PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 8 Mathematics · Chapter 4, Exploring Some Geometric ThemesPrepShorts

Chapter 4 · Exploring Some Geometric Themes

Koch snowflake, और हर step पर उसकी sides और perimeter कैसे बढ़ते हैं

Fractals12 मिनट

यह video load नहीं हो सकी. फिर से कोशिश करने के लिए page reload करें.

Sign in with Google

12 min.

यह lesson English में भी है.Englishहिन्दी

कक्षा 8 की सभी Hindi videos · सभी Hindi videos

1 centimetre भुजा वाले triangle पर एक ही नियम 30 बार चलाइए, तो उसका किनारा 167 से 169 metre के बीच लंबा हो जाता है, और फिर भी आकृति उसी छोटे circle के अंदर रहती है जिसमें शुरुआती triangle बना था।

मुख्य idea

snowflake का नियम एक ही side के साथ एक साथ दो उलटे काम करता है: वह उस side की जगह चार segments रख देता है, और उनमें से हर एक को एक-तिहाई लंबा बना देता है। चार-तिहाई, एक से ज़्यादा है, इसलिए हर step पर perimeter 4/3 से गुणा होता है और इसलिए बिना किसी छत के बढ़ता जाता है — जबकि figure ख़ुद पन्ने के एक छोटे, तय हिस्से के भीतर क़ैद रहती है। असीमित लंबाई वाली boundary plane के एक सीमित टुकड़े को घेर सकती है, और इसकी वजह कोई रहस्य नहीं: लंबाई और area छोटा करने पर अलग-अलग ढंग से बदलते हैं, क्योंकि लंबाई shrink factor से scale होती है और area उसके square से।

आपको क्या आना चाहिए

  • snowflake का construction नियम उन दो क़दमों में बताइए जो chapter देता है, और उसे "हर side एक bump बन जाती है" के रूप में फिर से कहिए
  • गिनिए कि एक side की जगह कितने segments आते हैं, और वजह बताइए कि तीन के बजाय चार क्यों हैं
  • step n पर sides की गिनती 3 × 4ⁿ निकालिए, और एक side के बारे में दलील देकर 4 के factor को सही ठहराइए
  • step n पर एक side की लंबाई शुरुआती side का (1/3)ⁿ निकालिए
  • दोनों को मिलाकर step n पर perimeter निकालिए, शुरुआती side को 1 unit मानकर
  • समझाइए कि 4/3 से बार-बार गुणा करने पर perimeter आपकी बताई किसी भी संख्या से आगे क्यों निकल जाता है
  • समझाइए कि फिर भी figure एक सीमित क्षेत्र के भीतर क्यों रहती है, और ऐसा क्षेत्र पहचानिए जिसमें हर step समा जाए
  • snowflake की दोनों Sierpinski fractals से तुलना कीजिए: जोड़ना बनाम हटाना, और लंबी होती boundary बनाम सिकुड़ता area

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
Koch Snowflakeवह fractal जिस तक किसी equilateral triangle से, हर side की जगह चार segments वाला bump बार-बार रखकर पहुँचा जाता हैकोच हिमकणइसी chapter में छपा (Part II, §4.1, p.73)
perimeterकिसी बंद figure की boundary की कुल लंबाईपरिमापइसी chapter में छपा (Part II, §4.1, p.73, तीसरे Figure it Out item में)
sidelengthfigure की एक side की लंबाईभुजा की लंबाईइसी chapter में छपा (Part II, §4.1, p.73)
sidefigure की boundary का एक सीधा segmentभुजाइसी chapter में छपा (Part II, §4.1, p.73)
equilateral triangleऐसा triangle जिसकी तीनों sides बराबर होंसमबाहु त्रिभुजइसी chapter में छपा (Part II, §4.1, pp.72–73)
bumpchapter का अपना शब्द उस चार segments वाली आकृति के लिए जो हर side की जगह लेती हैउभारइसी chapter में छपा (Part II, §4.1, p.73, single quotes में, और उसके बाद आकृति का एक छोटा inline चित्र)
stepनियम का हर side पर एक साथ एक बार लगनाचरणइसी chapter में छपा (Part II, §4.1, p.73, तीनों panels के नीचे Step 0, Step 1, Step 2 captions के रूप में; ये टाइप किए हुए हैं, artwork नहीं, और text में निकल आते हैं)
growth factorवह संख्या जिससे कोई मात्रा हर step पर गुणा होती हैवृद्धि गुणकइस पाठ का शब्द; chapter इस ख़याल से हिसाब लगाता है और इसे नाम नहीं देता
boundedprocess कितना भी आगे चले, किसी तय क्षेत्र के भीतर बने रहनापरिबद्धइस पाठ का शब्द, इस chapter में नहीं छपा

