Nets: कौन-सी समतल आकृतियाँ मुड़कर कौन-सा ठोस बनती हैं

0:00यहाँ एक cube है, इसके कुछ edges के साथ-साथ काटिए, तो इसकी पूरी सतह खुलकर सपाट बिछ जाती है। इस सपाट टुकड़े को, उस cube का net कहते हैं। ध्यान दीजिए, net उस cube का चित्र नहीं है, ये खुद उसकी सतह है, बस अपनी जगह से हटाई हुई। इसमें कुछ भी खींचा या फाड़ा नहीं गया, इसलिए सतह पर नापी गई कोई भी दूरी बदली नहीं। तो इसे वापस मोड़ना कोई अंदाज़ा नहीं, एक साफ़ क्रिया है।

0:28या तो ये मुड़कर cube बना देती है, या किसी ऐसी वजह से अटकती है, जिस पर उँगली रखी जा सके। पहले कुछ शब्द, फिर गिनती, फिर परीक्षा, और आखिर में एक गेंद, जिसका कोई net नहीं होता। शुरुआत कुछ शब्दों से, face, edge, और vertex। किसी ठोस को घेरने वाली सपाट सतहें, उसके faces कहलाती हैं। जहाँ 2 faces मिलते हैं, वहाँ एक edge बनता है, और जहाँ edges मिलते हैं, वो vertex है।

1:01अब इन्हें एक cube पर गिनिए, सबसे पहले faces, जो 6 हैं। गिनने पर 12 edges निकलते हैं, 4 ऊपर, 4 नीचे, और 4 खड़े हुए। और 8 vertices, यानी 6 faces, 12 edges, 8 vertices, जो ठोस से गिने गए, याद नहीं किए गए। किसी cuboid पर भी यही गिनती आती है, 6 faces, 12 edges, और 8 vertices, क्योंकि उसकी बनावट cube जैसी ही है। दूसरे ठोस अलग गिनती देते हैं, tetrahedron में 4 faces, 6 edges, 4 vertices, और octahedron में 8 faces, 12 edges, 6 vertices।

1:41और इन 3 ठोसों में से हर एक में, faces और vertices जोड़कर edges घटाइए, तो 2 बचता है। अब ठोसों के परिवार, जिन्हें ठीक से परिभाषित करना ज़रूरी है। किसी prism में 2 एक जैसे polygon आमने-सामने होते हैं, और उनके बीच, किनारे-किनारे, उन्हें जोड़ते सपाट टुकड़े। किसी pyramid में एक polygon होता है, और उससे बाहर एक अकेला point, जिससे polygon के एक-एक कोने तक एक edge जाता है।

2:12जिस pyramid का आधार triangle हो, उसे tetrahedron भी कहते हैं। मान लीजिए prism के सिरे 10 भुजाओं वाले हैं, तो उसमें 2 सिरे हैं, और 10 बगल वाले faces। उसी आधार पर pyramid बने, तो नीचे 1 आधार, और उससे ऊपर उठते 10 triangles। अब बिना चित्र के गिनिए, एक prism, जिसके सिरों में n भुजाएँ हैं। शुरुआत faces से, 2 सिरे, और भुजाओं जितने बगल वाले faces, यानी n जमा 2 faces।

2:44अब edges, n एक सिरे पर, n दूसरे पर, और n खड़े, यानी 3 गुणा n। और vertices, n एक सिरे पर, और n दूसरे पर, यानी 2 गुणा n। तो जिस prism के सिरे 10 भुजाओं वाले हों, उसकी गिनती क्या होगी? जवाब है, 12 faces, 30 edges, और 20 vertices। आधार में n भुजाएँ हों, तो pyramid में n जमा 1 faces, 2 गुणा n edges, और n जमा 1 vertices।

3:16आधार 10 भुजाओं का हो, तो 11 faces, 20 edges, और 11 vertices बनते हैं। एक और, 5 भुजाओं वाले सिरों का prism हो, तो उसमें कितने? ये बनते हैं, faces की गिनती 7, edges की 15, और vertices की 10, और उसी आधार के pyramid में faces की 6, edges की 10, और vertices की 6। अब जाँच, prism के सूत्र में n की जगह 4 रखिए, तो 6 faces, 12 edges, 8 vertices, यानी वही cube।

