वह पहले समद्विबाहु वाली स्थिति तक, दुगुना करने वाले construction से, पहुँचता है, और सामान्य theorem §2.4 में आता है। यह क्रम सही रखना ज़रूरी है, क्योंकि यहाँ समद्विबाहु वाला नतीजा सामान्य वाले का पूर्वज है, उसका corollary नहीं।
  • "16 और 17 के बीच कोई जवाब नहीं है।" यह ठीक वही जवाब है जो chapter चाहता है, और यह एक असली कौशल है। जिस bound को तुम सही ठहरा सको, वह calculator से उतारे गए decimal से बेहतर है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 2.3 Q2, Figure it Out · 2.3 Q3, Figure it Out · 4 Q1

पूरा transcript2,027 शब्द

यहाँ एक triangle है, जिसकी 2 भुजाएँ 1 लंबी हैं, और उनके बीच 90 degree का कोना है। तीसरी भुजा की लंबाई साफ़ नहीं दिखती, और पैमाने से नापकर भी ये बात पक्की नहीं होती। इसे कहीं देखकर नहीं बताया जा सकता, इस तक तर्क से ही पहुँचना होगा। और रास्ता थोड़ा घुमावदार लगेगा, क्योंकि हम सीधे लंबाई के पीछे नहीं जाएँगे। हम एक क्षेत्रफल ढूँढेंगे, और लंबाई उसी में से निकल आएगी।

क्षेत्रफल के रास्ते लंबाई तक पहुँचना, यही इस पूरी बात का मूल विचार है। पहले वो जवाब, जो सबसे पहले मन में आता है, 1 और 1 मिलकर 2 होते हैं। पर देखिए, ये 2 मुड़े हुए रास्ते की लंबाई है, पहले एक भुजा पर चलकर, फिर दूसरी पर ऊपर। तीसरी भुजा सीधा रास्ता है, और सीधा रास्ता, मुड़े हुए रास्ते से छोटा होता है। तो 2 बहुत बड़ा है, ये ऊपर की हद है, जवाब नहीं।

अगला अंदाज़ा अक्सर 1 दशमलव 5 होता है, और ये बुरा अंदाज़ा नहीं है। पर 1 दशमलव 5 को उसी से गुणा करें, तो 2 दशमलव 2 5 मिलता है, इसे थोड़ी देर याद रखिए। अंदाज़ा लगाना ठीक है, पर अंदाज़े पर रुक जाना ठीक नहीं। जिस भुजा के पीछे हम हैं, उसका एक नाम है, hypotenuse। और इसकी पहचान ठीक से समझनी ज़रूरी है, क्योंकि ये तस्वीर के झुकाव पर नहीं टिकी।

वो भुजा, जो 90 degree वाले कोने के सामने है, hypotenuse कहलाती है, और बाकी दोनों भुजाएँ उसी कोने पर मिलती हैं। इसी triangle को 3 तरह से घुमाइए, तो 90 degree का कोना 3 अलग कोनों पर जाता है। पर हर बार, उसके सामने वाली भुजा, वही hypotenuse रहती है। ये फ़र्क तब काम आता है, जब कोई तस्वीर हाथ में दी जाए। एक तस्वीर में निशान वाली भुजाएँ 40 और 41 हैं, और यहाँ 41 वाली भुजा, 90 degree वाले कोने के सामने है।

तो यहाँ hypotenuse 41 वाली भुजा है, चाहे वो तस्वीर में तिरछी न दिखे। दूसरी तस्वीर में निशान 27 और 45 हैं, और 45 वाली भुजा कोने के सामने है, वही hypotenuse है। तीसरी तस्वीर में 90 degree का कोना सबसे ऊपर है, एक भुजा 10 है, और सामने वाली भुजा वो लंबाई है, जिसका उसी से गुणा 200 है। इन 3 तस्वीरों में से 3 में, बड़ा निशान ही hypotenuse है, यानी कोने के सामने वाली भुजा।

