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Chapter 4 · Exploring Some Geometric Themes

Self-similarity: ऐसी आकृति जिसके भीतर उसी की प्रतियाँ हों

Fractals10 मिनट

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fern के एक पत्ते को बड़ा कीजिए, तो फिर से पूरी डंडी दिखती है। ऐसी आकृति, जिसका हिस्सा बड़ा करने पर पूरी आकृति बन जाए, self-similar कहलाती है, और ये बात हर हिस्से पर लागू होनी चाहिए, किसी एक पर नहीं।

मुख्य idea

fractal कोई ऐसी आकृति नहीं जिस पर बार-बार आने वाली सजावट चढ़ा दी गई हो। यह ऐसी आकृति है जिसके हिस्सों को बड़ा करके देखें तो वे फिर से पूरी आकृति निकलते हैं — और यह रिश्ता एक साथ हर magnification पर टिका रहना चाहिए, इसीलिए chapter असल में कभी कोई fractal बनाता ही नहीं। वह जो बनाता है वह एक sequence है: Step 0, Step 1, Step 2, हर एक अपने से पिछले से एक ही तय नियम के ज़रिए बना हुआ। हर scale पर structure सिर्फ़ एक वजह से दिखता है: नियम अपने ही output पर लगाया जाता है। यह समझ लीजिए, तो chapter का हर fractal वही एक चीज़ बन जाता है, बस उसमें अलग नियम लगा हुआ।

आपको क्या आना चाहिए

  • बताइए कि self-similarity किसी आकृति के बारे में क्या दावा करती है, "यह हिस्सा, बड़ा करने पर, पूरी आकृति है" वाले रूप में
  • self-similar आकृति को उस आकृति से अलग कीजिए जिस पर सिर्फ़ कोई दोहराया हुआ motif है, और इस फ़र्क़ की वजह बताइए
  • fractal बनाने की दो सामग्रियाँ पहचानिए: एक शुरुआती आकृति और एक नियम जो हर टुकड़े पर लगता है
  • समझाइए कि नियम को अपने ही output पर क्यों लगाना ज़रूरी है, और अगर उसे सिर्फ़ एक बार लगाया जाए तो क्या होगा
  • छपी हुई figure से step number पढ़िए, यह गिनकर कि छेद या टुकड़े के कितने size दिख रहे हैं
  • chapter के दिए प्राकृतिक उदाहरणों के नाम बताइए, और हर एक के लिए कहिए कि "पूरी आकृति" की भूमिका कौन निभाता है और "प्रति" की भूमिका कौन
  • समझाइए कि छपी हुई तस्वीर हमेशा किसी sequence का एक step क्यों होती है, ख़ुद fractal कभी नहीं
  • नियम और मौजूदा step दिए हों, तो construction का अगला step कैसा दिखेगा, इसका अनुमान लगाइए

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
fractalऐसी आकृति जिसका हर हिस्सा, ठीक से बड़ा करने पर, पूरी आकृति दोहराता हैप्रभाजीइसी chapter में छपा (Part II, §4.1, p.70)
self-similarऐसा गुण रखने वाली कि आकृति का एक हिस्सा पूरी आकृति की scaled प्रति होस्वतःसमरूपइसी chapter में छपा (Part II, §4.1, p.70)
self-similarityवही गुण, संज्ञा की तरह नाम दिया हुआस्वतःसमरूपताइसी chapter में छपा (Part II, §4.1, p.70)
scaleवह size जिस पर आप देख रहे हैं; scale आधा करने का मतलब है आधे बड़े टुकड़ों को देखनामापक्रमइसी chapter में छपा (Part II, §4.1, p.70)
shape sequenceनियम बार-बार लगाने से बनी आकृतियों की कड़ी Step 0, Step 1, Step 2, …आकृति अनुक्रमइसी chapter में छपा (Part II, §4.1, p.71)
stepconstruction के नियम का एक बार लगना; हर छपी figure पर लगा label भीचरणइसी chapter में छपा (Part II, §4.1, pp.70–73, तीनों panels के नीचे Step 0, Step 1, Step 2 captions के रूप में; ये टाइप किए हुए हैं, artwork नहीं, और text में निकल आते हैं — p70.txt और p73.txt दोनों में यह पंक्ति है)
Sierpinski Carpetवह fractal जो किसी square से, हर बचे हुए square का बीच वाला नौवाँ हिस्सा बार-बार हटाकर मिलता हैसिएरपिन्स्की कालीनइसी chapter में छपा (Part II, §4.1, p.70)
generating ruleवह अकेला निर्देश जो एक step को अगले में बदल देता हैजनक नियमइस पाठ का शब्द; chapter §4.1 के हर पन्ने पर यह क़दम उठाता है और उसे कोई नाम नहीं देता
limit shapeवह जिसकी ओर steps का sequence बढ़ता है पर कभी पहुँचता नहींसीमा आकृतिइस पाठ का शब्द; chapter कहता है कि sequence fractal की ओर बढ़ता है और इस ख़याल को नाम नहीं देता
recursionकिसी नियम को उसी नियम के लगने से मिले नतीजे पर लगानापुनरावर्तनइस पाठ का शब्द, इस chapter में नहीं छपा

