हर number system को symbols का एक तय, क्रमवार sequence क्यों चाहिए

0:00सामने 2 खेतों में गायों के 2 झुंड खड़े हैं। एक झुंड आपका है, और दूसरा आपके पड़ोसी का। अब 3 सवाल हैं, और तीनों का जवाब बिना किसी संख्या के देना है। पहला, क्या आपकी सारी गायें लौट आई हैं? दूसरा, क्या पड़ोसी के पास आपसे ज़्यादा गायें हैं? और तीसरा, अगर हैं, तो कितनी ज़्यादा हैं? मुँह से गिनती भी नहीं, और कहीं कोई संख्या भी नहीं। ये कोई चाल नहीं है, तीनों सवालों का सटीक जवाब बिना किसी संख्या के निकलता है।

0:34और जो तरीका इसके लिए चाहिए, वही असल में गिनती की जड़ है। तो तरीका बहुत सीधा सा है। हर गाय जब बाड़े में आए, आप ज़मीन में एक डंडी गाड़ दीजिए। एक गाय, एक डंडी, फिर अगली गाय, और अगली डंडी। आप गिन नहीं रहे, आपने कोई संख्या बोली ही नहीं। आप जोड़ी बना रहे हैं, हर गाय के साथ ठीक एक डंडी, और कोई डंडी दोबारा नहीं। आख़िरी गाय अंदर आते ही आपके पास डंडियों का एक गट्ठर होता है।

1:08वो झुंड की तस्वीर नहीं है, पर उसका आकार ठीक झुंड जितना है। बाड़े में 8 गायें, और ज़मीन में 8 डंडियाँ। अब ये गट्ठर वहाँ जा सकता है जहाँ झुंड नहीं जा सकता। उसे उठाकर ले जाइए, रात भर रखिए, और कल वापस ले आइए। तो क्या आपकी सारी गायें लौट आईं? गायों को फिर से अंदर आने दीजिए, और हर गाय पर एक डंडी उखाड़िए। आख़िर में अगर एक डंडी भी खड़ी रह गई, तो एक गाय गायब है।

1:39कोई डंडी न बचे, तो कोई गाय नहीं खोई। अब मुश्किल सवाल की बारी है। अपना गट्ठर पड़ोसी के गट्ठर के बगल में रखिए, और डंडी से डंडी की जोड़ी बनाइए। आपकी डंडियाँ पहले ख़त्म हो जाती हैं, और उनकी 3 डंडियाँ खड़ी रह जाती हैं। इससे दोनों सवालों का जवाब एक साथ मिल गया, उनके पास ज़्यादा हैं, और ठीक 3 ज़्यादा। किसी ने कोई संख्या नहीं बोली, और किसी को उसकी ज़रूरत भी नहीं पड़ी।

2:07अब सवाल ये कि गिनती असल में है क्या। जब आप झुंड को बोलकर गिनते हैं, तब भी आप ठीक यही काम कर रहे होते हैं। आप गायों की जोड़ी एक ऐसे अनुक्रम से बना रहे हैं, जिस पर शुरू करने से पहले ही सहमति थी। गिनती के शब्द 1, 2, 3, 4 यही डंडियाँ हैं, बस गाड़ी नहीं, बोली गई हैं। पहली गाय को पहला शब्द मिलता है, दूसरी गाय को दूसरा, और ऐसे ही आगे।

2:34और जिस शब्द पर आप रुकते हैं, वही जवाब है। पूरी विधि बस इतनी ही है। संख्या पद्धति कुछ और नहीं, बस एक अनुक्रम है जिसके साथ ये जोड़ी बनाई जाती है। यानी वो लगभग किसी भी चीज़ से बन सकती है, तो असली सवाल ये है कि उसे कैसा होना चाहिए? पहली शर्त मामूली लगती है, जब तक आप उसे तोड़कर न देखें। अनुक्रम का क्रम पहले से तय होना चाहिए, और सब उस पर सहमत हों।

3:03मान लीजिए हम दोनों वही 3 गायें गिनते हैं। आप ए, बी, सी के क्रम में गिनते हैं। और मैं सी, बी, ए के क्रम में गिनता हूँ। आप सी पर रुकते हैं, और मैं ए पर। झुंड वही, जोड़ी वही, पर जवाब 2 अलग अलग। हममें से किसी ने गलती नहीं की, बस क्रम पर सहमति नहीं थी, और आख़िरी शब्द का मतलब सिर्फ़ उसी क्रम से आता है।

