PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 8 Mathematics · Chapter 3, A Story of NumbersPrepShorts

Chapter 3 · A Story of Numbers

दो-दो में गिनना, और संख्याओं के नाम किसी संस्कृति के base के बारे में क्या बताते हैं

Some early number systems11 मिनट

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एक अनजान भाषा के 6 संख्या शब्द, और उनमें असल में बस 2 शब्द: उरापोन यानी 1, उकासर यानी 2। उकासर उकासर उरापोन कोई लेबल नहीं, एक जोड़ है: 2 + 2 + 1 = 5। नाम पढ़कर ही पता चल जाता है कि वो लोग 2 के समूह में गिनते थे।

मुख्य idea

किसी संख्या के नाम को सबूत की तरह पढ़ा जा सकता है। Gumulgal भाषा में पाँच का शब्द सचमुच दो के शब्द को दो बार बोलकर, फिर एक का शब्द जोड़कर बनता है — यानी नाम ज़ोर से बोला गया एक जोड़ है, और वह किस आकार का समूह जोड़ता है, यह बाहर से भी पढ़ा जा सकता है। तीन महाद्वीपों के तीन समुदायों ने, जिनके बीच किसी संपर्क का पता नहीं, अपने नाम इसी तरह बनाए। समूह बनाना (grouping) chapter का पहला विचार है जो किसी निरूपण को उस collection से छोटा बना देता है जिसका वह प्रतिनिधित्व करता है, और किसी ने इसका सहारा क्यों लिया होगा, इस पर chapter का अपना सुझाव असहज भी है और जाँचा भी जा सकता है: लगभग चार चीज़ों के बाद हम देखकर नहीं बता पाते कि वे कितनी हैं।

आपको क्या आना चाहिए

  • किसी Gumulgal संख्या-नाम को खोलकर जोड़ में बदलना, और उसी नियम से दी गई संख्या का नाम बनाना
  • सिर्फ़ संख्या-नाम देखकर बताना कि नाम रखने का तरीक़ा किस समूह के आकार का इस्तेमाल करता है
  • Gumulgal, Bakairi और Bushmen सूचियों की तुलना करना, और ठीक-ठीक बताना कि उनमें साझा क्या है
  • समझाना कि साझा ढाँचा तीनों समूहों के बीच संपर्क के बारे में क्या साबित करता है और क्या नहीं
  • chapter जिन समूह-आकारों को इतिहास में आम बताता है उनके नाम लेना, और वह आकार दिखाना जो Roman system के अंदर नज़र आता है
  • एक-नज़र वाली activity करना, और वह सीमा बताना जो वह सामने लाती है
  • chapter के अपने 1345 वाले सवाल से दिखाना कि अकेला एक समूह-आकार अब भी काफ़ी क्यों नहीं है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
number namesकिसी number system के बोले जाने वाले शब्द, उसके लिखे हुए चिह्नों से अलगसंख्या नामइसी chapter में छपा (Part I, §3.2, p.56)
group sizeवह तय गिनती जिसके हिसाब से कोई system गट्ठर बाँधता है, और जिसे नाम देता हैसमूह का आकारइसी chapter में छपा (Part I, §3.2, p.57)
GumulgalAustralia का वह समुदाय जिसके संख्या-शब्द chapter गिनाता हैगुमुल्गलइसी chapter में छपा (Part I, §3.2, p.56)
urapon, ukasarएक और दो के लिए chapter में दिए गए Gumulgal शब्दउरापोन, उकासरइसी chapter में छपा (Part I, §3.2, p.56)
rasछह से आगे की किसी भी संख्या के लिए chapter में बताया गया Gumulgal शब्दरासइसी chapter में छपा (Part I, §3.2, p.56)
BakairiSouth America का वह समुदाय जिसकी सूची chapter नक़्शे पर रखता हैबकैरीइसी chapter में छपा (Part I, §3.2, p.56)
BushmenSouth Africa का वह समुदाय जिसकी सूची नक़्शे को पूरा करती हैबुशमेनइसी chapter में छपा (Part I, §3.2, p.56)
Roman number systemवह system जिसमें chapter पाँच-पाँच से गिनती ढूँढ़ने को कहता हैरोमन संख्या पद्धतिइसी chapter में bold में छपा (Part I, §3.1, p.53)
tally systemहर चीज़ के लिए एक निशान, बिना कोई गट्ठर बाँधेमिलान पद्धतिइसी chapter में छपा (Part I, §3.2, p.57)
perceptual limitवह बिंदु जिसके आगे किसी collection का आकार एक नज़र में नहीं बताया जा सकताप्रत्यक्ष बोध की सीमाइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा, जो सीमा का वर्णन करता है पर उसे कोई नाम नहीं देता

