PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 8 Mathematics · Chapter 4, Exploring Some Geometric ThemesPrepShorts

Chapter 4 · Exploring Some Geometric Themes

cube के आर-पार सबसे छोटा रास्ता, उसे समतल करके ढूँढ़ा हुआ

Building and unfolding solids12 मिनट

यह video load नहीं हो सकी. फिर से कोशिश करने के लिए page reload करें.

Sign in with Google

12 min.

यह lesson English में भी है.Englishहिन्दी

कक्षा 8 की सभी Hindi videos · सभी Hindi videos

30 लंबे डिब्बे पर ऊपर से जाने वाला रास्ता 42 का है, और डिब्बे के इर्द-गिर्द जाने वाला 40 का: जो रास्ता सबसे सीधा सूझता है, वो सबसे छोटा नहीं।

मुख्य idea

किसी रास्ते को देखकर आप उसकी तुलना अनगिनत प्रतिद्वंद्वियों से नहीं कर सकते — पर आप पूरी समस्या को ऐसी जगह ले जा सकते हैं जहाँ वह पहले से हल है। किसी box को खोलना उसकी सतह को बिना खींचे मोड़ता है, इसलिए box पर कोई रास्ता और net पर उसकी छवि की लंबाई ठीक बराबर होती है। इससे "सतह पर सबसे छोटा" बदलकर "समतल पर सबसे छोटा" बन जाता है, जहाँ जवाब एक सीधी line है और दलील आँख का अंदाज़ा नहीं, एक प्रमाण है। पेच यह है कि box कई तरह से खुलता है: एक net पर खींची सीधी line काग़ज़ से बाहर निकल सकती है और किसी भी रास्ते से मेल नहीं खाती, और अलग-अलग nets अलग-अलग लंबाई की सीधी lines देते हैं। तो तरीक़ा तभी पूरा होता है जब आप सारे खुलाव गिना दें — और फिर Baudhayana Theorem हर उम्मीदवार को नापता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • बताइए कि cuboid की सतह पर कोई रास्ता और net पर उसकी छवि बराबर लंबाई के क्यों होते हैं
  • उस बराबरी से यह दलील दीजिए कि कोई ख़ास रास्ता सबसे छोटा है, सिर्फ़ दावा मत कीजिए
  • समझाइए कि net पर मुड़ी हुई छवि यह क्यों साबित करती है कि रास्ता सबसे छोटा नहीं है
  • पहचानिए कि net पर कोई सीधा segment ठोस पर किसी भी रास्ते से कब मेल नहीं खाता, और बताइए कि क्या गड़बड़ हुई
  • पहला खुलाव नाकाम हो तो दूसरा खुलाव चुनिए, और बताइए कि क्या बदला
  • Baudhayana Theorem से net पर रास्ते की लंबाई निकालिए
  • एक ही box के अलग-अलग खुलावों से मिली लंबाइयों की तुलना कीजिए और छोटी वाली पहचानिए
  • समझाइए कि जब तक सारे अलग खुलाव गिना न दिए जाएँ, तरीक़ा पूरा क्यों नहीं होता

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
shortest pathकिसी बताई गई पाबंदी के साथ, दो points के बीच सबसे कम कुल लंबाई वाला रास्तान्यूनतम पथइसी chapter में छपा (Part II, §4.2, p.84)
netकिसी ठोस की सतह खोलने से मिली समतल आकृतिजालइसी chapter में छपा (Part II, §4.2, pp.79, 85)
unfoldingकिसी ठोस की सतह को समतल बिछाने की क्रिया, या उसका नतीजाउद्घाटनइसी chapter में छपा (Part II, §4.2, pp.86–87, unfolded और unfoldings के रूप में)
cuboidछह rectangular faces वाला box जैसा ठोसघनाभइसी chapter में छपा (Part II, §4.2, p.84)
surfaceठोस की बाहरी boundary, वह अकेली जगह जहाँ चलने की इजाज़त हैपृष्ठइसी chapter में छपा (Part II, §4.2, p.84)
Baudhayana Theoremright triangle की दो legs पर बने squares और hypotenuse पर बने square के बीच का रिश्ताबौधायन प्रमेयइसी chapter में छपा (Part II, §4.2, p.87)
right triangle90° कोण वाला triangleसमकोण त्रिभुजइसी chapter में छपा (Part II, §4.2, p.87)
transformकिसी रास्ते को ठोस से net पर, या वापस, ले जानारूपांतरित करनाइसी chapter में छपा (Part II, §4.2, p.85, transformed और transforms के रूप में)
geodesicसतह पर स्थानीय रूप से सबसे छोटा रास्ताभूगणितीय रेखाइस पाठ का शब्द, इस chapter में नहीं छपा
isometryऐसा रूपांतरण जो सारी दूरियाँ बनाए रखेसर्वसमताइस पाठ का शब्द; chapter लंबाई बनाए रखने वाला गुण शब्दों में बताता है और उसे नाम नहीं देता

