PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 8 Mathematics · Chapter 2, The Baudhāyana-Pythagoras TheoremPrepShorts

Chapter 2 · The Baudhāyana-Pythagoras Theorem

दो अलग-अलग squares को जोड़ना: a² + b² = c²

The theorem, and the number it produces16 मिनट

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भुजा 3 और भुजा 5 वाले 2 squares मिलकर 34 इकाई क्षेत्रफल रखते हैं, पर कोई पूरी संख्या उस square की भुजा नहीं। एक निशान से 2 कट, 2 triangles का चौथाई चक्कर, और नया square सामने है: c गुणा c = 9 + 25।

मुख्य idea

मशहूर theorem वह है जो एक शर्त हटाने पर मिलता है: §2.1 में दोनों squares का एक ही size का होना ज़रूरी था, और diagonal ने उन्हें जोड़ा था। एक जैसा होने की शर्त हटा दो, और जोड़ने वाला segment अब भी एक diagonal ही है — अब square का नहीं, बल्कि बड़े square में से काटे गए एक rectangle का, जिसकी चौड़ाई छोटे square की side है। सबूत एक काट-जोड़ है, और काट-जोड़ ही तर्क है: जुड़े हुए squares की जोड़ी को एक बीच वाले टुकड़े और एक ही right triangle की दो copies में काटो, और वही तीन टुकड़े दोबारा जुड़कर triangle के hypotenuse पर खड़ा एक अकेला square बना देते हैं। दोनों जमावटों के बीच न कुछ जोड़ा जाता है, न कुछ फेंका जाता है, इसलिए areas बराबर हैं — और यह बराबरी, letters में लिखी जाए, तो a² + b² = c² है। theorem area के बारे में एक कथन है जो संयोग से length के बारे में कथन की तरह भी इस्तेमाल हो सकता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • sides a, b और hypotenuse c वाले right-angled triangle के लिए Baudhāyana का theorem बताना
  • अलग-अलग size के दो squares दिए हों, तो rectangle-और-diagonal वाले तरीक़े से एक ऐसा square बनाना जिसका area उनका कुल हो
  • chapter के construction में वह right triangle पहचानना जिसके legs दोनों दी गई sidelengths हैं
  • समझाना कि चारों hypotenuses पर बनी चार-भुजी figure square क्यों है, उसकी sides और उसके angles दोनों का तर्क देते हुए
  • काट-जोड़ वाला सबूत देना: एक बीच वाले टुकड़े और एक triangle की दो copies की दो जमावटें
  • construction को §2.1 की बराबर-squares वाली स्थिति से मिलाकर देखना और बताना कि दोनों squares एक जैसे होने पर rectangle का क्या होता है
  • 3-and-4 वाले right triangle का hypotenuse नापने से पहले अनुमान लगाना, और बनाकर पक्का करना
  • right triangle की छूटी हुई side ढूँढ़ना, तब भी जब hypotenuse अनजाना हो, और तब भी जब hypotenuse दी गई चीज़ों में से एक हो
  • theorem का श्रेय वैसे ही देना जैसे chapter देता है, और समझाना कि chapter संयुक्त नाम क्यों इस्तेमाल करता है