हिंदी column में standard हिंदी शब्दावली और समुदायों के नामों का लिप्यंतरण दिया गया है। Ganita Prakash कक्षा 8 का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इसे standard चलन मानें, उस संस्करण के शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "वे छह से आगे नहीं गिन पाते थे, इसलिए उनके पास कोई गणित नहीं था।" सूची वहाँ रुकती है जहाँ नाम रुकते हैं। chapter का अगला ही paragraph नाम रखने के नियम को ऐसा विचार मानता है जिसे आगे फैलाया जा सके, और students से उसे बढ़ाने को कहता है — जो सिर्फ़ इसलिए मुमकिन है कि नियम पूरा है।
  • "एक जैसे system वाली तीन संस्कृतियाँ ज़रूर आपस में मिली होंगी।" chapter साझा पूर्वज को एक theory की तरह बताता है और वहीं छोड़ देता है। किसी चीज़ का दूसरी बार अलग से आविष्कार ठीक वही है जो आगे Mayan वाला section दर्ज करता है।
  • "दो-दो में गिनने का मतलब है कि वे base 2 इस्तेमाल करते थे।" अभी नहीं। base के लिए समूहों का समूह चाहिए — दो दो-ओं को एक चार में बाँधना, जिसका अपना नाम हो — और वह §3.3 है। यहाँ शब्द बस दोहराए जाते हैं, इसलिए बड़ी संख्या को लंबा नाम चाहिए।
  • "समूह बनाना बस छोटा लिखने का तरीक़ा है।" यह निरूपण की लंबाई को N से बदलकर लगभग N भाग समूह-आकार कर देता है। यह असली फ़ायदा है और सीमित भी, और section 10 को दोनों बातें कहनी होंगी।
  • "एक-नज़र वाली सीमा बुद्धि या अभ्यास की बात है।" chapter इसे ऐसी सीमा की तरह रखता है जो ज़्यादातर लोगों में होती है। activity ईमानदारी से करो; दो, तीन और चार चीज़ों वाले खानों का जवाब तुरंत आएगा, बाक़ी का नहीं।
  • "पाँच इसलिए चुना गया कि हाथ में पाँच उँगलियाँ हैं।" chapter यहाँ संभावित कारण के रूप में देखने की सीमा को रखता है, और उँगलियों वाला तर्क बहुत बाद में base 10 के लिए बचाकर रखता है (Part I p.80)। दोनों को मिलाओ मत।

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पूरा transcript1,738 शब्द

ये एक भाषा के 6 शब्द हैं, 1 से 6 तक की संख्याओं के लिए। उरापोन, उकासर, उकासर उरापोन, उकासर उकासर। फिर उकासर उकासर उरापोन, और उकासर उकासर उकासर। आप ये भाषा नहीं बोलते, और मैं भी नहीं बोलता। इसलिए ये मत सुनिए कि शब्द कैसे लगते हैं, ये देखिए कि वो बने कैसे हैं। इनमें असल में बस 2 ही शब्द हैं, उरापोन और उकासर। बाकी सब कुछ इन्हीं 2 शब्दों को दोहराकर बना है।

आख़िर तक आप किसी अनजान भाषा के संख्या शब्द देखकर बता पाएँगे कि वो लोग कितने के समूह में गिनते हैं। पाँचवाँ शब्द लीजिए: उकासर उकासर उरापोन। उकासर मतलब 2, और उरापोन मतलब 1 है। तो ये नाम कहता है: 2, और 2, और फिर 1 का जोड़। यानी कुल 5, ये नाम 5 का लेबल नहीं है, ये एक जोड़ है जिसका जवाब 5 आता है। बाकी भी जाँचिए: 3 है उकासर उरापोन, यानी 2 और 1 का जोड़।

