किसी विवरण से मन में एक ठोस बनाना

0:00अगले कुछ मिनटों में जो कुछ भी होगा, वो सब आपको अपने दिमाग में करना है। कागज़ पर नहीं, हवा में उँगली घुमाकर, या किसी साथी से बात करते हुए, पर कोई चित्र बनाए बिना। ये सुनकर ऐसा लगता है कि ये कोई हुनर है, जो कुछ लोगों के पास होता है और बाकी के पास नहीं। असल में ये एक क्रिया है, जिसे सीखा जा सकता है, और जो अभ्यास के साथ बेहतर होती जाती है।

0:23तरीका बस इतना है, एक आकार को मन में थामिए, उस पर एक काम कीजिए, और फिर देखिए कि क्या बचा। आज यही करेंगे, पहले एक शब्द पर, फिर कुछ सपाट आकारों पर, और फिर ठोस चीज़ों पर। सबसे छोटे काम से शुरू करते हैं, मन में एक शब्द रखिए, CHALK। इसमें 5 letter हैं, और वो आपके सामने एक कतार में रखे हुए हैं। अब इन्हें उल्टे क्रम में देखिए, आवाज़ से नहीं, letters से, तो मिलता है K, L, A, H, C।

0:57आपने एक चीज़ को स्थिर रखा, और उस पर एक क्रिया चलाई। यही क्रिया 2 बार कीजिए, तो शब्द वापस वहीं आ जाता है जहाँ से चला था। और कुछ शब्द उल्टे होकर भी नहीं बदलते, LEVEL को उल्टे क्रम में लीजिए, तो फिर से वही LEVEL। इन 4 शब्दों में से 2 ऐसे ही हैं, LEVEL और NOON, जबकि CHALK और BOARD बदल जाते हैं। पूरी विधि यही है, थामिए, कुछ कीजिए, और फिर नतीजा देखिए।

1:27अब एक आकार लीजिए, एक square, और उसकी भुजा को 1 मान लीजिए। हर भुजा के बीच में एक निशान लगाइए, और फिर हर कोने को काट दीजिए, एक निशान से अगले निशान तक सीधा। कुल 4 cut लगे, तो अब बचा क्या है? ज़्यादातर लोग 8 भुजाएँ सोचते हैं, क्योंकि 4 cut और 4 भुजाएँ मिलकर 8 जैसा सुनाई देता है। पर बचते हैं सिर्फ़ 4 कोने, क्योंकि एक कोने पर मिलने वाले cut उन्हीं निशानों तक पहुँचते हैं, और बीच में पुरानी भुजा का कोई टुकड़ा नहीं बचता।

2:01जो बचा, वो भी एक square है, अपने कोने पर खड़ा, बराबर भुजाएँ, और उसका हर कोना 90 degree का। और ये छोटा है, इसकी भुजा को खुद से गुणा करें, तो 1 बटा 2 आता है, यानी इसका area पूरे square का आधा। अब देखिए कि काटकर क्या हटाया, कुल 4 छोटे triangle। हर triangle में एक कोना 90 degree का है, बाकी 2 कोने 45 degree के, और छोटी भुजाएँ 1 बटा 2 की।

2:31अब रुकने लायक बात, इन triangle को सरकाकर आपस में जोड़िए, तो एक square बनता है। कोई भी square नहीं, ठीक वही square, जो board पर अभी भी खड़ा है। हिसाब ये पहले ही बता देता है, हर कोना पूरे square का 1 बटा 8 है, तो सब कोने मिलकर 1 बटा 2 बनाते हैं। और 1 बटा 2 ही ठीक वो हिस्सा है, जो पीछे बचा है। आख़िरी बात, कटे हुए कोने की सबसे लंबी भुजा, बचे हुए square की भुजा जितनी है, इसलिए टुकड़े उसी outline में बैठते हैं।

3:03निशान बदलिए, तो जवाब भी उनके साथ बदल जाता है। एक equilateral triangle लीजिए, और हर भुजा पर 2 निशान लगाइए, ठीक तिहाई पर, यानी कुल 6 निशान। फिर हर कोने को काटिए, उतना अंदर तक जहाँ तक निशान हैं, यानी कुल 3 cut, तो अब क्या बचा? बचती हैं 6 भुजाएँ, क्योंकि हर cut एक कोना ले जाता है, और बगल की भुजाओं का बीच वाला तिहाई छोड़ देता है।

3:30और ये regular है, इसकी सारी 6 भुजाएँ पुरानी भुजा का 1 बटा 3 हैं, और सारे 6 कोने 120 degree के। हर कटा हुआ कोना खुद एक छोटा equilateral triangle है, जिसकी भुजा 1 बटा 3 है। और area में, हर कोना पूरे triangle का 1 बटा 9 है, तो hexagon के पास 2 बटा 3 बचता है। एक निर्देश, एक triangle, और हाथ में एक regular hexagon आ गया।