जानने लायक़ शब्द

Termएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
hypotenuseright triangle में right angle के सामने वाली sideकर्णइसी chapter में छपा (Part II, §2.3, p.37)
perpendicular sidesright angle पर मिलने वाली दो sides के लिए chapter का शब्दलंब भुजाएँइसी chapter में छपा (Part II, §2.4, p.42)
right-angled triangleएक right angle वाला triangle; chapter इसे right triangle भी लिखता हैसमकोण त्रिभुजइस पूरे chapter में छपा (Part II, §2.4, p.42)
congruentएक जैसे आकार और size का, इतना कि एक को दूसरे पर ठीक-ठीक रखा जा सकेसर्वांगसमइसी chapter में छपा (Part II, §2.4, p.44)
Verse 1.12Śulba-Sūtra का वह श्लोक जो दो अलग squares को जोड़ने का नुस्ख़ा देता हैश्लोक 1.12इसी chapter में छपा (Part II, §2.4, p.41)
Verse 2.1वह अगला श्लोक जिससे chapter समझाता है कि नुस्ख़ा क्यों काम करता हैश्लोक 2.1इसी chapter में छपा (Part II, §2.4, p.42)
4-sided figureचारों hypotenuses पर बनी shape के लिए chapter का जान-बूझकर सावधानी वाला नाम, उसके square साबित होने से पहलेचतुर्भुज आकृतिइसी chapter में छपा (Part II, §2.4, p.44)
T, U, V, W, Xchapter के काट-जोड़ के टुकड़ों के अक्षर; V वह टुकड़ा है जो दोनों जमावटों में साझा हैT, U, V, W, Xइसी chapter में छपा (Part II, §2.4, pp.44–45)
Baudhāyana's Theoremनतीजे का वह नाम जो chapter उसे पहली बार box में बताते समय देता हैबौधायन प्रमेयइसी chapter में छपा (Part II, §2.4, p.46)
Pythagorean Theoremवह नाम जो chapter दूसरे standard नाम के रूप में देता है, Pythagoras के नाम पर, जिन्हें लगभग 500 BCE का बताया गया हैपाइथागोरस प्रमेयइसी chapter में छपा (Part II, §2.4, p.47)
Baudhāyana-Pythagoras Theoremवह संयुक्त नाम जिसे chapter अंतरिम कहता है, और अपने शीर्षक में इस्तेमाल करता हैबौधायन-पाइथागोरस प्रमेयइसी chapter में छपा, chapter के शीर्षक में भी (Part II, p.33 और p.47)
dissection proofऐसा सबूत जो एक figure को टुकड़ों में काटकर उनसे दूसरी figure बनाकर areas की बराबरी स्थापित करता हैविच्छेदन उपपत्तिइस पाठ का शब्द; chapter ऐसे दो सबूत देता है और किसी को नाम नहीं देता

Hindi column में standard Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 Part II का Hindi संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं, standard शब्दावली मानें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • **"a + b = c."** सीधी side दो legs वाले रास्ते से छोटी होती है। 3, 4 और 5 वाला triangle दिखाओ: मुड़ा हुआ रास्ता 7 है और सीधा वाला 5.
  • **"a² + b² = c², इसलिए square root लेने पर a + b = c."** जोड़ का square root लेना square roots को जोड़ना नहीं है। यह वही गलती है एक स्तर ऊपर, और यह ज़्यादा देर टिकती है, क्योंकि यह algebra का कपड़ा पहने होती है। √(9 + 16) = 5 को 3 + 4 = 7 के बगल में एक साथ रखो।
  • "hypotenuse ढलान वाली side है।" वह right angle के सामने वाली side है। Part II p.53 पर एक चित्र में right angle ऊपर बैठा है और दूसरे में एकदम बाईं तरफ़, और छह में से तीन चित्रों में निशान लगी side leg नहीं, hypotenuse है — वे triangles जिन पर 40/41, 10/√200 और 27/45 लिखा है। जो student "तिरछी वाली" ढूँढ़ेगा, वह figure गलत पढ़ेगा और गलत संबंध लगाएगा।
  • "theorem hypotenuse देता है, इसलिए मैं हमेशा जोड़ता हूँ।" सिर्फ़ तब जब hypotenuse अनजाना हो। Part II p.47 के no.4 का item (iii) c देता है और एक leg माँगता है, और no.2 भी यही करता है — उनमें घटाना होता है। हिसाब करने से पहले दी हुई चीज़ों को छाँटना ही असली कौशल है।
  • "नुस्ख़ा इसलिए काम करता है कि चित्र सही दिखता है।" chapter काट-जोड़ पर पूरे दो pages ठीक इसीलिए लगाता है कि ऐसा नहीं है। जो व्याख्या तीन squares वाली figure दिखाकर सीधे arithmetic पर चली जाती है, उसने section की असली बात छोड़ दी।
  • "चार-भुजी figure साफ़ तौर पर square है।" chapter सावधानी से उसे तब तक चार-भुजी figure ही कहता है जब तक वह साबित न हो जाए। सिर्फ़ चार बराबर sides से rhombus मिलता है; angle वाला तर्क ही उसे square बनाता है। इस सावधानी की नक़ल करने लायक़ है — यह दिखाती है कि सबूत किसलिए होता है।
  • "तो यह §2.3 वाले से अलग theorem है।" यह वही है। a² + b² = c² में b = a रखो और तुम्हें c² = 2a² मिल जाता है। chapter student से जाँचने को कहता है कि सामान्य तरीक़ा बराबर-squares वाले तरीक़े से मेल खाता है, और section 6 को इसका जवाब देना चाहिए: जब दोनों squares एक जैसे हों, तो b − a zero है, निशान लगाया rectangle पूरा square है, और उसका diagonal square का अपना diagonal है।
  • "theorem बताता है कि triangle right-angled है।" जैसा कहा गया है, वैसा नहीं। chapter एक दिशा साबित करता है — right angle, इसलिए area वाला संबंध — और उलटी दिशा कभी साबित नहीं करता। Notes देखो; यह §2.5 से आगे मायने रखता है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 2 Q1, Figure it Out · 2 Q2, Figure it Out · 2 Q3, Figure it Out · 2 Q4, Figure it Out · 4 Q3, Figure it Out · 4 Q4, Figure it Out · 4 Q7