तिरछी दिखने वाली भुजा ढूँढेंगे, तो ऐसी तस्वीरें ग़लत पढ़ी जाएँगी। अब अपने triangle पर लौटिए, और घुमावदार रास्ते का पहला कदम लीजिए। इसी जैसा एक और triangle लीजिए, और उसे पलटकर पहले वाले से सटा दीजिए। दोनों मिलकर एक square बनाते हैं, जिसकी भुजाएँ 1 हैं, और क्षेत्रफल 1 है। और दोनों triangles उसके ठीक आधे हैं, यानी 1 बटा 2 के। तो जो भुजा हम ढूँढ रहे हैं, वो इस square का diagonal है।

ये बात अलग से कहने लायक है, triangle का hypotenuse और square का diagonal, एक ही segment है। तो एक के बारे में जो भी पता चले, वो दूसरे के बारे में भी पता चल जाता है। और square के diagonal के बारे में, एक बात हम पक्की कर सकते हैं। उस diagonal को एक भुजा मानकर, उस पर एक नया square खड़ा कीजिए। ये नया square, पुराने square के साथ तिरछा खड़ा दिखता है।

इसका क्षेत्रफल पुराने square से ठीक 2 गुना है, और ये गिनकर देखा जा सकता है। नए square को उसके बीच से, 4 triangles में बाँटिए, और हर triangle, हमारा वही शुरू वाला triangle है। पुराना square ऐसे 2 triangles का है, और नया square ऐसे 4 triangles का, यानी 2 गुना। इन 4 में से 1 triangle तो पुराने square का ही आधा हिस्सा है, जो नए square के अंदर बैठा है।

पुराने square का क्षेत्रफल 1 है, तो नए square का क्षेत्रफल 2 है। और ध्यान दीजिए, एक ऐसे square का क्षेत्रफल पता चल गया, जिसकी भुजा हम नाप नहीं सकते, यही घुमावदार रास्ते का फ़ायदा है। अब इस क्षेत्रफल को 2 अलग तरीकों से लिखिए। पहला तरीका अभी मिला, नए square का क्षेत्रफल 2 है। दूसरा तरीका वही है, जिससे किसी भी square का क्षेत्रफल लिखा जाता है, भुजा गुणा भुजा।

इस भुजा का नाम c रखते हैं, क्योंकि यही हमारा hypotenuse है, तो क्षेत्रफल c गुणा c है। एक ही क्षेत्रफल के 2 रूप हैं, तो दोनों बराबर हैं, यानी c गुणा c, 2 के बराबर है। यही जवाब है, उसी रूप में जिसमें वो मिल सकता है, hypotenuse वो लंबाई है, जिसे उसी से गुणा करने पर 2 मिलता है। इसे 2 के आगे एक निशान लगाकर लिखते हैं, और उस निशान का मतलब बस इतना है, वो लंबाई, जिसका उसी से गुणा, निशान के नीचे वाली संख्या है।

इस निशान को कोई काम मत समझिए, जैसे 2 को आधा करना। देखिए, 2 का आधा 1 है, और 1 गुणा 1 करने पर भी 1 ही रहता है, 2 नहीं। तो ये लंबाई 1 नहीं है, ये 1 वाली भुजाओं से लंबी है। अब 1 दशमलव 5 पर लौटिए, उसका उसी से गुणा 2 दशमलव 2 5 है, यानी 2 से ज़्यादा। तो 1 दशमलव 5 बड़ा पड़ता है, गुणा में ठीक 1 बटा 4 ज़्यादा।

और 1 दशमलव 4 को उसी से गुणा करें, तो 1 दशमलव 9 6 मिलता है, जो 2 से 1 बटा 25 कम है। तो ये लंबाई, 1 दशमलव 4 और 1 दशमलव 5 के बीच है, और दोनों तरफ़ जाँच हो चुकी है। इस पूरे तर्क में, 1 की कहीं ज़रूरत नहीं पड़ी। तो अब बराबर भुजाएँ 1 लंबी नहीं, a लंबी लीजिए, और उनके बीच 90 degree का कोना।

