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Chapter 2 · The Baudhāyana-Pythagoras Theorem

Baudhāyana-Pythagoras triples, और अनगिनत triples कैसे बनाएँ

Integer triples, and beyond20 मिनट

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3, 4 और 5 जैसे triples अनगिनत हैं, ये एक letter से एक ही बार में साबित हो जाता है। पर उन अनगिनत triples में नए triangles कितने हैं? scaling से एक भी नहीं, और नए आकार एक बिलकुल अलग जगह से आते हैं, विषम संख्याओं के जोड़ से।

मुख्य idea

यह section पूर्णांक triples बनाने की दो मशीनें बनाता है, और वे दो अलग-अलग सवालों के जवाब देती हैं। Scaling — किसी चलने वाली triple के हर पद को एक ही पूर्ण संख्या से गुणा करना — इसलिए काम करती है कि k² सीधे a² + b² में से बाहर निकल आता है, और इससे अनगिनत triples मिलती हैं। लेकिन इससे मिलने वाली हर triple किसी ऐसी triple की बड़ी की हुई copy है जो तुम्हारे पास पहले से थी, इसलिए यह triangle का कोई नया आकार बिल्कुल नहीं बनाती। सचमुच नई triples पाने के लिए arithmetic के एक बिल्कुल अलग कोने से दूसरा विचार चाहिए: पहली n odd संख्याओं को जोड़ने पर n² मिलता है, इसलिए (n − 1)² में nवीं odd संख्या जोड़ने पर n² मिलता है। जब भी वह nवीं odd संख्या ख़ुद एक square निकले, तुम्हारे पास एक square और एक square मिलकर एक square बनता है। तो "कितनी triples हैं?" का ईमानदार जवाब है: अनगिनत, दो बार, और दो बिल्कुल अलग वजहों से।

आपको क्या आना चाहिए

  • जाँचना कि कोई दी हुई पूर्णांक triple a² + b² = c² पूरी करती है या नहीं
  • वे triples बताना जिनके नाम chapter देता है, और वे चार नाम बताना जो chapter उनके लिए देता है
  • ऐसी हर triple की सूची बनाना जिसकी सभी entries 20 या उससे कम हों, और बताना कि उनमें से कौन-सी नए आकार हैं और कौन-सी बड़ी की हुई copies
  • k² को जोड़ से बाहर निकालकर साबित करना कि जब भी (a, b, c) triple है, तब (ka, kb, kc) भी triple है
  • समझाना कि वह सबूत अनगिनत triples स्थापित करता है पर कोई नया triangle नहीं
  • primitive triple की परिभाषा देना, और किसी दी हुई triple के primitive होने का फ़ैसला करना
  • odd संख्याओं वाले तथ्य से, और फैलाकर भी, (n − 1)² + (2n − 1) = n² निकालना
  • ऐसी odd संख्या चुनकर triples बनाना जो ख़ुद square हो, और पहचानना कि वह कौन-सा n है
  • तर्क देना कि यह दूसरी मशीन जो भी triple बनाती है वह primitive है, और ऐसी primitive triple बताना जिस तक वह नहीं पहुँच सकती

