जवाब निकाले बिना सम-विषमता तय करना

0:00पहले एक line में 4 संख्याएँ लिखिए, 3, 4, 5 और 6, बस इतनी ही। इनके बीच 3 ख़ाली जगहें हैं, और हर जगह में आप प्लस या माइनस रख सकते हैं। हर जगह 2 विकल्प, और ऐसी 3 जगहें, तो 2 गुणा 2 गुणा 2, यानी 8 expressions बनते हैं। पहली संख्या के आगे कोई जगह नहीं होती, इसलिए वो हर expression में प्लस के साथ ही आती है।

0:28अब इन 8 expressions का हिसाब कीजिए, तो हर एक का जवाब even निकलता है। सवाल ये है, कि ये बात हिसाब करने से पहले ही कैसे तय हो सकती है? ये कभी-कभार नहीं, हर बार होता है, और इसे सिर्फ़ देखना नहीं, समझाना है। पहले ये पक्का कीजिए, कि 8 में से कोई expression छूटा तो नहीं। शुरुआत 3 से, और पहली जगह पर रास्ता बँटता है, एक तरफ़ प्लस 4 और दूसरी तरफ़ माइनस 4 जाता है।

0:58फिर हर रास्ता 5 पर दोबारा बँटता है, और उसके बाद 6 पर एक बार और। हर जगह एक नई मंज़िल, और हर मंज़िल पर रास्ते दोगुने, 2, फिर 4, फिर 8 सिरे बनते हैं। ऊपर से नीचे का हर रास्ता एक expression है, और हर expression ठीक एक रास्ता है। इसलिए expressions ठीक 8 हैं, कोई नौवाँ कहीं छिपा नहीं है। यही पेड़ letters से भी बनता है, 3, 4, 5 और 6 की जगह a, b, c और d रखिए।

1:31अब सारे 8 expressions का हिसाब एक साथ देखिए। सारे प्लस हों, यानी 3 प्लस 4 प्लस 5 प्लस 6, तो जवाब 18 है, 4 से पहले माइनस हो तो 10, और 5 से पहले माइनस हो तो 8 आता है। फिर 3 माइनस 4 माइनस 5 प्लस 6 का जवाब शून्य है, 3 प्लस 4 प्लस 5 माइनस 6 का 6, और 3 माइनस 4 प्लस 5 माइनस 6 का माइनस 2 है।

2:01और 3 प्लस 4 माइनस 5 माइनस 6 का जवाब माइनस 4 है, और 3 माइनस 4 माइनस 5 माइनस 6 का माइनस 12 आता है। यहाँ 8 अलग-अलग जवाब मिले, और इनमें से हर एक even है। इनमें 3 जवाब negative हैं और एक शून्य है, और यहीं अक्सर गड़बड़ होती है। तो क्या माइनस 12 सच में even संख्या है? किसी संख्या के even होने का मतलब है, कि 2 उसका factor हो, और चिह्न से इसका कोई लेना-देना नहीं।

2:33माइनस 12 है 2 गुणा माइनस 6, तो ये even है। इसी तरह माइनस 2, माइनस 4 और माइनस 6 even हैं, और शून्य भी, क्योंकि शून्य है 2 गुणा शून्य। पर माइनस 7 odd है, ठीक वैसे ही जैसे 7 odd है। अब 5, 6, 7 और 8 पर वही चिह्न लगाइए जो 8 और माइनस 12 वाले expressions में थे, तो 12 और माइनस 16 आते हैं, फिर से even।

3:01अब असली सवाल, इन 8 में से कोई भी odd क्यों नहीं हो सकता? सबसे पहले वो expression लीजिए जिसमें सारे प्लस हैं, उसका जवाब 18 है। अब सिर्फ़ एक चिह्न बदलिए, 4 से पहले वाला प्लस अब माइनस है। तो नया total 10 बनता है, यानी 18 से नीचे आया। यानी 18 से 10 तक, total पूरे 8 से खिसका है। और 8 है 2 गुणा 4, यानी ठीक उसी संख्या का दोगुना जिसका चिह्न बदला।