3:27जिस अनुक्रम का क्रम बदल सकता हो, वो संख्या पद्धति है ही नहीं। पर एक चीज़ सच में मायने नहीं रखती, और ये हिस्सा हैरान करता है। वो क्रम, जिसमें आप गायों तक पहुँचते हैं। मान लीजिए 6 चीज़ें हैं, और आप उन्हें बाएँ से दाएँ गिनते हैं। फिर दाएँ से बाएँ, फिर किसी भी उलटे पुलटे क्रम में। इन 6 चीज़ों तक पहुँचने के 720 अलग अलग क्रम होते हैं।

3:54क्योंकि पहली चीज़ 6 में से कोई भी हो सकती है, अगली 5 में से, फिर 4, 3, 2 और 1 में से। और 6 गुणा 5 गुणा 4 गुणा 3 गुणा 2 गुणा 1 बराबर 720 होता है। और इन 720 में से हर क्रम एक ही शब्द पर रुकता है। ये बात अपने आप में साफ़ नहीं है, और इसी वजह से गिनती किसी काम की है। अनुक्रम सख़्त होना चाहिए, पर चीज़ों तक आप चाहे जैसे पहुँचिए।

4:23तो तय क्रम, और एक से एक की जोड़ी, अनुक्रम को और क्या चाहिए? चलिए, ऐसी चीज़ से अनुक्रम बनाते हैं जो सबको ज़बानी याद है। अंग्रेज़ी के letters, ए से ज़ेड तक। ए, बी, सी, डी, ई, ये एक अच्छा अनुक्रम है, और इसका क्रम सबके लिए तय है। अब 5 गायें गिनिए, तो आप ई पर रुकते हैं। और 26 गायें हों, तो आप ज़ेड पर रुकते हैं।

4:53पर 30 गायें हों, तो आप बीच में ही अटक जाते हैं। ज़ेड के बाद कुछ है ही नहीं। बची हुई 4 गायों के लिए कोई शब्द नहीं बचा, इसलिए कोई जवाब ही नहीं है, और ये ग़लत जवाब से अलग बात है। इन letters की एक छत है, और वो 26 पर है। ये ठीक हो सकता है, और इसका तरीका ध्यान से देखने लायक है। जब letters ख़त्म हो जाएँ, तो रुकिए मत, फिर से शुरू कीजिए, और याद रखिए कि एक चक्कर पूरा हो गया।

5:22ज़ेड के बाद आता है ए ए, जो 27 की जगह है। फिर ए बी यानी 28, ए ज़ेड यानी 52, और बी ए पर 53 आता है। इसी तरह 30 के लिए शब्द है ए डी। एक letter वाले 26 नाम हैं, और 2 letters वाले 676 नाम, क्योंकि 26 गुणा 26 बराबर 676 होता है। इसलिए 2 letters आपको ज़ेड ज़ेड तक ले जाते हैं, जो 26 और 676 मिलाकर 702 है।

5:55और 703 पर 3 letters शुरू होते हैं, ए ए ए। छत ग़ायब हो गई, ये अनुक्रम कभी ख़त्म नहीं होता। और इसकी कीमत देखिए, कुछ भी नहीं, वही 26 निशान, बस लड़ियों में। यानी आगे गिनने के लिए नए निशान नहीं चाहिए थे, बस उन्हीं निशानों को लड़ी में जोड़ना काफ़ी था। अब लिखे हुए निशानों से बनी एक पद्धति देखते हैं। एक खड़ी लकीर का मतलब 1, 2 लकीरों का मतलब 2, और 3 लकीरों का मतलब 3 होता है।

6:28फिर 5 के लिए एक नया निशान आता है, और 4 लिखा जाता है 5 से एक पहले। फिर 10 का अपना अलग निशान है, और 20 उसी के 2 निशान हैं। इस नियम पर चलिए, तो पहले 20 अपने आप बन जाते हैं, कुछ भी रटना नहीं पड़ता। यानी 1 से 10 तक, हर संख्या का निशान इसी नियम से निकलता है। और फिर 11 से लेकर 20 तक, यही नियम काम करता रहता है।

6:53ये एक गंभीर संख्या पद्धति है, तय क्रम, हर संख्या का एक शब्द, और ये सदियों तक काम चलाती रही। तो इसे भी उसी जाँच से गुज़ारिए, जिसमें letters फेल हो गए थे। क्या ये पद्धति कभी ख़त्म नहीं होती? अंदाज़ा मत लगाइए, बस चढ़कर देखिए। पहले 1 लिखिए, फिर 2, फिर 3, और तब तक लिखते रहिए जब तक पद्धति जवाब न दे दे। इसमें 1000 के लिए एक ही निशान है।