जानने लायक़ शब्द

Termएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
Baudhāyana triplesपूर्ण संख्याओं की ऐसी triples जो किसी right triangle की sides होंबौधायन त्रिकइसी chapter में bold में छपा (Part II, §2.5, p.48)
Baudhāyana-Pythagoras triplesवही, chapter के संयुक्त नाम सेबौधायन-पाइथागोरस त्रिकइसी chapter में bold में छपा (Part II, §2.5, p.48)
Pythagorean triplesवही, उस नाम से जो दुनिया भर में सबसे ज़्यादा चलता हैपाइथागोरस त्रिकइसी chapter में bold में छपा (Part II, §2.5, p.48)
right-angled triangle triplesइन्हीं चीज़ों के लिए chapter का दिया चौथा नामसमकोण त्रिभुज त्रिकइसी chapter में bold में छपा (Part II, §2.5, p.48)
scaled versiontriple के हर पद को एक ही पूर्ण संख्या से गुणा करने पर जो मिलता हैगुणित रूपइसी chapter में bold में छपा (Part II, §2.5, p.49)
primitive Baudhāyana tripleऐसी triple जिसके तीनों पदों में 1 से बड़ा कोई साझा गुणनखंड न होमूल बौधायन त्रिकइसी chapter में bold में छपा (Part II, §2.5, p.49)
conjectureउदाहरणों के आधार पर, सबूत से पहले रखा गया सामान्य कथनअनुमानइसी chapter में bold में छपा (Part II, §2.5, p.48)
common factorऐसी संख्या जो triple के हर पद को भाग देसार्व गुणनखंडइसी chapter में छपा (Part II, §2.5, p.49)
square numberऐसी पूर्ण संख्या जो किसी दूसरी पूर्ण संख्या को उसी से गुणा करने पर मिलेवर्ग संख्याइसी chapter में छपा (Part II, §2.5, p.49)
odd squareऐसी odd संख्या जो square भी हो, जिस पर दूसरी मशीन चलती हैविषम वर्गइसी chapter में छपा (Part II, §2.5, p.50)
nth odd numberस्थान n पर आने वाली odd संख्या, जिसे chapter 2n − 1 लिखता हैnवीं विषम संख्याइसी chapter में छपा (Part II, §2.5, p.49)
Verse 1.13Śulba-Sūtra का वह श्लोक जिसमें Baudhāyana triples गिनाते हैंश्लोक 1.13इसी chapter में छपा (Part II, §2.5, p.48)
shape of a triangleवह चीज़ जिसे scale की हुई triple नहीं बदलती — वही angles, अलग sizeत्रिभुज का आकारइस पाठ का शब्द; chapter scaled और primitive में फ़र्क़ करता है पर कभी नहीं कहता कि scaling क्या बचाए रखती है

Hindi column में standard Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 Part II का Hindi संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं, standard शब्दावली मानें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "अनगिनत triples का मतलब है पूर्ण-संख्या sides वाले अनगिनत अलग-अलग right triangles।" सच है, पर scaling वाले सबूत की वजह से नहीं, और यही इस section की सबसे तीखी बात है। scaling अनगिनत triples देती है जो सब वही तीन-चार triangles हैं, बड़े किए हुए। सचमुच नए triangles odd-square वाली मशीन देती है। जो व्याख्या सिर्फ़ scaling वाला सबूत चलाती है, उसने आसान सवाल का जवाब दिया है और दिलचस्प वाले को वैसा ही खड़ा छोड़ दिया है।
  • "(6, 8, 10) एक नई triple है।" यह (3, 4, 5) का दुगुना है। दोनों triangles को scale करके एक-दूसरे के ऊपर बनाओ, ताकि student एक ही आकार देखे।
  • "(30, 40, 50) और (300, 400, 500) को आज़माना अनुमान को साबित कर देता है।" नहीं करता, और chapter इस बारे में साफ़ है: वह k रखता है और algebra से जाँचता है। उदाहरण अनुमान की प्रेरणा देते हैं; सिर्फ़ letter उसे तय करता है।
  • "ratio 3 : 4 : 5 वाली कोई भी तीन संख्याएँ triple बनाती हैं।" सिर्फ़ पूर्ण-संख्या गुणज ही पूर्ण-संख्या triples देते हैं; 1.5, 2, 2.5 संबंध पूरा करता है पर पूर्णांकों की triple नहीं है, और section इसी के बारे में है।
  • "Primitive का मतलब छोटा।" इसका मतलब है कोई साझा गुणनखंड नहीं। (8, 15, 17) primitive है और (9, 12, 15) नहीं, जबकि दोनों लगभग एक ही size के हैं।
  • "हर odd संख्या से triple मिलती है।" सिर्फ़ उस odd संख्या से जो ख़ुद square हो। 9, 25, 49, 81 चलते हैं; 7, 11, 15 नहीं। students पहली कुछ odd संख्याएँ आज़माएँगे और निष्कर्ष निकालेंगे कि तरीक़ा टूटा हुआ है।
  • "odd-square वाली मशीन सबको ढूँढ़ लेती है।" नहीं — वह सिर्फ़ उन triples तक पहुँचती है जिनके बड़े leg और hypotenuse लगातार संख्याएँ हैं। Section 12 यही कहने के लिए है, और chapter का अपना Math Talk सवाल student से इस पर ध्यान देने को कहता है। Baudhāyana की सूची में इसके उलटे उदाहरण हैं।
  • "तो हमारे पास सारी triples बनाने का तरीक़ा है।" chapter कहता है कि गणितज्ञों ने ऐसा तरीक़ा ढूँढ़ा है, और उसे देता नहीं।