Hindi column में standard Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का Hindi संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इन शब्दों को standard शब्दावली मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "पन्ने पर छपी तस्वीर ही fractal है।" ऐसा हो नहीं सकता। हर छपी figure का एक सबसे छोटा दिखने वाला टुकड़ा होता है, और परिभाषा वाला गुण माँगता है कि कोई सबसे छोटा टुकड़ा न हो। §4.1 की हर तस्वीर एक step है। जब कोई तस्वीर दिखाएँ, उसका step number ज़ोर से बोलिए।
  • "Self-similar का मतलब बस इतना है कि उसमें दोहराता pattern है।" wallpaper दोहराता है और self-similar नहीं है। जाँच "क्या motif फिर आता है" नहीं, बल्कि "क्या इस आकृति का एक हिस्सा पूरी आकृति की छोटी की हुई प्रति है" है। wallpaper के हिस्से motifs हैं, wallpaper नहीं।
  • "छोटा होता कोई भी sequence fractal देता है।" एक square जिसके भीतर छोटा square बना हो, और उसके भीतर और छोटा, squares का घोंसला है, self-similar आकृति नहीं — पूरी आकृति उसके हिस्सों में दोहराई नहीं जाती। carpet जो अलग करता है वह यह कि वह नियम हर बचे हुए टुकड़े पर लगाता है, सिर्फ़ एक पर नहीं।
  • "नियम बार-बार मूल आकृति पर लगाया जाता है।" वह पिछली बार लगाने के output पर लगाया जाता है। carpet का नियम मूल square पर तीन बार लगाइए तो आपको एक ही छेद तीन बार मिलता है; हर बार output पर लगाइए तो 1, फिर 9, फिर 73 छेद मिलते हैं। Part II p.71 पर chapter की recursions दूसरी पढ़त पर ही समझ में आती हैं।
  • "प्रकृति के fractals भी हमेशा चलते रहते हैं।" नहीं चलते। fern कुछ स्तरों पर रुक जाता है, पेड़ गिनती के स्तरों पर, समुद्र-तट रेत के एक कण के size पर। chapter कहता है कि ये इस ख़याल के उदाहरण हैं, गणित के असली नमूने नहीं। यह कहने लायक़ है क्योंकि यही model और उस चीज़ का फ़र्क़ है जिसका वह model है।
  • "हमेशा टुकड़े हटाते रहने से कुछ नहीं बचना चाहिए।" यह नतीजा नहीं निकलता, और chapter का ठीक अगला topic दिखाता है क्यों: बचे हुए squares की गिनती बढ़ती है जबकि उनका घेरा हुआ area घटता है।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript1,641 शब्द

ये है fern के पौधे की एक पूरी डंडी, जिस पर ढेर सारे पत्ते लगे हैं। अब इसके सिर्फ़ एक पत्ते को देखिए, पूरी डंडी को नहीं, बस एक पत्ते को। उस पत्ते पर एक घेरा बनाइए, और उसे इतना बड़ा कीजिए कि वो पूरी जगह भर दे। जो दिखता है, वो फिर से एक पूरी डंडी है, वही आकार, वही बनावट, सब कुछ वही। उस बड़े किए हुए पत्ते के किसी पत्ते पर यही दोबारा कीजिए, जवाब फिर वही आता है।