Hindi column में standard Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का Hindi संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इन शब्दों को standard शब्दावली मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "सबसे छोटा रास्ता ज़ाहिर तौर पर सबसे पास वाले edge के ऊपर से जाने वाला है।" मामला 4 chapter की अपनी संख्याओं से इसे ग़लत साबित करता है: ऊपर से जाने पर 42 मिलता है, घूमकर जाने पर 40। ज़ाहिर रास्ता हार जाता है।
  • "देखकर बता सकते हैं।" नहीं बता सकते, और chapter कुछ भी करने से पहले यही कहता है — उम्मीदवार अनगिनत हैं। खुलाव ही देखने को साबित करने में बदलता है।
  • "खोलने से दूरियाँ बदल जाती हैं।" नहीं बदलतीं, और पूरी दलील यही है। शीट मोड़ने से वह जगह में हिलती है पर शीट के साथ नापी गई कोई दूरी नहीं बदलती। असली box पर एक धागा और समतल किए box पर वही धागा रखकर दिखाइए।
  • "net पर सीधी line हमेशा जवाब होती है।" सिर्फ़ तब जब वह net पर ही रहे। Part II p.86 एक ऐसा सीधा segment दिखाता है जो काग़ज़ से बाहर भटक जाता है, और ऐसा segment किसी भी चीज़ का वर्णन नहीं करता।
  • "कोई भी net चलेगा।" अलग nets अलग सीधे segments देते हैं। Part II p.86 पर chapter की अपनी सीख यही है और इसी वजह से section 12 है।
  • "40 cm जवाब है।" वह दिखाए गए दो में से छोटा है। उप-हिस्से पर chapter का आख़िरी वाक्य सारे खुलाव गिनाने को कहता है, जो इस बात का कथन है कि समस्या अभी बंद नहीं हुई।
  • "edge पार करते समय रास्ता मुड़ता है, तो वह सीधा नहीं है।" box पर वह मुड़ता है; net पर नहीं। सीधापन समतल की हुई तस्वीर का गुण है, और तुलना सिर्फ़ वहीं होती है।
  • "इसके लिए Pythagoras चाहिए, जो दूसरा chapter है।" chapter इसी नतीजे को Baudhayana Theorem कहता है और यहाँ बिना किसी तामझाम के इस्तेमाल करता है। chapter का नाम इस्तेमाल कीजिए।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript1,960 शब्द

एक गत्ते के डिब्बे पर एक चींटी बैठी है, और उसी डिब्बे पर कहीं और, चीनी का एक दाना पड़ा है। चींटी सिर्फ़ सतह पर चल सकती है, न वो उड़ सकती है, न डिब्बे के अंदर से सुरंग बना सकती है। तो चींटी से दाने तक, सबसे छोटा रास्ता कौन सा है? किसी सपाट मेज़ पर ये सवाल ही नहीं बनता, सीधी line खींचिए, और बात खत्म। पर डिब्बे की सतह कोनों पर मुड़ती है, और चींटी को भी उसके साथ मुड़ना पड़ता है।

और यहीं धोखा है, आप कोई रास्ता खींचें, तो वो छोटा दिख सकता है। पर दिखना और जानना एक बात नहीं, और ये पूरा पाठ इसी फ़र्क के बारे में है। मान लीजिए आपने एक रास्ता खींचा, और वो छोटा दिखता है। उसे सबसे छोटा कहने के लिए, उसका किसी भी दूसरे रास्ते से छोटा होना ज़रूरी है। तो ऐसे दूसरे रास्ते कितने हैं? अनगिनत, किसी भी रास्ते को ज़रा सा खिसका दीजिए, तो एक नया रास्ता बन जाता है।

तो इन्हें एक-एक करके जाँचना नामुमकिन है, पूरी ज़िंदगी में भी नहीं। इसीलिए सबसे छोटा एक भारी शब्द है, ये उन रास्तों के बारे में भी दावा है, जो आपने खींचे ही नहीं। इससे निकलने का रास्ता है, सवाल को ऐसी जगह ले जाइए, जहाँ उसका जवाब पहले से पता हो। और वो जगह है सपाट कागज़, जहाँ सबसे छोटा रास्ता सीधी line होती है। तरकीब ये है, डिब्बे को उसके कुछ edges के साथ काटिए, और खोलकर सपाट बिछा दीजिए।