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पूरा transcript2,992 शब्द

शुरुआत 3 पूरी संख्याओं से करते हैं, 3, 4 और 5 से। यहाँ board पर देखिए, 3 गुणा 3 से 9 मिलता है, 4 गुणा 4 से 16, और दोनों का जोड़ 25 है, जो ठीक 5 गुणा 5 है। मतलब 90 degree के कोने पर मिलने वाली भुजाएँ 3 और 4 हों, तो hypotenuse वाले square में 25 है, यानी hypotenuse की लंबाई 5 है। ऐसी पूरी संख्याएँ a, b और c, जिनमें a गुणा a और b गुणा b का जोड़, c गुणा c के बराबर हो, triple कहलाती हैं।

इस नाम में 2 शर्तें छिपी हैं, जोड़ वाला संबंध पूरा बैठे, और तीनों संख्याएँ पूरी हों। क्या दूसरी शर्त सच में ज़रूरी है? यहाँ 3, 4 और 5 को आधा कीजिए, तो 1 दशमलव 5, 2 और 2 दशमलव 5 मिलते हैं। अब 1 दशमलव 5 का उसी से गुणा 2 दशमलव 2 5 है, 2 का उसी से गुणा 4, और दोनों का जोड़ 6 दशमलव 2 5 है, जो 2 दशमलव 5 का उसी से गुणा है।

संबंध तो पूरा बैठ गया, फिर भी ये triple नहीं है, क्योंकि 3 में से 2 संख्याएँ अब पूरी नहीं रहीं। असल में triangle वही है, बस आधे नाप में, यानी खोया आकार नहीं, खोई हैं पूरी संख्याएँ। बहुत पहले से चली आ रही एक सूची में, ऐसे 6 triples लिखे हैं। ऊपर से पढ़िए, 3, 4 और 5, फिर 5, 12 और 13, फिर 8, 15 और 17 वाला triple।

उसके बाद 7, 24 और 25, फिर 12, 35 और 37, और आख़िर में 15, 36 और 39 वाला triple। क्या ये सब सच में triples हैं? किसी सूची पर भरोसा करने से पहले, उसे जाँच लेना बेहतर है, क्योंकि लिखी हुई सूची भी ग़लत हो सकती है। जैसे 8, 15 और 17 में, 64 और 225 का जोड़ 289 है, और 17 गुणा 17 से भी 289 ही मिलता है।

और सबसे नीचे वाले में, 225 और 1296 का जोड़ 1521 है, जो 39 गुणा 39 के बराबर है। इस तरह 6 में से 6 पंक्तियाँ जाँच में खरी उतरती हैं। पहली नज़र में लग सकता है, कि ये 6 अलग अलग आकार के triangles हैं। पर क्या सच में ऐसा है? इस सूची में एक triple बाकियों जैसा नहीं है। इनमें से वो कौन सा triple है? नीचे 15, 36 और 39 को देखिए, 3 इन तीनों को पूरा पूरा बाँटता है।

तीनों को 3 से बाँटने पर 5, 12 और 13 मिलते हैं, और ये तो सूची में पहले से मौजूद है। तो ये कोई नया triangle नहीं, बल्कि 5, 12 और 13 वाला triangle ही है, 3 गुना बड़ा करके। बाकी 5 triples में, तीनों संख्याओं को एक साथ बाँटने वाली, 1 से बड़ी कोई संख्या नहीं है। यानी यहाँ 6 triples हैं, पर triangles के आकार सिर्फ़ 5 हैं।

असल में triples की गिनती और आकारों की गिनती के बीच का यही फ़र्क, इस पूरी कहानी की जड़ है। अब किसी सूची पर निर्भर नहीं रहते, ख़ुद ढूँढ़ते हैं। ऐसे सारे triples, जिनकी तीनों संख्याएँ 20 या उससे छोटी हों। आप सोच सकते हैं कि 20 तक तो बहुत सारे मिलेंगे, पर असल में कितने हैं? याद से नहीं, बल्कि छोटी से बड़ी के क्रम में, a, b और c की हर तिकड़ी आज़माकर।

ऐसी 1140 तिकड़ियाँ बनती हैं, और board पर देखिए, उनमें से सिर्फ़ 6 जाँच में खरी उतरती हैं। ये हैं 3, 4 और 5, फिर 5, 12 और 13, और फिर 6, 8 और 10 वाला triple। उसके बाद 8, 15 और 17, फिर 9, 12 और 15, और आख़िर में 12, 16 और 20 वाला triple। यहाँ कोई भी छूटा नहीं, क्योंकि हर एक तिकड़ी जाँची गई है। अब यहाँ इन 6 को ध्यान से देखिए।