7:22ये 2000 लिख लेती है, और 3000 को भी। और 3999 तक पहुँचती है, सबसे बड़ा निशान 3 बार, और फिर बाकी। पर 4000 पर ये रुक जाती है, क्योंकि 1000 से बड़ा कोई निशान है ही नहीं। तो इस पद्धति की भी एक छत है, कहीं ऊँची, पर छत। डंडियों की ऐसी कोई छत नहीं, एक और डंडी गाड़ने से आपको कोई नहीं रोकता। इससे लगता है कि डंडियाँ जीत गईं, पर नहीं, क्योंकि एक दूसरी जाँच भी है।

7:53क्या ये इतनी छोटी है कि सच में काम आ सके? अब 30 को डंडियों में लिखिए, 30 लकीरें, और पढ़ने के लिए उन्हें फिर से गिनना पड़ेगा। निशानों में 30 लिखिए, तो बस 3 निशान लगते हैं। और आज के ढंग से लिखिए, तो सिर्फ़ 2 अंक। कभी कभी ये निशान कमाल के छोटे होते हैं, 1000 बस एक निशान है। पर ऐसा हर बार नहीं होता। इसकी छत के नीचे सबसे महँगी संख्या 3888 है, जिसके लिए 15 निशान लगते हैं।

8:24उसी दायरे में 10 अंकों वाली पद्धति को कभी 4 से ज़्यादा अंक नहीं लगते, सबसे बुरी हालत में 11 निशानों का फ़र्क। और ए से ज़ेड की लड़ियाँ 1000 को सिर्फ़ 3 letters में लिखती हैं, ए एल एल। यानी आज के 4 अंकों से भी 1 कम। तो 3 तरीकों को 2 जाँचों के सामने रखिए। डंडियाँ कभी ख़त्म नहीं होतीं, पर पढ़ने में बेकार हैं। सादे letters बोलने में आसान हैं, पर 26 पर रुक जाते हैं।

8:54लिखे हुए निशान भी छोटे हैं, पर उनकी भी छत है। अब देखिए, ये तालिका असल में क्या कह रही है। एक तरीका पहली जाँच पास करता है और दूसरी में फेल, 2 तरीके दूसरी पास करते हैं और पहली में फेल। यानी एक जाँच से दूसरी अपने आप नहीं निकलती। कभी ख़त्म न होना, काम का होना नहीं है, और काम का होना, कभी ख़त्म न होना नहीं है।

9:20काम की पद्धति को दोनों जाँचें पास करनी होंगी। ए से ज़ेड की लड़ियाँ यहाँ पहला तरीका हैं जो दोनों जाँचें पास करता है। एक आख़िरी बात, कि इस सब में कितना वक़्त लगा। बड़ी संख्याओं के नाम, उनके लिखे निशानों से बहुत पहले आ गए थे। एक, दश, शत, सहस्र, अयुत, जो 1, 10, 100, 1000 और 10000 के नाम हैं। हर नाम पिछले नाम का 10 गुना है, और ऐसे 4 के 4 कदमों में यही होता है।

9:56ये सूची 10 की power 12 तक जाती थी, एक एक power चढ़ते हुए 13 नाम, किसी अंक के लिखे जाने से पहले। अंकों की लिखावट बहुत बाद में आई। कुल 10 निशान, जिनमें एक निशान कुछ नहीं के लिए, यानी शून्य, जो पहले एक बिंदु जैसा लिखा गया। इन्हीं 10 निशानों से 1 से 3999 तक हर संख्या लिखी जा सकती है। इन निशानों को एक जगह से दूसरी जगह पहुँचने और रोज़मर्रा के इस्तेमाल में आने में सदियाँ लगीं।

10:26जो बात आज साफ़ दिखती है, उसे अपनाने में भी वक़्त लगता है। अब आख़िर में एक फ़र्क साफ़ कर लेते हैं। संख्या पद्धति और अंक एक ही चीज़ नहीं हैं। पद्धति वो अनुक्रम है जिसके साथ जोड़ी बनती है, और अंक उसके लिखे हुए निशान। एक ही संख्या लेते हैं, 30 गायें। डंडियों में वो 30 लकीरें हैं, निशानों में 3 निशान, letters में ए डी, और आज के अंकों में 3 और 0, बस 2 अंक।

10:57यानी 4 अलग अलग लिखावटें, और चारों वापस पढ़ने पर 30 ही बनती हैं। संख्या एक ही है, बस उसके अंक अलग हैं। और कोई पद्धति बिना लिखे भी चल सकती है, जैसे बोले गए गिनती के शब्द। पर जो भी पद्धति हो, उसे तय क्रम चाहिए, और एक से एक की जोड़ी। और साथ में ऐसा अनुक्रम, जो कभी ख़त्म न हो, और फिर भी बोलने में छोटा रहे।

11:22अगली बार कोई गिनती करे, तो देखिए, वो असल में किस अनुक्रम से जोड़ी बना रहा है?