इसमें न कुछ खींचा गया, और न कुछ फटा। डिब्बे पर किसी रास्ते के साथ एक धागा रखिए, फिर डिब्बा खोलिए, धागे की लंबाई उतनी ही रहती है। लंबा बगल वाला face लीजिए, लंबाई 8 और ऊँचाई 4, बिछाने के बाद भी वो उतना ही रहता है। उसके कोने से कोने तक की दूरी का वर्ग, 64 जमा 16, यानी 80, डिब्बे पर भी, और कागज़ पर भी। अब किसी edge पर डिब्बे को लुढ़काइए, तो वो edge अपनी जगह से हिलता ही नहीं।

उसके दोनों सिरे वहीं रहते हैं, लंबाई 8 ही रहती है, और नया face बस उसकी दूसरी तरफ़ आकर बिछता है। वापस उसी edge पर लुढ़काइए, तो face ठीक अपनी पुरानी जगह लौट आता है। और लंबे faces पर 4 बार लुढ़काइए, तो वही face 16 आगे आकर बिछता है, यानी 4 जमा 4 जमा 4 जमा 4, उन faces की चौड़ाइयाँ। इसलिए सपाट करना सुरक्षित है, ये सतह को हटाता है, बिगाड़ता नहीं।

तो अब रास्ता, सपाट कागज़ पर बना एक चित्र है, और वहाँ जवाब हमें पता है। एक डिब्बा लीजिए, लंबाई 8, चौड़ाई 4, ऊँचाई 4, और चींटी एक लंबे बगल वाले face के बीच में है। और दाना ऊपर वाले face के ठीक बीच में रखा है। बगल वाला face और ऊपर वाला face खोलिए, तो चींटी और दाना एक सीध में, एक के ठीक ऊपर दूसरा आ जाते हैं।

चींटी ऊपर के edge से 2 नीचे है, दाना उस edge से 2 अंदर, तो सीधा रास्ता 2 जमा 2, यानी 4 का बनता है। अब दूसरा रास्ता, वो भी उसी edge को पार करता है, पर थोड़ा आगे जाकर। सपाट करने पर वो सीधा नहीं रहता, उसमें एक मोड़ आ जाता है। वही मोड़ इस पूरे मामले का फ़ैसला करता है। जिस रास्ते में मोड़ हो, वो उन्हीं points के बीच की सीधी line से लंबा होता है।

ये नापने की बात नहीं, triangle की कोई भी 2 भुजाएँ मिलकर, बची हुई भुजा से लंबी होती हैं। तो कुछ नापना ही नहीं पड़ता, बस दिखाइए कि मोड़ वाला point सीधी line से हटकर है। फिर भी हिसाब देखिए, सीधे रास्ते की लंबाई का वर्ग 16 है, और इस मोड़ वाले का 32 निकलता है। अब edge को पार करने की 9 पूरी जगहें आज़माइए, 0 से 8 तक, तो उनमें सीधा रास्ता सिर्फ़ एक है।

और बाकी 8 जगहों में से हर एक, उस सीधे रास्ते से लंबा है। पर 4 सिर्फ़ इस एक रास्ते से बेहतर नहीं है। उन faces के बीच डिब्बा खोलने के 26 तरीके हैं, 10 सच्चा रास्ता देते हैं, और 16 की line कागज़ से बाहर चली जाती है। और उन 10 में सबसे छोटा रास्ता 4 का ही है, ये देखकर नहीं, सारे 26 तरीके गिनकर तय हुआ। अब दाने को डिब्बे के एक edge पर रख दीजिए, ऊपर वाले face के दूर वाले किनारे के बीच में।

किसी edge पर रखा point, एक साथ दोनों faces पर होता है, जो वहाँ मिलते हैं। किसी एक की तरफ़ खोलिए, या दूसरे की तरफ़, जवाब वही आता है। इस बार रास्ता 6 का है, बगल वाले face पर 2 ऊपर, और ऊपर वाले face के पार पूरे 4 चलकर। ये पहले से 2 ज़्यादा है, जैसा होना चाहिए, क्योंकि दाना अब और दूर है। चित्र बदला, पर तर्क नहीं बदला, और अक्सर यही निशानी होती है कि तर्क सही है।

