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Chapter 2 · Operations with Integers

integers पर commutative, associative और distributive गुण

The laws integer arithmetic obeys13 मिनट

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जब गुणा में negative संख्याएँ आईं, तो क्या गुणा की पुरानी आदतें टूटीं? क्रम बदलना, कोष्ठक बदलना, और जोड़ पर बँटना: तीनों को एक-एक करके जाँचते हैं।

मुख्य idea

ये तीनों नियम negative numbers के बारे में नए तथ्य नहीं हैं। ये पिछले topic में किए गए बढ़ाव की रसीद हैं: multiplication को zero के पार खींचा गया था, और अब दावा यह है कि जो कुछ वह पहले करता था, उसमें से कुछ भी टूटा नहीं। जाँचने का chapter का तरीक़ा अपनाने लायक़ है — product को एक magnitude और एक sign में बाँटो, देखो कि magnitude वाला आधा हिस्सा सामान्य whole-number arithmetic है जो पहले से हर नियम मानता है, और sign वाले आधे को cases की एक छोटी सूची से तय करो। फिर ये नियम जो देते हैं वह असली है: चूँकि क्रम और grouping मायने रखना बंद कर देते हैं, factors की लंबी लड़ी का sign अब इस पर निर्भर नहीं रहता कि तुम कहाँ से शुरू करते हो, और बस एक गिनती पर आ जाता है कि उनमें से कितने negative हैं। साथ ही यह भी ईमानदारी से मानिए कि chapter का बर्ताव कितना असमान है — commutativity को दलील मिलती है, जबकि associativity और distributive property को बस हल किए हुए उदाहरण और एक तस्वीर।

आपको क्या आना चाहिए

  • integers के लिए commutative, associative और distributive गुणों को letters में लिखना, और हर कथन को सही-सही पढ़कर सुनाना
  • commutativity के लिए chapter की दो हिस्सों वाली दलील दोहराना: पहले magnitude, फिर sign
  • तीन factors वाले product को एक से ज़्यादा grouping में हल करना और पक्का करना कि नतीजे मेल खाते हैं
  • समझाना कि associativity और commutativity मिलकर किसी लंबे product को किसी भी क्रम में लेने की छूट क्यों देते हैं
  • कई integers के product का sign यह गिनकर तय करना कि कितने negative हैं, और वह शर्त बताना जिसमें यह गिनती जवाब तय करती है
  • negative पदों वाले एक numerical उदाहरण पर distributive गुण जाँचना
  • हरे और लाल tokens के एक आयत को distributive कथन की तरह पढ़ना
  • chapter के अपने text में दलील और जाँचे गए उदाहरण के बीच फ़र्क़ करना

जानने लायक़ शब्द

Termएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
commutativeगुणा की जा रही दो संख्याओं की अदला-बदली से जवाब नहीं बदलताक्रमविनिमेयp.35 पर bold में छपा
associativeगुणा की जा रही तीन संख्याओं की grouping बदलने से जवाब नहीं बदलतासाहचर्यp.40 पर छपा
distributive propertyकिसी sum को गुणा करने का जवाब वही है जो हर हिस्से को गुणा करके जोड़ने कावितरण गुणp.40 पर और फिर p.41 पर छपा; SUMMARY, p.45 इसे addition पर distributive कहती है
propertychapter का शब्द ऐसे व्यवहार के लिए जो सिर्फ़ जाँचे गए case में नहीं, हर case में सही होगुणधर्मp.40 और p.41 पर छपा
productmultiplication का नतीजागुणनफल§2.2 में जगह-जगह छपा
multiplier / multiplicandकिसी product में पहली और दूसरी संख्या के लिए इस chapter के नामगुणक / गुण्यp.29 की figure पर छपा और label किया हुआ, और commutativity की दलील में इस्तेमाल, pp.34–35
magnitudeकोई integer कितना बड़ा है, उसका sign देखे बिनापरिमाणp.27 पर bold में छपा, और commutativity की दलील में इस्तेमाल, p.34
signकोई integer positive है या negativeचिह्नp.33 और p.35 पर छपा
swapकिसी product की दोनों संख्याओं की अदला-बदली के लिए chapter का शब्दअदला-बदलीpp.34–35 पर छपा
expressionसंख्याओं और operations का लिखा हुआ मेल, जिसे पूरा एक साथ हल किया जाता हैव्यंजकsub-heading "Expressions Using Integers", p.39 में छपा
bracketsवे निशान जो तय करते हैं कि expression का कौन सा हिस्सा पहले हल होगाकोष्ठकp.44 पर छपा
factorगुणा की जा रही संख्याओं में से कोई भीगुणनखंडइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा, जो इसकी जगह multiplier और multiplicand इस्तेमाल करता है