3:50और ये सूत्र, 3 से 10 तक n के 8 मानों में से हर एक पर, ठोस बनाकर और गिनकर मिलते हैं। अब वापस सपाट टुकड़े पर, ये रहा एक net, 4 squares की एक खड़ी पट्टी। ऊपर से तीसरे square के बाएँ एक square है, और उसके दूसरी तरफ़ एक और। कुल 6 squares, अब इन्हें एक-एक करके मोड़िए। पट्टी के 4 squares मुड़कर एक घेरा बनाते हैं, सामने, ऊपर, पीछे, और नीचे।

4:20बाईं ओर वाला square बायाँ face बनता है, और दूसरा, ठीक उसके सामने वाला face। यानी 6 squares, 6 faces, और एक face पर एक square, यही पूरी परीक्षा है। और ये वही टुकड़ा है, जो 4 की कतार में तीसरे square के ऊपर एक और नीचे एक लगाने से बनता है, बस घुमाया हुआ। अगर गत्ते से सच का डिब्बा बनाना हो, तो उसकी अपनी ज़रूरतें हैं। सामग्री इतनी मज़बूत हो कि cube खड़ा रह सके, और faces को आपस में चिपकाने का कोई तरीका हो।

4:52पतले कागज़ में इसके लिए छोटे-छोटे flaps जोड़े जाते हैं, गोंद लगाने के लिए। पर flaps, net का हिस्सा नहीं हैं, net सिर्फ़ सतह है, और सतह पर कोई flap नहीं होता। तो एक net पर कितने flaps लगेंगे? देखिए, 6 squares आपस में 5 जगह जुड़े हैं, और बाहर की तरफ़ 14 खुले edges बचते हैं। मोड़ने पर ये 14 जोड़ियों में मिलते हैं, यानी 7 जगह चिपकाना है, और एक जोड़ पर एक flap, तो कुल 7 flaps।

5:22यानी 5 जुड़े और 7 चिपके, मिलकर 12, ठीक उतने जितने cube के edges। कागज़ पर net बनाते समय, हिसाब पहले ही जाँच कर देता है, क्योंकि cuboid के faces जोड़ियों में आते हैं। जिस cuboid की लंबाई 5, चौड़ाई 3, और ऊँचाई 1 हो, उसके faces में 15 वाले, 5 वाले, और 3 वाले, जोड़ियों में, कुल 46 बनता है। और लंबाई 6, चौड़ाई 3, ऊँचाई 2 वाले cuboid के faces में 18 वाले, 12 वाले, और 6 वाले, कुल 72 बनता है।

5:58बनाया हुआ net इतना न निकले, तो समझिए चित्र में कहीं गलती है। अब 6 सपाट टुकड़े, और 6 में से हर एक, 6 squares से बना है, किनारे से किनारा जुड़ा हुआ। इनमें से कौन से टुकड़े मुड़कर cube बनते हैं? इन्हें मन में मोड़िए, एक बार में एक square। जवाब ये है, 6 में से 4 टुकड़े cube बना देते हैं। बाकी 2 नहीं बनते, जबकि squares उनमें भी पूरे 6 हैं।

6:28तो squares की गिनती, इन्हें आपस में अलग नहीं करती। पहला टुकड़ा, 3 squares की 2 कतारें, जो बस एक खाने भर एक-दूसरे के ऊपर-नीचे पड़ती हैं। निचली कतार सामने, बगल, और पीछे बनती है, ऊपर वाला square ढक्कन, उसके बगल वाला बायाँ face, और आखिरी मुड़कर तली। दूसरा टुकड़ा, एक सीढ़ी, 2 squares के 3 जोड़े, और अगला जोड़ा पिछले से एक खाना आगे खिसका। तीसरा टुकड़ा, 4 की कतार, और तीसरे square के ऊपर एक, नीचे एक।

