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Chapter 2 · The Baudhāyana-Pythagoras Theorem

square को आधा करना: दुगुना करने वाला construction उलटा चलाया हुआ

Doubling and halving a square11 मिनट

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किसी square का ठीक आधा क्षेत्रफल चाहिए, और जो बने वो भी square हो, तो बीच से काटना काम नहीं आता, उससे rectangle बनता है। भुजा आधी करने से भी नहीं, उससे क्षेत्रफल चौथाई रह जाता है।

मुख्य idea

square को आधा करने के लिए किसी नए विचार की ज़रूरत नहीं — यह दुगुना करने वाला construction ही है, दूसरे सिरे से पढ़ा हुआ। §2.1 में दिया हुआ square अंदर वाला था और नया square उसके diagonal पर बाहर की तरफ़ बनाया गया था; यहाँ दिया हुआ square बाहर वाला है, इसलिए नया square वह तिरछा square है जिसके कोने उसकी sides के midpoints पर बैठते हैं। perpendicular midlines की वही जोड़ी जिसने बाहर वाली स्थिति साबित की थी, यह स्थिति भी साबित करती है: वे तिरछे square को एक triangle की चार copies में काटती हैं और बाहरी square को आठ में, इसलिए ratio आधा ही तय है। और आधा करते समय ही side और area की उलझन से बचना नामुमकिन हो जाता है: आधी sidelength वाले square का area एक चौथाई होता है, क्योंकि उसके चार अंदर समा जाते हैं — chapter student से वे चार ढुँढ़वाता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • किसी दिए हुए square के अंदर, उसकी चारों sides के midpoints को जोड़कर, ठीक आधे area वाला square बनाना
  • समझाना कि वह अंदर वाली figure सिर्फ़ rhombus नहीं बल्कि square क्यों है, उसके diagonals से बनने वाले angles के सहारे
  • congruent triangles गिनकर आधा होना साबित करना: तिरछे square के अंदर चार, बाहरी square में आठ
  • sidelength आधी करने के बारे में chapter के अपने सवाल का जवाब देना, और बताना कि original को कितने छोटे squares भरते हैं
  • वह paper वाला मोड़ करना जिसमें sides के midpoints से होकर जाती creases पर चारों कोनों के flaps अंदर मुड़ते हैं, और flaps को ही area का तर्क बनाना
  • पहचानना कि आधा करने वाला construction वही दुगुना करने वाला construction है, बस दिए हुए और बनाए गए square की भूमिकाएँ आपस में बदली हुई हैं
  • आधा करने को एक कड़ी में बढ़ाना — आधा, चौथाई, आठवाँ — और हर step पर sidelength का ratio उन शब्दों में बताना जो chapter ने दिए हैं

जानने लायक़ शब्द

Termएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
midpoints of the sidessquare की sides के बीचों-बीच वाले चार points, जहाँ अंदर वाले square के कोने जाते हैंभुजाओं के मध्य-बिंदुइसी chapter में छपा (Part II, §2.2, p.36)
crease linespaper वाली activity में बनी मोड़ की lines, जो उन midpoints से होकर जाती हैंमोड़ की रेखाएँइसी chapter में छपा (Part II, §2.2, p.36)
PQRSमोड़ने वाली figure में अंदर के आधे-area वाले square का chapter का दिया नामPQRSइसी chapter में छपा (Part II, §2.2, p.36)
east-westhorizontal reference line के लिए Baudhāyana का शब्द, जैसा chapter बताता हैपूर्व-पश्चिमइसी chapter में पहले छपा (Part II, §2.1, p.34)
north-southउस पर perpendicular, vertical line के लिए उनका शब्दउत्तर-दक्षिणइसी chapter में पहले छपा (Part II, §2.1, p.34)
congruenceएक जैसे आकार और size वाली figures के बीच का संबंध, यहाँ triangles पर इस्तेमालसर्वांगसमताइसी chapter में छपा (Part II, §2.2, p.37), और विशेषण congruent पहले Part II p.34 पर
sidelengthएक side की length, जिसे यह book हर जगह एक ही शब्द में लिखती हैभुजा की लंबाईइसी chapter में छपा (Part II, §2.2, p.36)
rhombusचार बराबर sides वाली चार-भुजी figure, जिसमें right angles होना ज़रूरी नहींसमचतुर्भुजइसी chapter में आगे छपा (Part II, p.53, Figure it Out no.3)
corner flappaper वाली activity में अंदर मोड़े गए चार triangles में से एककोने का फलकइस पाठ का शब्द; chapter flaps दिखाता है पर उन्हें कोई नाम नहीं देता
quarter-size squareकिसी दिए हुए square से आधी sidelength वाला squareचौथाई वर्गइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा

Hindi column में standard Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 Part II का Hindi संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं, standard शब्दावली मानें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "आधी side, आधा area।" सबसे आम गलती, और chapter अपने ही सवाल से इस पर सीधा वार करता है। कुछ और कहने से पहले original के अंदर चारों चौथाई-squares बनाओ और उन्हें गिनो।
  • "आधे area वाला square आधा square है — उसे बीच से काट दो।" square को आधा काटने से rectangle बनता है। काम square बनाना है, और उसे पाने का अकेला तरीक़ा उसे तिरछा करना है।
  • "अंदर वाली figure diamond है, square नहीं।" वह square है, तिरछा। chapter जान-बूझकर सबूत माँगता है, इसलिए जो व्याख्या उसे बनाकर आगे बढ़ जाती है, उसने असली बात छोड़ दी। बराबर, perpendicular और एक-दूसरे को bisect करने वाले diagonals दिखाओ।
  • "creases कोने से कोने तक जाती हैं।" diagonals पर मोड़ने से एक छोटा triangle बनता है, square नहीं। creases midpoint से midpoint तक जाती हैं — चार, हर एक दो बगल वाली sides के midpoints को जोड़ती हुई। दो creases चार कोनों को अंदर नहीं मोड़ सकतीं, और किसी midline पर crease डालने से आधी sheet मुड़ जाएगी और PQRS कभी बनेगा ही नहीं।
  • "flaps बीच में एक-दूसरे पर चढ़ जाते हैं, इसलिए मोड़ कुछ साबित नहीं करता।" वे centre पर मिलते हैं और एक-दूसरे पर नहीं चढ़ते। figure में इसे धीरे-धीरे दिखाना ज़रूरी है, क्योंकि अगर student मानता है कि flaps चढ़ते हैं, तो उसके लिए area का पूरा तर्क ढह जाता है।
  • "आधा करना और दुगुना करना दो अलग constructions हैं जिन्हें रटना है।" वे एक ही चित्र हैं, बस नाम आपस में बदले हुए। अगर student बता सके कि कौन-सा square दिया हुआ है, तो वह एक ही figure से कोई भी नतीजा निकाल सकता है।
  • "बार-बार आधा करते रहो तो zero तक पहुँच जाओगे।" तुम हमेशा आधा करते रह सकते हो और zero तक कभी नहीं पहुँचोगे; हर step बस आधे का एक और factor है। एक वाक्य के लायक़, क्योंकि section 10 कड़ी पर चलता है।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript1,657 शब्द

किसी square के diagonal पर नया square बनाएँ, तो उसका क्षेत्रफल ठीक 2 गुना होता है। अब सवाल को उलटिए, इस बार ज़्यादा नहीं, कम क्षेत्रफल चाहिए। ये एक square है, और इसके ठीक आधे क्षेत्रफल वाला square बनाना है। लगभग आधा नहीं, बिल्कुल ठीक आधा, और जो बने, वो भी square ही होना चाहिए। यही आखिरी शर्त असली मुश्किल है, और पढ़ते हुए इसे आसानी से छोड़ दिया जाता है।

तो बनावट से पहले, वो 2 कटाइयाँ देखिए, जो ज़्यादातर लोग सबसे पहले आज़माते हैं। पहली कटाई, ठीक बीच से, सीधी ऊपर से नीचे तक। इससे क्षेत्रफल आधा होता है, 4 क्षेत्रफल वाले square से शुरू करें, तो दोनों टुकड़ों का क्षेत्रफल 2 है। पर इनमें से एक टुकड़े को देखिए, उसकी भुजाएँ 2 और 1 हैं, यानी ये rectangle है। दूसरी कोशिश, कोने से सामने वाले कोने तक, diagonal पर मोड़ना।