Hindi column में standard Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का Hindi संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इन शब्दों को standard शब्दावली मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "हर side तीन में बँटती है, तो तीन नए segments हैं।" चार। बीच वाली तिहाई मिटा दी जाती है और उठाए हुए triangle की दो sides उसकी जगह लेती हैं, तो 3 − 1 + 2 = 4। इसे ग़लत गिनना इस construction की सबसे आम अकेली ग़लती है, और इससे आगे का हर number बदल जाता है।
  • "perimeter हर बार एक-तिहाई जुड़कर बढ़ता है, इसलिए धीरे बढ़ता है।" वह अपनी मौजूदा value का एक-तिहाई बढ़ता है, जो गुणा है, जोड़ नहीं। 4/3 से बार-बार गुणा किसी भी तय लक्ष्य को पीछे छोड़ देता है: 30 steps बाद, 1 cm side वाले triangle से शुरू हुए snowflake की boundary लगभग 170 m होती है — दो football मैदानों जितनी लंबी boundary, ऐसी figure में मोड़कर रखी हुई जो अब भी इतनी छोटी है कि एक हथेली से ढक जाए।
  • "असीमित perimeter का मतलब है आकृति बड़ी और बड़ी होती जाती है।" ऐसा नहीं है। हर step उसी छोटे circle के भीतर समा जाता है। boundary फैलकर नहीं, ज़्यादा सिकुड़न-भरी होकर लंबी होती है।
  • "अगर perimeter असीमित है, तो area भी होना चाहिए।" दोनों shrink factor की अलग-अलग powers से चलते हैं। इसे 4 × 1/3 बनाम 4 × 1/9 वाली तुलना से कहिए।
  • "Step 1 एक hexagon है।" वह छह नोकों वाला तारा है — बारह sides, छह नहीं। जो student Step 1 को hexagon पढ़ता है उसे S₁ = 6 मिलता है और उसके बाद सब ग़लत हो जाता है। sides गिनिए।
  • "bump भीतर की ओर इशारा करता है।" बाहर की ओर, हमेशा, और chapter का Step 1 वाला तारा यही दिखाता है। भीतर की ओर करने से एक अलग (और वह भी दिलचस्प) fractal बनता है, पर यह वाला नहीं, और इसे एक चुपचाप मानी गई बात छोड़ने के बजाय ग़लत मोड़ के रूप में नाम देना ठीक है।
  • "यह Sierpinski वालों जैसा ही construction है।" वही मशीन, उलटा क़दम। Sierpinski सामग्री हटाता है और area घटता है; Koch सामग्री जोड़ता है और boundary लंबी होती है। दोनों को आमने-सामने रखना ही उनमें से किसी को भी मतलब देता है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 2 Q1, Figure it Out · 2 Q2, Figure it Out · 2 Q3

पूरा transcript1,995 शब्द

आज एक सीधे टुकड़े से शुरू करते हैं, जिसकी लंबाई 1 unit है, और उस पर एक नियम चलाएँगे। पहला काम, इस टुकड़े को 3 बराबर हिस्सों में काटिए, तो हर हिस्सा 1 बटा 3 unit का होगा। अब बीच वाले हिस्से पर, बाहर की ओर खड़ा, एक equilateral triangle बनाइए। फिर वो बीच वाला हिस्सा मिटा दीजिए, जिस पर अब ये triangle खड़ा है। अब जो बचा, उसके बीच में एक चोटी है, और इस आकार को हम उभार कहेंगे।

सीधा टुकड़ा चला गया, और उसकी जगह ये उभार आ गया। पूरा नियम बस इतना ही है, आगे जो कुछ होगा, वो यही नियम बार बार है, उस हर सीधे टुकड़े पर जो दिखे। अब गिनिए कि ये उभार कितने टुकड़ों से बना है, क्योंकि गलती अक्सर यहीं होती है। टुकड़े को 3 में काटा था, तो शुरू में 3 हिस्से थे। पर बीच वाला मिटा दिया, तो बचे सिर्फ़ 2 हिस्से।

और जो triangle उठाया, उसकी 2 नई भुजाएँ अब किनारे का हिस्सा बन गईं। हिसाब है 3 घटा 1, जोड़ 2, यानी 4 टुकड़े, वहाँ जहाँ पहले बस 1 टुकड़ा था। और ये 4 टुकड़े आपस में बराबर हैं, उनमें से हर एक शुरुआती टुकड़े का 1 बटा 3 है। तो उभार की कुल लंबाई है 4 बटा 3 unit, यानी एक ही टुकड़े पर ये पहले से लंबा हो गया।