पहले 6, 8 और 10, जो असल में 3, 4 और 5 का 2 गुना है। फिर 9, 12 और 15, उसी का 3 गुना है, और 12, 16 और 20, उसी का 4 गुना। तो इन 6 triples में अलग अलग आकार कितने हैं? सिर्फ़ 3, क्योंकि 6 में से 3 triples, सबसे छोटे वाले के ही बड़े रूप हैं। ऊपर बचे 3, यानी 3, 4 और 5, 5, 12 और 13, और 8, 15 और 17, किसी के बड़े रूप नहीं हैं।

मतलब जो मिला, उसका आधा हिस्सा, एक ही triangle के अलग अलग नाप थे। इसे एक बार बनाकर भी देख लेते हैं। नीचे 3, 4 और 5 वाला triangle है, और उसी कोने से शुरू होता हुआ, 6, 8 और 10 वाला triangle। यहाँ दोनों का 90 degree वाला कोना एक ही जगह है, और छोटी भुजाएँ उन्हीं दिशाओं में चलती हैं। बड़े triangle की हर भुजा, छोटे की भुजा की ठीक 2 गुनी है, 3 में से 3 भुजाओं पर।

इसलिए दोनों hypotenuse आपस में parallel हैं, और कोने वही के वही रहते हैं। तो फिर इन दोनों के बीच बदला क्या? सिर्फ़ भुजाओं की लंबाई बदली है, आकार बिलकुल वही है। पहली नज़र में 6, 8 और 10 एक नया triple लगता है, और triple तो नया है, पर triangle नया नहीं है। ये पैटर्न एक मशीन जैसा है, किसी triple की हर संख्या को एक ही पूरी संख्या से गुणा कर दीजिए।

जैसे 3, 4 और 5 को 10 से गुणा कीजिए, तो 30, 40 और 50 मिलते हैं। यहाँ 900 और 1600 का जोड़ 2500 है, और 50 गुणा 50 का नतीजा भी 2500 है, तो ये भी triple है। अब 100 से गुणा करें, तो छोटी भुजाएँ 300 और 400 हैं, और सबसे बड़ी भुजा 500 बनती है। और 90000 और 160000 मिलकर 250000 बनते हैं, जो 500 गुणा 500 है।

यहाँ लग सकता है, कि ये तो हमेशा चलेगा, और बात सच भी है। पर 2 उदाहरण देखकर हमेशा कह देना, एक अंदाज़ा ही है, और ऐसे अंदाज़े को conjecture कहते हैं। तो इसे पक्का कैसे करें? उसके लिए कुछ ऐसा चाहिए, जो 2 उदाहरण कभी नहीं दे सकते। ग़लत तरीका है और संख्याएँ आज़माते जाना, 1000 से गुणा कीजिए, फिर 10000 से, ये हर बार चलेगा, पर जाँच कभी ख़त्म नहीं होगी।

असली तरीका है, संख्याओं की जगह एक letter रख देना। मान लीजिए k कोई भी पूरी संख्या है, और भुजाएँ हैं k का 3 गुना, k का 4 गुना, और k का 5 गुना। यहाँ k के 3 गुने का उसी से गुणा, 9 गुणा k गुणा k है, और k के 4 गुने का, 16 गुणा k गुणा k। दोनों को जोड़िए, तो 25 गुणा k गुणा k मिलता है।

और k के 5 गुने का उसी से गुणा कितना है? वो भी 25 गुणा k गुणा k है, यानी board पर दोनों तरफ़ एक ही चीज़ लिखी है। इसलिए अब ये सबूत है, हर k के लिए एक साथ, उनके लिए भी, जिन्हें कोई कभी लिखेगा नहीं। ध्यान दीजिए, इस तर्क में 3, 4 और 5 ने कोई ख़ास काम नहीं किया। तो संख्याओं की जगह letters रखकर, यही तर्क दोबारा चलाते हैं।

कोई भी triple लीजिए, a, b और c, और तीनों को k से गुणा कीजिए। यहाँ k गुणा a का उसी से गुणा, k गुणा k गुणा a गुणा a है, और b के साथ भी यही होता है। जोड़ते वक़्त k गुणा k को बाहर निकाल लीजिए, तो बचता है k गुणा k, और साथ में a गुणा a और b गुणा b का जोड़। पर a गुणा a और b गुणा b का जोड़ क्या है?

