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Chapter 2 · Operations with Integers

negative गुणा negative, positive ही क्यों होना चाहिए

Multiplying and dividing integers13 मिनट

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minus 4 गुणा minus 2 कितना? गिनकर जवाब नहीं मिलता।

मुख्य idea

(−4) × (−2) तक गिनकर नहीं पहुँचा जा सकता। repeated addition यह कुछ नहीं बताता कि किसी थैले भर चीज़ों को minus चार बार जोड़ने का क्या मतलब होगा, इसलिए यह value खोजी नहीं जाती — वह तय की जाती है, और chapter का पूरा काम यह दिखाना है कि यह फ़ैसला मजबूरी है। वह दो बार दलील देता है। पहली बार, उस अकेले मतलब को तय करके जो किसी negative multiplier का हो सकता है, अगर token वाली तस्वीर को सुसंगत रहना है: positive multiplier चीज़ें अंदर रखता है, तो negative multiplier चीज़ें बाहर निकालता है, और negatives को बाहर निकालने पर positives पीछे बचते हैं। दूसरी बार, products की सीढ़ी को zero पर टूटने न देकर: सीढ़ी के क़दम नीचे तक एक ही आकार के रहे हैं, इसलिए zero के नीचे भी वे उसी आकार के रहते हैं। दो स्वतंत्र प्रतिबद्धताएँ, अलग-अलग वजहों से की गईं, ठीक एक ही जवाब पर पहुँचती हैं — और यही सहमति, कोई घोषित नियम नहीं, वह वजह है जिससे जवाब मनमाना नहीं है।

आपको क्या आना चाहिए

  • 4 × 2 और 4 × (−2) को एक खाली थैले में tokens रखने की तरह समझना, और बताना कि multiplier और multiplicand में से हर एक क्या तय करता है
  • लिखे हुए multiplication में multiplier, multiplicand और product के नाम बताना, इस chapter के चलन के हिसाब से
  • समझाना कि negative multiplier को रखने के बजाय निकालने से क्यों दर्शाया जाता है
  • (−4) × 2 और (−4) × (−2) को tokens से करना, पहले zero pairs डालकर, और बताना कि थैला खाली से ही क्यों शुरू होना चाहिए
  • positives को निकालने को negatives जोड़ने की तरह फिर से लिखना, और वही product पाना
  • multiplication की घटती सीढ़ी को zero के पार जारी रखना, और वह नियत क़दम बताना जो वह बनाए रखती है
  • दो integers के गुणा के चारों sign वाले नतीजे बताना, और हर एक को उस सबूत से जोड़ना जिससे वह निकला
  • किसी भी integer a के लिए 1 × a = a और −1 × a = −a का इस्तेमाल करना, और दूसरे को additive inverse से जोड़ना

जानने लायक़ शब्द

Termएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
multiplicationवह operation जिसे यहाँ whole numbers से integers तक बढ़ाया जा रहा हैगुणनheading §2.2, p.29 में छपा
multiplierइस chapter में पहला factor — वह जो बताता है कितनी बारगुणकp.29 की figure पर छपा और label किया हुआ
multiplicandइस chapter में दूसरा factor — वह जिसे रखा या निकाला जा रहा हैगुण्यp.29 की figure पर छपा और label किया हुआ
productmultiplication का नतीजागुणनफलp.29 की figure पर छपा और label किया हुआ
token+1 या −1 दर्शाने वाली हरी या लाल गोटीटोकन§2.2 में जगह-जगह छपा, pp.29–32
empty bagइस model में हर नए multiplication की शुरुआती हालतखाली थैलाpp.29–30 पर छपा
zero pairएक हरा और एक लाल साथ में, जिनकी क़ीमत कुछ नहीं, निकालना मुमकिन बनाने के लिए डाले जाते हैंशून्य युग्मp.28 पर छपा और p.30 पर फिर इस्तेमाल हुआ
additive inverseवह number जो किसी दिए हुए number में जुड़कर zero बनाता हैयोज्य प्रतिलोमpp.28–29 पर छपा, p.34 पर फिर इस्तेमाल हुआ
magnitudeकिसी integer का आकार, उसका sign देखे बिनापरिमाणp.27 पर bold में छपा, pp.33–34 पर फिर इस्तेमाल हुआ
patternproducts की वह घटती सीढ़ी जिससे section तर्क करता हैपैटर्नheading "Patterns in Integer Multiplication", p.32 में छपा
sign ruleचार cases वाला कथन कि product कब positive होता हैचिह्न नियमइस पाठ का संक्षिप्त नाम; chapter चारों cases बताता है पर उन्हें कोई साझा नाम नहीं देता
repeated additionmultiplication को एक ही मात्रा कई बार जोड़ने की तरह पढ़नाबारंबार जोड़इस पाठ का वाक्यांश; इस chapter में नहीं छपा