3:56इससे अगला सवाल आसान लगता है, पर वो आसान है नहीं। अब वही निशान square पर, हर भुजा पर तिहाई पर 2 निशान, और कोने वहीं तक काटिए। भुजाएँ बनती हैं 8, और यहाँ तक पहुँचना आसान है। और इसके सारे 8 कोने बराबर हैं, हर एक 135 degree का। तो ये regular octagon हुआ, ज़्यादातर लोग अगला कदम यही कहते हैं, और ये गलत है। भुजाएँ नापिए, इनमें 4 भुजाएँ पुरानी भुजाओं के बीच वाले तिहाई हैं, और 4 भुजाएँ cut हैं।

4:32इन्हें खुद से गुणा करें, तो बीच वाली से 1 बटा 9 आता है, और cut से 2 बटा 9, यानी cut वाली लंबी है। यानी 8 बराबर कोने, पर भुजाएँ 2 अलग लंबाई की, और बराबर कोनों से कोई आकार regular नहीं बन जाता। और बराबर भुजाओं से भी नहीं, एक झुका हुआ आकार जिसकी 4 भुजाएँ बराबर हों, उसके कोने 2 तरह के होते हैं। वैसे इस octagon के पास पूरे square का 7 बटा 9 बचता है।

5:02तो triangle पर बात बन गई, और square पर क्यों नहीं बनी? इसका इन दोनों आकारों से कोई लेना देना नहीं, असली बात कोने की है। किसी कोने को तिहाई पर काटिए, तो 2 चीज़ें बनती हैं, कोने के आर पार का cut, और उसके बगल में बचा भुजा का टुकड़ा। बचा हुआ टुकड़ा हमेशा 1 बटा 3 होता है, पर cut इस पर टिका है कि कोना कितना खुला था।

5:27कोना 60 degree का हो, तो दोनों बराबर निकलते हैं, 90 पर cut लंबा है, और 120 पर उससे भी लंबा। खुद से गुणा करके देखें, तो cut आता है 1 बटा 9, 2 बटा 9 और 3 बटा 9, जबकि टुकड़ा हर बार 1 बटा 9 ही रहता है। अब वो regular आकार लीजिए जिनके कोने यही हैं, triangle, square और hexagon, और इन्हें तिहाई पर काटिए। इन 3 में से सिर्फ़ 1 regular आकार देता है, और वो triangle है, hexagon से तो 12 भुजाएँ बनती हैं, 2 अलग लंबाई की।

5:59ये बात 60 degree के कोने के बारे में है, triangle के बारे में नहीं। अब ये सब कागज़ से उठाकर हवा में ले चलते हैं। जब आप कोई ठोस चीज़ देखते हैं, तो आप तक असल में वो चीज़ नहीं पहुँचती। पहुँचता है वो आकार, जो वो चीज़ उस जगह से दिखाती है जहाँ आप खड़े हैं, उसे profile कहते हैं, और उस profile का किनारा outline है। मान लीजिए कोई ठोस चीज़ तेज़ी से एक दीवार में घुसकर आर पार निकल जाए, तो दीवार में ठीक उसके आकार का छेद बनता है।

6:31वो छेद outline ही है, दीवार में ठोका हुआ, एक viewpoint से दिखा एक profile। जैसे एक cone, बगल से दीवार में जाए तो triangle जैसा छेद, और नोक आगे करके जाए तो गोल छेद। चीज़ वही, छेद अलग, यानी किसी ठोस का एक outline नहीं होता, हर viewpoint का अपना outline होता है। एक cylinder लीजिए, जैसे सूप का कोई डिब्बा। उसे सिरे की तरफ़ से देखें, तो outline एक circle है, और बगल से देखें, तो एक rectangle।

7:04हमारी 3 दिशाओं में से 1 से circle, और 2 से rectangle, यानी एक चीज़, और ऐसे outline जिनमें कुछ भी साझा नहीं। दूसरी हद पर cube है, 3 दिशाओं में से हर एक से square ही square। पर इससे भी तसल्ली नहीं मिलती, cube को खींचकर cuboid बनाइए, तो 3 में से 2 outline rectangle बन जाते हैं। एक wedge, यानी डिब्बे से तिरछा काटा गया टुकड़ा, 3 दिशाओं से 3 अलग outline देता है, square, triangle और rectangle।

7:35और गेंद हर दिशा से circle है, उसके पास किसी तरफ़ से छिपाने को कुछ नहीं। इन 14 ठोस चीज़ों में से सिर्फ़ 3 हर दिशा से एक ही नाम का outline देती हैं, cube, triangle पर खड़ा pyramid, और गेंद। अब उल्टा चलिए, outline पहले से तय है, और आपको एक ठोस और खड़े होने की जगह ढूँढनी है। पहला outline square, सामने से देखा cube चलेगा, और वो डिब्बा भी, जिसकी ऊँचाई और चौड़ाई बराबर हो, बगल से देखा हुआ।

