कला में fractals: मंदिर, कपड़ा और print, जो पूरी आकृति को छोटे scale पर दोहराकर बने हैं

0:00लोग ऐसी आकृतियाँ बहुत पहले से बना रहे हैं, इनके लिए कोई शब्द बनने से भी पहले। शायद इनमें सबसे पुरानी, जो आज भी खड़ी हैं, मंदिरों के शिखर हैं, और इस वाक्य में शायद शब्द सचमुच काम कर रहा है। क्योंकि इस दावे को पक्का करने लायक कोई पूरी सूची किसी के पास नहीं है। शिखर को ऐसा बनाने वाली चीज़ उस पर की गई नक्काशी नहीं है, बल्कि इमारत का अपना आकार है।

0:26शिखर ऐसे छोटे शिखरों से बना है जिनकी बाहरी शक्ल वही है, और उनमें से हर एक पर और छोटे शिखर हैं। किसी दूसरी परंपरा का एक बुना हुआ कंबल यही काम diamond से करता है, diamond के अंदर diamond, उसके अंदर फिर diamond। और एक छापे में, आपस में फँसी वही आकृतियाँ बीच की ओर छोटी होती हुई बार बार लौटती हैं। पत्थर, धागा और स्याही, सामग्री अलग, पर विचार एक, और ये video उसी विचार के बारे में है।

0:58शुरुआत उस शब्द से करते हैं जो सबसे ज़्यादा उलझन पैदा करता है, दोहराना। इसके 2 बिल्कुल अलग मतलब हो सकते हैं, और उन्हें अलग पहचानना ही इस पूरी बात का सार है। किसी चीज़ को उसके बगल में दोहरा सकते हैं, जैसे किनारी पर एक जैसे diamond की कतार, हर एक पूरे आकार का, किसी के अंदर कुछ नहीं। या किसी चीज़ को उसके अंदर दोहरा सकते हैं, एक diamond, जिसके अंदर छोटे diamond, और उनमें से हर एक के अंदर और छोटे।

1:26दोनों दोहराना ही है, पर हमें जिसकी तलाश है वो सिर्फ़ दूसरा वाला है। बगल में रखना, या अंदर रखना, आगे की पूरी बात इसी फ़र्क से निकलती है। तो ये रही एक जाँच, जिसे सचमुच चलाया जा सकता है, किसी अंदाज़े की जगह। पहला कदम, उस चीज़ के किसी एक हिस्से पर घेरा बनाइए। फिर उस हिस्से को इतना बड़ा कीजिए कि वो पूरी चीज़ जितना हो जाए। अब उसे देखकर तय कीजिए कि सामने क्या है।

1:56अगर सामने फिर से पूरी चीज़ है, तो वो जाँच में पास है। और अगर सामने कुछ और है, तो वो जाँच में फ़ेल है। घेरा, बड़ा करना, और मिलान, पूरी जाँच बस इतनी ही है। इसे diamond वाली किनारी पर चलाइए, एक diamond घेरिए, बड़ा कीजिए, तो सामने एक diamond है। पर किनारी तो एक कतार है, और diamond कतार नहीं है, तो किनारी फ़ेल। अब इसे अंदर अंदर बने diamond पर चलाइए, एक छोटा diamond घेरिए और बड़ा कीजिए, तो सामने वही diamond है जिसके अंदर छोटे diamond हैं।

2:31यानी फिर से पूरी चीज़, तो ये पास है। कागज़ पर आकार वही, पर जवाब उल्टे। इस जाँच से 8 ढाँचे गुज़ारें, तो उनमें से सिर्फ़ 3 पास होते हैं। बाकी 5 की खास बात ये है, कि लोग उन्हें अक्सर fractal कह देते हैं, और उनमें से एक भी fractal नहीं है। पहले मंदिर के शिखर को लेते हैं। उसके किनारे पर खड़े छोटे शिखरों में से एक को घेरिए।

2:58उसे बड़ा कीजिए, तो उसकी बाहरी शक्ल पूरे शिखर की शक्ल है, वही ढलान, वही सीढ़ीनुमा बनावट। तो शिखर पास है, और जो पास हुआ वो है उसकी बनावट, पत्थर का अपना आकार। ये ज़रूरी है, क्योंकि इससे वो मतलब कट जाता है जिस तक ज़्यादातर लोग सबसे पहले पहुँचते हैं। एक सादा डिब्बा, जिस पर सुंदर नक्काशी हो, वो ये चीज़ नहीं है। वहाँ नक्काशी सतह पर है, जबकि यहाँ इमारत खुद ही नक्काशी है।