provenance column के page numbers Part II के हैं, छपे हुए pages 24–46।

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है; Part II की हिंदी छपाई यहाँ इस्तेमाल हुए corpus में नहीं है — Notes देखें।

समझाने वालों के लिए दो सावधानियाँ। पहली, multiplier और multiplicand इस chapter में उसी order में इस्तेमाल होते हैं जिसमें पन्ना उन्हें label करता है: 4 × (−2) में 4 multiplier है। कुछ दूसरी किताबें इसे उलट देती हैं। चूँकि सीढ़ी वाली पूरी दलील multiplier के घटने के रूप में कही गई है, दोनों शब्दों को उलटा कर देने से छपे हुए patterns पढ़े ही नहीं जा सकते। दूसरी, chapter कभी product के sign के व्यवहार को किसी नारे में नहीं समेटता; वह चार cases गिनाता है। जो explanation "minus गुणा minus, plus" से शुरू हो, उसने पाठ को फेंक दिया।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "गुणा करने से चीज़ें हमेशा बड़ी होती हैं।" 4 × (−2), zero से ज़्यादा दूर है पर 4 से छोटा है; (−4) × (−2) positive है, जबकि शुरू में कुछ भी positive था ही नहीं। "बड़ा" और "zero से ज़्यादा दूर" को पहले section से ही दो अलग सवाल मानिए।
  • "negative गुणा negative इसलिए positive है क्योंकि दो minus कट जाते हैं, जैसे भाषा में।" chapter कभी व्याकरण से दलील नहीं देता, और व्याकरण वाली तुलना negative plus negative पर तुरंत टूट जाती है। वजह token model और बिना टूटी सीढ़ी है — वजह बताइए, याद रखने की तरकीब नहीं।
  • "(−4) × 2 को 4 × (−2) से अलग तरीक़े से निकालना होगा, क्योंकि भूमिकाएँ अलग हैं।" pp.29–30 पर उन्हें अलग तरह से दर्शाया गया है — एक रखता है, एक निकालता है — और फिर भी दोनों एक ही value पर पहुँचते हैं। इस संयोग पर रुकना ज़रूरी है; यह Commutative, associative, and distributive over the integers में आने वाली commutativity की दलील का बीज है।
  • "थैले में जो पहले से है, सिर्फ़ वही निकाला जा सकता है।" हर नया operation जान-बूझकर खाली थैले से शुरू होता है। पहले zero pairs डालना ही निकालने को हमेशा मुमकिन बनाता है, ठीक वैसे ही जैसे p.28 पर subtraction के लिए किया था।
  • "जवाब इस पर निर्भर है कि tokens कैसे बनाए गए।" p.31 वाला काम इसी ग़लतफ़हमी को ख़त्म करने के लिए है। तीन अलग दिखने वाले sets, सब −2 के बराबर, और चार बार रखने पर सब एक ही जवाब देते हैं।
  • "pattern नियम को साबित कर देता है।" सीढ़ियाँ मज़बूत सबूत हैं, शून्य से निकाला गया निष्कर्ष नहीं — असल में वे यह दिखाती हैं कि अगर बढ़ाव को सुसंगत रहना है, तो क़दम को नियत रखना इन values को मजबूर कर देता है। इन्हें वैसे ही पेश कीजिए जैसे chapter करता है: बढ़ाव को मानने की एक वजह, token वाली दलील के साथ, उसकी जगह नहीं।
  • "product का magnitude कभी नहीं बदलता, इसलिए signs से कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता।" magnitude सच में सिर्फ़ magnitudes से तय होता है। sign अलग से तय होता है। किसी product को इन दो स्वतंत्र सवालों में बाँटना वह सबसे साफ़ बात है जो कोई student p.33 से ले जा सकता है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 2.2 Q1, Figure it Out · 2.2 Q2, Figure it Out · 2.2 Q3, Figure it Out · 3 Q1, Figure it Out · 5 Q13