3:32ये इन संख्याओं का संयोग नहीं है, ऐसा हर बार होता है। अब letters में लिखें, तो ये बात हर संख्या के लिए एक साथ दिखती है। मान लीजिए expression है a प्लस b माइनस c माइनस d, और b से पहले का प्लस, माइनस बन जाता है। अब पुराने में से नया घटाइए, और bracket खोलते समय अंदर का हर चिह्न पलट जाता है। पहले a और माइनस a कट जाते हैं, फिर c और d भी, और बचता है b और b, यानी 2 b।

4:03अब 3, 4, 5 और 6 पर जाँचिए, पहले का जवाब माइनस 4, दूसरे का माइनस 12, और अंतर 8, यानी 2 गुणा 4 है। उल्टी दिशा में, माइनस को प्लस बनाइए, तो total में 2 b वापस जुड़ जाता है। किसी भी दिशा में, total उसी संख्या के दोगुने से खिसकता है। और किसी भी संख्या का दोगुना even होता है। किसी संख्या में even जोड़िए या उसमें से even घटाइए, वो even से odd में नहीं जा सकती।

4:33जैसे 18 में से 8 घटाकर 10, दोनों even, और 11 में से 8 घटाकर 3, दोनों odd। इसलिए चिह्न बदलने से total बदलता है, पर उसका even या odd होना कभी नहीं बदलता। ये जाँच 164 अलग सेटों पर हुई, हर expression की हर जगह पर, और 3936 में से 3936 बार दूरी उसी संख्या का दोगुना निकली। फिर एक दूसरे परिवार के 169 सेटों पर, और वहाँ 4056 में से 4056 बार।

5:06पर odd दूरी से खिसकाइए, जैसे 1 जोड़कर, तो हर बार even और odd आपस में बदल जाते हैं, 3936 में से 3936 बार। किसी एक बदलाव से जवाब की तरफ़ नहीं बदलती, पर यहाँ 2 नहीं, 8 expressions हैं। तो इनके बीच चलिए, सारे प्लस वाले 18 से शुरू करके पहली जगह बदलिए, तो 10 आता है। अब दूसरी जगह बदलिए, तो शून्य, और फिर तीसरी जगह बदलिए, तो माइनस 12 आता है।

5:37फिर पहली जगह वापस बदलिए, तो माइनस 4 मिलता है। ऐसे एक-एक बदलाव से, 8 में से हर expression तक किसी भी दूसरे से पहुँचा जा सकता है। कोई भी 2 expressions ज़्यादा से ज़्यादा 3 बदलाव दूर हैं, हर जगह के लिए एक। इसलिए सारे 8 उसी तरफ़ हैं जिस तरफ़ शुरुआत थी, और 18 even है, तो सारे even हैं। और सारे प्लस वाला total तो बिना कोई चिह्न चुने ही निकल आता है।

6:05तो क्या जवाब हमेशा even ही आता है? अब 1, 2, 3 और 5 लीजिए, इनका सीधा total 11 है, जो odd है। इसके 8 जवाब हैं 11, 7, 5, 1, 1, माइनस 3, माइनस 5 और माइनस 9, सब के सब odd। यानी तरफ़ हमेशा even नहीं होती, वो वही होती है जो सीधे total की है। एक परिवार के 169 सेटों में, 91 सेट even तरफ़ निकले और 78 सेट odd तरफ़, और हर बार वही जो सीधे total की तरफ़ थी।

6:43अब एक दूसरा तरीक़ा, जिसमें चिह्न बदलने की बात ही नहीं आती। नियम 3 हैं, odd के साथ odd से even, even के साथ even से even, और odd के साथ even से odd बनता है। और ये तीनों नियम जोड़ पर भी लागू होते हैं, और घटाने पर भी। जैसे 7 और 5 का जोड़ 12, और 7 में से 5 घटाएँ तो 2, दोनों even। माइनस 40 से 40 तक की हर जोड़ी पर, यानी 6561 जोड़ियों पर, ये नियम जोड़ और अंतर दोनों के लिए सही निकले।

7:16प्लस और माइनस से जवाब तो अलग आते हैं, पर दोनों की तरफ़ एक ही रहती है। अब 3, 4, 5 और 6 पर एक-एक करके चलिए, 3 और 4 से odd, उसके साथ 5 से even, और फिर 6 के साथ even ही रहता है। इसमें चिह्न कहीं आए ही नहीं, हर क़दम पर बस इतना पूछा कि अगली संख्या odd है या even। और एक तीसरा तरीक़ा, जिसमें कोई चिह्न लिखना ही नहीं पड़ता।