और 4 है उकासर उकासर, यानी 2 और 2 का जोड़। और 6 है 3 बार उकासर, यानी 2, 2 और 2 का जोड़। हर नाम में पहले जितने 2 आ सकें उतने आते हैं, फिर अगर संख्या विषम है तो आख़िर में एक अकेला 1 आता है। एक ही नियम, और वो सभी 6 नाम बना देता है। जो नियम नाम बनाता है, वो उल्टा भी चलता है। संख्या दीजिए तो वो नाम देता है, और नाम दीजिए तो वो संख्या लौटा देता है।

जाँच के लिए 1 से 200 तक की सभी 200 संख्याओं को नाम में बदलिए और वापस, तो सभी 200 वहीं लौट आती हैं जहाँ से चली थीं। यानी ये नियम 6 शब्दों का कोई पैटर्न भर नहीं है, वो पूरा है। शब्द 6 पर रुक जाते हैं, और 6 के आगे की किसी भी मात्रा के लिए बस एक शब्द था, रास। यहाँ ये सोचना आसान है कि वो लोग 6 से आगे गिन ही नहीं पाते थे।

पर नियम नहीं रुकता, उससे 7 माँगिए तो वो तुरंत बता देता है: 3 बार उकासर और 1 उरापोन, कुल 4 शब्द। ख़त्म शब्दों का भंडार हुआ था, हिसाब नहीं। अब वो हिस्सा आता है जो सचमुच अजीब है। ये एक दूसरे समुदाय की सूची है: टोकाले, अहागे, अहागे टोकाले। ये शब्द भी आपने शायद कभी नहीं सुने, फिर भी इनकी बनावट आप तुरंत पहचान लेते हैं। शब्द बिल्कुल अलग हैं, पर बनावट वही है: 2 मूल शब्द, और बाकी उन्हीं को दोहराकर।

और एक तीसरी सूची: ज़ा, तोआ, फिर तोआ तोआ, और आगे इसी तरह। ये 3 समुदाय एक दूसरे से बहुत दूर हैं, और किन्हीं 2 के बीच किसी संपर्क का कोई सुराग नहीं। मूल शब्दों को मिलाइए, तो सूचियों के 3 जोड़ों में से किसी भी जोड़े में एक भी शब्द साझा नहीं है। तो इनमें जो भी साझा है, वो शब्द नहीं हैं। अब ठीक ठीक देखिए कि साझा क्या है, क्योंकि ऐसी बहसें यहीं ढीली पड़ती हैं।

शब्दों की वर्तनी छोड़ दीजिए, और बस बनावट रखिए: कितने 2 हैं, और कितने अकेले 1 हैं। कुल 4 संख्याएँ ऐसी हैं जिनके नाम तीनों सूचियों में हैं, 1, 2, 5 और 6, और चारों पर तीनों की बनावट एक जैसी है। मसलन, 5 तीनों में 2 बार 2 और 1 अकेला है, और 6 तीनों में 3 बार 2 है। तो क्या ये सूचियाँ हर जगह मिलती हैं? नहीं, वो ठीक एक जगह अलग होती हैं, 3 पर।

इन 3 में से 2 सूचियाँ 3 को 2 और 1 से बनाती हैं, और तीसरी 3 को उसका अपना अलग शब्द देती है। यानी मेल असली है पर पूरा नहीं, और इसीलिए इसे समझाना पड़ता है, मान नहीं लेना। तीनों समूह, बहुत दूर दूर, और एक ही विचार, तो इससे साबित क्या होता है? एक सुझाव है साझा पूर्वज, कि ये विचार बहुत पहले लोगों के साथ चला और टिका रहा।