3:29कंबल पर यही जाँच धागे के साथ चलती है। बुने हुए कपड़े में एक diamond घेरिए। उसे बड़ा कीजिए, तो वो सादा diamond निकलता ही नहीं, वो ऐसा diamond है जिसके अंदर छोटे diamond हैं। उनमें से एक को घेरिए, तो फिर से वही जवाब मिलता है। इसलिए उस कंबल की खास बात ये नहीं कि उस पर diamond बने हैं। खास बात ये है, कि उसके diamond खुद diamond से बने हैं।

3:56अब एक जाल, क्योंकि एक आसान पर गलत जाँच है, और लोग अक्सर उसी को चुनते हैं। गलत जाँच ये है, कि क्या इसके अंदर छोटी नकलें हैं? एक सादा डिब्बा लीजिए, जिसके सामने वाले हिस्से पर छोटे फूल खुदे हैं। बड़े आकार के अंदर छोटे आकार, तो ये उस जाँच में आराम से पास हो जाता है। पर एक फूल घेरिए और बड़ा कीजिए, तो सामने एक फूल है, डिब्बा नहीं।

4:23इन 8 में से 5 के अंदर छोटी चीज़ें हैं, और self-similar उनमें से सिर्फ़ 3 हैं। दोनों जाँचें 6 ढाँचों पर एक जैसा जवाब देती हैं और 2 पर अलग, और वो 2 दोनों खुदे हुए डिब्बे हैं। अंदर छोटी चीज़ें होना सजावट की पहचान है, ये वो चीज़ नहीं जिसकी हमें तलाश है। एक दूसरी गलत जाँच भी है, जो और भी आसान लगती है, कि क्या ये कुछ दोहराता है?

4:50देखिए, 8 में से 6 ढाँचे कुछ न कुछ दोहराते हैं, और self-similar सिर्फ़ 3 हैं। ये जाँच और असली जाँच 5 पर मिलती हैं और 3 पर अलग, किनारी, tiling, और फिर वही खुदा हुआ डिब्बा। एक tiling किसी सतह को एक ही आकार से बार बार ढकती है, न कोई खाली जगह, न एक के ऊपर एक, और हर टुकड़ा एक ही आकार का। एक टुकड़े को बड़ा कीजिए, तो सामने बस एक टुकड़ा है, पूरी tiling नहीं।

5:20इन 8 में से 2 ढाँचे अपनी नकलें बगल में पूरे आकार में रखते हैं, और उन दोनों में से कोई पास नहीं। छापे की छोटी होती आकृतियाँ बिल्कुल अलग चीज़ हैं, और फ़र्क बस एक शब्द का है। वहाँ आकृतियाँ छोटी होकर लौटती हैं, अंदर, बगल में नहीं। जाँच के बारे में एक बात और, उसे हर हिस्से पर चलना चाहिए, किसी एक पर नहीं। मान लीजिए एक शिखर है, जिसके 3 हिस्सों में से 2 छोटे शिखर हैं, और तीसरा एक खुदा हुआ फूल।

5:52पहला हिस्सा घेरें, तो शिखर मिलता है, पर तीसरा घेरें, तो फूल। तो वो शिखर फ़ेल है, ज़्यादातर हिस्से पास हैं, पर ज़्यादातर काफ़ी नहीं। जो 3 ढाँचे पास हुए, उनमें से हर एक के 4 में से 4 हिस्से फिर से पूरी चीज़ ही हैं। इन सबके नीचे एक ही निर्देश है, और उसे धीरे धीरे समझना ज़रूरी है। एक आकार चुनिए, फिर तय कीजिए कि नकलें कहाँ जाएँगी, और वो कितनी छोटी होंगी।

6:22फिर यही निर्देश हर उस नकल पर लगाइए जो अभी अभी बनी। ये आख़िरी हिस्सा ही पूरी बात है। ये नहीं कि कुछ बड़ी नकलें रख दीं, और फिर अपनी मर्ज़ी से कुछ छोटी। बल्कि ये, कि पूरी चीज़ के साथ जो किया, वही हर नकल के साथ कीजिए, और फिर हर नकल की नकल के साथ। इसी तरह एक निर्देश ऐसी आकृति बना देता है जिसे किसी ने बैठकर खींचा नहीं।