इससे भी क्षेत्रफल आधा होता है, यहाँ भी दोनों टुकड़ों का क्षेत्रफल 2 है। और दोनों टुकड़े triangle हैं। आधा करने के 2 ईमानदार तरीके, पर कोई भी सवाल का जवाब नहीं, आधे वाला square तिरछा ही होना चाहिए। बनावट यहाँ है, और वो सिर्फ़ 4 बिंदु हैं। अब square की चारों भुजाओं के बीच वाले बिंदु लगाइए। इन्हें क्रम से जोड़िए, और जो आकार बनता है, वही जवाब है।

उसके कोने यही 4 बीच वाले बिंदु हैं, और वो अपने एक कोने पर खड़ा है, शुरू वाले square के अंदर तिरछा। शुरू वाले square का क्षेत्रफल 4 था, और इसका क्षेत्रफल 2 है। बिल्कुल ठीक आधा, और फिर से कुछ भी नापा नहीं गया। अब तक के 3 आधे आकारों में से, सिर्फ़ 1 square है, यही वाला। पर 2 बातें अभी दिखानी बाकी हैं, कि ये सच में square है, और इसका क्षेत्रफल आधा क्यों है।

पहली बात पहले, क्योंकि तस्वीर सबूत नहीं होती। इसकी 4 भुजाएँ बराबर हैं, हर भुजा, एक भुजा के बीच से अगली भुजा के बीच तक जाती है। पर 4 बराबर भुजाएँ काफ़ी नहीं, rhombus की भी 4 बराबर भुजाएँ होती हैं, और वो square नहीं होता। फ़ैसला diagonals की जोड़ी करती है। उन्हें खींचिए, वो लंबाई में बराबर हैं, 90 degree पर मिलते हैं, और एक दूसरे को ठीक आधा काटते हैं।

जिस 4 भुजाओं वाले आकार के diagonals ये 3 काम करें, वो square होता है। ये आकार ये सारे काम करता है, इसलिए ये square है। हर शर्त काम कर रही है, किसी एक को छोड़ें, तो कोई और आकार अंदर आ जाता है। किसी rectangle के diagonals बराबर हैं, और एक दूसरे को आधा काटते हैं, पर 90 degree पर नहीं मिलते, और वो square नहीं है। किसी rhombus के diagonals 90 degree पर मिलते हैं, और एक दूसरे को आधा काटते हैं, पर बराबर नहीं हैं, और वो भी square नहीं।

किसी kite के diagonals 90 degree पर मिलते हैं, पर न वो बराबर हैं, न एक दूसरे को आधा काटते हैं। ऐसा आकार भी बनता है, जिसके diagonals बराबर हैं, और 90 degree पर मिलते हैं, पर एक दूसरे के बीच से नहीं गुज़रते, वो भी square नहीं। यहाँ 7 आकार जाँचे गए, और diagonals वाली जाँच ने उनमें से 2 को square माना, ठीक वही 2, जो सच में square हैं।

सिर्फ़ 4 बराबर भुजाओं वाली जाँच, इन्हीं 7 में से 3 को square मान लेती, और उनमें rhombus भी होता। तो rhombus वाली आपत्ति, बाल की खाल नहीं, एक सच्ची आपत्ति है। अब क्षेत्रफल की बात, और यहाँ दोगुना करने वाली तस्वीर फिर काम आती है। बाहर वाले square के बीच से, एक आड़ी line और एक खड़ी line खींचिए, एक आधी ऊँचाई पर, और दूसरी आधी चौड़ाई पर। देखिए वो कहाँ पहुँचती हैं, दोनों lines, एक बीच वाले बिंदु से, सीधे सामने वाले बीच वाले बिंदु तक जाती हैं।

