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Chapter 2 · The Baudhāyana-Pythagoras Theorem

√2 न terminating decimal है, न fraction — क्यों

The theorem, and the number it produces14 मिनट

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भुजा 1 वाले square की diagonal वो लंबाई है, जिसका उसी से गुणा 2 है। अंदाज़ों का उसी से गुणा करके घेरा कसता जाता है, 1.4 और 1.5, फिर 1.41 और 1.42, फिर 1.414 और 1.415, पर कोई अंदाज़ा ठीक 2 पर नहीं बैठता।

मुख्य idea

candidates का square करते रहने से तुम √2 के हमेशा और क़रीब पहुँचते जाते हो, पर उस पर कभी उतरते नहीं, और आगे कितना भी square करो, इससे यह पता नहीं चल सकता कि यह तरीक़े की कमी है या संख्या की। दो तर्क इसे तय करते हैं, और दोनों एक ही तरह काम करते हैं: वे ऐसी चीज़ गिनते हैं जो जवाब में होनी चाहिए और हो नहीं सकती। decimal वाला तर्क आख़िरी digit को देखता है: रुकने वाले decimal का आख़िरी digit zero नहीं होता, उसका square करने पर भी आख़िरी digit zero नहीं रहता, और 2 में point के बाद कोई digit है ही नहीं। fraction वाला तर्क देखता है कि prime 2 कितनी बार आता है: किसी square में हर prime even बार इस्तेमाल होता है, इसलिए 2n² = m² के लिए एक तरफ़ prime 2 odd बार चाहिए और दूसरी तरफ़ even बार। कोई भी तर्क खोजबीन नहीं करता। दोनों साफ़ इनकार करते हैं।

आपको क्या आना चाहिए

  • squares के areas की तुलना करके √2 को 1 और 2 के बीच घेरना, और 1 को lower bound और 2 को upper bound कहना
  • candidates का square करके bound को दसवें, सौवें और हज़ारवें हिस्सों तक कसना, और chapter के तीनों bounding boxes पढ़ना
  • आख़िरी-digit वाले तर्क से समझाना कि यह कसना कभी ख़त्म क्यों नहीं होता
  • यह निष्कर्ष बताना कि √2 का decimal विस्तार रुकता नहीं
  • fraction वाली मान्यता रखना, 2n² = m² तक पहुँचना, और prime 2 के exponent के even-odd होने से विरोधाभास निकालना
  • बताना कि दोनों नतीजों में से कौन-सा ज़्यादा मज़बूत है, और chapter फिर भी दोनों क्यों देता है
  • bound और value में, और काटे गए decimal और ख़ुद संख्या में फ़र्क़ करना
  • fraction वाले सबूत का श्रेय वैसे ही देना जैसे chapter देता है, Euclid के Elements को, जिसे chapter लगभग 300 BCE का बताता है

जानने लायक़ शब्द

Termएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
lower boundऐसी संख्या जिसके बारे में पता हो कि वह ढूँढ़ी जा रही value से नीचे हैनिम्न परिबंधइसी chapter में छपा (Part II, §2.3, p.38)
upper boundऐसी संख्या जिसके बारे में पता हो कि वह उससे ऊपर हैउच्च परिबंधइसी chapter में छपा (Part II, §2.3, p.38)
terminating decimalऐसा decimal जिसके digits ख़त्म हो जाते हैंसांत दशमलवइसी chapter में छपा (Part II, §2.3, p.38)
non-terminating decimalऐसा decimal जिसके digits कभी ख़त्म नहीं होतेअसांत दशमलवइसी chapter में छपा (Part II, §2.3, p.39)
decimal representationdecimal point के साथ digits में संख्या लिखने का तरीक़ादशमलव निरूपणइसी chapter में उपशीर्षक के रूप में छपा (Part II, §2.3, p.38)
fractionएक गिनती की संख्या के ऊपर दूसरी रखकर लिखी गई संख्याभिन्नइसी chapter में छपा (Part II, §2.3, p.39)
counting numbers1, 2, 3, … — अंश और हर के लिए मान्य संख्याओं के लिए chapter का शब्दगिनती की संख्याएँइसी chapter में छपा (Part II, §2.3, p.39)
prime factorizationकिसी संख्या को primes के गुणनफल के रूप में लिखना, इस book में इसी spelling के साथअभाज्य गुणनखंडनइसी chapter में छपा (Part II, §2.3, p.39)
square numberऐसी संख्या जो किसी पूर्ण संख्या को उसी से गुणा करने पर मिलेवर्ग संख्याइसी chapter में छपा (Part II, §2.3, p.39)
ElementsEuclid की book, जिसे chapter लगभग 300 BCE का बताता है, और जिसे fraction वाले सबूत का श्रेय दिया गया हैएलिमेंट्सइसी chapter में छपा (Part II, §2.3, p.39)
proof by contradictionजो चाहिए उसका उलटा मान लेना और उसे किसी असंभव बात तक ले जानाविरोधोक्ति द्वारा उपपत्तिइस पाठ का शब्द; chapter यह तरीक़ा दो बार चलाता है पर इसे नाम नहीं देता
irrational numberउस संख्या का standard नाम जो गिनती की संख्याओं का कोई fraction नहीं हैअपरिमेय संख्याइस chapter में बिल्कुल नहीं छपा; व्याख्या में इसका इस्तेमाल मत करो