एक भुजा पर बने square का क्षेत्रफल a गुणा a है, और hypotenuse पर बने square का उससे 2 गुना। और उसी square का क्षेत्रफल c गुणा c भी है, क्योंकि square का क्षेत्रफल भुजा गुणा भुजा होता है। तो c गुणा c, 2 गुणा a गुणा a के बराबर है, यही वो संबंध है। यहाँ 5 अलग squares पर जाँचा गया, और 5 में से 5 पर, diagonal वाला square ठीक 2 गुना निकला।

और 6 अलग भुजाओं पर, 1 बटा 2 से लेकर 12 तक, ये संबंध तस्वीर से 6 में से 6 बार मिला। तर्क का क्रम भी देखिए, ये 90 degree वाले triangles के किसी बड़े नियम से नहीं आया। ये squares की एक बनावट से, सीधे आया है। अब वो ग़लती, जिसकी तरफ़ ये संबंध खींचता है, और जो बहुत से लोगों से एक बार होती है। लगता है, कि अगर c गुणा c, 2 गुणा a गुणा a है, तो c बस a का 2 गुना होगा।

ये ग़लत है, और ये देखना ज़रूरी है, कि कितना ग़लत। अगर c, a का 2 गुना होता, तो c गुणा c, 2 a गुणा 2 a होता, यानी 4 गुणा a गुणा a। यानी a गुणा a का 4 गुना, 2 गुना नहीं, दोगुना करना 2 बार हो गया। यहाँ 6 अलग भुजाओं पर जाँचा गया, और 6 में से 6 बार, ये ग़लत तरीका अलग जवाब देता है।

भुजा 12 पर, सही तरीका 288 देता है, और ग़लत तरीका 576, ठीक दोगुना। संबंध को उसी रूप में रखिए, जो सच है, और लंबाई सबसे आख़िर में निकालिए। अब इसे काम पर लगाइए, 2 बराबर भुजाएँ, दोनों 12 की। तो c गुणा c, 2 गुणा 12 गुणा 12 है, यानी 2 गुणा 144, जो 288 है। पर 288 किसी पूरी संख्या का उसी से गुणा नहीं है, तो कोई पूरा जवाब नहीं लिखा जा सकता।

ये हार नहीं है, यही जवाब है, और इसे जितना चाहें, उतना कसकर घेरा जा सकता है। देखिए, 16 गुणा 16 करें, तो 256 मिलता है, यानी 288 से कम। और 17 गुणा 17 करें, तो 289 मिलता है, यानी 288 से ज़्यादा। तो hypotenuse 16 और 17 के बीच है, और दोनों तरफ़ जाँच हुई है। दोनों तरफ़ ज़रूरी हैं, 15 और 16, दोनों का उसी से गुणा 288 से कम है, तो वो इसे घेरते नहीं।

और ग़लत जवाब 24 से मिलाइए, वो तो 16 और 17 के बीच भी नहीं है। ये संबंध उलटी तरफ़ भी उतना ही अच्छा चलता है। अगर hypotenuse दिया हो, तो बराबर भुजाएँ कैसे मिलेंगी? अगर c गुणा c, 72 है, तो 2 गुणा a गुणा a भी 72 है, यानी a गुणा a, 36 है। और 36 तो पूरी संख्या का उसी से गुणा है, 6 गुणा 6, तो दोनों बराबर भुजाएँ ठीक 6 की हैं।

उलटकर जाँचिए, 2 गुणा 6 गुणा 6, फिर से 72 है, बात पूरी बैठती है। अब hypotenuse 10 लीजिए, 10 गुणा 10 यानी 100, और ये 2 गुणा a गुणा a है, तो a गुणा a, 50 है। पर 50 किसी पूरी संख्या का उसी से गुणा नहीं है, तो इसे घेरते हैं। यहाँ 7 गुणा 7 से 49 मिलता है, और 8 गुणा 8 से 64, तो दोनों भुजाएँ 7 और 8 के बीच हैं।