यानी ये दोनों lines, तिरछे square के diagonals हैं। तिरछे square को उसके diagonal पर दोगुना करें, तो बाहर वाले square जितना बड़ा, क्षेत्रफल 4 वाला square मिलता है। ये एक ही तस्वीर है, फ़र्क सिर्फ़ इतना है, कि हाथ में कौन सा square दिया गया था। और गिनती का काम, यही 2 lines करती हैं। ये 2 lines, तिरछे square को 4 triangles में काटती हैं। ये चारों एक ही triangle हैं, हर एक की 2 भुजाएँ, बराबर diagonals के आधे हैं, और उनके बीच 90 degree का कोना है।

अब तिरछे square के बाहर देखिए, बाहर वाले square के हर कोने पर एक टुकड़ा बचा है, यानी 4 टुकड़े। ये 4 टुकड़े भी, ठीक वही triangle हैं। तो गिनिए, तिरछा square 4 टुकड़े है, और बाहर वाला square, वही 4 टुकड़े और कोनों के 4 टुकड़े, यानी 8 टुकड़े। यानी 8 टुकड़ों में से 4 टुकड़े, तिरछे square में हैं। ठीक आधा, और ये नाप नहीं, गिनती है। भुजा 1 वाले square को दोगुना करने में गिनती 2 और 4 टुकड़ों की है, यहाँ 4 और 8 टुकड़ों की, और अनुपात वही 1 बटा 2 रहता है।

तिरछे square से कहीं ज़्यादा लुभाने वाला एक जवाब है, और वो गलत है। भुजा आधी कीजिए, 2 भुजा वाले square से, 1 भुजा वाला square बनाइए। लगता है, कि इससे आधा तो मिलना ही चाहिए। पर मिलता है चौथाई, क्षेत्रफल 1, जबकि शुरू वाले square का क्षेत्रफल 4 था। वजह ये है, कि क्षेत्रफल भुजा गुणा भुजा है, तो भुजा आधी करने से, जवाब 2 बार आधा होता है।

और 1 बटा 2 गुणा 1 बटा 2, 1 बटा 4 होता है। यहाँ 5 अलग squares पर जाँचा गया, और उन सब पर, आधी भुजा से क्षेत्रफल चौथाई ही हुआ। एक ही square, 2 अलग जवाब, और फ़र्क सिर्फ़ इतना, कि आधा किस चीज़ को किया। चौथाई बिना किसी हिसाब के भी दिखाई देता है। छोटा square, बड़े square के एक कोने में बनाइए। अब उसके जैसे 3 और squares बनाइए।

वो पूरे बैठ जाते हैं, 2 आड़े और 2 खड़े, कुल 4 squares, न कुछ बचता है, न कुछ एक दूसरे पर चढ़ता है। कुल 4 squares से पूरा बनता है, तो हर एक, पूरे का चौथाई है। ये दोगुने वाली बात ही उलटी है, भुजा 2 गुना करें, तो क्षेत्रफल 4 गुना बढ़ता है, भुजा आधी करें, तो 4 गुना घटता है। आधे क्षेत्रफल वाला square तिरछा है, चौथाई क्षेत्रफल वाला छोटा सीधा square है, एक square से 2 अलग जवाब।

ये सब कागज़ के एक टुकड़े से भी किया जा सकता है। एक square कागज़ लीजिए, और उसके चारों किनारों के बीच वाले बिंदु ढूँढिए। अब 4 मोड़ बनाइए, हर मोड़, 2 पड़ोसी किनारों के बीच वाले बिंदुओं को जोड़ता है। ये 4 मोड़ मिलकर, तिरछे square की 4 भुजाएँ हैं। हर कोने को उसके मोड़ पर अंदर की तरफ़ मोड़िए, 4 कोने, 4 टुकड़े, सब बीच की तरफ़ मुड़ते हुए।