वो c गुणा c है, क्योंकि a, b और c शुरू से triple थे, तो पूरा जोड़ k गुणा c का उसी से गुणा बनता है। यहाँ board पर 6 triples और k के 6 मान हैं, यानी 36 में से 36 जोड़ियाँ ये जाँच पास करती हैं। एक ही तर्क, हर triple और हर पूरी संख्या के लिए, इसलिए triples अनगिनत हैं। पर ये असली सवाल का जवाब नहीं था।

अब 3, 4 और 5 को 1, 2, 3, 4, 5 और 6 से गुणा कीजिए। ऊपर 6 triples बनते हैं, और आख़िरी 2 हैं 15, 20 और 25, और 18, 24 और 30 वाले triples। अब हर एक को उसके common factor से बाँटिए, तो 6 में से 6 वापस 3, 4 और 5 बन जाते हैं। यानी 6 triples हैं, पर triangle सिर्फ़ 1 है। आप सोच सकते हैं कि ज़्यादा triples का मतलब ज़्यादा triangles है, पर ऐसा नहीं है।

नीचे board पर 36 बड़े रूप हैं, और उनमें नया आकार एक भी नहीं, क्योंकि हर भुजा को एक ही संख्या से गुणा करने पर कोने नहीं बदलते। तो असली सवाल क्या है? पूरी संख्याओं वाली भुजाओं के, 90 degree कोने वाले, कितने अलग आकार के triangles हैं? इसके लिए एक शब्द चाहिए, उस triple के लिए, जो किसी की बड़ी नकल न हो। ऐसा triple, जिसकी तीनों संख्याओं का 1 से बड़ा कोई common factor न हो, primitive कहलाता है।

यहाँ 3, 4 और 5 में, 1 के सिवा कुछ भी साझा नहीं है, तो ये primitive है। पर 9, 12 और 15 को, 3 पूरा पूरा बाँटता है, तो ये एक नकल है। क्या 2 संख्याओं का कुछ साझा होना काफ़ी है? नीचे 6, 8 और 9 देखिए, 6 और 8 को 2 बाँटता है, पर 9 को नहीं, तो तीनों को एक साथ बाँटने वाली संख्या, बस 1 है।

और primitive का मतलब छोटा होना नहीं है। देखिए, 8, 15 और 17 primitive है, जिसकी सबसे बड़ी संख्या 17 है, जबकि 9, 12 और 15 primitive नहीं, और उसकी सबसे बड़ी संख्या 15 है। हर triple इन 2 में से एक है, या तो primitive, या किसी primitive का बड़ा रूप। आख़िर ऐसा क्यों होता है? किसी भी triple को, उसकी तीनों संख्याओं के सबसे बड़े common factor से बाँटिए, तो जो बचता है, वो primitive triple होता है।

यहाँ 9, 12 और 15 को 3 से बाँटें, तो 3, 4 और 5 मिलता है, और 15, 36 और 39 को 3 से, तो 5, 12 और 13 मिलता है। ये वही scaling वाला सबूत है, बस उल्टी दिशा में चलाया हुआ। यहाँ लग सकता है, कि 3, 4 और 5 को भी आधा करके और छोटा कर सकते हैं। पर इसकी तीनों संख्याओं को, 1 के सिवा कोई संख्या नहीं बाँटती, इसलिए आधा करने पर 1 दशमलव 5 जैसी संख्याएँ आती हैं, जो पूरी नहीं हैं।

ऊपर 20 तक के 6 में से 3 triples primitive हैं, 3, 4 और 5, 5, 12 और 13, और 8, 15 और 17 वाले triples। तो सारे primitive triples ढूँढ़ लेना, सारे triples ढूँढ़ लेने के बराबर है, और scaling ने इसमें कोई मदद नहीं की। जवाब एक ऐसी जगह से आता है, जिसका triangles से कोई लेना देना नहीं दिखता। बस 1 से शुरू करके, विषम संख्याएँ जोड़ते जाइए।