Hindi column में standard Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 Part II का Hindi संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं, standard शब्दावली मानें। prime factorization उसी spelling में दिया गया है जो book छापती है।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "√2 = 1.41421356." यह काटा हुआ रूप है, और यह वह संख्या है जितनी calculator में जगह थी। इसका square 2 नहीं है। इसे निकालो और कमी दिखाओ।
  • "non-terminating का मतलब है कि वह fraction नहीं है।" इस topic का सबसे ज़रूरी सुधार, और यही वजह है कि chapter को दो अलग तर्क चाहिए। एक तिहाई ऐसा fraction है जिसका decimal कभी नहीं रुकता। Section 11 इसी को ठीक करने के लिए है।
  • "तो दोनों सबूत एक ही सबूत दो बार हैं।" नहीं, और संबंध एक ही दिशा में चलता है: हर रुकने वाला decimal fraction के रूप में लिखा जा सकता है — 1.414 का मतलब 1414 बटा 1000 है — इसलिए fraction वाला नतीजा रुकने वाले decimal को पहले ही ख़ारिज कर देता है। decimal वाला तर्क दोनों में कमज़ोर है। chapter फिर भी उसे पहले चलाता है, क्योंकि bounding table हाथ में होने पर student उसी तक पहुँच सकता है, और यह एक उचित वजह है।
  • "अगर हम काफ़ी दूर तक निकालें तो pattern मिल जाएगा और वह दोहराएगा।" chapter दोहराव की बात उठाता ही नहीं, और व्याख्या को भी नहीं उठानी चाहिए — दोहराने वाले decimals बाद का topic हैं। वह जो स्थापित करता है वह यह है कि विस्तार रुकता नहीं, और कि कोई fraction उसे पैदा नहीं करता।
  • "हर prime even बार आता है।" सिर्फ़ squares में। बारह में दो दो बार और तीन एक बार है। student को यह तथ्य सही रूप में चाहिए, वरना fraction वाले नतीजे का सबूत हवा हो जाता है।
  • "1.414 < √2 < 1.415 का मतलब है कि तीन places तक √2 = 1.414." सही है, पर मुद्दे से हटकर। bound इस बारे में कथन है कि संख्या कहाँ है, और वह कितना भी कसा हो, value नहीं बन जाता।
  • "ऐसी length हो ही नहीं सकती जिसे लिखा न जा सके।" इसे तुम ruler से एक ही बार में खींच सकते हो — यह side 1 वाले square का diagonal है। decimal या fraction के रूप में न लिखा जा सकना notation के बारे में तथ्य है, अस्तित्व के बारे में नहीं। यह साफ़-साफ़ कहना फ़ायदेमंद है, वरना दोनों सबूत student को यह एहसास दे सकते हैं कि संख्या को तर्क से ग़ायब कर दिया गया।
  • "2 का एक आख़िरी digit है, यानी 2, इसलिए आख़िरी-digit वाला तर्क फ़ेल हो जाता है।" तर्क decimal point के बाद वाले digits के बारे में है। decimal के रूप में लिखें, तो 2 में ऐसा कोई digit नहीं — या, इसी बात को दूसरे ढंग से, सब zeros हैं। यह क़दम उठाते समय decimal point को दिखता हुआ रखो।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript2,227 शब्द