अब वो तस्वीर, जिसमें 90 degree का कोना सबसे ऊपर था। वहाँ कोने पर एक भुजा 10 थी, और सामने वाली भुजा का उसी से गुणा 200 था। अगर ये triangle isosceles हो, तो hypotenuse का उसी से गुणा, 2 गुणा 10 गुणा 10, यानी ठीक 200 होगा। और निशान ठीक यही कहता है, यानी ये तस्वीर, 10 और 10 भुजाओं वाले isosceles triangle से पूरी मेल खाती है। इन 3 तस्वीरों में से, बराबर भुजाओं वाली बस 1 है, और वो यही है।

ऐसी तस्वीर में, एक पंक्ति का हिसाब ही काफ़ी है। और कोई भी घेरा, इसी तरीके से और कसा जा सकता है। अब 7 दशमलव 0 को उसी से गुणा करें, तो 49 मिलता है, और 7 दशमलव 1 का, 50 दशमलव 4 1 मिलता है। तो 50 इन दोनों के बीच है, यानी भुजा 7 दशमलव 0 और 7 दशमलव 1 के बीच है। सिर्फ़ 2 बार गुणा करके, जवाब दशमलव के पहले अंक तक पकड़ में आ गया।

और 2 बार और, तो जवाब 7 दशमलव 0 7 और 7 दशमलव 0 8 के बीच, दूसरे अंक तक। यही काम 5 triangles पर एक साथ, जिनकी बराबर भुजाएँ बोर्ड पर लिखी हैं, सबसे छोटी 3 की, और सबसे बड़ी 9 की। इन 5 में से किसी का भी hypotenuse, पूरी संख्या नहीं निकलता। भुजा 3 पर, c गुणा c, 18 है। यहाँ 4 दशमलव 2 का उसी से गुणा 17 दशमलव 6 4 है, और 4 दशमलव 3 का 18 दशमलव 4 9, तो hypotenuse इन दोनों के बीच है।

और भुजा 6 पर, hypotenuse का उसी से गुणा 72 आता है, वही 72, जो उलटी तरफ़ वाले सवाल में था। बोर्ड पर हर triangle का घेरा लिखा है, और 5 में से 5 घेरे, सच में अपनी लंबाई को घेरते हैं। एक आख़िरी बात, और ये मुफ़्त में मिलती है। भुजा 5 वाला एक square लीजिए, उसका diagonal कितना लंबा है? ये तो हो चुका है, ये diagonal, 5 और 5 भुजाओं वाले isosceles triangle का hypotenuse है।

तो उसका उसी से गुणा, 2 गुणा 5 गुणा 5 है, यानी ठीक 50 है। ये वही 50 है, जो hypotenuse 10 वाले सवाल में, भुजा के लिए आया था, एक बिल्कुल अलग लगने वाले सवाल से। एक सवाल diagonal का था, एक hypotenuse का, और हिसाब एक ही निकला। यहाँ 5 अलग squares पर देखा गया, और 5 में से 5 में, diagonal उसी square के isosceles triangle का hypotenuse निकला।

और आख़िर में एक चेतावनी, ये संबंध 90 degree के कोने का है, सिर्फ़ बराबर भुजाओं का नहीं। जिस triangle की 2 बराबर भुजाएँ 5 की हों, और तीसरी 6 की, वो भी isosceles है, पर 6 गुणा 6 से 36 मिलता है, 50 नहीं। और तीसरी भुजा 8 की हो, तो 8 गुणा 8 से 64 मिलता है, फिर भी 50 नहीं। और बराबर भुजाएँ 1 की हों, तीसरी भी 1 की, तो 1 गुणा 1 से 1 ही मिलता है, 2 नहीं।

यहाँ ऐसे 4 isosceles triangles जाँचे गए, और संबंध 4 में से बस 1 पर सच निकला। वो, जिसकी बराबर भुजाओं के बीच 90 degree का कोना है, और तीसरी भुजा का उसी से गुणा ठीक 50 है। बराबर भुजाएँ काफ़ी नहीं हैं, असली काम उनके बीच का 90 degree का कोना करता है। तो याद रखने की बात, एक लंबाई, क्षेत्रफल के रास्ते मिली, c गुणा c, 2 गुणा a गुणा a के बराबर है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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