8:07दूसरा outline circle, गेंद किसी भी तरफ़ से, डिब्बा सिरे से, और cone ठीक नीचे से। तीसरा outline triangle, cone बगल से, triangle सिरों वाला prism सिरे से, और triangle पर खड़ा pyramid। सवाल का हाल देखिए, एक भी जवाब अकेला नहीं आया। इन 14 ठोस चीज़ों में से 8 किसी न किसी दिशा से circle दिखाती हैं, 4 square, और 6 triangle। और हर square एक rectangle भी है, तो square दिखाने वाली 4 चीज़ों में से हर एक rectangle भी दिखाती है, और rectangle दिखाने वाली कुल 7 हैं।

8:45इसलिए दीवार पर एक circle देखकर बस इतना पता चलता है, कि 14 में से 6 चीज़ें नहीं हैं। अब कठिन रूप, एक ही ठोस, 2 दिशाओं से, 2 outline, एक साथ। पहली जोड़ी rectangle और circle, यानी फिर से डिब्बा, और वो डिब्बा भी जो जितना ऊँचा है उतना चौड़ा। दूसरी जोड़ी circle और triangle, एक cone, बगल से triangle और नीचे से circle। तीसरी जोड़ी rectangle और triangle, triangle सिरों वाला prism, और डिब्बे से काटा गया wedge भी।

9:20चौथी जोड़ी trapezium और circle, ऊपर से कटा हुआ cone, यानी एक बाल्टी। पाँचवीं जोड़ी pentagon और rectangle, एक ऐसा prism जिसके सिरों पर 5 भुजाएँ हों। इन 14 में ढूँढें, तो इन 5 जोड़ियों के जवाब 2, 3, 2, 1 और 1 निकलते हैं। गेंद 5 में से किसी का जवाब नहीं, वो circle के सिवा कुछ देती ही नहीं, और cube भी नहीं, क्योंकि वो circle कभी नहीं देता।

9:50अब एक चेतावनी, क्योंकि यहीं एक अच्छा अंदाज़ा गलत निकलता है। आधी गेंद पर खड़ा एक cone, circle और triangle वाली जोड़ी का एक और जवाब लगता है। नीचे से देखें, तो हाँ, circle ही दिखता है। पर बगल से वो एक curve पर बैठा triangle है, और ऐसा आकार triangle नहीं होता। उसकी 3 दिशाओं में से एक से भी triangle नहीं दिखता, इसलिए ये जोड़ी का जवाब नहीं, चाहे कितना भी लगे।

10:16देखने में कुछ भी गलत नहीं लगता, ये सिर्फ़ नापने से पता चलता है। किसी outline का नाम उसकी अपनी नाप से तय होता है, कोने गिनने से नहीं, 4 कोनों वाला आकार trapezium ही हो, ये ज़रूरी नहीं। एक और जोड़ी आज़माइए, circle और pentagon, ऐसी कोई चीज़ है? इन 14 ठोस चीज़ों में से एक भी ये जोड़ी नहीं देती। तो क्या ये असंभव है, नहीं, ये बस इस थैली में नहीं है।

10:46एक छिली हुई पेंसिल सोचिए, नीचे cylinder और ऊपर नोक वाला cone। बगल से उसके outline के 5 कोने हैं, यानी pentagon, और नीचे से एक circle। पेंसिल को थैली में डालिए, तो 15 में से 1 चीज़ ये जोड़ी देती है। थैली में न होना और असंभव होना, ये 2 अलग बातें हैं। अब आख़िरी सवाल, जिसके लिए ये सब बना था, क्या ये जवाब अकेले हैं? फिर से cone लीजिए, एक ज़्यादा ऊँचा और पतला cone भी वही 2 outline देता है।

11:21पर वो तो बस खींचा हुआ cone है, शायद उसे अलग जवाब गिनना ठीक नहीं। तो एक ऐसा लीजिए जो सचमुच अलग है, एक खुला खोखला प्याला, cone जैसी ढलान वाला। बगल से triangle, और नीचे से circle, क्योंकि outline दिखने वाले हिस्से का किनारा है, और अंदर का खोखलापन उस तक पहुँचता ही नहीं। प्याला और ठोस cone, 3 दिशाओं में से हर एक से एक ही outline देते हैं, पर दोनों एक चीज़ नहीं।

11:49अब circle और triangle वाली जोड़ी के 3 जवाब हैं, cone, ऊँचा cone और प्याला। देखने की हर जगह, 3 दिशाओं में से 2 रखती है, और 1 को फेंक देती है, सामने से देखने पर गहराई गायब हो जाती है। जो फेंका गया, उसमें अंदर का खोखलापन भी था, और गहराई भी। किसी outline का मतलब यही है, किसी ठोस के बारे में एक सबूत, उसका पूरा बयान नहीं।

12:18एक ठोस से कई outline मिलते हैं, और एक outline कई ठोसों से मिलता है, और ये दोनों बातें संयोग नहीं। इसीलिए ठोस चीज़ों को ठीक से कागज़ पर उतारने का एक पूरा विषय है, और उसे एक से ज़्यादा view चाहिए। अगली बार कोई outline दिखे, तो असली सवाल ये है, ये किस जगह से दिखा, और वहाँ से क्या छूट गया?