एक square लीजिए, जिसकी भुजा 1 है, और उसके आमने सामने वाले कोनों को जोड़ती एक diagonal। इस diagonal पर एक नया square खड़ा करें, तो उसका क्षेत्रफल ठीक 2 निकलता है। तो diagonal की लंबाई वो है, जिसका उसी से गुणा 2 है। ये जवाब पूरा है, पर इससे लंबाई का सिर्फ़ नाम मिलता है, अंकों में उसकी लिखावट नहीं। कोई पूछे कि अंकों में ये लंबाई कितनी है, तो अभी हमारे पास इसका जवाब नहीं है।

तो आइए, सबसे सीधा तरीका आज़माएँ, अंदाज़े लीजिए, उन्हें उसी से गुणा कीजिए, और धीरे धीरे पास पहुँचिए। ये खोज 2 बार नाकाम होगी, 2 बिल्कुल अलग तरीकों से, और दोनों नाकामियाँ, उन अंकों से ज़्यादा काम की निकलेंगी। शुरुआत सबसे चौड़े घेरे से करते हैं, और लंबाइयों की जगह क्षेत्रफल देखते हैं, क्योंकि क्षेत्रफल की तुलना आसान है। जिस square की भुजा 1 है, उसका क्षेत्रफल भी 1 है।

हमें जो square चाहिए, उसका क्षेत्रफल 2 है। और भुजा 2 वाले square का क्षेत्रफल 4 है। छोटे square का क्षेत्रफल 2 से कम है, बड़े का 2 से ज़्यादा, तो हमारी लंबाई 1 और 2 के बीच कहीं है। यहाँ कुछ नापा नहीं गया, लंबी भुजा का square बड़ा होता है, तो क्षेत्रफल की तुलना ही भुजाओं की तुलना है। और दोनों सिरे अलग अलग जाँचे गए, ये बात जितनी लगती है, उससे ज़्यादा ज़रूरी है।

इन 2 संख्याओं के अपने नाम हैं। निचली सीमा 1 है, यानी वो संख्या, जिससे हमारी लंबाई ज़रूर बड़ी है। ऊपरी सीमा 2 है, यानी वो संख्या, जिससे हमारी लंबाई ज़रूर छोटी है। सीमा अंदाज़ा नहीं है, अंदाज़ा वो संख्या है जो किसी को अच्छी लगे, सीमा वो संख्या है जिसके पीछे एक वजह हो। और सीमा के 2 हिस्से होते हैं, एक हिस्सा हटा दीजिए, तो बाकी कुछ नहीं बताता।

मसलन 1 दशमलव 5 और 1 दशमलव 6 को लीजिए, इन दोनों का उसी से गुणा 2 से ज़्यादा है, तो ये बीच में कुछ नहीं घेरते। ये घेरा बहुत ढीला है, पूरी 1 इकाई चौड़ा, अब इसे कसते हैं। अब 1 और 2 के बीच, दशमलव के बाद 1 अंक वाले अंदाज़े लीजिए, और हर एक को उसी से गुणा कीजिए। शुरुआत 1 दशमलव 1 से, उसका उसी से गुणा 1 दशमलव 2 1 है, 2 से कम।

फिर 1 दशमलव 2 का उसी से गुणा 1 दशमलव 4 4 है, ये भी कम। फिर 1 दशमलव 3 का उसी से गुणा 1 दशमलव 6 9 है, अब भी कम। और 1 दशमलव 4 का उसी से गुणा 1 दशमलव 9 6 है, अब भी कम, पर बस थोड़ा सा। पर 1 दशमलव 5 का उसी से गुणा 2 दशमलव 2 5 है, और ये 2 से ज़्यादा है।

यानी 5 में से 4 अंदाज़े कम निकले, 1 ज़्यादा, तो लंबाई 1 दशमलव 4 और 1 दशमलव 5 के बीच है। बस 5 बार गुणा करके, घेरा पहले से 10 गुना तंग हो गया। अब यही काम फिर से, दशमलव के बाद 1 अंक और आगे। यहाँ 1 दशमलव 4 1 का उसी से गुणा 1 दशमलव 9 8 8 1 है, 2 से कम। और 1 दशमलव 4 2 का उसी से गुणा 2 दशमलव 0 1 6 4 है, 2 से ज़्यादा।

