PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 6, Number Play
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7 बच्चे, हर बच्चा बस इतना बोलता है कि आगे खड़े लोगों में से कितने उससे लंबे हैं: ऊँचाई कहीं नहीं बोली जाती, फिर भी पूरी कतार इन संख्याओं में छिपी है।
मुख्य idea
सात बच्चे line में खड़े होते हैं और हर एक बस एक number बोलता है। वे सात numbers हर ऊँचाई को छोड़ देते हैं — न centimetres, न यह कि class में सबसे लंबा कौन है, न कुछ ऐसा जिसे नापा जा सके — और सिर्फ़ तुलनाएँ रखते हैं। हैरानी की बात यह है कि कुछ भी खोता नहीं: सिर्फ़ numbers से पूरी line फिर से बनाई जा सकती है। और numbers की किसी list को सही (legal) वर्णन क्या बनाता है, यह numbers के छोटे-बड़े होने से तय नहीं होता, बल्कि इससे कि वे list में कहाँ बैठे हैं, क्योंकि k-वें स्थान पर खड़ा व्यक्ति अपने आगे ज़्यादा से ज़्यादा k − 1 लोग ही गिन सकता है।
आपको क्या आना चाहिए
- वह rule बताना जो ऊँचाई के हिसाब से खड़ी line को numbers के sequence में बदल देता है, और उसे बनाए हुए line-up पर लगाना
- समझाना कि line में पहला व्यक्ति हमेशा zero क्यों बोलता है
- समझाना कि k-वाँ व्यक्ति कभी k − 1 से ज़्यादा क्यों नहीं बोल सकता
- कोई sequence दिया हो, तो तय करना कि कोई arrangement उसे बना सकता है या नहीं
- सिर्फ़ sequence से line-up का आपसी क्रम फिर से बनाना, और बताना कि यह दोबारा बनाना अंदाज़ा नहीं बल्कि मजबूरी क्यों है
- code के बारे में कथनों को हमेशा सच, सिर्फ़ कभी-कभी सच, या कभी सच नहीं में बाँटना, और जवाब "सिर्फ़ कभी-कभी" हो तो एक counterexample देना
- बताना कि code कौन-सी जानकारी रखता है और कौन-सी छोड़ देता है, और यही activity का असली मक़सद क्यों है
जानने लायक़ शब्द
| शब्द | एक पंक्ति में परिभाषा | हिंदी / क्षेत्रीय समकक्ष | पहली बार कहाँ |
|---|---|---|---|
| arrangement | बाएँ से दाएँ का वह ख़ास क्रम जिसमें बच्चे खड़े हैं | व्यवस्था / क्रम | §6.1, pp.127–128 पर छपा |
| sequence | बोले गए सात numbers, line के क्रम में लिखे हुए | अनुक्रम | §6.1, p.128 पर छपा |
| taller | ऊँचाई की वह सीधी तुलना जिस पर rule टिका है | अधिक लंबा | §6.1, p.128 पर छपा |
| position in line | आगे से गिनने पर बच्चा कौन-सी जगह पर है | पंक्ति में स्थान | §6.1 में बताया गया पर इसका कोई छपा शब्द नहीं, p.128 |
| always true / only sometimes / never true | code के बारे में किसी दावे को मिल सकने वाले तीन फ़ैसले | सदैव सत्य / कभी-कभी सत्य / कभी सत्य नहीं | §6.1, p.128 पर छपा |
| code | पूरे सात-number वाले वर्णन के लिए व्याख्या का छोटा नाम | संकेतन | व्याख्या का शब्द; इस chapter में नहीं छपा |
| ceiling | किसी position को मिल सकने वाले सबसे बड़े number के लिए व्याख्या का शब्द | ऊपरी सीमा | व्याख्या का शब्द; इस chapter में नहीं छपा |
Hindi column में standard NCERT Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash Part I का Hindi संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल हुए corpus में नहीं है, इसलिए इन्हें Hindi छपाई से मिलाया नहीं गया — Notes देखें।
लोग कहाँ चूकते हैं
- "0 कहने का मतलब है कि आप सबसे लंबे हैं।" line के सबसे आगे वाले के आगे कोई नहीं होता, इसलिए उसकी ऊँचाई कुछ भी हो, वह 0 ही कहता है। दोनों छपे line-ups की शुरुआत ऐसे बच्चे के 0 से होती है जो सबसे लंबा नहीं है। बात एक ही दिशा में चलती है: सबसे लंबा ⇒ 0, पर कभी नहीं 0 ⇒ सबसे लंबा।