पर ये एक सिद्धांत है, कोई पक्की खोज नहीं। और इसमें दिक्कत ये है कि 2 में गिनना कोई अनोखा विचार नहीं है। हाथ 2 हैं, चीज़ें जोड़ों में आती हैं, और 2 वो पहला समूह है जिस तक कोई भी पहुँचता है। किसी ने किसी से सीखा हो, ये ज़रूरी नहीं है, कोई भी समूह इस तक अपने आप पहुँच सकता था। तो 3 समूहों का इसे अलग अलग ढूँढ लेना, किसी ख़ास वजह की माँग नहीं करता।

साझा बनावट जितनी साझा अतीत का सबूत है, उतनी ही साझा समस्या का भी, इसलिए सवाल खुला रखिए। ये सूचियाँ जो साबित करती हैं वो छोटा है पर बेहतर है, कि ये एक ऐसा विचार है जिसे लोग ख़ुद ढूँढ लेते हैं। दूसरी सूची जिस रूप में अक्सर लिखी मिलती है, उसमें 5 पंक्तियाँ हैं, जबकि बाकी दोनों में 6 पंक्तियाँ हैं। हर नाम को नियम से पढ़िए, और जवाब को उसके बगल में लिखी संख्या से मिलाइए।

पहली 3 पंक्तियाँ बिल्कुल मेल खाती हैं। चौथी पर 4 लिखा है, और नाम है अहागे अहागे टोकाले, यानी 2, 2 और 1, जो 5 होता है। पाँचवीं पर 5 लिखा है, और नाम है 3 बार अहागे, जो 6 होता है। यानी 2 लेबल, दोनों ठीक 1 कम, और एक ही दिशा में ग़लत। इससे पता चलता है कि हुआ क्या, 4 वाली पंक्ति छूट गई, और उसके नीचे का सब एक जगह ऊपर खिसक गया।

नियम बताता है कि छूटा हुआ नाम अहागे अहागे होता, पर ये अंदाज़ा है, लिखा हुआ नहीं। इसके लिए भाषा जानने की ज़रूरत नहीं पड़ी, नियम ने ख़ुद ग़लती पकड़ ली। अब तक सब 2 के समूहों में था, पर इस विचार में 2 की कोई मजबूरी नहीं है। किसी भी तय आकार के समूह में गिनिए, समूह को एक निशान दीजिए, और उसी से बड़ी संख्याएँ बनाइए। इतिहास में 4 आकार बार बार दिखते हैं: 2, 5, 10 और 20 के समूह।

और 5 का समूह आप पहले से जानते हैं, पुराने लिखे हुए निशानों में। एक लकीर, 2 लकीरें, 3 लकीरें, ये सीधा सादा मिलान है। फिर 5 को अपना अलग निशान मिलता है, और 4, 6, 7 और 8 उसी के आसपास बनते हैं। यानी पहली 10 संख्याओं में से 4 एक ही समूह निशान पर टिकी हैं। मिलान 3 लकीरों पर रुक जाता है, और आगे समूह का निशान काम संभाल लेता है।

पर मिलान 3 पर ही क्यों रुके, लकीरें 9 तक चलाकर वहाँ से समूह क्यों न बनाएँ? ये 9 तस्वीरें हैं, हर एक को बस उतनी देर देखिए जितने में पता चल जाए कि उसमें कितनी चीज़ें हैं। तस्वीरें एक एक करके आएँगी, और हर एक बस पल भर के लिए रुकेगी। इनमें से 6 में चीज़ों की एक तय गिनती है, और बाकी 3 गुच्छे हैं, जिनकी कोई गिनती बनती ही नहीं।

उन 6 में से 4 तस्वीरों में 1, 2, 3 और 4 चीज़ें हैं। इन्हें आपने गिना नहीं, बस देखा और जान गए। बाकी 2 में 5 और 9 चीज़ें हैं, और वहाँ कुछ और हुआ, आपने गिना, चाहे ध्यान न दिया हो। सीमा 4 और 5 के बीच पड़ती है, और लगभग सबके लिए वहीं पड़ती है। ये आँख की सीमा है, समझ या अभ्यास की कमी नहीं। ये सीमा कोई मज़ेदार बात भर नहीं है, हो सकता है यही समूह बनाने की वजह हो।