तो लंबाई 1 दशमलव 4 1 और 1 दशमलव 4 2 के बीच है, और घेरा अब 1 बटा 100 चौड़ा है। यहाँ सिर्फ़ 2 बार गुणा करना काफ़ी था, क्योंकि पिछला घेरा पहले से 1 दशमलव 4 पर टिका था। एक बार और, अब दशमलव के बाद 3 अंक। यहाँ 1 दशमलव 4 1 1 से लेकर 1 दशमलव 4 1 4 तक, 4 अंदाज़ों का उसी से गुणा 2 से कम निकलता है।

इनमें आख़िरी, 1 दशमलव 4 1 4 का उसी से गुणा 1 दशमलव 9 9 9 3 9 6 है, 2 के बहुत पास, पर फिर भी कम। और 1 दशमलव 4 1 5 का उसी से गुणा 2 दशमलव 0 0 2 2 2 5 है, यानी ज़्यादा। तो लंबाई 1 दशमलव 4 1 4 और 1 दशमलव 4 1 5 के बीच है। इन 3 दौरों में घेरा पूरी 1 इकाई से घटकर 1 बटा 1000 रह गया, यानी 1000 गुना तंग।

और अब वो सवाल, जो थोड़ा बेचैन करता है, पर पूछना बिल्कुल ठीक है। क्या ये खोज कभी किसी अंक पर ठीक जाकर रुकेगी? हर दौर हमें पास ले गया, पर 12 में से 0 अंदाज़ों का उसी से गुणा ठीक 2 निकला। अगला दौर भी लीजिए, 1 दशमलव 4 1 4 2 और 1 दशमलव 4 1 4 3, फिर से एक घेरा, कोई जवाब नहीं। और ज़्यादा गुणा करने से ये सवाल हल नहीं होगा, क्योंकि हर नया दौर बस एक और घेरा देता है।

कितने भी दौर चलाकर ठीक न पहुँचें, तो भी अगले दौर के बारे में कुछ पता नहीं चलता। सवाल ये नहीं कि हम कितने पास जा सकते हैं, सवाल ये है कि वहाँ पहुँचने लायक कुछ है भी या नहीं। अब वो तर्क, जो ये सवाल सुलझाता है, और वो कुछ ढूँढता नहीं, बस एक अंक देखता है। मान लीजिए कोई ऐसा दशमलव है, जो कहीं रुक जाता है, और जिसका उसी से गुणा ठीक 2 है।

रुकने वाले दशमलव का एक आख़िरी अंक होता है, और वो 0 नहीं होता, वरना वो आख़िरी अंक ही न होता। अब इसे उसी से गुणा कीजिए, जवाब का आख़िरी अंक, सिर्फ़ शुरू वाले आख़िरी अंक पर टिका होता है। देखिए, 1 का उसी से गुणा 1 पर ख़त्म होता है, 2 का 4 पर, 3 का 9 पर, 4 का 6 पर, और 5 का 5 पर। फिर 6 का 6 पर, 7 का 9 पर, 8 का 4 पर, और 9 का 1 पर ख़त्म होता है।

यानी इन 9 अंकों में से, किसी के भी गुणा का आख़िरी अंक 0 नहीं है। तो हमारे रुकने वाले दशमलव का गुणा भी, किसी ऐसे अंक पर ख़त्म होगा जो 0 नहीं है। ये बात हमारे घेरों वाले अंदाज़ों पर भी साफ़ दिखती है। जैसे 1 दशमलव 4 का आख़िरी अंक 4 है, और उसके गुणा 1 दशमलव 9 6 का आख़िरी अंक 6 है। और 1 दशमलव 4 1 4 का आख़िरी अंक भी 4 है, और उसके गुणा का आख़िरी अंक फिर से 6 है।

दशमलव के बाद 3 अंक वाली संख्या का गुणा, दशमलव के बाद 6 अंक लेकर आता है, वो रुकता है, पर 0 पर नहीं। इन घेरों में कुल 12 अंदाज़े हैं, और 12 में से 12 के गुणा का आख़िरी अंक 0 नहीं है। गुणा 0 पर तभी ख़त्म होता है, जब संख्या ख़ुद 0 पर ख़त्म हो, और 10 में से सिर्फ़ 1 अंक ऐसा है। अब 2 को दशमलव में लिखकर देखिए।