पूरा transcript1,710 शब्द

minus 4 गुणा minus 2 कितना होता है? गिनकर इसका जवाब नहीं मिलता, बार बार जोड़ना गुणा का एक मतलब है, पर minus 4 बार जोड़ने का क्या मतलब? इसलिए यह जवाब खोजा नहीं जाता, तय किया जाता है। और यह फ़ैसला मजबूरी है, मनमानी नहीं, इसे हम 2 अलग रास्तों से देखेंगे। एक खाली थैली लो, हर नया गुणा खाली थैली से शुरू होता है। यहाँ 4 गुणा 2, यानी 2 हरे token, 4 बार डालो।

गिनती चलती है, 2, फिर 4, फिर 6, फिर 8। थैली में 8 हरे, यानी 4 गुणा 2, बराबर 8। अब 4 गुणा minus 2, वही 4 बार डालना, पर इस बार 2 लाल token। थैली में कुल कीमत, minus 2, फिर minus 4, फिर minus 6, फिर minus 8। यानी 4 गुणा minus 2, बराबर minus 8, ढाँचा वही, बस रंग उल्टा। नाम याद रखो, पहली संख्या, 4, multiplier है, यह बताती है कितनी बार।

दूसरी संख्या, minus 2, multiplicand है, यानी क्या डाला जा रहा है। और जवाब, minus 8, product कहलाता है। कहीं कहीं ये नाम उल्टे चलते हैं, पर यहाँ पहली संख्या ही multiplier है, आगे की सीढ़ी इसी पर टिकी है। एक आम सोच, गुणा करने से संख्या हमेशा बड़ी होती है। पर minus 8, 4 से छोटा है। हाँ, 0 से दूरी देखो, तो minus 8, पूरे 8 दूर, 4 से ज़्यादा।

तो बड़ा होना, और 0 से दूर होना, 2 अलग सवाल हैं। अब असली मुश्किल, किसी काम को minus 4 बार करने का क्या मतलब हो सकता है? positive multiplier का मतलब था, थैली में डालना। तो negative multiplier का एक ही मतलब बनता है, उसका उल्टा, थैली से निकालना। यह कोई मनमानी नहीं, token वाली तस्वीर को एक जैसा रखने का यही अकेला तरीका है। minus 4 गुणा 2, यानी 2 हरे token, 4 बार निकालो, और थैली खाली है।

खाली थैली से कुछ नहीं निकलता, तो पहले 2 zero pairs डालो, कीमत अब भी 0। अब 2 हरे निकालो, बचे 2 लाल। यही 4 बार, कीमत चलती है, minus 2, फिर minus 4, फिर minus 6, फिर minus 8। आखिर में 8 लाल, यानी minus 4 गुणा 2, बराबर minus 8, और कुल 8 zero pairs लगे। कोई कहेगा, शुरू में ही कुछ token रख लेते, zero pairs की ज़रूरत नहीं पड़ती।

आज़माओ, थैली में 3 हरे से शुरू करो, और वही minus 4 गुणा 2 करो। बचता है minus 5, minus 8 नहीं, शुरू का सामान जवाब में घुस गया। इसलिए हर गुणा खाली थैली से, और निकालने की जगह zero pairs बनाते हैं। अब minus 4 गुणा minus 2, यानी 2 लाल, 4 बार निकालो। फिर वही, हर बार 2 zero pairs डालो, और इस बार 2 लाल निकालो। हर बार 2 हरे बचते हैं, कीमत चलती है, 2, फिर 4, फिर 6, फिर 8।

आखिर में 8 हरे, यानी minus 4 गुणा minus 2, बराबर 8। negative निकालो, तो positive पीछे रह जाते हैं, यही पूरी बात है। अब चारों एक संग, 4 गुणा 2, 4 गुणा minus 2, minus 4 गुणा 2, minus 4 गुणा minus 2। जवाब, 8, फिर minus 8, फिर minus 8, और 8। size हर बार 8, सिर्फ़ चिह्न बदलता है, 2 positive, 2 negative। गौर करो, 4 गुणा minus 2 में डाला, minus 4 गुणा 2 में निकाला, फिर भी दोनों minus 8।