तो ये डंडी कोई ऐसी आकृति नहीं जिस पर सजावट दोहराई गई हो, ये ऐसी आकृति है जिसके हिस्से खुद वही आकृति हैं। इसे ध्यान से कहना ज़रूरी है, क्योंकि ढीले ढंग से कहें तो लगभग कुछ भी इसमें घुस जाता है। यहाँ दावा ये नहीं है कि कोई नमूना बार बार आता है। दावा ये है कि इस आकृति का एक हिस्सा, बड़ा करने पर, पूरी आकृति बन जाता है।

हिस्सा, बड़ा करना, और पूरी आकृति, इनमें से एक भी शब्द फ़ालतू नहीं है। हिस्सा, क्योंकि वो आकृति का ही एक टुकड़ा होना चाहिए, ऊपर से चिपकाई गई कोई चीज़ नहीं। बड़ा करना, क्योंकि आप उसे जितना चाहें उतना बड़ा कर सकते हैं। और पूरी आकृति, क्योंकि बड़ा करने पर जो मिले वो पूरी आकृति होनी चाहिए, कोई दूसरा हिस्सा या उस पर बना नमूना नहीं। जो आकृति ये परीक्षा पास करे, उसे self-similar कहते हैं।

अब इस परीक्षा को कुछ चीज़ों पर चलाकर देखते हैं। पहले एक पेड़, उसके तने पर बड़ी शाखाएँ हैं, बड़ी शाखा पर छोटी शाखाएँ, और छोटी शाखा पर टहनियाँ। एक बड़ी शाखा को अलग करके बड़ा कीजिए, तो हाथ में फिर एक पेड़ है, यानी पेड़ पास। फिर समुद्र का किनारा, किसी खाड़ी को बड़ा करके देखें तो उसके अंदर छोटी खाड़ियाँ मिलती हैं, और यहाँ कोई शाखा भी नहीं है।

ये भी पास होता है, और ये ज़्यादा चौंकाने वाला उदाहरण है। बादल, पहाड़ और बिजली की चमक भी इसी तरह के उदाहरण हैं। पर एक ईमानदार बात, इनमें से कोई भी बिना रुके नहीं चलता। असली fern कुछ स्तरों के बाद रुक जाता है, पेड़ भी थोड़े से स्तरों के बाद, और किनारा लगभग रेत के एक दाने के नाप पर। ये इस विचार के उदाहरण हैं, गणित की असली आकृति नहीं, और model और असली चीज़ का ये फ़र्क याद रखने लायक है।

अब देखिए क्या फ़ेल होता है, क्योंकि परिभाषा की असली कीमत यहीं पता चलती है। एक पट्टी लीजिए, जिस पर एक जैसे diamond एक कतार में बने हैं। एक diamond को बड़ा कीजिए, तो मिलता है बस एक diamond, और एक diamond पूरी पट्टी नहीं है, इसलिए ये फ़ेल। किसी wallpaper की कहानी भी यही है, उसके हिस्से नमूने हैं, और नमूना wallpaper नहीं होता। पर एक ऐसा कंबल, जिसके diamond के अंदर उसी तरह सजे छोटे diamond हों, वो पास होता है।

और ये बात आकृति के हर हिस्से पर लागू होनी चाहिए, किसी एक पर नहीं। एक ऐसा square सोचिए, जिसका एक हिस्सा पूरी आकृति की छोटी नकल है, और दूसरा हिस्सा बस सादा square है। इसका एक हिस्सा पास होता है और दूसरा नहीं, यानी 2 में से सिर्फ़ 1 हिस्सा, इसलिए पूरी आकृति फ़ेल, और एक हिस्से पर नज़र डालना कोई परीक्षा नहीं। इस video में 11 आकृतियाँ इस परीक्षा से गुज़रती हैं, 11 में से 6 पास होती हैं और 5 फ़ेल।