दशमलव के बाद उसमें कोई अंक नहीं है, या फिर बस 0 ही 0 हैं। तो गुणा ऐसे अंक पर ख़त्म होना चाहिए जो 0 नहीं, और साथ ही उसे 2 के बराबर होना है, जिसके बाद कुछ नहीं। दोनों बातें एक साथ नहीं हो सकतीं, तो ऐसा कोई दशमलव है ही नहीं। यानी हमारी लंबाई का दशमलव कहीं नहीं रुकता, न 3 अंकों पर, न किसी और गिनती पर।

और ध्यान दीजिए कि ये तर्क कैसा था, इसने लंबाई को कभी ढूँढा ही नहीं। इसने वो चीज़ गिनी, जो जवाब में होनी चाहिए थी, और हो नहीं सकती, ये खोज नहीं, इनकार है। इसीलिए एक ही तर्क, अनगिनत अंदाज़ों को एक साथ ख़ारिज कर देता है। अब एक दूसरा सवाल, और ये सच में अलग सवाल है। दशमलव को छोड़िए, क्या हमारी लंबाई एक भिन्न हो सकती है, यानी गिनती की एक संख्या बटा दूसरी?

ये पहले वाला सवाल नहीं है, और इसकी वजह 1 बटा 3 में दिखती है। देखिए, 1 बटा 3 एक भिन्न है, और उसका दशमलव 0 दशमलव 3 3 3 है, और उसके बाद भी 3 आते रहते हैं, रुकते नहीं। ऐसे भिन्न और भी हैं, इन 11 भिन्नों में से 5 के दशमलव कहीं नहीं रुकते, और फिर भी वो सब भिन्न ही हैं। तो जो अभी साबित हुआ, वो इस सवाल का जवाब नहीं है, दशमलव का न रुकना, और भिन्न न होना, अलग बातें हैं।

इसके लिए अलग तर्क चाहिए, और वो तर्क भी एक गिनती ही है। पहले उन संख्याओं की एक बात, जो किसी पूरी संख्या का उसी से गुणा हैं, जैसे 36, जो 6 गुणा 6 है। किसी संख्या को primes में तोड़िए, और गिनिए कि कौन सा prime कितनी बार आता है। जैसे 12 तोड़ने पर 2 गुणा 2 गुणा 3 मिलता है, यानी prime 2 की गिनती 2 है, और prime 3 की गिनती 1 है।

और 12 किसी पूरी संख्या का उसी से गुणा नहीं है। अब 36 लीजिए, ये 2 गुणा 2 गुणा 3 गुणा 3 है, यहाँ 2 की गिनती 2 है, और 3 की गिनती भी 2 है। किसी संख्या को उसी से गुणा करने पर, उसके हर prime की गिनती दोगुनी हो जाती है, इसलिए ऐसी संख्या में हर prime सम बार आता है। जैसे 2 का उसी से गुणा करें, तो उसमें 2 की गिनती 2 होती है, 4 के लिए ये गिनती 4 है, और 8 के लिए 6 हो जाती है।

और 9 संख्याओं पर ये जाँच, 9 में से 9 बार सही बताती है कि संख्या किसी पूरी संख्या का उसी से गुणा है या नहीं। अब मान लीजिए हमारी लंबाई m बटा n है, जहाँ m और n गिनती की संख्याएँ हैं। दोनों तरफ़ उसी से गुणा करें, तो 2 बराबर m गुणा m बटा n गुणा n, यानी 2 गुणा n गुणा n, m गुणा m के बराबर है।

अब दोनों तरफ़ सिर्फ़ एक चीज़ गिनिए, prime 2 कितनी बार आता है। पहले m गुणा m देखिए, ये m का उसी से गुणा है, तो इसमें prime 2 सम बार आता है। उधर 2 गुणा n गुणा n में, n गुणा n से prime 2 सम बार आता है, और आगे बैठा 2 उसमें 1 और जोड़ देता है। सम में 1 जोड़ें, तो विषम मिलता है, और विषम गिनती किसी सम गिनती के बराबर नहीं हो सकती।

