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Chapter 4 · Exploring Some Geometric Themes

Sierpinski carpet और gasket: बार-बार हटाने के बाद क्या बचता है

Fractals12 मिनट

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carpet और gasket एक ही मशीन की 2 settings हैं: एक 9 में काटकर 8 रखती है, दूसरी 4 में काटकर 3। चरण 10 पर carpet के square की गिनती 10 अंकों की हो जाती है, और फिर भी वो शुरुआती जगह का सिर्फ़ 30 प्रतिशत से थोड़ा ज़्यादा ढकते हैं।

मुख्य idea

chapter जो दो recursions लिखता है वे सिर्फ़ हिसाब-किताब नहीं हैं — वे सीधे construction से पढ़ी जाती हैं, और हर एक का औचित्य एक टुकड़े के साथ होने वाली बात के बारे में एक अकेले वाक्य से मिलता है। हर बचा हुआ square आठ बचे हुए squares पैदा करता है, इसलिए गिनती 8 से गुणा होती है; हर बचा हुआ टुकड़ा ठीक एक नया छेद बनाता है और कोई पुराना छेद कभी भरता नहीं, इसलिए छेद जमा होते जाते हैं। यह दिख जाए, तो वह बात भी दिख जाती है जो गिनतियाँ छिपा लेती हैं: बचे हुए टुकड़ों की गिनती बेतहाशा बढ़ती है जबकि उनका घेरा हुआ area सिकुड़ता जाता है, क्योंकि हर पीढ़ी आठ ऐसे टुकड़े रखती है जिनमें से हर एक size में नौवाँ हिस्सा है। गिनती का बढ़ना और area का घटना एक ही तथ्य है।

आपको क्या आना चाहिए

  • साबित कीजिए कि equilateral triangle के midpoints जोड़ने से वह चार एक जैसे equilateral triangles में कट जाता है, कोने वाले triangles के बारे में chapter के अपने hint का इस्तेमाल करके
  • carpet का construction नियम और gasket का construction नियम बताइए, और कहिए कि हर एक में "एक टुकड़े" की भूमिका कौन निभाता है
  • एक अकेले बचे हुए square के बारे में दलील देकर Rₙ₊₁ = 8Rₙ को सही ठहराइए
  • Hₙ₊₁ = Hₙ + Rₙ को दो अलग बातों से सही ठहराइए, एक नए छेदों के बारे में और एक पुराने छेदों के बारे में
  • recursion Rₙ₊₁ = 8Rₙ को closed form Rₙ = 8ⁿ में बदलिए और बताइए कि एक से दूसरे तक का क़दम जायज़ क्यों है
  • gasket के लिए इनसे मिलती गिनतियाँ निकालिए और carpet वाली गिनतियों से उनकी तुलना कीजिए
  • दोनों fractals के लिए step n पर बचा हुआ area निकालिए, शुरुआती figure को 1 square unit मानकर
  • समझाइए कि टुकड़ों की गिनती बिना किसी सीमा के कैसे बढ़ सकती है जबकि area zero की ओर सिकुड़ता है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
Sierpinski Carpetवह fractal जिस तक किसी square से, हर बचे हुए square का बीच वाला नौवाँ हिस्सा बार-बार हटाकर पहुँचा जाता हैसिएरपिन्स्की कालीनइसी chapter में छपा (Part II, §4.1, p.70)
Sierpinski Gasketवह fractal जिस तक किसी equilateral triangle से, हर बचे हुए triangle का बीच वाला चौथाई हिस्सा बार-बार हटाकर पहुँचा जाता हैसिएरपिन्स्की गैस्केटइसी chapter में छपा (Part II, §4.1, p.72)
Sierpinski Triangleउसी चीज़ का chapter का दूसरा नाम, पहले के साथ ही छपासिएरपिन्स्की त्रिभुजइसी chapter में छपा (Part II, §4.1, p.72, जहाँ दोनों नाम एक ही शब्द की तरह साथ रखे गए हैं)
holeवह टुकड़ा जो हटा दिया गया है और अब figure का हिस्सा नहीं हैछिद्रइसी chapter में छपा (Part II, §4.1, p.71)
midpointवह point जो किसी segment को दो बराबर हिस्सों में बाँटता हैमध्यबिंदुइसी chapter में छपा (Part II, §4.1, p.72; Part II p.76 पर भी, §4.1 से बाहर)
equilateral triangleऐसा triangle जिसकी तीनों sides बराबर हों, और इसलिए तीनों कोण 60°समबाहु त्रिभुजइसी chapter में छपा (Part II, §4.1, p.72)
isoscelesदो बराबर sides वाला — वह गुण जिसकी ओर chapter का hint इशारा करता हैसमद्विबाहुइसी chapter में छपा (Part II, §4.1, p.72, छपे हुए Hint के भीतर)
identicalcongruent; वह शब्द जो chapter चारों triangles के लिए इस्तेमाल करता हैसर्वांगसमइसी chapter में छपा (Part II, §4.1, p.72)
recursionऐसा नियम जो अगला पद उससे पहले वाले पद के रूप में देता हैपुनरावर्तन सूत्रइस पाठ का शब्द; chapter ऐसे दो नियम लिखता है और उन्हें कोई नाम नहीं देता
closed formnth पद का ऐसा formula जो पहले वाले पदों का सहारा नहीं लेतासंवृत रूपइस पाठ का शब्द, इस chapter में नहीं छपा
midsegmenttriangle की दो sides के midpoints को जोड़ने वाला segmentमध्य रेखाखंडइस पाठ का शब्द; chapter ये segments बनाता है और उन्हें नाम नहीं देता