- "सबसे बड़ा number सबसे छोटे बच्चे का होता है।" सिर्फ़ कभी-कभी। सबसे छोटा बच्चा पीछे की तरफ़ खड़ा हो तो बड़ा number कहता है, और सबसे आगे खड़ा हो तो 0 — वही बच्चा, वही ऊँचाई, अलग number। Section 1 की एक ही सात बच्चों वाली दो drawings इसी बात को मन में बैठाने के लिए बनी हैं।
- "सात numbers की कोई भी list किसी न किसी का line-up हो सकती है।" नहीं: 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0 नामुमकिन है, क्योंकि पहले बोलने वाले के आगे गिनने को कोई नहीं है। यहाँ सही (legal) होने की पूरी बात ceiling में ही है।
- "numbers बताते हैं कि बच्चे कितने लंबे हैं।" वे ऊँचाइयों के बारे में कुछ नहीं बताते, सिर्फ़ क्रम के बारे में — और ठीक इसीलिए एक ही page पर वही सात बच्चे दो अलग sequences देते हैं।
- "line-up वापस पाने के लिए अंदाज़ा लगाना पड़ेगा।" कुछ भी अंदाज़े से नहीं होता। हर नया number पहले से खड़े बच्चों के बीच एक बच्चे की जगह पक्की कर देता है, इसलिए line के आगे से पीछे तक फिर से बनाना मजबूरन एक ही तरह से होता है।
- "बीच में खड़ा बच्चा 0 नहीं कह सकता।" कह सकता है — अगर वह अपने आगे वाले हर व्यक्ति से लंबा हो। p.128 पर statement (d) ग़लत साबित किए जाने के लिए ही बना है, और तीसरा छपा line-up उसे सीधे-सीधे ग़लत साबित कर देता है।
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पूरा transcript1,412 शब्द
बोर्ड पर 7 बच्चे एक कतार में खड़े हैं, पीछे ऊँचाई नापने वाला चार्ट है। नीचे वही 7 बच्चे फिर से खड़े हैं, बस इस बार क्रम बदल गया है। हर बच्चा एक संख्या बोलता है, और वह संख्या उसके ऊपर एक गुब्बारे में लिखी है। आज देखेंगे कि ये संख्याएँ ऊँचाई नहीं बतातीं, फिर भी पूरी कतार इनमें छिपी है। ऊपर की कतार आगे से पीछे तक बोलती है, 0, 1, 0, 2, 2, 2, 1।
और नीचे की कतार बोलती है, 0, 0, 1, 2, 2, 5, 6। नियम अभी बताया नहीं गया, क्या तुम अंदाज़ा लगा सकते हो कि ये संख्याएँ क्या गिन रही हैं? एक इशारा, सबसे आगे खड़ा बच्चा दोनों कतारों में 0 बोलता है। नियम यह है, हर बच्चा गिनता है कि कतार में उसके आगे खड़े लोगों में से कितने उससे लंबे हैं। सिर्फ़ आगे वाले गिने जाते हैं, पीछे वाले नहीं, और सिर्फ़ लंबे, छोटे नहीं।
ध्यान रहे कि कोई ऊँचाई बोली नहीं जाती, कोई सेंटीमीटर नहीं, बस आगे वालों से तुलना। पहला बच्चा, उसके आगे कोई नहीं, तो गिनती 0। सबसे छोटा बच्चा जगह 2 पर है, उसके आगे बस एक बच्चा है, और वह उससे लंबा, तो वह बोलता है 1। सबसे लंबा बच्चा जगह 3 पर है, उसके आगे कोई उससे लंबा हो ही नहीं सकता, तो वह भी बोलता है 0। दूसरा सबसे छोटा जगह 4 पर है, आगे के बच्चों में से 2 उससे लंबे हैं, तो वह बोलता है 2।
बाकी बच्चों पर भी यही गिनती चलाओ, और हर गुब्बारे की संख्या मेल खाती है। नीचे वाली कतार में सबसे छोटा बच्चा अब सबसे पीछे है, जगह 7 पर, और बोलता है 6। दूसरा सबसे छोटा ठीक उसके आगे, जगह 6 पर, और बोलता है 5। ऊपर वाली कतार में यही 2 बच्चे जगह 2 और 4 पर थे, और बोल रहे थे 1 और 2। हर बच्चे को ऊपर से नीचे तक पीछा करो, 3 बच्चे वही संख्या बोलते हैं, और 4 की संख्या बदल जाती है।
वही बच्चा, वही ऊँचाई, पर जगह बदली तो संख्या बदली, यानी संख्या ऊँचाई नहीं, जगह और तुलना बताती है। अब एक तीसरी कतार, गुब्बारे खाली हैं, और संख्याएँ तुम्हें भरनी हैं। हर बच्चे के लिए आगे के लंबे लोग गिनो, क्या तुम हर गुब्बारा भर सकते हो? गिनती से मिलता है, 0, 0, 1, 0, 3, 0, 3। देखो, 0 सिर्फ़ आगे नहीं, जगह 2, 4, 6 पर भी बोला गया।