7:05चौथा टुकड़ा, 4 की कतार, ऊपर तीसरे के एक, और नीचे दूसरे के एक। इन 4 में से हर एक, 6 अलग-अलग faces पर पड़ता है। तो बाकी 2 टुकड़ों में गड़बड़ कहाँ होती है? पहली नाकामी, 4 की कतार, और उसके बाएँ सिरे के ऊपर 2 squares की आड़ी जोड़ी, जो कतार से एक खाना बाहर निकली है। कतार मुड़कर घेरा बनाती है, और जोड़ी का पहला square ढक्कन बन जाता है।

7:35दूसरा square नीचे मुड़कर घेरे के ऐसे face पर आता है, जिस पर पहले से एक square है। यानी एक face पर 2 टुकड़े, और हिसाब भी यही कहता है, ढके faces की गिनती 5, और खाली बस एक। इसे एक face की कमी कहने का मन करता है। पर खाली face तो नतीजा है, असली गलती दोहराव है, 2 squares का एक ही जगह पड़ना। दूसरी नाकामी भी यही करती है, दूसरे square के नीचे लटकी 2 squares की जोड़ी, एक face पर 2 squares, और 1 face खाली।

8:08सीधी कतार में 4 squares हों, तो वो मुड़कर 4 बगल वाले faces का घेरा बनाते हैं। अब ऊपर, 4 में से किसी भी square पर एक square लगाइए, और नीचे, 4 में से किसी पर एक। ऊपर वाला ढक्कन बनता है, नीचे वाला तली, क्योंकि घेरे पर ऊपर भी एक ढक्कन की जगह है, और नीचे भी एक की। ऐसी जगहें 4 गुणा 4, यानी 16 हैं, और 16 में से हर एक मुड़कर cube बना देती है।

8:35पर इनमें से कई, एक-दूसरे को घुमाने या पलटने से मिलते हैं, अलग nets बस 6 हैं। और अगर दोनों squares कतार के ऊपर ही लगा दें, तो क्या होगा? ऐसी 6 जगहें हैं, और एक भी नहीं मुड़ती, 6 में से हर एक में 2 squares एक ही ढक्कन पर आते हैं। घेरे के ऊपर एक ढक्कन है, और नीचे एक तली, दोहराव ठीक वहीं से आता है। एक cube के कुल 11 nets होते हैं, तो सवाल ये है, गिनती 11 ही क्यों?

9:08ये 11 अपने-आप में कोई अकेला तथ्य नहीं, ये एक नियम पर टिका हुआ तथ्य है। नियम ये है, 2 टुकड़े एक ही net गिने जाते हैं, अगर एक को घुमाकर या पलटकर दूसरे पर रखा जा सके। नियम बदलिए, तो गिनती भी बदल जाती है। अगर सिर्फ़ घुमाना एक जैसा माना जाए, और पलटा हुआ टुकड़ा अलग, तो 20 nets बन जाते हैं। और अगर कागज़ पर रखी हर स्थिति अलग गिनी जाए, तो गिनती 64 तक पहुँच जाती है।

9:37नियम तय हो जाए, तो गिनती सूची बनाकर होती है। किनारे से किनारा जोड़कर, 6 squares से कुल 35 अलग आकार बनते हैं, घुमाने और पलटने को एक मानकर। अब 35 में से हर एक को मोड़िए, 11 cube बनाते हैं, और बाकी 24 नहीं। गिनती 11 इसलिए नहीं कि किसी ने कहा, 11 इसलिए कि 35 आज़माए गए। इन 11 को बेतरतीब याद करने की ज़रूरत नहीं, ये 4 परिवारों में बँट जाते हैं।

10:07पहला परिवार, 4 की कतार, ऊपर एक और नीचे एक, इसमें 6 nets हैं, ये सबसे बड़ा परिवार है। दूसरा परिवार, जिसकी कतारें 2, फिर 3, फिर 1 square की हैं, इसमें 3 nets हैं। फिर सीढ़ी वाला एक net, और 3 squares की 2 कतारों वाला एक net। यानी 6 जमा 3 जमा 1 जमा 1, कुल 11, और 11 में से हर एक net, ठीक एक परिवार में आता है।