provenance column के page numbers Part II के हैं, छपे हुए pages 24–46।

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है; Part II की हिंदी छपाई यहाँ इस्तेमाल हुए corpus में नहीं है — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "ये नियम तो साफ़ ज़ाहिर हैं, तो इन्हें साबित क्यों करें?" whole numbers के लिए ये ज़ाहिर हैं। multiplication को अभी-अभी उन संख्याओं तक बढ़ाया गया है जिन पर वह कभी परिभाषित ही नहीं था, और पुराना व्यवहार साथ आया या नहीं, ठीक यही जाँचना है। explanation इसी नज़रिए से शुरू कीजिए, वरना पूरा topic बस हिसाब-किताब की ख़ानापूरी लगता है।
  • "तीन उदाहरण जाँच लेने से यह साबित हो जाता है।" chapter associativity और distributivity के लिए उदाहरण जाँचता है और फिर सामान्य नियम कह देता है। यह खाई असली है। pp.34–35 पर commutativity की दलील दिखाती है कि फ़र्क़ कैसा दिखता है।
  • "subtraction और division भी commutative हैं।" इन पन्नों पर ऐसा कुछ नहीं कहा गया, और दोनों तुरंत फ़ेल हो जाते हैं: 3 − 5 के सामने 5 − 3, या 36 ÷ (−18) के सामने (−18) ÷ 36। chapter के तीनों नियम सिर्फ़ multiplication के लिए कहे गए हैं — SUMMARY के तीनों bullets में से हर एक यही कहता है।
  • "minus signs की even संख्या जवाब को positive बनाती है।" सिर्फ़ तब, जब कोई factor zero न हो, और सिर्फ़ तब, जब तुम पन्ने पर minus signs नहीं, negative factors गिन रहे हो। (−2) × (−1) × (−5) × (−3) में चार negative factors हैं और यह positive है; (−2) × (−1) × (−5) × 0 में तीन हैं और यह zero है। zero वाला case साफ़-साफ़ दिखाइए।
  • "distributive का मतलब है कि किसी भी operation को किसी भी दूसरे पर बाँटा जा सकता है।" यहाँ इसे multiplication के addition पर बँटने के लिए कहा गया है, उसी क्रम में।
  • "a × (b + c) = (a × b) + c." पूरे topic की सबसे आम चूक, और tokens का आयत इसका इलाज है: दोनों blocks चार rows गहरे हैं, इसलिए multiplier sum के हर हिस्से तक पहुँचता है।
  • "grouping बदलना और क्रम बदलना एक ही चीज़ है।" ये दो अलग नियम हैं और chapter इन्हें अलग-अलग लेता है — p.39 पर brackets खिसकाए गए, p.40 पर ख़ुद संख्याएँ। दोनों होने पर ही तुम किसी लंबे product को अपनी मर्ज़ी के किसी भी क्रम में हल कर सकते हो।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 5 Q1, Figure it Out · 5 Q3, Figure it Out · 5 Q9, Figure it Out · 5 Q14

पूरा transcript1,659 शब्द

गुणा, पूरी संख्याओं से आगे, शून्य के पार, negative संख्याओं तक फैलाया गया है। अब असली सवाल, क्या इस खिंचाव में, गुणा की कोई पुरानी आदत टूट गई? पूरी संख्याओं में गुणा की 3 आदतें थीं, क्रम बदलो तो फ़र्क नहीं, कोष्ठक बदलो तो फ़र्क नहीं, और जोड़ पर बँट जाना। देखना यह है कि तीनों अब भी बची हैं या नहीं। कोई कहेगा, यह तो ज़ाहिर है, जाँचने की क्या ज़रूरत?

पूरी संख्याओं के लिए ज़ाहिर है, पर negative संख्याओं का गुणा अलग से तय करना पड़ा, वह विरासत में नहीं मिला। तो पुरानी आदतें संग आईं या नहीं, यह जाँचना ही पड़ेगा। तरीका सीखने लायक है, हर गुणनफल को 2 हिस्सों में बाँटो, size और चिह्न। size वाला हिस्सा, पुराना पूरी संख्याओं का गुणा है, जो सारी आदतें मानता ही है। चिह्न वाला हिस्सा, बस कुछ गिने चुने मामले, जिन्हें एक एक करके देख लो।

इस बँटवारे से नई समस्या पुरानी में बदल जाती है, और पुरानी का जवाब मालूम है। पहली जाँच, क्रम बदलना, 3 गुणा minus 4, और minus 4 गुणा 3, दोनों minus 12। अगली पंक्ति के जवाब खाली हैं, minus 30 गुणा 12, और 12 गुणा minus 30, क्या आएगा? size 30 गुणा 12, यानी 360, चिह्न एक minus, तो दोनों minus 360। तीसरी, minus 15 गुणा minus 8, और minus 8 गुणा minus 15, दोनों 120।