और लोग अक्सर जो कमज़ोर बात कहते हैं, कि सारे हिस्से एक जैसे हैं, वो असली परीक्षा से 11 में से 8 पर मिलती है, और 3 पर नहीं। धोखा देने के लिए काफ़ी करीब, पर वही परीक्षा नहीं। तो अब जान बूझकर एक बनाते हैं, इसके लिए बस 2 चीज़ें चाहिए, एक शुरुआती आकृति और एक नियम। शुरुआत एक भरे हुए square से कीजिए। इसे 9 बराबर square में काटिए, एक कतार में 3, और ऐसी 3 कतारें।

हर छोटे square की भुजा बड़े की भुजा का 1 बटा 3 है, और 1 बटा 3 का वर्ग 1 बटा 9 है, तो हर टुकड़ा area का 1 बटा 9 है। अब बीच वाला square हटा दीजिए। एक गया, 8 बचे, और area का 8 बटा 9 हिस्सा अभी भी मौजूद है। बस यही पूरा नियम है, 9 में काटो, और बीच वाला फेंक दो। अब वो कदम जो एक नियम को fractal में बदलता है, और ज़्यादातर लोग यहीं गलती करते हैं।

नियम दोबारा पुराने square पर नहीं लगता, वो उस पर लगता है जो नियम ने अभी बनाया, यानी बचे हुए 8 square में से हर एक पर। दूसरा तरीका आज़माकर देखिए कि उसकी कीमत क्या है। अगर हर बार नियम को शुरुआती square ही दिया जाए, तो वो वही square पाता है, वैसे ही काटता है, और वही बीच वाला टुकड़ा हटाता है। ऐसे 3 बार चलाइए, फिर भी छेद सिर्फ़ 1 ही रहता है।

पर नियम को उसका अपना नतीजा दें, तो 3 बार में छेद होते हैं पहले 1, फिर 9, और फिर 73 छेद। वही नियम, वही 3 बार, एक तरफ़ 1 छेद और दूसरी तरफ़ 73 छेद। फ़र्क नियम में नहीं है, फ़र्क इसमें है कि आपने नियम को क्या दिया। और नियम को बचे हुए हर टुकड़े तक पहुँचना चाहिए, सिर्फ़ किसी एक तक नहीं। एक square बनाइए, उसके अंदर एक छोटा square, उसके अंदर और छोटा, और ऐसे ही चलते जाइए।

ये बिना रुके छोटा होता जाता है, फिर भी self-similar नहीं, क्योंकि इसका एक हिस्सा बस एक अकेला square है, और अकेला square ऐसा घोंसला नहीं है। यानी छोटा होता हुआ हर क्रम अपने आप fractal नहीं बन जाता। हमारा carpet वाला नियम पहले बचे हुए 8 square पर चलता है, फिर 64 पर, और फिर 512 पर। हर टुकड़ा, हर बार, वरना बनावट बस एक कोने में दिखेगी। तो असल में जो बनाया जा सकता है, वो आकृतियों का एक क्रम है।

इसमें चरण 0 है भरा हुआ square, चरण 1 में एक छेद है, और चरण 2 में 9 छेद हैं। बचे हुए square गिनिए, पहले 1, फिर 8, फिर 64, और फिर 512 square। बचा हुआ area, पहले पूरा, फिर 8 बटा 9, फिर 64 बटा 81, और फिर 512 बटा 729 हिस्सा। छेद गिनिए, पहले एक भी नहीं, फिर 1, फिर 9, और फिर 73 छेद। और छेद जितने बढ़ते हैं, उतने छोटे होते जाते हैं, भुजा पहले 1 बटा 3, फिर 1 बटा 9, फिर 1 बटा 27, और फिर 1 बटा 81 हिस्सा।

चित्र में चरण 2 के बाद 3 बिंदु आते हैं, और ये बिंदु एक वादा हैं। वादा ये कि ये कभी नहीं रुकता, और यही वो चीज़ है जो कोई भी चित्र नहीं दिखा सकता। हर चित्र में एक सबसे छोटा टुकड़ा होता है, चरण 4 पर सबसे छोटा टुकड़ा भुजा का 1 बटा 81 है। चाहे चरण 10 बनाइए, तब भी एक सबसे छोटा टुकड़ा है, भुजा का 1 बटा 59049 हिस्सा, बहुत छोटा, पर मिटा नहीं।