अकेला 1 तो 1 है, 1 और 3 मिलकर 4, फिर 5 जोड़ें तो 9, और उसमें 7 जोड़ें तो 16 मिलता है। अब 1, 4, 9 और 16 में क्या ख़ास है? हर एक, किसी संख्या का उसी से गुणा है, 1 गुणा 1, 2 गुणा 2, 3 गुणा 3, और 4 गुणा 4 के रूप में। अब board पर बिंदुओं से देखिए, 3 गुणा 3 के square में 9 बिंदु हैं।

उसके ऊपर और बगल में एक L जोड़िए, 4 बिंदुओं की एक पंक्ति और 3 बिंदुओं का एक स्तंभ, यानी 7 बिंदु, और 4 गुणा 4 का square बन गया। हर अगली L में, अगली विषम संख्या जितने बिंदु होते हैं, इसीलिए पहली n विषम संख्याओं का जोड़ हमेशा n गुणा n होता है। स्थान n पर आने वाली विषम संख्या, n का 2 गुना, घटा 1 होती है। जैसे 5वें स्थान पर 9 है, क्योंकि 5 का 2 गुना 10 है, और 10 में से 1 घटाने पर 9 मिलता है।

अब board पर पहली n विषम संख्याओं के जोड़ को, 2 हिस्सों में तोड़िए। पहली n घटा 1 विषम संख्याएँ मिलकर, n घटा 1 का उसी से गुणा बनाती हैं। तो उसमें स्थान n वाली विषम संख्या जोड़ते ही, अगला square, यानी n गुणा n बन जाता है। यहाँ n बराबर 5 पर, 4 गुणा 4 से 16, उसमें 9 जोड़िए, तो 25 मिलता है, जो 5 गुणा 5 है।

किसी को लग सकता है, कि ये बात बस बिंदुओं की तस्वीर से निकली है। क्या गुणा खोलकर भी यही मिलता है? हाँ, n घटा 1 का उसी से गुणा खोलें, तो n गुणा n, घटा n का 2 गुना, जमा 1, और उसमें n का 2 गुना घटा 1 जोड़ें, तो बस n गुणा n बचता है। अब इस बात को, एक triangle को ध्यान में रखकर दोबारा पढ़िए।

किसी संख्या का उसी से गुणा, जमा कुछ, बराबर किसी और संख्या का उसी से गुणा। एक triple बनने में बस क्या कमी है? बस इतनी, कि बीच वाली संख्या भी किसी संख्या का उसी से गुणा हो। तो मशीन इतनी सी है, ऐसी विषम संख्या ढूँढ़िए, जो किसी संख्या का उसी से गुणा भी हो। यहाँ 9 विषम है, और 9 ख़ुद 3 गुणा 3 के बराबर है। पर ये कौन से स्थान वाली विषम संख्या है?

देखिए, 5 का 2 गुना घटा 1 से 9 मिलता है, तो ये 5वीं है। पहली 4 विषम संख्याएँ 4 गुणा 4 बनाती हैं, और उसमें 9 जोड़ें, तो 5 गुणा 5 बनता है। और 9 ख़ुद 3 गुणा 3 है, इसलिए board पर 3, 4 और 5 सीधे निकल आता है। अब 25 लीजिए, ये विषम है, और 5 गुणा 5 के बराबर है। यहाँ 13 का 2 गुना घटा 1 से 25 मिलता है, तो ये 13वीं विषम संख्या है।

तो 12 गुणा 12 से 144, उसमें 25 जोड़िए, तो 169 मिलता है, जो 13 गुणा 13 है। इस तरह यहाँ से 5, 12 और 13 निकलता है। पहली नज़र में ये संयोग लग सकता है, तो एक बार और चलाकर देखते हैं। अब 49 विषम है, 7 गुणा 7 है, और 25 का 2 गुना घटा 1 करने पर 49 ही आता है, तो ये 25वीं है। यहाँ 24 गुणा 24 से 576, उसमें 49 जोड़ें तो 625, यानी 25 गुणा 25 मिलता है।

तो कौन सा triple निकला? ये है 7, 24 और 25, जो पुरानी सूची में भी लिखा है। अब board पर एक तालिका बनाते हैं, विषम square, उसका स्थान, और निकला हुआ triple। यहाँ 81 विषम है और 9 गुणा 9 है, ये 41वें स्थान पर है, और इससे 9, 40 और 41 मिलता है। फिर 121 से, जो 61वें स्थान पर है, 11, 60 और 61 मिलता है। फिर 169 से, जो 85वें स्थान पर है, 13, 84 और 85 मिलता है।