तो ऐसे m और n कहीं नहीं हैं, ये तर्क भी कुछ ढूँढता नहीं, बस गिनता है। कुछ जोड़ियाँ आज़माकर देखिए, ये बहुत पास तक आती हैं। पहले 3 बटा 2 लीजिए, तो 2 गुणा 2 गुणा 2 से 8 मिलता है, और 3 गुणा 3 से 9 मिलता है। यहाँ 8 में 2 की गिनती 3 है, जो विषम है, और 9 में 2 एक बार भी नहीं आता, यानी गिनती सम है।

फिर 7 बटा 5 पर, 2 गुणा 5 गुणा 5 से 50 मिलता है, और 7 गुणा 7 से 49 मिलता है। और 17 बटा 12 पर, 2 गुणा 12 गुणा 12 से 288 मिलता है, और 17 गुणा 17 से 289 मिलता है। आख़िर में 99 बटा 70 पर भी यही होता है, 9800 के सामने 9801 आता है। इन 4 में से 4 जोड़ियों में फ़र्क ठीक 1 है, पर 4 में से 0 में दोनों तरफ़ बराबर हैं।

और 1414 बटा 1000 लीजिए, तो prime 2 की गिनती एक तरफ़ 7 है, दूसरी तरफ़ 2, विषम के सामने सम। इन 5 में से 5 जोड़ियों पर गिनती एक तरफ़ विषम, दूसरी तरफ़ सम निकलती है, संख्याएँ कितनी भी बड़ी हों। तो हमारे पास 2 नतीजे हैं, और ये एक ही नतीजा 2 बार नहीं है। इन दोनों में से ज़्यादा मज़बूत नतीजा कौन सा है? जो दशमलव रुक जाता है, वो भिन्न भी है, जैसे 1 दशमलव 4 1 4 असल में 1414 बटा 1000 है, यानी 707 बटा 500 के बराबर।

हमारे घेरों के 12 में से 12 अंदाज़े ऐसे ही भिन्न हैं। तो भिन्न वाला नतीजा, रुकने वाले दशमलव को पहले ही ख़ारिज कर चुका है, इसलिए भिन्न वाला नतीजा ज़्यादा मज़बूत है। उलटी तरफ़ ये बात नहीं चलती, 1 बटा 3 इसका गवाह है, उसका दशमलव रुकता नहीं, फिर भी वो भिन्न है। जो मान ले कि न रुकने वाला दशमलव भिन्न नहीं हो सकता, वो इन 11 में से 5 भिन्नों पर ग़लत होगा।

तो फिर कमज़ोर तर्क पहले क्यों चलाया गया? क्योंकि वो घेरों वाली तालिका से सीधा निकलता है, और जिस तर्क तक कोई ख़ुद पहुँचे, वो किसी थमाए गए बेहतर तर्क से ज़्यादा काम का है। तो आख़िर ये संख्या है क्या? ये 1 दशमलव 4 1 4 2 1 3 5 6 है, और फिर और अंक, और फिर और। एक calculator यहीं रुक जाता है, पर ये हमारी लंबाई नहीं है।

इसका उसी से गुणा करें, तो 2 से थोड़ा कम मिलता है, और ये कमी ठीक ठीक नापी जा सकती है। दशमलव के बाद 8 अंक डालें, तो गुणा में 16 अंक निकलते हैं, और आख़िरी अंक 6 है, 0 नहीं। कोई भी रुकने वाला दशमलव इस लंबाई के लिए दिया जाए, उसे यही आख़िरी अंक वाली जाँच तुरंत ख़ारिज कर देगी। पर इन 2 तर्कों से ये मत सोचिए कि ये लंबाई है ही नहीं।

इसे एक ही बार में खींचा जा सकता है, ये भुजा 1 वाले square की diagonal है, और जितनी लंबी है, उतनी ही है। दशमलव में पूरा न लिखा जा सकना, और भिन्न में न लिखा जा सकना, ये लिखने की बातें हैं, diagonal की नहीं। याद रखने की बात, घेरे पास ले जाते हैं, पर कहीं पहुँचाते नहीं। आख़िरी अंक की गिनती बताती है कि दशमलव नहीं रुकता, और prime 2 की गिनती बताती है कि ये भिन्न भी नहीं है।

और लंबाई वहीं है, square के एक कोने से उसके सामने वाले कोने तक।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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