निशानों की कतार को गिनकर ही पढ़ना पड़ता है, हर निशान पर एक बार देखना। तो 5 निशानों के हर समूह की जगह एक निशान रखना, सिर्फ़ सफ़ाई नहीं है। ये कतार को इतने छोटे टुकड़ों में काट देता है कि उन्हें गिनना नहीं, बस देखना पड़े। पुराने लिखे निशान ठीक यही करते हैं, जब मिलान 3 पर रुककर समूह के निशान तक पहुँचता है। पर ध्यान दीजिए, 4 समूह आकारों में से सिर्फ़ 1, सबसे छोटा 2, आँख की पकड़ के अंदर है।

बाकी 3, यानी 5, 10 और 20, उस सीमा से आगे हैं। तो समूह को भी सीखना पड़ता है, बस सीखने को बहुत कम रह जाता है। अब ईमानदार हिसाब, क्योंकि समूह जितना करता दिखता है, उससे कम करता है। मान लीजिए 5 ही आपका अकेला समूह है, और आपको 1345 लिखना है। संख्या 1345 बिना कुछ बचे 5 से बँट जाती है, 269 समूह, और बचा कुछ नहीं। तो लिखावट 269 निशान लंबी होगी।

अब 1345 लकीरों के मुक़ाबले ये 5 गुना छोटी है, और 5 का समूह ठीक इतना ही देता है, इससे ज़्यादा नहीं। और 269 निशान भी आँख की पकड़ से बहुत आगे हैं, उन्हें भी एक एक करके गिनना ही पड़ेगा। इसी तरह 2 के समूह में 673 निशान लगते, 10 के समूह में 139, और 20 के समूह में 72 निशान। सबसे बड़े समूह 20 पर भी 72 निशान बचते हैं, जो आँख की पकड़ के 4 से ठीक 18 गुना हैं।

एक बार समूह बनाना काम को समूह के आकार से भाग देता है, पर चीज़ की किस्म नहीं बदलता। यही बिल सिर्फ़ निशानों पर नहीं, नामों पर भी आता है। पहले लीजिए 4 बार उकासर और 1 उरापोन, यानी 9, कुल 5 शब्दों में। उसमें जोड़िए 3 बार उकासर और 1 उरापोन, जो 7 है। जवाब 16 है, और 16 कोई बड़ी संख्या नहीं है। पर यहाँ उसका नाम है 8 बार उकासर, एक कतार में 8 शब्द, और कहीं कोई निशानी नहीं कि आप कहाँ पहुँचे।

घटाने में नाम छोटा होता है, 9 में से 3 बार उकासर यानी 6 हटाइए, तो बचता है उकासर उरापोन, यानी 3, बस 2 शब्दों में। पर जोड़ नाम को लंबा करता जाता है, और जो 5 को एक नज़र में नहीं देख सकता, वो 8 शब्द सुनकर भी नहीं पकड़ सकता। तो नाम में ठीक वही कमी है जो निशानों की कतार में थी, बनाना आसान, पढ़ना धीमा। तीनों सूचियों से यही सीखना है, उन्होंने पहला विचार ढूँढ लिया, दूसरा नहीं।

समूह ने एक असली चीज़ दी, किसी संख्या को उस ढेर से छोटा लिखने का तरीका जिसके लिए वो खड़ी है। और ये फ़ायदा ठीक एक गुणक का है, समूह का आकार, उससे ज़्यादा कुछ नहीं। इसलिए बिल अब भी बाकी है, क्योंकि आप बस 5 गुना बेहतर नहीं होना चाहते। आप चाहते हैं कि बहुत बड़ी संख्या थोड़ी सी ज़्यादा जगह ले, उतने ही गुना ज़्यादा नहीं, और कोई अकेला समूह आकार ये नहीं कर सकता, चाहे जितना बड़ा हो।

तो अब अगला कदम क्या है? आपके पास समूह हैं, तो अब समूहों के समूह बनाइए। उन्हें अपना निशान दीजिए, और फिर उनके भी समूह बनाइए। ऐसा करते ही लिखावट की लंबाई संख्या के आकार के साथ साथ नहीं बढ़ती। आप जो संख्या पद्धति रोज़ इस्तेमाल करते हैं, वो इसी विचार पर बनी है, और आगे की बात यहीं से शुरू होती है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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