7:44हर संख्या को गोटियों का ढेर मानिए, प्लस हो तो positive गोटियाँ, माइनस हो तो negative। जैसे 3 प्लस 4 माइनस 5 प्लस 6 में, 13 positive गोटियाँ हैं और 5 negative। एक positive और एक negative गोटी मिलकर कट जाती हैं, यानी गोटियाँ हमेशा जोड़ी में जाती हैं। यहाँ 5 जोड़ियाँ कटती हैं, यानी 10 गोटियाँ जाती हैं, और बचती हैं 8, यही जवाब है। जाने वाली गोटियाँ हमेशा even होती हैं, इसलिए बचे हुए का even या odd होना, सारी 18 गोटियों से पहले ही तय है।

8:19और 3 माइनस 4 माइनस 5 माइनस 6 में, 3 positive और 15 negative, 3 जोड़ियाँ कटती हैं, और 12 negative बचती हैं। इन तीनों तरीक़ों में से किसी को भी, ये जानने की ज़रूरत नहीं पड़ी कि संख्याएँ असल में क्या हैं। अब सोचिए, क्या इन तरीक़ों में कहीं 4 संख्याओं की बात थी? नहीं, किसी भी तरीक़े ने ये नहीं माना कि संख्याएँ 4 ही हैं। जहाँ 2 संख्याएँ हों, वहाँ 1 जगह और 2 expressions, और 5 संख्याओं में 4 जगहें और 16 expressions।

8:54और 7 संख्याओं में 6 जगहें, यानी 64 expressions बनते हैं। हर बार चिह्न बदलने पर total किसी संख्या के दोगुने से खिसकता है, इसलिए एक समूह के सारे expressions एक ही तरफ़ रहते हैं। ये 108 समूहों पर जाँचा गया, जिनकी लंबाई 2 से 7 तक थी, और 108 में से 108 सही निकले। उनमें से 45 even तरफ़ गिरे और 63 odd तरफ़, हर एक अपने सीधे total की तरफ़।

9:24यानी even या odd होना expression की बनावट से पढ़ा जा सकता है, हिसाब किए बिना। यहाँ 8 expressions हैं, और किसी का भी हिसाब नहीं करना, पहले जोड़ और अंतर वाले 5 देखिए। पहला, 43 प्लस 37, दोनों odd, तो जवाब even है। फिर 672 माइनस 348, दोनों even, तो जवाब even है। उसके बाद 708 माइनस 477, एक even और एक odd, तो जवाब odd है। और 809 प्लस 214 में भी एक odd और एक even, तो ये भी odd है।

10:02आख़िर में 543 माइनस 479, दोनों odd, तो जवाब even है। हर संख्या के लिए बस उसका आख़िरी अंक देखना पड़ा, पूरा जोड़ या अंतर किसी का नहीं निकाला। गुणा करने पर नियम थोड़ा अलग है। गुणनफल तभी odd होता है, जब उसका हर factor odd हो। इसलिए 4 गुणा 347 गुणा 3 even है, सिर्फ़ उस 4 की वजह से। पर 119 गुणा 303 में दोनों factors odd हैं, तो गुणनफल odd है।

10:36और 513 का cube, यानी 513 गुणा 513 गुणा 513, तीनों odd, तो ये भी odd है। ध्यान दीजिए, odd और odd का जोड़ even होता है, पर उनका गुणनफल odd। और आख़िरी factor भी फ़ैसला बदल सकता है, 7 गुणा 9 odd है, पर उसमें 4 से गुणा करें तो 252, even। इन 8 में से 4 even निकले और 4 odd, और किसी का भी पूरा हिसाब नहीं किया।

11:04बाद में पूरा हिसाब करके मिलाया, तो 8 में से 8 जवाब सही निकले। अब letters वाले expressions, जहाँ even का मतलब है हर integer के लिए even। यहाँ 9 expressions हैं, पहले वो देखिए जो हमेशा even रहते हैं। पहला, 2 a प्लस 2 b, जिसके दोनों हिस्से even हैं, a और b चाहे जो हों। इसी तरह 4 m प्लस 2 n, और 2 u माइनस 4 v, इनमें भी हर हिस्सा even है।