10:35अभी मुड़े 4 टुकड़ों में, 2 पहले परिवार के हैं, एक सीढ़ी है, और एक 3 squares की 2 कतारों वाला। अब यही गिनती, एक ऐसे तर्क से, जो कुछ भी सपाट नहीं बिछाता। किसी cube को खोलना, असल में ये चुनना है, कि कौन से edges काटें। उसके 6 faces, आपस में 12 जगह जुड़े हुए हैं। जो जुड़ा रहे, वो सब faces तक पहुँचे, और गोल घूमकर बंद न हो, तो 6 से एक कम, यानी 5 जोड़ बचते हैं, और 7 कटते हैं।

11:09ऐसा करने के कुल 384 तरीके हैं। पर cube के अपने 48 घुमाव और पलटाव हैं, और इनमें से किसी से जुड़े 2 कट, एक ही net देते हैं। तो 384 को 48 से भाग दीजिए, 8 आता है, पर जवाब 8 नहीं है। कुछ कट घुमाने पर खुद जैसे ही दिखते हैं, इसलिए उनके समूह छोटे हैं, 48 वाले 5 समूह, और 24 वाले 6 समूह। जोड़िए, 5 गुणा 48, जमा 6 गुणा 24, यानी 384, और समूह कुल 11 बनते हैं।

11:43यानी 2 तर्क, आपस में कुछ भी साझा नहीं, और जवाब दोनों का 11 ही। अब regular tetrahedron, 4 बराबर भुजाओं वाले triangles, और 4 उम्मीदवार। पहला उम्मीदवार, एक बड़ा triangle, जिसे भुजाओं के बीच के points जोड़कर 4 हिस्सों में बाँटा गया। बाहर के 3 triangles ऊपर मोड़िए, तो वो एक point पर मिल जाते हैं, ये net है। तीसरा उम्मीदवार, 4 triangles की सीधी पट्टी, इसे लपेटिए, तो बंद हो जाती है, ये दूसरा net है।

12:17दूसरा उम्मीदवार, 3 की पट्टी, और चौथा triangle सिरे से पीछे मुड़ा हुआ, गिनती पूरी 4 है। पर इसके 2 triangles एक ही face पर आते हैं, यानी squares वाली ही गलती। चौथे उम्मीदवार में 5 triangles हैं, 4 faces वाले ठोस के लिए, कोई भी मोड़ इसे ठीक नहीं करेगा। यानी 4 में से 2 nets हैं, और 2 नाकामियाँ, बिल्कुल अलग वजहों से। काटने वाला तर्क भी यही कहता है, 6 जोड़ों में से 3 बचते हैं, 16 तरीके, 24 घुमाव और पलटाव, और nets सिर्फ़ 2 बनते हैं।

12:54अब बड़े ठोस, 2 square pyramids को उनके square faces से आपस में चिपकाइए। एक pyramid में 5 faces, 8 edges, और 5 vertices होते हैं, चिपकने पर square faces अंदर छिप जाते हैं। बचते हैं 8 triangles, 12 edges, और 6 vertices, यही octahedron है। उसका एक net, 6 triangles की पट्टी, पहले के ऊपर एक triangle, और आखिरी के नीचे एक। इसे मोड़िए, तो 8 triangles, 8 अलग-अलग faces पर आते हैं।

13:28गिनती में octahedron के भी 11 nets हैं, cube जितने, और ये कोई संयोग नहीं। इसके 8 faces ठीक उसी तरह मिलते हैं, जैसे cube के 8 कोने, तो काटने की गिनती भी वही, 12 जोड़, 384 तरीके, और 48 घुमाव-पलटाव। और एक ऐसा ठोस भी है, जिसके सारे faces pentagon हैं, उसे dodecahedron कहते हैं। इसके 12 faces, 30 edges, और 20 vertices हैं, और 12 जमा 20 घटा 30, फिर से 2 बचता है।