अब तक सब आसान था, अब देखिए ये तरीका कहाँ टूटता है। वही डिब्बा, पर चींटी अब एक छोटे वर्गाकार सिरे के बीच में है, जो 4 गुणा 4 का है। यानी उस सिरे के किनारों से 2 दूर, ऊपर-नीचे भी, और अगल-बगल भी। दाना नीचे वाले सामने के edge पर है, उसी सिरे से 2 आगे। डिब्बे को एक cross की शक्ल में खोलिए, लंबे faces का एक खड़ा कॉलम, और दोनों सिरे दूसरे face के अगल-बगल।

गिनिए, लंबे वाले 4, सिरे वाले 2, कुल 6, और कोई भी 2 एक-दूसरे पर नहीं चढ़े। अब चींटी से दाने तक सीधी line खींचिए, और देखिए वो कहाँ जाती है। वो line कागज़ से बाहर निकल जाती है। उसका एक हिस्सा खाली जगह से गुज़रता है, जहाँ गत्ता है ही नहीं। उसे जिन मोड़ों को पार करना था, उनकी line से वो मोड़ के बाहर मिलती है, यानी 2 में से 0 मोड़ पार होते हैं।

वो line कोई बुरा रास्ता नहीं है, वो रास्ता है ही नहीं। डिब्बे पर उसका कोई मेल नहीं, तो उसकी लंबाई किसी भी चीज़ की लंबाई नहीं। और ये कोई इत्तफ़ाक नहीं, इन faces के बीच डिब्बा खोलने के 26 तरीके हैं, और उनमें से 20 की line बाहर निकलती है। यानी 26 में से सिर्फ़ 6 तरीके, सच्चा रास्ता देते हैं। और धोखा इससे भी गहरा है, बाहर जाने वाली एक line, एक अच्छे रास्ते से छोटी नपती है।

तो लंबाइयाँ लिखकर सबसे छोटी उठा लेना काफ़ी नहीं, जाँचना ज़रूरी है। अब दूसरे edges काटिए, और डिब्बे को नीचे वाले face की तरफ़ से खोलिए। वही चींटी और वही दाना, कागज़ पर कहीं और आ जाते हैं। अब सीधी line पूरे रास्ते गत्ते पर ही रहती है। ये एक सच्चा रास्ता है, इसे वापस मोड़िए, तो चींटी को उस पर चलते देख सकते हैं। दाने के दोनों faces में से किसी की भी तरफ़ खोलिए, सबसे छोटा सच्चा रास्ता वही आता है।

तो इस तरीके का एक दूसरा हिस्सा भी है, जिसे लोग भूल जाते हैं। तो line खींचिए, फिर जाँचिए कि वो कागज़ पर ही रही, क्योंकि डिब्बा किस तरह खोला, ये मायने रखता है। अब एक ऐसा डिब्बा, जो मेहनत के लायक है, लंबाई 30, और दोनों सिरे 12 गुणा 12 के वर्ग। चींटी एक सिरे पर है, उसकी बीच वाली line पर, ऊपर के edge से 1 नीचे। बीच वाली line यानी सिरे की चौड़ाई के आधे पर, ठीक 6 की दूरी पर।

दाना दूसरे सिरे पर चिपका है, वो भी बीच वाली line पर, नीचे से 1 ऊपर। दोनों आमने-सामने के सिरों पर हैं, एक ऊपर की तरफ़, और एक नीचे की तरफ़। सीधा सूझने वाला रास्ता ऊपर से जाता है, ऊपर चढ़ो, लंबाई में चलो, और दूसरे सिरे पर नीचे उतरो। ऊपर 1, अपने सिरे से निकलने के लिए, फिर ऊपर वाले face पर पूरे 30 चलकर। फिर दूर वाले सिरे पर नीचे, दाना 12 ऊँचे face में नीचे से 1 ऊपर है, तो 12 घटा 1, यानी 11 नीचे उतरना है।

डिब्बे को उस तरह खोलिए, तो ये 3 टुकड़े एक ही सीधी line में आ जाते हैं। जोड़िए, 1 जमा 30 जमा 11, यानी कुल 42 बनता है। और कागज़ पर वो सचमुच सीधी है, तो उस तरह ऊपर से जाने वाला कोई भी रास्ता इसे नहीं हरा सकता। ये 42 लिखकर रख लीजिए। अब उसी डिब्बे को अलग तरह से खोलिए, ऊपर से नहीं, उसके इर्द-गिर्द घुमाकर। लंबाई के साथ डिब्बे को लुढ़काइए, ताकि लंबे faces एक के नीचे एक, एक पट्टी में बिछ जाएँ।