Hindi column में standard Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का Hindi संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इन शब्दों को standard शब्दावली मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "Rₙ₊₁ = 8Rₙ बस एक देखा हुआ pattern है।" ऐसा नहीं है — यह एक square के बारे में एक वाक्य से साबित होता है। हर बचा हुआ square 9 में बँटता है और 1 खोता है, तो वह ठीक 8 का योगदान देता है, और यह हर बचे हुए के साथ अलग-अलग होता है। दलील एक अकेले square पर दिखाइए, फिर गुणा कीजिए।
  • "Hₙ₊₁ = Hₙ + Rₙ इसलिए कि हर छेद में एक छेद बनता है।" नहीं। नए छेद बचे हुए squares में बनते हैं, हर एक में एक — छेद तो जा चुका है और आगे कुछ नहीं करता। उस formula में Rₙ बचे हुओं की गिनती है, छेदों की नहीं, और students अक्सर ग़लत वाली रख देते हैं।
  • "Rₙ = 8ⁿ क्योंकि pattern 1, 8, 64 8 की powers जैसा दिखता है।" वजह यह है कि 8 से ठीक n बार गुणा करने पर, 1 से शुरू करके, 8ⁿ मिलता है। chapter R₁ = 8 × 1 और R₂ = 8 × 8 ठीक इसीलिए लिखता है कि exponent का दावा करने से पहले बार-बार का गुणा दिख जाए।
  • "midpoints जोड़ने से ज़ाहिर है चार एक जैसे triangles मिलते हैं।" यह ज़ाहिर नहीं है और chapter प्रमाण माँगता है। जिस दावे पर मेहनत लगती है वह यह है कि बीच वाला triangle equilateral है और कोनों जितना ही बड़ा है; isosceles कोने वाले triangles के बारे में hint ही भीतर जाने का रास्ता है।
  • "हमेशा टुकड़े हटाते रहने से कुछ भी नहीं बचना चाहिए।" area सच में zero की ओर जाता है, पर बचे हुए points का समुच्चय ख़ाली नहीं है — हर बचे हुए टुकड़े का हर कोना हर step में बचा रहता है। chapter यह सवाल नहीं उठाता और व्याख्या को इसे सुलझाना नहीं चाहिए, पर उसे ख़ालीपन का दावा भी नहीं करना चाहिए।
  • "ज़्यादा टुकड़े मतलब ज़्यादा area।" यह topic जो सबसे तीखी ग़लती सुधार सकता है, वह यही है। नौवें-नौवें हिस्से के आठ टुकड़े पूरे size के एक टुकड़े से कम हैं। 8 × (1/9) को 1 के बगल में रखिए।
  • "gasket, carpet से अलग तरह की चीज़ है।" वही मशीन, अलग शुरुआती आकृति और रखने का अलग fraction। gasket वाले हिस्से का हर formula carpet का formula है, 8 → 3 और 1/9 → 1/4 के साथ।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 1 Q1, Figure it Out · 1 Q2, Figure it Out · 1 Q3

पूरा transcript1,913 शब्द

आज हम साथ साथ बनने वाली ऐसी आकृतियाँ देखेंगे, जिनके बारे में ज़्यादातर बातें एक जैसी हैं। पहली है carpet, ये एक square से शुरू होती है, उसे 9 बराबर टुकड़ों में काटिए, बीच वाला फेंक दीजिए, और बचे हुए 8 टुकड़ों में से हर एक पर यही दोहराइए। दूसरी है gasket, ये एक equilateral triangle से शुरू होती है, उसकी भुजाओं के midpoint जोड़िए, बीच वाला टुकड़ा फेंकिए, और बचे हुए 3 टुकड़ों पर यही दोहराइए।