11:36अब 13 r माइनस 5 r देखिए, दोनों coefficients odd हैं, फिर भी ये सरल होकर 8 r बनता है। और 8 r हमेशा even है, r बराबर 1 हो तो 8, और r बराबर माइनस 2 हो तो माइनस 16 आता है। और 4 r गुणा 3 j, यानी 12 गुणा r j, उसमें 12 है, तो वो भी हमेशा even है। तो 9 में से 5 expressions हर integer के लिए even हैं, और दायरा दोगुने से ज़्यादा बढ़ाने पर भी वही 5 निकलते हैं।

12:08बाक़ी 4 expressions कभी even होते हैं, कभी नहीं। पहला, 3 g प्लस 5 h, यहाँ 3 और 5 का जोड़ 8 है, पर coefficients ऐसे नहीं जुड़ते। यहाँ 3 g का even या odd होना g से तय होता है, और 5 h का h से, जैसे g शून्य और h बराबर 1 हो तो जवाब 5, odd। ये तभी even है जब g और h दोनों even हों या दोनों odd, और 625 जोड़ियों में से 313 जोड़ियों पर ऐसा होता है।

12:40फिर 6 m माइनस 3 n, आगे 6 है, पर 3 n का even या odd होना n पर छोड़ देता है, m और n बराबर 1 हों तो जवाब 3, odd। और x का square प्लस 2, square वही रखता है जो x का है, तो ये सिर्फ़ even x के लिए even है। वहीं b का square प्लस 1, सिर्फ़ odd b के लिए even है, b बराबर 1 पर 2 और b बराबर 2 पर 5 आता है।

13:07इन 4 में से कोई भी कभी-न-कभी even ज़रूर होता है, हर एक लगभग आधे मानों पर। अब फिर से x का square प्लस 2 लीजिए। मान लीजिए x बराबर 6 है, तो 38 आता है, even, तो क्या बात तय हो गई? अब x बराबर 3 रखिए, तो 11 आता है, जो odd है। एक अकेला मान, हर integer वाले दावे को तोड़ सकता है। पर कोई मान, और कितने भी मान, उसे साबित नहीं कर सकते, क्योंकि कोई न कोई integer हमेशा बाक़ी रहता है।

13:43जैसे 2, 4, 6 और 8 रखिए, तो चारों बार even आता है, फिर भी दावा ग़लत है। यानी example बस दिखाता है, पर non-example फ़ैसला कर देता है। जब दावा सच हो, तो उसे दिखाने के 2 तरीक़े हैं, जैसे 4 m प्लस 2 q में। पहला तरीक़ा, 4 m even है और 2 q भी even, तो जोड़ even। दूसरा तरीक़ा, पूरे expression को 2 गुणा, 2 m प्लस q लिखिए, यानी 2 बाहर निकल आया।

14:16जाँचने के लिए m बराबर 4 और q बराबर माइनस 9 लीजिए, तो 16 माइनस 18, यानी माइनस 2 आता है। और bracket में 8 माइनस 9, यानी माइनस 1, और 2 गुणा माइनस 1 का जवाब भी माइनस 2 है। पर ये दोनों एक ही तर्क नहीं हैं। जैसे 6 m प्लस 2 n को देखिए, ये 2 गुणा, 3 m प्लस n है, चाहे 3 m even हो या न हो।

14:43और 13 r माइनस 5 r में, odd r पर दोनों हिस्से odd हैं, फिर भी ये 2 गुणा 4 r है। यानी 2 का factor वहाँ भी काम करता है, जहाँ हिस्सों वाला तर्क रुक जाता है। तो याद रखिए, एक चिह्न बदलने से total किसी संख्या के दोगुने से खिसकता है। इसलिए सारे expressions एक ही तरफ़ रहते हैं, उसी तरफ़ जिस तरफ़ सीधा total है। जोड़ और अंतर में odd के साथ odd से even बनता है, और गुणा में एक even factor काफ़ी है।

15:15हर integer वाले दावे को एक मान तोड़ सकता है, पर कोई मान साबित नहीं करता। और 2 को factor के रूप में बाहर निकालना, हिस्सों वाले तर्क से ज़्यादा मज़बूत है। क्या आप ख़ुद एक ऐसा expression लिख सकते हैं जो हर integer के लिए even हो, और एक जो सिर्फ़ कभी-कभी even हो?