अगर कोई इस उभार को 3 टुकड़े गिन ले, तो क्या होगा? तो उसके बाद आने वाली गिनतियाँ गलत निकलेंगी, इसलिए याद रखिए, 3 नहीं, 4 टुकड़े। अब एक equilateral triangle लीजिए, जिसकी भुजा 1 unit है, और नियम उसकी हर भुजा पर, एक साथ चलाइए। हर भुजा एक उभार बन जाती है, तो 3 चोटियाँ बाहर की ओर निकल आती हैं। जो आकृति बनती है, वो दिखती है 6 नोकों वाले एक तारे जैसी।

और गलती की दूसरी जगह यही है, ये तारा hexagon नहीं है। तो इस तारे की भुजाएँ गिनें, तो कितनी निकलेंगी? इसकी भुजाएँ हैं 12, और कोने भी 12 अलग अलग, hexagon वाले 6 नहीं। शुरुआत की 3 भुजाएँ 12 बन गईं, क्योंकि हर भुजा 4 टुकड़े बनी। इन 12 कोनों में से 3 वही कोने हैं जिनसे शुरुआत की, वो अपनी जगह से हिले नहीं, और बाकी 9 नए हैं।

फिर से यही कीजिए, सभी 12 भुजाओं पर, तो 48 भुजाएँ बनती हैं। एक बार और, तो 192 भुजाएँ, और उसके बाद 768 भुजाएँ। ये संख्याएँ किसी सूची में देखा गया pattern नहीं हैं, ये एक अकेली भुजा से निकलती हैं। एक भुजा 4 बनती है, ये बात हर भुजा पर लागू है, और हर भुजा पर नियम अलग से चलता है, कोई किसी को छेड़ता नहीं। इसलिए जो भी गिनती हो, अगली गिनती उसकी 4 गुना होती है, और ये 5 में से 5 चरणों पर जाँचा गया है।

यानी n चरणों के बाद भुजाएँ होती हैं 3 गुणा 4 की घात n। यहाँ 3 वो triangle है जिससे शुरुआत की, और 4 की घात n वो नियम है, जो n बार चला। कहानी का दूसरा आधा हिस्सा ये है, कि ये भुजाएँ कितनी लंबी हैं। हर नया टुकड़ा किसी भुजा का 1 बटा 3 होता है, तो हर नई भुजा अपनी पुरानी भुजा की 1 बटा 3 है।

शुरुआत 1 unit से, एक चरण बाद 1 बटा 3, फिर 1 बटा 9, फिर 1 बटा 27 unit। यानी n चरणों के बाद भुजा की लंबाई है 1 बटा 3 की घात n। और किसी भी चरण पर सारी भुजाएँ आपस में बराबर हैं, 6 में से 6 चरणों पर ये मापा गया है। तो एक संख्या हर चरण पर 4 से गुणा हो रही है, और दूसरी 3 से भाग हो रही है।

ज़्यादा भुजाएँ, पर छोटी भुजाएँ, ये 2 बातें उल्टी दिशाओं में खींचती हैं। तो इन दोनों में आख़िर जीतता कौन है? किसी आकृति का perimeter है भुजाओं की गिनती गुणा एक भुजा की लंबाई, और ये इसलिए चलता है क्योंकि सारी भुजाएँ बराबर हैं। शुरुआत में ये है 3 गुणा 1, यानी 3 unit। अगले चरण पर 12 गुणा 1 बटा 3, यानी 4 unit। फिर 48 गुणा 1 बटा 9, यानी 16 बटा 3, जो 5 से थोड़ा ज़्यादा है।

फिर 192 गुणा 1 बटा 27, यानी 64 बटा 9, जो 7 से थोड़ा ज़्यादा है। और उसके बाद 256 बटा 27 unit, जो 9 से ज़्यादा है। आम तौर पर लिखें, तो ये है 3 गुणा 4 की घात n, गुणा 1 बटा 3 की घात n। यानी 3 गुणा 4 बटा 3 की घात n, और ये 6 में से 6 चरणों पर गिनकर निकले perimeter से मिलता है।