मशीन वही है, बदलता है सिर्फ़ ये कि शुरुआत किस आकार से हुई, काटने पर कितने टुकड़े बने, और उनमें से कितने रखे गए। यानी carpet के लिए ये जोड़ी है 9 और 8, और gasket के लिए 4 और 3, दोनों में हर बार सिर्फ़ 1 टुकड़ा हटता है। इस video का पूरा हिसाब इन्हीं संख्याओं की जोड़ियों से निकलेगा, कुछ भी बाहर से नहीं आएगा। पर gasket के नियम में एक बात छिपी है, जो carpet के नियम में नहीं है।

एक square को 3 गुणा 3 के जाल में काटें, तो 9 बराबर टुकड़े आँख से दिख जाते हैं, पर triangle के 3 midpoint जोड़ने पर ये बात साबित करनी पड़ती है। दावा ये है कि जोड़ने वाले ये 3 टुकड़े पूरे triangle को 4 हूबहू एक जैसे equilateral triangle में बाँट देते हैं। सिर्फ़ 4 triangle नहीं, बल्कि 4 बिल्कुल एक जैसे, और उनमें से हर एक equilateral। मेहनत बीच वाले triangle में लगती है, क्योंकि बड़े triangle के 3 कोनों में से एक भी उसके हिस्से नहीं आता।

ये 4 टुकड़े मिलकर कुल 6 बिंदु इस्तेमाल करते हैं, बड़े triangle के 3 कोने और 3 midpoint, इनके अलावा कुछ नहीं। सबूत की शुरुआत कोने वाले triangle से होती है, बीच वाले से नहीं। एक कोने वाला triangle लीजिए, उसकी 2 भुजाएँ बड़े triangle की आधी भुजाएँ हैं, इसलिए वो आपस में बराबर हैं। और उन 2 भुजाओं के बीच का angle वही है जो बड़े triangle का था, यानी पूरा 60 degree।

जहाँ 2 भुजाएँ बराबर हों, वहाँ उनके सामने वाले angle भी आपस में बराबर होते हैं। इस छोटे triangle के angle मिलकर 180 degree होते हैं, तो 60 निकालने के बाद उन दोनों के बीच बाँटने को 120 degree बचते हैं। बराबर बाँटें तो हर एक को 60 degree मिलता है, यानी इस triangle के सारे angle 60 degree के हैं। तो कोने वाला triangle equilateral है, और उसकी हर भुजा बड़े triangle की भुजा की आधी है।

अब बारी है बीच वाले triangle की, जिसके पास कोई कोना नहीं है। जोड़ने वाला हर टुकड़ा किसी न किसी कोने वाले triangle की भुजा भी है, और ये 3 में से 3 टुकड़ों पर लागू होता है। इसलिए वो सारे टुकड़े बड़े triangle की भुजा के आधे हैं, बिल्कुल कोने वाले triangle की भुजाओं जितने। बीच वाले triangle की सारी भुजाएँ बराबर निकलीं, तो वो भी equilateral है, और नाप में कोने वालों जितना।

यानी 4 में से 4 triangle equilateral हैं, और सभी हूबहू एक जैसे। हर एक के हिस्से पूरे area का 1 बटा 4 आता है, और ये 4 मिलकर पूरा triangle बिना किसी कमी के भर देते हैं। यहाँ एक बात ध्यान देने लायक है, जो अक्सर छूट जाती है। एक टेढ़ा मेढ़ा triangle लीजिए, जिसकी भुजाएँ सब अलग अलग हैं, और उसके भी midpoint जोड़िए। उसके भी 4 टुकड़े बनते हैं, और ये 4 में से 4 टुकड़े हूबहू एक जैसे होते हैं।

पर इन 4 टुकड़ों में से एक भी टुकड़ा equilateral नहीं है, बड़ा triangle टेढ़ा जो है। तो हूबहू एक जैसे होना हर triangle में मुफ़्त मिलता है, पर equilateral होने के लिए बड़े triangle का खुद equilateral होना ज़रूरी है। अब गिनती, किसी चरण पर बचे हुए square की गिनती को R कहेंगे। शुरुआत में, यानी चरण 0 पर, बस एक ही square है। किसी एक बचे हुए square पर अकेले नियम चलाइए, वो 9 टुकड़ों में कटता है, 1 टुकड़ा गँवाता है, और 8 टुकड़े छोड़ता है।