पूरा transcript2,505 शब्द

शुरुआत एक आसान मामले से करते हैं, जहाँ जवाब साफ़ दिखता है। भुजा 3 वाले 2 squares लीजिए, एक का क्षेत्रफल 9 है, दूसरे का भी 9, यानी मिलाकर 18 इकाई। इन्हें जोड़ने वाला square, इनमें से किसी एक की diagonal पर खड़ा होता है, और उसका क्षेत्रफल ठीक 18 है। यानी बराबर squares को एक में जोड़ने का काम, एक diagonal करती है। अब ये शर्त हटा देते हैं, कि दोनों squares एक जैसे हों।

एक square की भुजा 3 है, क्षेत्रफल 9, और दूसरे square की भुजा 5 है, क्षेत्रफल 25 है। दोनों मिलकर 34 इकाई क्षेत्रफल रखते हैं। सवाल ये है, कि क्या एक अकेला square ठीक इतना क्षेत्रफल रख सकता है, और उसकी भुजा कैसे मिले? पहला ख़याल ये आता है, कि कोई पूरी संख्या ढूँढ़ लें, जिसका उसी से गुणा 34 हो। भुजा 5 लें, तो 5 गुणा 5 से 25 मिलता है, जो 34 से कम है।

भुजा 6 लें, तो 6 गुणा 6 से 36 मिलता है, जो 34 से ज़्यादा है। तो भुजा 5 और 6 के बीच कहीं है, और कोई पूरी संख्या यहाँ काम नहीं करेगी। मतलब ये भुजा गिनकर नहीं मिलेगी, इसे बनाकर पाना होगा। इसे बनाने का एक नुस्खा है, जो तरीका तो बताता है, पर उसकी वजह नहीं बताता। एक triangle बनाइए, जिसके 90 degree वाले कोने पर मिलने वाली भुजाएँ 3 और 5 हों।

उस कोने के सामने वाली भुजा पर जो square बनेगा, नुस्खे के हिसाब से वही हमारा जवाब है। कोने के सामने वाली इस भुजा का नाम hypotenuse है। तस्वीर में ये ऐसा दिखता है, triangle की तीनों भुजाओं पर एक एक square। भुजा 3 वाले square का क्षेत्रफल 9 है, और भुजा 5 वाले square का 25 है। नुस्खा कहता है कि hypotenuse वाले square में ठीक 34 है, यानी बाकी दोनों का जोड़।