जिस आकृति की बात हो रही है, उसमें कोई सबसे छोटा टुकड़ा है ही नहीं, यही उसकी पहचान है। तो आप जो भी चित्र देखेंगे, वो एक चरण ही है, और fractal वो है जिसकी तरफ़ ये चरण बढ़ते हैं, पर कभी पहुँचते नहीं। जो चित्र पूरा दिखता है, वो भी असल में बस आगे का कोई चरण है। इसका मतलब, किसी भी चित्र को देखकर बताया जा सकता है कि वो कौन सा चरण है।

छेदों के नाप गिनिए, छेद नहीं, सिर्फ़ अलग अलग नाप। देखिए, चरण 1 में नाप एक ही है, चरण 2 में 9 छेद हैं पर नाप सिर्फ़ 2, एक बड़ा और 8 छोटे। और चरण 3 में 73 छेद हैं, और नाप 3 तरह के। अलग नापों की गिनती ही चरण की संख्या है, चरण 0 से चरण 4 तक, 5 में से 5 चित्रों पर। और triangle वाली आकृति और plus के आकार वाली आकृति पर भी यही निकलता है, यानी ये पूरी मशीन का गुण है, सिर्फ़ इस एक आकृति का नहीं।

नाप गिनिए, जवाब सीमित आएगा, और समझ जाइए कि सामने एक चरण है। तो मशीन एक है, और मशहूर आकृतियाँ उसकी अलग अलग settings हैं। हमारा carpet हर बार 8 नकलें रखता है, हर एक 1 बटा 3 नाप की। अगर triangle से शुरू करें, उसे 4 टुकड़ों में काटें, और 1 बटा 2 नाप के 3 टुकड़े रखें, तो बनता है gasket। इसमें triangle पहले 1, फिर 3, फिर 9, फिर 27, और area पहले पूरा, फिर 3 बटा 4, फिर 9 बटा 16, फिर 27 बटा 64 हिस्सा।

यहाँ carpet 8 बटा 9 रखता है और gasket 3 बटा 4, यानी मशीन वही है पर संख्याएँ अलग। अब एक सीधे टुकड़े से शुरू कीजिए, और उसकी जगह 1 बटा 3 लंबाई वाले 4 टुकड़े रख दीजिए, फिर नए टुकड़ों के साथ भी यही, तो बनता है snowflake। इसकी शुरुआत 3 भुजाओं से होती है, फिर 12 टुकड़े, फिर 48, और फिर 192 टुकड़े। ये कुछ फेंकता नहीं, सिर्फ़ बदलता है, इसलिए इससे ये पूछना कि ये क्या हटाता है, बेमानी है।

और इसकी लंबाई बढ़ती है, जबकि carpet का area घटता है, पहले 3, फिर 4, फिर 16 बटा 3, और फिर 64 बटा 9 हो जाती है। वही मशीन, अलग settings, और सवाल भी वही 3, शुरुआत किससे, कितने टुकड़ों में, और कितने बचे। आख़िर में एक बात, क्योंकि अकेली परिभाषा पूरी कहानी नहीं है। एक सादा भरा हुआ square लीजिए, उसे 4 टुकड़ों में काटिए और एक चौथाई को बड़ा कीजिए, तो मिलता है भरा हुआ square।

ये भी पास होता है, क्योंकि इसका एक हिस्सा, बड़ा करने पर, पूरी आकृति है। यानी अकेली self-similarity ऐसी आकृति को भी अंदर आने देती है जिसके भीतर कुछ हो ही नहीं रहा। पर carpet के पास जो है और सादे square के पास नहीं, वो है ऐसी बारीकी जो खत्म नहीं होती, हर चरण पर छेद का एक नया नाप। तो 2 चीज़ें चाहिए, ऐसे हिस्से जो पूरी आकृति हों, और हर नाप पर बनावट।

और ये बनावट सिर्फ़ एक वजह से है, नियम को उसका अपना नतीजा दिया गया।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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