14:00इसे खोलने के तरीके इतने हैं कि हाथ से नहीं गिने जाते, पर घुमाव और पलटाव से मिलाकर समूह बनाएँ, तो 43,380 बचते हैं। यही तरीका cube पर चलाइए, तो 11 मिलता है, और tetrahedron पर 2 nets। कुछ ठोसों में सपाट faces होते ही नहीं, फिर भी उनके nets होते हैं, क्योंकि वो मोड़कर नहीं, लपेटकर बने हैं। एक डिब्बे को उसकी ऊँचाई के साथ-साथ काटिए, तो गोल हिस्सा खुलकर rectangle बन जाता है।

14:31इस rectangle की एक भुजा, डिब्बे की ऊँचाई है। और दूसरी भुजा कितनी लंबी होगी? ये diameter नहीं है, और radius भी नहीं। ये आधार के पूरे घेरे की लंबाई है, यानी 2 गुणा pi गुणा r। मान लीजिए radius की लंबाई 3 है, और ऊँचाई 5 है। तो rectangle की भुजाएँ 5 और 6 pi बनती हैं, जबकि diameter की लंबाई बस 6 है, यानी लंबी भुजा उसकी pi गुना है।

15:01पूरी सतह में 2 circles हैं, 9 गुणा pi वाले, यानी 18 गुणा pi, और rectangle के 30 गुणा pi, कुल 48 गुणा pi। अब cone, इसे इसकी तिरछी लंबाई के साथ काटकर खोलिए। आधार का घेरा पूरा का पूरा, नोक से एक ही दूरी पर है, यानी तिरछी लंबाई पर। इसलिए सपाट होने पर, वो एक circle के टुकड़े पर बैठता है, जिसका radius तिरछी लंबाई है। यानी मिलता है circle का एक टुकड़ा, triangle नहीं।

15:34पर उस circle का कितना बड़ा टुकड़ा मिलता है? जितना radius, तिरछी लंबाई का हिस्सा है, उतना, यानी radius बटा तिरछी लंबाई। मान लीजिए radius की लंबाई 3 है, और तिरछी लंबाई 5, तो टुकड़ा 3 बटा 5 का है, यानी 216 degree। और उसका मुड़ा हुआ किनारा, ठीक आधार के घेरे जितना, 6 pi लंबा है। अगर radius की लंबाई 4 हो, तो 4 बटा 5, यानी 288 degree।

16:06तिरछी लंबाई radius से बड़ी होती है, इसलिए टुकड़ा कभी पूरा circle नहीं बनता, इन 5 में से हर एक cone पर। आखिर में एक गेंद, इसे कागज़ में लपेटिए, न कोई सिलवट, न खाली जगह, न दोहराव। ये हो नहीं पाता, और वजह वही पहली वाली, मोड़ना कागज़ को खींचता नहीं। इसलिए मोड़ने से, किसी point पर मिलने वाले कुल degree नहीं बदलते। सपाट कागज़ में, अंदर के किसी भी point पर पूरा घुमाव होता है, 360 degree।

16:39किसी cube के कोने पर 3 squares मिलते हैं, यानी 270 degree, जहाँ सपाट होने के लिए 360 चाहिए। कोना 90 degree कम है, और यही कमी मोड़ने में खप गई। इसी तरह, tetrahedron का कोना 180 कम, octahedron का 120 कम, और dodecahedron का 36 कम। पूरे ठोस पर ये कमी जोड़िए, तो 720 degree, 8 गुणा 90, फिर 4 गुणा 180, फिर 6 गुणा 120, और 20 गुणा 36, और ये बात जाँची गई 4 ठोसों पर, हर एक पर।

17:15और 3 से 6 भुजाओं वाले prism और pyramid, इन 8 में से हर एक पर भी, कुल 720 ही आता है। गेंद में कोई कोना नहीं, वो कहीं से नुकीली नहीं, पूरी चिकनी है, तो मोड़ने के लिए कहीं कुछ नहीं बचता। याद रखिए, net किसी सतह का चित्र नहीं, वो खुद सतह है, और कोई सतह या तो सपाट हो पाती है, या नहीं।