इनमें से हर बच्चा अपने आगे के सभी बच्चों से लंबा है, इसलिए उसकी गिनती 0 है। सबसे आगे वाले के आगे कोई है ही नहीं, तो उसकी गिनती हमेशा 0। गिनकर देखो, 7 बच्चों को कतार में खड़ा करने के कुल 5040 तरीके हैं, और हर एक में सबसे आगे वाला 0 बोलता है। इसलिए 0 सुनकर यह मत मानो कि बोलने वाला सबसे लंबा है, आगे खड़ा कोई भी बच्चा 0 ही बोलेगा।
जगह k पर खड़े बच्चे के आगे ठीक k घटा 1 लोग हैं, तो वह इससे बड़ी संख्या बोल ही नहीं सकता। दूसरा बच्चा ज़्यादा से ज़्यादा 1 बोल सकता है, तीसरा 2, और आखिरी, जगह 7 वाला, ज़्यादा से ज़्यादा 6। यही छत है, हर संख्या अपनी जगह से छोटी, और यही तय करती है कि कौन सी सूची किसी कतार से बन सकती है। यानी सूची सही है या नहीं, यह संख्याओं के बड़े छोटे होने से नहीं, उनकी जगह से तय होता है।
अगर 8 बच्चे हों, तो 40320 तरीके, और सब जाँचने पर सबसे बड़ी संख्या जो कोई बोलता है, वह है 7। अब उल्टा खेल, संख्याएँ पहले दी हैं, और बच्चों को ऐसे खड़ा करना है कि वही संख्याएँ बनें। बोर्ड पर 6 सूचियाँ हैं, जैसे 0, 1, 1, 2, 4, 1, 5, या फिर 7 शून्य। हर सूची में हर संख्या अपनी जगह की छत के अंदर है, सभी 6 में।
और सभी 6 कतार में बदल सकती हैं, हर एक ठीक 1 तरीके से, कोई विकल्प नहीं बचता। सब शून्य का मतलब, हर बच्चा अपने आगे वालों से लंबा, तो सबसे छोटा आगे, और कतार पीछे की ओर चढ़ती जाती है। और 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 का मतलब, हर बच्चे के आगे के सभी लोग उससे लंबे। तो सबसे लंबा आगे, और कतार पीछे की ओर उतरती जाती है, ठीक पहली वाली की उल्टी।
यानी सूची पढ़कर ही कतार की शक्ल दिख जाती है, बच्चों को देखे बिना। क्या कोई भी 7 संख्याओं की सूची किसी कतार से बन सकती है? यह सूची देखो, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0। सबसे आगे वाला 1 कैसे बोलेगा, उसके आगे गिनने को कोई है ही नहीं, छत वहीं टूट गई। सभी 5040 कतारें जाँची गईं, एक से भी यह सूची नहीं बनती। अब बच्चों को छिपाओ, और सिर्फ़ नीचे वाली कतार की संख्याएँ रखो, 0, 0, 1, 2, 2, 5, 6।
बच्चों को आगे से एक एक करके वापस लाते हैं, और उन्हें लंबे से छोटे के क्रम में लगाते जाते हैं। पहला बच्चा अकेला है, दूसरा 0 बोलता है, यानी वह पहले से लंबा, तो क्रम में वह ऊपर जाता है। तीसरा 1 बोलता है, यानी खड़े हुए 2 में से ठीक 1 उससे लंबा, तो वह उन दोनों के बीच में जाता है। चौथा बच्चा 2 बोलता है, यानी पहले से खड़े 3 में से 2 उससे लंबे, तो वह ऊपर से गिनकर उनके ठीक बाद, बाकी से पहले जाता है।
हर नया बच्चा बताता है कि पहले से खड़े कितने उससे लंबे हैं, और इससे उसकी जगह ठीक एक ही बचती है। आखिरी 2 बच्चे 5 और 6 बोलते हैं, यानी सब उनसे लंबे, तो वे क्रम में सबसे नीचे जाते हैं। और जो कतार बनती है, वह ठीक वही नीचे वाली कतार है, कुछ भी अंदाज़े से नहीं भरा गया। पहले कतारें गिनो, 7 बच्चों की कतार के कुल 5040 तरीके हैं।
और छत मानने वाली सूचियाँ भी ठीक उतनी, क्योंकि पहली जगह पर 1 विकल्प, दूसरी पर 2, और आखिरी पर 7, गुणा करो तो 5040। कोई 2 कतारें एक जैसी सूची नहीं बनातीं, हर कतार की अपनी अलग सूची है। और सभी 5040 कतारों पर, सिर्फ़ संख्याओं से, वापस वही कतार बनी। तो ऊँचाई खो गई, पर क्रम पूरा बचा, और कतार के लिए इतना ही काफ़ी है। अब कुछ दावे, हर एक के लिए सोचो, हमेशा सच, कभी कभी, या कभी नहीं?