और ये हर बचे हुए square के साथ होता है, बाक़ी square क्या कर रहे हैं, इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता। इसलिए अगले चरण की गिनती इस चरण की गिनती की ठीक 8 गुना होती है। चरण 0 से गिनें तो ये बात 5 में से 5 चरणों पर ठीक उतरती है। ये किसी तालिका में दिखा हुआ ढर्रा नहीं है, ये एक square के बारे में कही गई एक बात है।

अब इस नियम से एक सूत्र तक पहुँचते हैं, कदम कदम चलकर। चरण 0 पर गिनती 1 है, चरण 1 पर 8 गुणा 1, यानी 8 square। चरण 2 पर 8 गुणा 8, यानी 64 square, और चरण 3 पर उसका भी 8 गुना, यानी 512 square। यानी 1 से शुरू करके ठीक n बार 8 से गुणा करना ही 8 की घात n कहलाता है। और ये सूत्र कदम कदम वाली गिनती से 6 में से 6 चरणों पर मेल खाता है।

वजह बार बार का गुणा है, ये नहीं कि पहले 1, फिर 8, फिर 64 देखने में 8 की घात जैसे लगते हैं। अब छेद गिनते हैं, और इसके लिए एक नहीं, 2 अलग बातें चाहिए। पहली बात, हर बचे हुए square में अगले चरण पर ठीक एक नया छेद बनता है, न ज़्यादा, न कम। दूसरी बात, जो छेद एक बार बन गया, वो वहीं रहता है, कोई छेद कभी भरता नहीं।

तो अगले चरण के छेद हैं, पहले से मौजूद छेद, और साथ में हर बचे हुए square के लिए एक नया छेद। ध्यान रहे, जोड़ना बचे हुए square की गिनती को है, छेदों की गिनती को नहीं, और यहीं सबसे ज़्यादा गड़बड़ होती है। यहाँ R की जगह छेदों की गिनती रख देना इस पूरे विषय की सबसे आम भूल है। अब इसे चलाकर देखिए, चरण 0 पर एक भी छेद नहीं है।

चरण 1 पर एक छेद, और चरण 2 पर 1 और 8 मिलाकर 9 छेद। चरण 3 पर 1, 8 और 64 को जोड़िए, तो कुल 73 छेद होते हैं। जोड़ी गई हर संख्या 8 की कोई घात है, और कुल छेद पहले 1, फिर 9, फिर 73, और फिर 585 छेद। जोड़ को खोलकर लिखें, तो वो छेदों वाले नियम से 6 में से 6 चरणों पर मेल खाता है।

इस जोड़ का अपना एक सूत्र भी है, 8 की घात n में से 1 घटाइए, और 7 से भाग दीजिए। चरण 3 पर ये 511 बटा 7 बनता है, जो ठीक 73 है, और ये सूत्र 6 में से 6 चरणों पर मेल खाता है। अब वो 2 गलत तरीके देखिए जिनसे लोग इस नियम को पढ़ते हैं, क्योंकि दोनों का जवाब दिया जा सकता है। पहला गलत तरीका पूछता है, क्या हर छेद के अंदर एक नया छेद बनता है?

शुरुआत में छेद ही नहीं हैं, तो जोड़ने को भी कुछ नहीं, और 6 में से 6 चरणों पर आकृति में छेद बनता ही नहीं। ये तरीका असली गिनती से 6 में से सिर्फ़ 1 चरण पर मिलता है, शुरुआत वाले चरण पर। दूसरा गलत तरीका ये कि पुराने छेद भर जाते हैं, और गिनती में सिर्फ़ नए छेद आते हैं, पहले 1, फिर 8, फिर 64 छेद। ये 6 में से 2 चरणों पर मेल खाता है, और बाक़ी 4 चरणों पर गलत निकलता है।

नियम बचे हुए square जोड़ता है, और जो कुछ भी आप उसकी जगह जोड़ें, उससे एक अलग ही आकृति बनती है। अब gasket की बारी, और यहाँ कहने को लगभग कुछ नया नहीं है, असली बात यही है। एक triangle से 3 बचते हैं, तो हर चरण पर गिनती 3 गुना होती है, पहले 1, फिर 3, फिर 9, और फिर 27 triangle। छेद पहले 1, फिर 1 और 3 मिलाकर 4, और फिर 1, 3 और 9 मिलाकर 13 छेद।