चींटी वाला सिरा पट्टी की एक तरफ़ लटकता है, और दाने वाला दूसरी तरफ़, थोड़ा और नीचे। अब चींटी और दाने के बीच की सीधी line, एक ऐसे triangle की सबसे लंबी भुजा है, जिसका एक कोना 90 का है। आड़े में, चींटी के सिरे से निकलने को 1, डिब्बे की लंबाई 30, और दाने के सिरे में घुसने को 1, यानी कुल 32 बनता है। खड़े में, चींटी अपने face की चौड़ाई के बीच में है, दाना भी अपने face के बीच में, और दोनों के बीच एक पूरा face है।

तो 6 जमा 12 जमा 6, यानी 24, जो 12 जमा 12 के बराबर है, यानी faces की 2 चौड़ाइयाँ। अब वो नियम, जो ऐसे triangle की भुजाओं के वर्गों को जोड़ता है। दोनों छोटी भुजाओं के वर्ग जोड़िए, तो सबसे लंबी भुजा का वर्ग मिलता है। यहाँ 32 का वर्ग 1024 है, और 24 का वर्ग 576 है। दोनों का जोड़ 1600 है, और 1600 ठीक 40 गुणा 40 है, तो रास्ता 40 का है।

एक छोटी जाँच, 24 और 32 और 40 को 8 से भाग दीजिए, तो 3 और 4 और 5 बचते हैं, और 9 जमा 16, ठीक 25 बनता है। यानी 40 बनाम 42, डिब्बे के इर्द-गिर्द जाना, ऊपर से जाने से 2 छोटा है। यहीं रुककर सोचिए, जो रास्ता सबसे सीधा सूझता था, वो सबसे छोटा नहीं निकला। पर एक बड़ा सवाल अब भी खड़ा है, और वही ईमानदार सवाल है।

डिब्बा खोलने के 2 तरीकों ने 2 अलग जवाब दिए, तो बाकी तरीकों का क्या? इसका जवाब देने का एक ही तरीका है, उन्हें गिनकर लिखना। एक सिरे से दूसरे तक चलने के, किसी face पर 2 बार पैर रखे बिना, 28 तरीके हैं। उनमें से 16 सच्चा रास्ता देते हैं, और बाकी 12 की line कागज़ से बाहर जाती है। सच्चे 16 रास्तों में से हर एक, 40 या उससे लंबा है, और सबसे छोटा ठीक 40 का है।

मतलब जवाब 40 ही है, और अब ये उम्मीद नहीं, जानकारी है। जवाब 40 इसलिए नहीं कि 2 चित्र मिल गए, बल्कि इसलिए कि 28 तरीके आज़माए गए, और कोई उससे छोटा नहीं निकला। सबसे छोटे से गिनें, तो सच्चे रास्तों में ऊपर से जाने वाले 42 की जगह 3 पर आती है। बीच में एक रास्ता है, जिसकी लंबाई का वर्ग 1658 है, जो किसी पूरी संख्या का वर्ग नहीं।

जीतने वाली line को वापस डिब्बे पर लाइए, तो वो 5 सीधे टुकड़ों का रास्ता बनती है, जो edges पर 4 बार मुड़ता है। और 5 टुकड़ों में से हर एक, डिब्बे पर उतना ही लंबा है, जितना कागज़ पर, यानी सपाट करने वाली बात, जवाब पर ही जाँच ली। ये रास्ता डिब्बे की 6 सतहों में से 5 पर चलता है। जो खोज 4 सतहों पर ही रुक जाती, वो इससे लंबा जवाब लौटाती, और कोई इशारा नहीं देती कि कुछ छूट गया।

तो पूरा तरीका ये है, डिब्बे को खोलिए, लंबाइयाँ नहीं बदलतीं। फिर सपाट कागज़ पर सीधी line खींचिए। जाँचिए कि line कागज़ पर ही रही, और मोड़ों को क्रम से पार किया। फिर खोलने के सारे तरीके गिनिए, और उनमें से सबसे छोटा सच्चा रास्ता चुनिए। ऊपर रखे दाने के लिए 26 में से 10 तरीके काम के थे, किनारे पर पड़े दाने के लिए 26 में से 6, और लंबे डिब्बे पर 28 में से 16 तरीके।

किसी भी डिब्बे पर, किन्हीं भी जगहों के लिए यही तरीका चलता है, देखकर नहीं, गिनकर। और अगली बार कोई रास्ता छोटा दिखे, तो पूछिए, बाकी तरीके किसने गिने?

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

The book

Open in a new tab