पर तस्वीर का ठीक दिखना, कोई सबूत नहीं है। आँख से क्षेत्रफल का छोटा सा फ़र्क पकड़ में नहीं आता। तो आगे हम इसकी वजह ढूँढ़ेंगे, काटकर और टुकड़ों को खिसकाकर। पर उससे पहले, 2 ग़लत रास्ते देखते हैं, जो सुनने में बिल्कुल ठीक लगते हैं। पहला ग़लत रास्ता है, भुजाओं को सीधे जोड़ देना। इसे वहाँ परखते हैं, जहाँ जवाब हमें पहले से पता हो। जिस triangle के 90 degree वाले कोने पर भुजाएँ 3 और 4 हैं, उसकी hypotenuse नापें तो 5 निकलती है।

भुजाएँ जोड़ें तो 3 और 4 से 7 बनता है, पर 7 और 5 बराबर नहीं, दोनों में पूरी 2 इकाई का फ़र्क है। असल में जोड़ने से मुड़ा हुआ रास्ता मिलता है, पहले एक भुजा के साथ आगे, फिर दूसरी के साथ ऊपर। घूमकर जाने वाला रास्ता तो लंबा होगा ही, hypotenuse सीधा रास्ता है। हमारी भुजाओं 3 और 5 पर भी यही होता है, जोड़ 8 है, और 8 गुणा 8 से 64 बनता है, जो 34 से बहुत ज़्यादा है।

दूसरा ग़लत रास्ता थोड़ा छिपा हुआ है, क्योंकि वो हिसाब जैसा दिखता है। मान लीजिए किसी ने 9 और 16 क्षेत्रफल वाले squares जोड़कर 25 पाया। जिस square का क्षेत्रफल 25 है, उसकी भुजा 5 है, क्योंकि 5 गुणा 5 से 25 बनता है। पर 9 वाले square की भुजा 3 है, 16 वाले की भुजा 4, और 3 और 4 मिलकर 7 होते हैं। यानी जोड़ वाले square की भुजा, अलग अलग भुजाओं का जोड़ नहीं होती।

ये कोई भूला हुआ नियम नहीं है, ये सीधे सीधे ग़लत है। असल में ये वही पहली ग़लती है, बस हिसाब के कपड़े पहनकर आई है। तो अब इसे बनाकर देखते हैं। दोनों squares को एक ही सीधी line पर साथ साथ रखिए, छोटा वाला पहले। अब नीचे वाली line पढ़िए, पहले 3, फिर 2, फिर 3, यानी कुल 8 इकाई। बीच का ये 2 वाला टुकड़ा, दोनों भुजाओं का फ़र्क है, 5 में से 3 घटाकर।

बराबर squares में ये टुकड़ा होता ही नहीं, इसलिए यहाँ की बनावट नई है। अब बाएँ सिरे से 5 इकाई नापकर, नीचे वाली line पर एक निशान लगाइए। ये निशान एक सिरे से 5 इकाई दूर है, और दूसरे सिरे से 3 इकाई दूर। यानी दोनों दी गई भुजाएँ यहीं आकर मिलती हैं, और आगे सब कुछ इसी एक बिंदु से निकलेगा। बड़े square के अंदर, उसके दूर वाले सिरे पर, एक rectangle देखिए।

इसकी चौड़ाई छोटे square की भुजा जितनी है, यानी 3 इकाई, और इसकी ऊँचाई 5 इकाई है। निशान से इस rectangle की diagonal खींचिए, ऊपर दूर वाले कोने तक। यही हमारा पहला कट है। अगर दोनों squares बराबर होते, तो यही rectangle पूरा square होता, और ये कट उसकी diagonal होता। कट अब भी diagonal ही है, बस जिस आकार की diagonal है, वो आकार अब square नहीं रहा। अब उसी निशान से दूसरी तरफ़ काटिए, छोटे square के ऊपर वाले कोने तक।

कुल 2 कट, और 2 triangles अलग हो जाते हैं, बीच में 5 भुजाओं वाला एक टुकड़ा बचता है। दोनों triangles में एक कोना 90 degree का है, और उस कोने पर मिलने वाली भुजाएँ 3 और 5 हैं। तो ये दोनों असल में एक ही triangle हैं, बस अलग तरह से घूमे हुए। इसलिए इनकी तीसरी भुजाएँ, यानी दोनों कट, बराबर लंबे हैं, इस लंबाई को c मान लेते हैं।