6:47बनाने वाला एक नियम चुनता है, और चित्र उस नियम से अपने आप निकलता है। अब एक बनाकर देखते हैं, एक triangle लीजिए। नियम ये है, हर भुजा के बीच में उसकी एक नकल, आधे आकार की, यानी 3 नकलें। पहले दौर में 3 नकलें आती हैं, और दूसरे दौर में हर नकल पर 3, यानी 9 नकलें। तो 1 जमा 3 जमा 9, कुल 13 टुकड़े, और वो भी 3 अलग अलग आकारों में।

7:16आकार हैं पूरा, आधा, और चौथाई, और अगले दौर में 1 बटा 8 आकार वाले टुकड़े आएँगे। चित्र में अलग अलग आकार गिनिए, तो पता चलता है कि कितने दौर चले, क्योंकि हर दौर एक नया आकार जोड़ता है। गिनती हर स्तर पर जोड़कर करें या सूत्र से, 5 में से 5 नियमों पर, 7 में से 7 स्तरों तक, जवाब एक ही आता है। अब समझिए कि ये सिर्फ़ शब्दों का खेल क्यों नहीं है।

7:45मान लीजिए किसी दूसरे ने बिल्कुल यही चित्र किसी और तरीके से बनाया। उसने 3 आधे आकार की नकलें रखीं, फिर 9 चौथाई आकार की, और रुक गया, क्योंकि उसे बस इतना ही बनाना था। टुकड़े दर टुकड़े और आकार दर आकार, दोनों चित्र हूबहू एक जैसे हैं, 13 टुकड़े, 3 आकार। पर दोनों को एक दौर और चलाइए, तो पहले में 40 टुकड़े हैं 4 आकारों में, और दूसरे में अब भी 13 टुकड़े, 3 आकारों में।

8:14फ़र्क है 27 टुकड़ों का, और उनमें से हर एक 1 बटा 8 आकार का है। और दूसरे से स्तर 4 या स्तर 10 माँगिए, तब भी उसके पास 13 ही टुकड़े हैं। देखिए, 7 में से 3 स्तरों पर दोनों मिलते हैं, और बाकी 4 पर नहीं। यानी 2 स्तरों का चित्र तीसरे स्तर को तय नहीं करता, ये काम नियम करता है। तो असली पत्थर या धागा आख़िर रुक क्यों जाता है?

8:42क्योंकि किसी भी सामग्री का एक सबसे छोटा निशान होता है, छेनी का सबसे छोटा कटाव, करघे का सबसे पतला धागा, छापे का सबसे छोटा बिंदु। मान लीजिए सबसे छोटा निशान पूरी चीज़ का 1 बटा 10 है, तो आधे आकार की नकलों से 3 स्तर बनते हैं, और 1 बटा 3 आकार से 2 स्तर। निशान 1 बटा 100 हो, तो यही गिनती 6 और 4 स्तर हो जाती है।

9:09निशान 1 बटा 1000 हो, तो 9 और 6 स्तर। सामग्री 100 गुना बारीक कर दें, 1 बटा 100 से 1 बटा 10000 तक, तो भी आधे आकार पर बस 7 स्तर और जुड़ते हैं, और 1 बटा 3 आकार पर सिर्फ़ 4 स्तर। और ठीक निशान जितनी नकल भी बन जाती है, 1 बटा 8 के निशान पर आधे आकार से पूरे 3 स्तर बनते हैं। यानी सामग्री कितनी भी अच्छी हो जाए, स्तर धीरे धीरे ही आते हैं।

9:37गणित में कोई सबसे छोटा निशान होता ही नहीं, और model और असली चीज़ के बीच का पूरा फ़र्क बस यही है। अब नियम की एक संख्या बदलिए, 3 की जगह 4 नकलें, और हर एक 1 बटा 3 आकार की। तो गिनती चलती है 1, फिर 5, फिर 21, फिर 85 टुकड़े। विचार वही रहा, पर बनी हुई चीज़ बिल्कुल अलग है। पहले वाले नियम को स्तर 10 तक चलाइए, तो वो 88,573 टुकड़े रख चुका होता है, बिना किसी परेशानी के।

10:10जबकि 1 बटा 100 के निशान वाली सामग्री, 1 बटा 3 आकार पर, स्तर 4 पर ही रुक जाती है। नकलें जितनी छोटी, सामग्री उतनी जल्दी रुकती है, आधे से 1 बटा 5 तक, 6, 4, 3, और फिर 2 स्तर। पत्थर तराशने वाले, बुनकर और छापने वाले ने एक ही निर्देश उतनी दूर तक चलाया जितनी उनकी सामग्री ने इजाज़त दी, और फिर रुक गए। इसलिए नहीं कि विचार ख़त्म हो गया, बल्कि इसलिए कि पत्थर ख़त्म हो गया।