इसका सूत्र है 3 की घात n में से 1 घटाकर 2 से भाग, और चरण 3 पर 26 बटा 2, यानी ठीक 13 छेद। ये सूत्र भी 6 में से 6 चरणों पर कदम कदम वाली गिनती से मेल खाता है। यही 2 वाक्य सारा काम कर गए, बस 8 की जगह 3 आ गया, और बाक़ी सब वैसे का वैसा रहा। अब area की बात, शुरुआती आकृति का area एक इकाई मान लीजिए।

हर चरण में हर बचे square के 9 बराबर टुकड़ों में से 8 रहते हैं, तो बचा area हर बार 8 बटा 9 से गुणा होता है। यानी carpet का area पहले 1, फिर 8 बटा 9, फिर 64 बटा 81, और फिर 512 बटा 729 हिस्सा। यानी n चरणों के बाद area होता है 8 बटा 9 की घात n, उतनी ही बार का गुणा। उधर gasket हर triangle के 4 टुकड़ों में से 3 रखती है, तो उसका गुणक 3 बटा 4 है।

और gasket का area पहले 1, फिर 3 बटा 4, फिर 9 बटा 16, और फिर 27 बटा 64 हिस्सा। दोनों का area हर चरण पर घटता है, carpet का 5 में से 5 चरणों पर, फिर भी वो पूरी तरह कभी मिटता नहीं। और ये कोई अलग नतीजा नहीं है, ये उसी गिनती से निकलता है। देखिए, 8 टुकड़े, हर एक 1 बटा 9 का, मिलाकर 8 बटा 9 बनते हैं, जो उस एक टुकड़े से कम है जिससे वो निकले थे।

अब 8 की घात n टुकड़े, हर एक का area 1 बटा 9 की घात n, इन्हें गुणा कीजिए, तो वही 8 बटा 9 की घात n मिलता है। गिनती वाला रास्ता और गुणक वाला रास्ता 6 में से 6 चरणों पर एक ही area देते हैं, और 2 में से 2 आकृतियों के लिए। यानी area शुरू से ही गिनती के अंदर छिपा था, वो कभी अलग सवाल था ही नहीं।

अब गिनती और area, दोनों हिस्सों को एक साथ रखकर देखिए। चरण 3 पर carpet में 512 square और 73 छेद हैं, और वो अब भी शुरुआती जगह का 70 प्रतिशत से ज़्यादा ढकता है। चरण 10 पर square की गिनती 8 की घात 10 है, यानी 10 अंकों वाली एक बहुत बड़ी संख्या। और इतने सारे square मिलकर भी सिर्फ़ 30 प्रतिशत से थोड़ी ज़्यादा जगह ढकते हैं। उधर gasket चरण 10 पर 59049 triangle तक पहुँचती है, और उसका area 5 से 6 प्रतिशत के बीच रह जाता है।

ज़्यादा टुकड़े और कम area आपस में लड़ती हुई 2 बातें नहीं हैं, ये एक ही बात है जो 2 तरह से कही गई। पर बढ़ना और घटना अपने आप एक ही बात नहीं हैं, और ये जानना ज़रूरी है कि यहाँ वो साथ क्यों चलते हैं। ऐसा नियम सोचिए जो 9 में काटे और सारे 9 टुकड़े रखे, गिनती हर चरण बढ़ेगी, पर area ज़रा भी नहीं घटेगा। और ऐसा नियम जो 9 में से सिर्फ़ 1 टुकड़ा रखे, उसका area घटता जाएगा, पर गिनती कभी नहीं बढ़ेगी।

ऐसे 5 नियम साथ रखें, तो उनमें से 3 की गिनती बढ़ती है, और 3 का area घटता है। पर ये वही 3 नियम नहीं हैं, बढ़ने और घटने का फ़ैसला 3 नियमों पर एक जैसा है, और 2 पर अलग। दोनों काम एक साथ करने वाले 5 में से सिर्फ़ 2 नियम हैं, यही carpet और यही gasket। आख़िर में एक सवाल, जो देखने में आसान है, पर है नहीं।

देखिए, carpet का area हर चरण पर घटता है, 5 में से 5 चरणों पर, और घटता ही चला जाता है। तो क्या इसका मतलब है कि अंत में कुछ भी नहीं बचता? हमेशा हटाते रहना और सब कुछ हटा देना, ये 2 एक ही बात नहीं हैं, ये फ़र्क ध्यान से सोचने लायक है। असल में क्या बचता है, ये तय करना इस video से लंबी कहानी है, पर सवाल अब आपके हाथ में है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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