पर क्या जवाब इस पर टिका है कि minus 2 को token से कैसे बनाया? पहला तरीका, सिर्फ़ 2 लाल। दूसरा, 2 हरे और 4 लाल, कीमत फिर minus 2। तीसरा, 4 हरे और 6 लाल, कीमत फिर भी minus 2। zero pairs जोड़ने से कीमत नहीं बदलती, इसलिए एक ही संख्या को token से कई तरह बना सकते हैं। हर तरीके को 4 बार डालो, जवाब तीनों बार minus 8।

और 4 बार निकालो, जवाब तीनों बार 8। तीनों तरीके, एक ही जवाब, तो गुणा token के रूप पर नहीं, सिर्फ़ कीमत पर टिका है। एक और रास्ता, 2 हरे निकालने का असर वही है, जो 2 लाल डालने का। तो minus 4 गुणा 2 के लिए, बस 2 लाल, 4 बार डालो। थैली में 8 लाल, कीमत minus 8, कुछ भी निकाला नहीं, जवाब वही। पक्का करने को, थैली में 0 से 5 तक हरे, 0 से 5 तक लाल, और निकालने की मात्रा minus 5 से 5 तक।

कुल 396 हालात। सभी 396 में, कुछ निकालना, और उसका उल्टा डालना, एक ही कीमत देता है। अब दूसरा रास्ता, बिलकुल अलग, token के बिना, एक सीढ़ी। पहले 4 गुणा 3, फिर 3 गुणा 3, फिर 2 गुणा 3, फिर 1 गुणा 3, और आखिर में 0 गुणा 3। जवाब, 12, फिर 9, फिर 6, फिर 3, और 0। हर सीढ़ी पर multiplier 1 घटता है, और product हर बार 3 घटता है।

यह रास्ता बस एक चीज़ माँगता है, जो कदम शून्य तक एक जैसा चला, वह शून्य के बाद भी वैसा ही चले। अब 0 के नीचे, minus 1 गुणा 3, कितना होना चाहिए? सीढ़ी 4 से 0 तक हर कदम पर 3 घटी है, 0 पर आकर उसे अचानक बदलने की कोई वजह नहीं। तो कदम वही रखो, minus 1 गुणा 3 बराबर minus 3, minus 2 गुणा 3 बराबर minus 6, और minus 3 गुणा 3 बराबर minus 9।

और token वाला रास्ता भी यही कहता है, minus 3, फिर minus 6, फिर minus 9। अब सीढ़ी 4 गुणा minus 3 से शुरू करो। multiplier घटाते चलो, product, minus 12, फिर minus 9, फिर minus 6, फिर minus 3, और 0। यहाँ product हर कदम पर 3 से बढ़ता है, घटता नहीं। कदम वही रखो, तो minus 1 गुणा minus 3 बराबर 3, minus 2 गुणा minus 3 बराबर 6, और minus 3 गुणा minus 3 बराबर 9।

यानी negative गुणा negative, positive, और यहाँ कोई token नहीं था, सिर्फ़ सीढ़ी का कदम। अब शुरू वाला सवाल, सीढ़ी से, 4 गुणा minus 2 से चलो। multiplier घटाते चलो, product, minus 8, फिर minus 6, फिर minus 4, फिर minus 2, और 0। कदम हर बार 2 ऊपर, तो आगे 2, फिर 4, फिर 6, फिर 8। यानी minus 4 गुणा minus 2, बराबर 8, ठीक वही जो token से निकला था।

दोनों रास्तों को हर जोड़ी पर चलाओ, दोनों संख्याएँ minus 10 से 10 तक, कुल 441 गुणनफल। सभी 441 में, token का जवाब, और सीढ़ी का जवाब, एक। एक रास्ता token की तस्वीर बचाने के लिए चुना, दूसरा सीढ़ी का कदम बचाने के लिए, और दोनों एक ही जगह पहुँचे। यही मेल बताता है कि जवाब मनमाना नहीं, कोई नियम ऊपर से नहीं थोपा गया। कोई कहेगा, 2 minus आपस में कट जाते हैं, जैसे बोली में 2 बार ना।

पर यह कहानी जोड़ पर तुरंत टूटती है, minus 4 और minus 2 का जोड़, minus 6, positive नहीं। असली वजह रटने वाली बात नहीं, token की तस्वीर, और न टूटने वाली सीढ़ी। अब एक बड़ी तालिका, 4 स्तंभ, हर एक में multiplier 1 से 10 तक, और 3 या minus 3 से गुणा। कुल 40 गुणनफल। हर पंक्ति के चारों का size एक, सभी 10 पंक्तियों में। और चिह्न हर पंक्ति में इसी क्रम में, plus, minus, minus, plus।