और 225 से, जो 113वें स्थान पर है, छोटी भुजा 15 मिलती है, बड़ी 112, और hypotenuse की लंबाई 113 मिलती है। स्थान निकालने का नियम भी सीधा है, विषम संख्या में 1 जोड़कर आधा कीजिए, क्योंकि स्थान n पर n का 2 गुना घटा 1 बैठता है। अब बताइए, इनमें से कितने किसी और की नकल हैं? एक भी नहीं, यहाँ 7 विषम squares से 7 triples बने, और इस बार आकार भी 7 अलग अलग हैं।

इस मशीन का हर triple primitive है, और इसकी वजह संख्याओं में ही दिखती है। यहाँ हर triple में, बड़ी भुजा और hypotenuse के बीच का फ़र्क 1 है, 7 में से 7 में। इससे primitive होना कैसे निकलता है? जो संख्या तीनों को बाँटे, वो उनमें से किन्हीं 2 के फ़र्क को भी बाँटेगी। और यहाँ वो फ़र्क 1 है, और 1 को, 1 से बड़ी कोई संख्या नहीं बाँटती।

इसलिए 7 में से 7 triples primitive हैं। आप सोच सकते हैं कि 2 मशीनें एक जैसी हैं, पर ये बिलकुल उल्टी हैं। उधर scaling में अगर k की क़ीमत 1 से बड़ी हो, तो ऊपर की 5 में से एक भी नकल primitive नहीं, और यहाँ हर triple primitive है। एक चेतावनी भी, ये तरीका हर विषम संख्या पर नहीं चलता। यहाँ 7, 11 और 15 विषम हैं, पर इनमें से कोई भी किसी संख्या का उसी से गुणा नहीं है।

तो मशीन इन्हें लौटा देती है, 3 में से 3 बार। तो 3 से 25 तक, कितनी विषम संख्याएँ काम करती हैं? अब board पर देखिए, 3 से 25 तक 12 विषम संख्याएँ हैं, और इनमें से सिर्फ़ 2 चलती हैं, 9 और 25 वाली। बाकी 10 से कुछ भी नहीं मिलता। शुरू की कुछ विषम संख्याएँ आज़माकर, लग सकता है कि ये तरीका टूटा हुआ है। पर ऐसा नहीं है, क्योंकि शर्त सिर्फ़ विषम होने की नहीं, विषम square होने की है।

और इस मशीन की अपनी एक कमज़ोरी भी है। इसके हर triple में, बड़ी भुजा और hypotenuse का फ़र्क बस 1 होता है, तो जहाँ ये फ़र्क 1 से बड़ा हो, वो triple इसके हाथ नहीं आता। यहाँ 8, 15 और 17 में फ़र्क 2 है, और 12, 35 और 37 में भी फ़र्क 2 ही है। नीचे वाले triple की छोटी भुजाएँ 20 और 21 हैं, और सबसे बड़ी 29, यहाँ ये फ़र्क 8 है, फिर भी ये triple है, क्योंकि 400 और 441 मिलकर 841 बनते हैं, जो 29 गुणा 29 के बराबर है।

तो पुरानी सूची का क्या? इन 3 में से 2 उसी सूची में हैं, तो वो सूची किसी एक मशीन की देन नहीं है। और 20, 21 और 29 primitive है, तो ये scaling से भी नहीं बनता, यानी ये दोनों मशीनों के बाहर है। यही बात उन rectangles पर भी लागू होती है, जिनकी भुजाएँ और diagonal सब पूरी संख्याएँ हों। यहाँ भुजाएँ 5 और 12 वाले rectangle के कोने 90 degree के हैं, तो diagonal के square में 25 और 144 का जोड़, 169 है, यानी diagonal की लंबाई 13 है।

तो हर triple से ऐसा एक rectangle मिलता है, जैसे भुजाएँ 3 और 4 हों, तो diagonal की लंबाई 5 है। तो आख़िर triples हैं कितने? अनगिनत, और वो भी 2 बार, 2 बिलकुल अलग वजहों से। यहाँ board पर एक मशीन, जो पहले से है उसकी नकलें बनाती जाती है, और दूसरी नए नए आकार ढूँढ़ती है। फिर भी 20, 21 और 29 जैसे triangles, दोनों में से किसी के हाथ नहीं आते।

यानी गिनती अभी पूरी नहीं हुई, और यही सबसे अच्छी ख़बर है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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