अभी हम नहीं जानते, कि c की लंबाई कितनी है। तो अब हमारे पास कुल 3 टुकड़े हैं। एक triangle, 3 और 5 वाले rectangle का आधा है, 3 गुणा 5 यानी 15, और उसका आधा 7 दशमलव 5 है। दूसरा triangle उसकी नकल है, तो उसका क्षेत्रफल भी 7 दशमलव 5 है। बीच वाला टुकड़ा बाकी हिस्सा है, 34 में से दोनों triangles के 15 घटाएँ, तो 19 बचता है।

किसी आकार को काटने से, उसका क्षेत्रफल न बढ़ता है, न घटता है। ये 34 याद रखिए, अगले कदम में बस यही चीज़ बिना बदले बची रहेगी। अब सिर्फ़ 2 triangles को हिलाइए, और कुछ नहीं। बीच वाला टुकड़ा जहाँ है, वहीं रहेगा, नज़र उसी पर रखिए। पहला triangle, बड़े square के ऊपर वाले कोने पर, चौथाई चक्कर घूमता है, और बड़े square के ऊपर बैठ जाता है। दूसरा triangle, छोटे square के ऊपर वाले कोने पर, चौथाई चक्कर उल्टा घूमता है, और छोटे square के ऊपर खड़ा हो जाता है।

और जो आकार बंद होता है, वो ये है। इसकी 4 भुजाएँ हैं, और सभी 4, किसी न किसी triangle की hypotenuse हैं, तो सभी की लंबाई c है। अंदर गए 2 अलग squares, और बाहर आया 4 बराबर भुजाओं वाला एक आकार। ये आकार क्या है, ये पूछने से पहले पक्का कर लेते हैं, कि बीच में कुछ जोड़ा या छोड़ा नहीं गया। हटाए गए 2 triangles का क्षेत्रफल 15 है, और रखे गए 2 triangles का क्षेत्रफल भी 15 है।

तो पहले भी कुल 34 इकाई, और बाद में भी कुल 34 इकाई। पर सिर्फ़ क्षेत्रफल का बराबर होना काफ़ी नहीं है, और क्यों, ये देखना ज़रूरी है। पुराने तीनों टुकड़े, वैसे के वैसे नए आकार पर रखिए, उनका जोड़ ठीक 34 है, फिर भी वो उसके अंदर नहीं समाते। अब सिर्फ़ 2 triangles लीजिए, वो अंदर तो समा जाते हैं, पर आकार का ज़्यादातर हिस्सा ख़ाली छोड़ देते हैं।

सच्चा ढकना वही है, जिसमें दोनों बातें एक साथ हों, सारे टुकड़े अंदर हों, और क्षेत्रफल का जोड़ ठीक बराबर हो। हमारी नई जमावट में, ये दोनों बातें सच हैं। तो नए आकार की 4 भुजाएँ बराबर हैं, पर सिर्फ़ इससे वो square नहीं बन जाता। ये आकार देखिए, इसकी सभी 4 भुजाएँ 5 इकाई की हैं, फिर भी ये square नहीं, ये झुका हुआ rhombus है। इसका एक भी कोना 90 degree का नहीं है।

और ये rectangle दूसरी वजह से square नहीं है, 4 और 2 भुजाओं वाले इस rectangle की diagonals बराबर हैं, पर भुजाएँ बराबर नहीं। बात कोनों से तय होगी। अगर नए आकार के सभी 4 कोने 90 degree के हों, तभी उसे square कह सकते हैं। हमारे triangle के 3 angles मिलकर 180 degree बनाते हैं। उनमें से 90 degree वाला कोना 90 ले लेता है, तो बाकी 2 angles मिलकर 90 बनाते हैं।

भुजा 3 के सामने वाला angle x मान लेते हैं, तो दूसरा angle 90 घटा x होगा। ये 4 triangles एक ही triangle की नकल हैं, तो हर एक में यही जोड़ी है, x और 90 घटा x। अब नए आकार के कोने एक एक करके देखते हैं, पर ध्यान रहे, सारे कोने एक जैसे नहीं हैं। नीचे वाला कोना, यानी हमारा निशान, नीचे की सीधी line के बीच में बैठा है।