सबसे लंबा बच्चा 0 बोलता है, सभी 5040 कतारों में, हमेशा, क्योंकि उससे लंबा कोई है ही नहीं। पर उल्टा दावा, कि 0 बोलने वाला सबसे लंबा है, सिर्फ़ 720 कतारों में सच, जब सबसे लंबा खुद सबसे आगे खड़ा हो। यानी सबसे लंबा होने से 0 आता है, पर 0 से सबसे लंबा होना नहीं निकलता। और यह दावा कि आगे वाले के पीछे कोई 0 नहीं बोलता, वह भी ठीक उन्हीं 720 कतारों में सच, बाकी में नहीं।
सबसे छोटा सबसे बड़ी संख्या बोलता है, कभी कभी, और आखिरी बच्चा सबसे बड़ी संख्या बोलता है, वह भी कभी कभी। पर कोई भी 6 से बड़ी संख्या नहीं बोलता, सभी 5040 कतारों में, हमेशा, छत की वजह से। एक आम सोच, सबसे बड़ी संख्या तो सबसे छोटे की होगी। पर सबसे छोटा बच्चा, जहाँ खड़ा हो उसके हिसाब से, 0 से 6 तक की हर संख्या बोल सकता है, पूरी 7 अलग संख्याएँ।
सबसे आगे खड़ा हो, तो वह भी 0 बोलता है, और सबसे पीछे, तो 6। ऊँचाई वही, संख्या अलग, क्योंकि संख्या जगह और तुलना से बनती है। असल में हमने एक कोड बनाया, एक तस्वीर को संख्याओं की सूची में बदला। और सूची से वापस तस्वीर भी बन गई, बिना कुछ खोए जो ज़रूरी था। अच्छा कोड सब कुछ नहीं रखता, बस उतना रखता है जितना काम का है, यहाँ ऊँचाई गई, क्रम बचा।
अब खुद करो, अलग अलग लंबाई की 5 पेंसिलें एक कतार में रखो। हर पेंसिल के लिए गिनो कि उससे आगे कितनी पेंसिलें लंबी हैं, और सूची लिखो, सबसे बड़ी संख्या 4 से ऊपर नहीं जा सकती। पेंसिलें हटाकर सूची किसी और को थमाओ, और उससे कहो कि सिर्फ़ संख्याओं से कतार फिर बनाए। और 5 पेंसिलों की कुल 120 कतारें होती हैं, और हर एक सूची से ठीक वापस बनती है।
याद रखो, हर कोई गिनता है कि आगे कितने उससे लंबे हैं। सबसे आगे वाला हमेशा 0 बोलता है, ऊँचाई कुछ भी हो। जगह k वाला ज़्यादा से ज़्यादा k घटा 1 बोल सकता है, और यही सूची को सही बनाता है। संख्याओं से कतार हमेशा वापस बनती है, कोई अंदाज़ा नहीं। सबसे लंबा 0 बोलता है, पर 0 बोलने वाला सबसे लंबा हो, ज़रूरी नहीं।
यह कहाँ बैठता है
यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.
किस पर टिका है
- Comparing two expressions by reasoning, not by evaluatingकक्षा 7 · Ch 2, Arithmetic Expressions
इसके ठीक पहले और ठीक बाद
- Parallel illusions: why the eye is not a proofकक्षा 7 · Ch 5, Parallel and Intersecting Lines
- Odd and even as "can this be arranged in pairs"कक्षा 7 · Ch 6, Number Play