देखिए कोने कहाँ जाते हैं, चारों कोने, ठीक कागज़ के बीच वाले बिंदु पर पहुँचते हैं। ये मोड़ सिर्फ़ square बनाने का तरीका नहीं, यही सबूत है, कि क्षेत्रफल आधा है। चारों मुड़े टुकड़ों को देखिए, वो तिरछे square के अंदर हैं, कोई भी किनारे से बाहर नहीं निकलता। वो एक दूसरे पर भी नहीं चढ़ते, वो तिरछे square के 2 diagonals पर मिलते हैं, और वहीं रुक जाते हैं।

और कोई जगह खाली नहीं छोड़ते। तो चारों टुकड़े मिलकर, तिरछे square को ठीक एक बार ढकते हैं, यानी उनका क्षेत्रफल उसके बराबर है। टुकड़े और तिरछा square मिलकर पूरा कागज़ हैं, और टुकड़े, तिरछे square के बराबर हैं। तो तिरछा square कागज़ का आधा है, और इस पूरे तर्क में कहीं कुछ नापा नहीं गया। अगर मोड़ कोने से कोने तक बनाएँ, तो क्या होता है? दोनों diagonals भी कागज़ को 4 triangles में काटते हैं।

पर ये triangles, मोड़ वाले टुकड़ों से 2 गुना बड़े हैं। इनमें से एक को diagonal पर मोड़िए, तो वो ठीक अपने पड़ोसी पर जा गिरता है। यानी वो उसी जगह को ढकता है, जो पहले से ढकी हुई थी। और जो बचता है, वो कागज़ के आधे वाला triangle है, square नहीं। इसे दोबारा करने से, कोई नहीं रोकता। तिरछे square को उसी तरह आधा कीजिए, तो शुरू वाले का चौथाई मिलता है, और उसे आधा करें, तो 1 बटा 8 हिस्सा मिलता है।

क्षेत्रफल 1, 1 बटा 2, 1 बटा 4, 1 बटा 8 चलते हैं, और यहाँ 20 बार आधा करने पर भी, क्षेत्रफल कभी ख़त्म नहीं हुआ। भुजाएँ ज़्यादा दिलचस्प हैं, इस कड़ी में, हर दूसरे square की भुजा लिखी जा सकती है। पहले square की भुजा 1 है, तीसरे की 1 बटा 2, और पाँचवें की 1 बटा 4 है। बीच वालों की भुजा ऐसी है, जिसका अपने से गुणा 1 बटा 2 और 1 बटा 8 है, और 60 denominators तक का कोई भी भिन्न, ऐसा नहीं निकला।

ये वही अजीब लंबाई है, जो दोगुना करते समय भी आती है, और वो सवाल किसी और दिन के लिए है। एक आखिरी जाँच, 5 गुणा 5 बिंदुओं के जाल पर, कौन से squares बन सकते हैं? भुजा 1 आगे और 1 ऊपर चले, तो क्षेत्रफल 2, सिर्फ़ 2 आगे चले, तो 4, और 2 आगे और 1 ऊपर चले, तो 5 होता है। क्षेत्रफल 2 वाला square, यही आधा करने वाली बनावट है, 2 गुणा 2 वाले square के बीच वाले बिंदुओं पर।

पर क्षेत्रफल 3 वाला square, इस जाल पर कहीं नहीं बनता। पूछे गए 4 क्षेत्रफलों में से, 3 बनते हैं, और जो नहीं बनता, वो 3 वाला है। आगे और ऊपर के कदम 0 से 10 तक लें, तो उनकी 121 जोड़ियों में से एक भी, क्षेत्रफल 3 नहीं देती। तो आधा करना कोई नया विचार नहीं, ये दोगुना करना ही है, उलटी तरफ़ से पढ़ा हुआ। दोगुना करते समय, दिया गया square अंदर होता है, और नया square उसके diagonal पर बाहर बनता है।

आधा करते समय, दिया गया square बाहर होता है, और नया square उसकी भुजाओं के बीच वाले बिंदुओं पर अंदर बनता है। क्षेत्रफल 4 वाले square को आधा करें, तो तिरछा square 2 का है, और उसे दोगुना करें, तो फिर 4 क्षेत्रफल मिलता है। अगर पता हो, कि कौन सा square दिया गया था, तो उसी एक तस्वीर से, दोनों जवाब निकल आते हैं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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