वहाँ सीधी line का पूरा angle 180 degree है, और उस पर 2 triangles के angles टिके हैं, x और 90 घटा x। अब 180 में से x और 90 घटा x निकाल दें, तो x कट जाता है, और ठीक 90 बचता है। दाईं तरफ़ का कोना अलग है, वो बड़े square का ऊपर वाला कोना है, किसी सीधी line के बीच में नहीं। वहाँ पूरा angle 180 degree नहीं, बल्कि 90 degree है।

कट ने वहाँ से x ले लिया, तो बीच वाले टुकड़े के पास 90 घटा x बचा। फिर घूमकर आया triangle अपना x वापस ले आता है, और 90 घटा x के साथ x मिलकर 90 बनता है। बाईं तरफ़ का कोना, यानी छोटे square का ऊपर वाला कोना, ठीक ऐसा ही है, बस x और 90 घटा x की जगह बदल जाती है। अगर यहाँ भी 180 से घटाएँ, तो जवाब 90 नहीं, 180 आता है, इसलिए किसी भी कोने पर पहले देखना पड़ता है, कि वहाँ पूरा angle कितना है।

ऊपर वाला कोना किसी पुरानी भुजा को छूता ही नहीं, वहाँ दोनों घूमे हुए triangles मिलते हैं, 90 घटा x और x, जो जुड़कर 90 बनते हैं। तो नए आकार के 4 कोने 90 degree के हैं, और हर भुजा की लंबाई c है, यानी ये पक्का square है। ये square है, और इसका क्षेत्रफल 34 है। इसकी भुजा c है, तो c गुणा c का मान 34 है, यानी 9 और 25 का जोड़।

जिस triangle का एक कोना 90 degree का हो, और उस कोने पर मिलने वाली भुजाएँ a और b हों, hypotenuse c हो, उसमें a गुणा a और b गुणा b का जोड़, c गुणा c के बराबर होता है। ये असल में क्षेत्रफल की बात है, जो लंबाई निकालने के काम आती है। ध्यान रहे, hypotenuse का मतलब है, 90 degree वाले कोने के सामने की भुजा, ढलान वाली भुजा नहीं।

अपने triangle को कैसे भी घुमाइए, कोने के सामने वाली भुजा ही hypotenuse रहेगी। और c गुणा c का मान, 25 और 36 के बीच है, तो c कोई पूरी संख्या नहीं, फिर भी हमारा कट उसे ठीक ठीक खींच देता है। अब बड़े square को छोटा करते जाइए, जब तक वो छोटे square के बराबर न हो जाए। नीचे वाली line का बीच वाला टुकड़ा, घटते घटते पूरी तरह ग़ायब हो जाता है।

निशान वाला rectangle फिर से पूरा square बन जाता है, और कट उसी की diagonal बन जाता है। और नतीजा पढ़ता है, 3 गुणा 3 और 3 गुणा 3 का जोड़, यानी 2 गुणा 9, कुल 18 इकाई। ये वही जवाब है, जो बराबर squares वाली बनावट देती है, भुजा 3 वाले square की diagonal पर 18 इकाई। पुराना नतीजा हटाया नहीं गया, वो नए नतीजे के अंदर समा गया।

और यही अच्छी पहचान है, कि बड़ी बात सही दिशा में बढ़ी है, पुराना मामला उसके अंदर बिना बिगड़े बैठा है। अब इसे इस्तेमाल करते हैं, और ये दोनों दिशाओं में चलता है। आगे की दिशा में, 3 और 4 वाला triangle बनाकर hypotenuse नापें, तो क़रीब 5 इकाई निकलती है। नतीजा इसे पक्का करता है, 3 गुणा 3 यानी 9, और 4 गुणा 4 यानी 16, इनका जोड़ 25 है, जो 5 गुणा 5 के बराबर है।