ऊपर 4, नीचे 3, ऊपर का 4 भुजाओं की गिनती से आता है, और नीचे का 3 भुजाओं के छोटे होने से। इसी 4 बटा 3 तक पहुँचने का एक दूसरा रास्ता भी है, जिसमें कुछ भी गिनना नहीं पड़ता। एक भुजा को फिर से देखिए, उसका बीच वाला 1 बटा 3 हिस्सा चला जाता है। और 2 नए टुकड़े आते हैं, हर एक 1 बटा 3 का, यानी कुल 2 बटा 3 आया।

हिसाब देखिए, 1 बटा 3 गया और 2 बटा 3 आया, तो कुल मिलाकर भुजा को अपना ही 1 बटा 3 और मिल गया। हर भुजा के साथ यही होता है, तो पूरे किनारे को अपना 1 बटा 3 और मिलता है। और कोई भी चीज़, जमा उसका अपना 1 बटा 3, उस चीज़ का 4 बटा 3 है, क्योंकि 1 जमा 1 बटा 3 का जोड़ 4 बटा 3 ही है।

यानी 2 बिल्कुल अलग तरीके, टुकड़े गिनिए या किनारे को बदलते देखिए, दोनों से वही 4 बटा 3 निकलता है। और नियम सचमुच चलाकर मापें, तो 4 में से 4 आकृतियों पर perimeter ठीक 4 बटा 3 गुना होता है। पर यही वाक्य लापरवाही से बोलें, तो तस्वीर बिल्कुल बदल जाती है। हर चरण पर 1 बटा 3 बढ़ता है, पर ये 1 बटा 3 किस चीज़ का है? अगर इसे 1 unit का 1 बटा 3 समझें, तो perimeter चलता है 3, फिर 10 बटा 3, फिर 11 बटा 3, फिर 4, फिर 13 बटा 3 unit।

ये तो बहुत धीमा है, कुछ खास होता ही नहीं, इस तरह कहीं पहुँचने में बहुत लंबा समय लगेगा। ये 2 पढ़ाइयाँ 6 में से सिर्फ़ 1 चरण पर मिलती हैं, शुरुआत वाले चरण पर, और उसके बाद अलग हो जाती हैं। चरण 5 पर लापरवाह पढ़ाई कहती है 14 बटा 3, जो 5 से कम है। जबकि सच्चा perimeter है 1024 बटा 81, जो 12 से ज़्यादा है, यानी दोगुने से भी ज़्यादा।

अपना ही 1 बटा 3 जोड़ना असल में गुणा करना है, जबकि 1 unit का 1 बटा 3 जोड़ना बस जोड़ है। आगे की पूरी बात इसी पर टिकी है, कि इन 2 में से आप कौन सा काम कर रहे हैं। देखिए, 4 बटा 3, 1 से 1 बटा 3 ज़्यादा है, और बस यही तुलना वजह है कि perimeter की कोई छत नहीं। जब 1 से बड़ी किसी संख्या से बार बार गुणा करते जाएँ, तो कोई भी लक्ष्य पार हो जाता है, बस इंतज़ार करना होता है।

मान लीजिए लक्ष्य है 10, तो चरण 5 पर perimeter उसके पार निकल जाता है। लक्ष्य 100 हो, तो चरण 13 पर, और लक्ष्य 1000 हो, तो चरण 21 पर। और हर बार, उससे एक चरण पहले, perimeter अभी लक्ष्य के पार नहीं होता, 3 में से 3 लक्ष्यों पर। ठीक लक्ष्य पर पहुँचना उसे पार करना नहीं है, चरण 1 पर perimeter ठीक 4 है, और 4 के पार वो चरण 2 पर जाता है।

अब ऐसा triangle लीजिए जिसकी भुजा 1 centimetre है, इतना छोटा कि नाखून पर बन जाए। चरण 30 पर उसका किनारा 167 से 169 metre के बीच हो जाता है। आकृति नहीं, आकृति तो अब भी नाखून पर ही है, सिर्फ़ उसका किनारा इतना लंबा है। ये असंभव लगता है, तो आकृति को एक जगह बाँधकर देखते हैं। शुरुआती triangle के 3 कोनों से होकर जाने वाला circle बनाइए। हर चरण उसी circle के अंदर समा जाता है, 6 में से 6 चरण, कोई बड़ा circle नहीं, यही वाला।

तारे की नोकें ठीक इसी circle पर बैठती हैं, 6 नोकें, और इन 6 में से 3 triangle के अपने कोने हैं। और आगे के हर चरण पर भी 6 कोने ठीक circle को छूते हैं, कोई कोना बाहर नहीं निकलता। पर इतना लंबा किनारा इतनी छोटी जगह में आख़िर समाता कैसे है? हर नई चोटी अपनी भुजा के एक ही तय हिस्से जितनी ऊपर उठती है, 4 में से 4 चरणों पर ये मापा गया है।