पहला और आखिरी स्तंभ, बिल्कुल एक जैसे, जैसे 5 गुणा 3, और minus 5 गुणा minus 3, दोनों 15। बीच के 2 स्तंभ भी एक जैसे, minus 5 गुणा 3, और 5 गुणा minus 3, दोनों minus 15। यानी 4 नहीं, सिर्फ़ 2 अलग सूचियाँ, बीच वाली जोड़ी आगे क्रम बदलने की बात का बीज है। एक बात पर रुको, minus 4 गुणा 2 में निकाला, 2 गुणा minus 4 में डाला, काम बिल्कुल अलग।

फिर भी दोनों minus 8। और token से सभी 441 जोड़ियों में, क्रम बदलो, तो भी गुणनफल वही। यह मेल संयोग नहीं, पूरी तालिका में यही दिखता है। हर गुणनफल को 2 सवालों में बाँटो, कितना बड़ा, और किस चिह्न का। size हमेशा दोनों के size का गुणा, चिह्न कुछ भी हो। चिह्न positive, ठीक तब जब दोनों के चिह्न एक जैसे हों, वरना negative। minus 10 से 10 तक, शून्य छोड़कर, सभी 400 जोड़ियों में, दोनों बातें सही।

size चिह्न से नहीं बदलता, पर इसका मतलब यह नहीं कि चिह्न बेकार है, चिह्न अलग से तय होता है। अब 1 गुणा कोई भी संख्या, यानी उसे एक बार थैली में डालो, वही संख्या बचती है। minus 1 गुणा कोई संख्या, यानी एक बार निकालो, size वही, चिह्न उल्टा। यानी minus 1 से गुणा करना, संख्या का उल्टा बनाना है, जिसे जोड़ो तो 0। minus 20 से 20 तक, सभी 41 संख्याओं पर, तीनों बातें सही।

अब खुद करो, मान लो पता है, 123 गुणा 456, बराबर 56,088। तो minus 123 गुणा 456 कितना, बिना दोबारा गुणा किए? size वही, चिह्न अलग, तो minus 56,088, और 123 गुणा minus 456 भी, minus 56,088। और minus 123 गुणा minus 456, चिह्न एक जैसे, तो 56,088। अब खुद token से करो, minus 3 गुणा minus 5। multiplier minus 3, यानी 3 बार निकालना, हर बार 5 लाल। थैली खाली, तो हर बार पहले 5 zero pairs डालो, फिर 5 लाल निकालो, हर बार 5 हरे बचते हैं।

कुल 15 zero pairs लगे, और बचे 15 हरे, यानी जवाब 15। एक असली सवाल, तापमान हर घंटे 3 degree गिरता है, यानी हर घंटे minus 3। देखो, 4 घंटे बाद, 4 गुणा minus 3, यानी minus 12, अभी से 12 degree ठंडा। और 4 घंटे पहले, तापमान अभी से कितना अलग था? पीछे का समय minus 4, तो minus 4 गुणा minus 3, बराबर 12। यानी तब 12 degree ज़्यादा गर्म, और यह समझ में भी आता है, गिरता तापमान पीछे जाओ तो ऊँचा।

एक खाली जगह भरो, कौन सी संख्या गुणा minus 6, बराबर 24? product positive, multiplicand negative, तो multiplier भी negative, और size 24 बटा 6, यानी 4। minus 10 से 10 तक हर संख्या आज़माओ, सिर्फ़ एक चलती है, minus 4। और किस संख्या को minus 1 से गुणा करें, कि 7 मिले? सिर्फ़ minus 7, क्योंकि minus 1 चिह्न पलटता है। negative गुणा negative गिना नहीं जाता, तय होता है, और फ़ैसला मजबूरी है।

positive multiplier यानी डालना, negative यानी निकालना, और negative निकालो, तो positive बचते हैं। सीढ़ी का कदम 0 पर नहीं टूटता, इसलिए 0 के नीचे भी वही कदम। यहाँ 2 अलग रास्ते, एक जवाब, इसलिए जवाब मनमाना नहीं। जवाब का size, दोनों के size का गुणा, और चिह्न positive तभी, जब दोनों चिह्न एक जैसे।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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