तो hypotenuse ठीक 5 इकाई है, और ये नापने से पहले ही पता चल गया। भुजाएँ 5 और 12 हों, तो 25 और 144 का जोड़ 169 है, और 169 बराबर है 13 गुणा 13 के, तो hypotenuse 13 है। और hypotenuse सबसे लंबी भुजा होती है, क्योंकि c गुणा c में, a गुणा a के ऊपर, b गुणा b पूरा जुड़ा हुआ है। मसलन 3 और 4 वाले triangle में, 25 का मान 9 से 16 ज़्यादा है, और 16 से 9 ज़्यादा।

उल्टी दिशा में, ये घटाने का काम करता है। सबसे पहले ये छाँटिए, कि कौन सी भुजा hypotenuse है, यानी 90 degree वाले कोने के सामने की। मान लीजिए hypotenuse 17 है, और एक भुजा 8 है। तो 17 गुणा 17, यानी 289 में से, 8 गुणा 8, यानी 64 घटाइए, तो 225 बचता है। और 225 बराबर है 15 गुणा 15 के, तो दूसरी भुजा 15 इकाई है। दूसरी मिसाल, hypotenuse 15 और एक भुजा 9 हो, तो 225 में से 81 घटाकर 144 बचता है, यानी 12 गुणा 12, तो दूसरी भुजा 12 है।

यहाँ भी जोड़ देने की ग़लती बहुत आम है, इसलिए पहले hypotenuse पहचानना ही असली हुनर है। पर पूरी भुजाओं से पूरा जवाब मिलेगा, ये ज़रूरी नहीं। भुजाएँ 5 और 7 हों, तो 25 और 49 से 74 मिलता है। भुजाएँ 8 और 12 हों, तो 64 और 144 से 208 मिलता है। और भुजाएँ 7 और 12 हों, तो 49 और 144 से 193 मिलता है। इन 3 में से एक भी, किसी पूरी संख्या का उसी से गुणा नहीं है।

देखिए, 74 का मान 64 और 81 के बीच है, तो hypotenuse 8 और 9 के बीच है। उसी तरह 208 का मान 196 और 225 के बीच है, तो hypotenuse 14 और 15 के बीच है। और 193 का मान 169 और 196 के बीच है, तो hypotenuse 13 और 14 के बीच है। इन तीनों घेरों के दोनों सिरे अलग अलग जाँचे गए हैं। नतीजा हमें क्षेत्रफल देता है, पर उस क्षेत्रफल की भुजा पूरी संख्या हो, ये एक अलग सवाल है।

एक rhombus लीजिए, जिसकी diagonals 24 और 70 इकाई लंबी हैं। इस rhombus की diagonals, एक दूसरे को 90 degree पर काटती हैं, और एक दूसरे को आधा करती हैं। तो rhombus 4 triangles में बँट जाता है, और उनके 90 degree वाले कोने पर भुजाएँ 12 और 35 हैं। अब 12 गुणा 12 यानी 144, और 35 गुणा 35 यानी 1225, इनका जोड़ 1369 है। और 1369 बराबर है 37 गुणा 37 के, तो इस rhombus की सभी 4 भुजाएँ ठीक 37 इकाई हैं।

यहाँ जवाब सचमुच पूरी संख्या निकला, पर ये पहले से तय नहीं था। ये नतीजा जोड़ के साथ साथ, घटाव भी संभालता है। भुजा 7 वाले square में से, भुजा 5 वाला square हटाइए, तो 49 में से 25 घटाकर 24 बचता है। बचे हुए 24 वाले square की भुजा 4 और 5 के बीच है, क्योंकि 24 का मान 16 और 25 के बीच है। एक ईमानदार बात, हमने ये दिखाया कि कोना 90 degree का हो, तो ये जोड़ ठीक बैठता है।

उल्टी बात, कि जोड़ ठीक बैठे तो कोना 90 degree का होगा, एक अलग बात है, और वो यहाँ साबित नहीं हुई। भुजा ढूँढ़ते वक़्त हमें उसकी ज़रूरत नहीं पड़ी, क्योंकि वहाँ 90 degree वाला कोना तो पहले से ही दिया गया था। आख़िर में बस इतना याद रखिए, एक बिंदु से 2 कट, और 2 अलग squares मिलकर एक square बन जाते हैं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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