और भुजाएँ हर चरण पर 1 बटा 3 हो जाती हैं, तो हर अगली उठान पिछली उठान की 1 बटा 3 होती है। अब आगे होने वाली सारी उठानें जोड़ दीजिए, जितनी भी कभी होंगी। उनका कुल जोड़ एक तय सीमा से नीचे रहता है, 24 में से 24 बार जोड़कर ये देखा गया। और वो सीमा शुरुआती भुजा के आधे से भी कम है। यानी किनारा फैलकर नहीं बढ़ता, वो और ज़्यादा टेढ़ा मेढ़ा होकर बढ़ता है।

नियम को एक बात और कहनी पड़ती है, जो छूट जाना बहुत आसान है। नियम में triangle बाहर की ओर खड़े होते हैं। उन्हें अंदर की ओर बनाइए, तो एक अलग आकृति बनती है, जो काँटे उगाने के बजाय अपने अंदर कटती है। और मुश्किल बात ये है, कि उस आकृति की भुजाओं की गिनती, उनकी लंबाई, और perimeter, सब वही हैं, 3 में से 3 चरणों पर। सिर्फ़ perimeter से आप नहीं बता सकते कि दोनों में से कौन सी आकृति बनाई गई।

पहले चरण पर 12 में से सिर्फ़ 3 कोने अलग हैं, और 9 एक जैसे, यही 3 कोने पूरा फ़र्क हैं। अंदर वाली आकृति के सिर्फ़ 3 कोने circle को छूते हैं, तारे के 6 नहीं। तो बढ़ता हुआ किनारा, अकेले, किसी आकृति का पूरा वर्णन नहीं है। तो किनारा भाग क्यों निकलता है, जब आकृति नहीं भागती? किसी चीज़ को 1 बटा 3 छोटा करें, तो उसकी लंबाइयाँ 1 बटा 3 हो जाती हैं।

पर उसका area घटकर 1 बटा 9 हो जाता है, क्योंकि area एक साथ 2 दिशाओं में सिकुड़ता है, 1 बटा 3 गुणा 1 बटा 3 के हिसाब से। ये नियम 4 टुकड़े बनाता है, और उनमें से हर एक को 1 बटा 3 छोटा करता है। लंबाई के लिए ये है 4 गुणा 1 बटा 3, यानी 4 बटा 3, जो 1 से बड़ा है, तो लंबाई बढ़ती है।

और area के लिए यही नियम देता 4 गुणा 1 बटा 9, यानी 4 बटा 9, जो 1 से छोटा है। वही 4, वही 1 बटा 3, और जवाब बिल्कुल उल्टे। और अगर गुणक ठीक 1 हो, तो कुछ भी भाग नहीं निकलता, न बढ़ता है, न घटता है। ऐसे 6 नियम साथ रखिए, हर नियम भुजा को कुछ हिस्सों में काटता है, और कुछ टुकड़े वापस रखता है। इन 6 में से 3 नियमों पर किनारा भाग निकलता है।

पर area सिर्फ़ 6 में से 1 नियम पर भाग निकलता है। दोनों सवालों के जवाब 4 नियमों पर एक जैसे हैं, और 2 पर अलग, और हमारा snowflake उन 2 में से एक है। जो नियम 3 में काटकर 3 ही वापस रखे, उसमें लंबाई जस की तस रहती है, न बढ़ती है न घटती है। और जो नियम 5 में काटकर 6 टुकड़े वापस रखे, उसमें लंबाई हर चरण 6 बटा 5 गुना होती है।

वो भी भाग निकलता है, पर धीरे, 100 के पार जाने में उसे 20 चरण लगते हैं, जबकि 4 बटा 3 वाले को 13 चरण ही। एक ऐसा किनारा जिसकी लंबाई की कोई छत नहीं, और फिर भी वो शुरुआती triangle के circle से कभी बाहर नहीं जाता। इसमें कोई पहेली नहीं है, ये 2 अलग सवाल थे, किनारा कितना लंबा है, और आकृति कितनी जगह घेरती है। याद रखने लायक बात, 4 गुना भुजाएँ, हर एक 1 बटा 3 की, तो perimeter हर चरण पर 4 बटा 3 गुना।

और area के लिए यही नियम 4 बटा 9 देता, क्योंकि area तो 2 दिशाओं में सिकुड़ता है। और ये वादा किसी ने नहीं किया, कि 2 अलग सवालों के जवाब एक जैसे होंगे।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

The book

Open in a new tab