चौथी, 14 गुणा minus 5, बराबर minus 70। और minus 5 गुणा कौन सी संख्या, बराबर minus 70? सिर्फ़ एक, 14, यानी वही 14, क्रम बदलकर। अब तर्क, पहला हिस्सा, गुणनफल का size सिर्फ़ दोनों संख्याओं के size पर टिका है। और size तो पूरी संख्याएँ हैं, जिनमें क्रम बदलने से कभी फ़र्क नहीं पड़ा। minus 20 से 20 तक, सभी 1681 जोड़ियों में, size वाला हिस्सा एक जैसा। दूसरा हिस्सा, चिह्न, दोनों positive, या दोनों negative, तो जवाब positive, किसी भी क्रम में।

एक positive, एक negative, तो जवाब negative, यह भी किसी भी क्रम में। कुल 4 मामले, और किसी में भी क्रम बदलने से चिह्न नहीं हिलता। size नहीं बदला, चिह्न नहीं बदला, तो गुणनफल नहीं बदला, बात पक्की। कोई भी 2 पूरी संख्याएँ, a गुणा b, बराबर b गुणा a। इस गुण को commutative कहते हैं, यानी क्रम बदलने की आज़ादी। और सभी 1681 जोड़ियों में यही। ध्यान रहे, यहाँ सिर्फ़ उदाहरण नहीं जाँचे, हर मामले के लिए वजह दी, यही तर्क कहलाता है।

अब दूसरी आदत, कोष्ठक, एक हिसाब लो, 5 गुणा minus 3 गुणा 4। पहले पहली 2 संख्याएँ, 5 गुणा minus 3, बराबर minus 15, फिर गुणा 4, बराबर minus 60। अब पहले आखिरी 2, minus 3 गुणा 4, बराबर minus 12, फिर 5 से गुणा, बराबर minus 60। कोष्ठक बदला, जवाब नहीं बदला। तीसरा तरीका, 5 और 4 को पहले मिलाओ, 20, फिर गुणा minus 3, बराबर minus 60। यहाँ सिर्फ़ कोष्ठक नहीं हिला, संख्याओं की जगह भी बदली, यानी दोनों आदतें एक संग लगीं।

और यही सबसे आसान रास्ता था, 5 गुणा 4 सीधा 20 देता है। अब खुद करो, 25 गुणा minus 6 गुणा 12, हर क्रम में, और दोनों तरह के कोष्ठक से। सबसे आसान रास्ता कौन सा है? यहाँ 25 गुणा 12 पहले, यानी 300, फिर गुणा minus 6, बराबर minus 1800। कुल 12 तरीके, और हर एक का जवाब minus 1800। पूरी बात, a गुणा, b गुणा c का, बराबर a गुणा b का, गुणा c।

इस गुण को associative कहते हैं, यानी कोष्ठक की आज़ादी। minus 6 से 6 तक, हर 3 संख्याओं के सभी 2197 मेल, हर एक में सही। अब 4 संख्याएँ, 2, minus 3, 5, minus 1, क्रम वही रखो, तो भी कोष्ठक 5 तरह से लग सकते हैं। और क्रम भी बदलो, तो 24 क्रम, कुल 120 अलग हिसाब। हर एक का जवाब 30, एक भी अलग नहीं। ये आदतें न हों, तो हर लंबे गुणा से पहले पूछना पड़ता, किस क्रम में, किस कोष्ठक से, अब यह सवाल ही खत्म।

अब फ़ायदा देखो, minus 8 गुणा 25 गुणा minus 4 गुणा 5, सीधे करो तो भारी लगता है। जोड़ियाँ बदलो, 25 गुणा minus 4, बराबर minus 100, और minus 8 गुणा 5, बराबर minus 40। अब minus 100 गुणा minus 40, बराबर 4000, मन में ही। और 7 गुणा 98, यानी 7 गुणा, 100 और minus 2, बाँटो, 700 और minus 14, बराबर 686। यहाँ एक ईमानदार बात, commutative के लिए वजह दी गई, associative के लिए सिर्फ़ उदाहरण जाँचे गए।

ये 2197 जाँचें भी गवाही हैं, सबूत नहीं, सबूत में हर मामले की वजह चाहिए। वैसे वही तरीका यहाँ भी चलता है, size पूरी संख्याओं से, चिह्न negatives गिनकर, तो बात सच है। दोनों आदतें हों, तो लंबा गुणा किसी भी क्रम में, जैसे 3, minus 2, minus 5, 4, minus 1। इन्हें लगाने के 120 क्रम हैं। और बाएँ से दाएँ गुणा करो, हर क्रम में जवाब minus 120।

पर ध्यान रहे, कोष्ठक बदलना और क्रम बदलना, 2 अलग आदतें हैं, किसी भी क्रम की आज़ादी दोनों मिलकर देती हैं। अब minus 1 की सीढ़ी, 2 बार minus 1 का गुणा, 1। और 3 बार, minus 1, 4 बार, फिर 1। और 5 बार, minus 1। हर नया minus 1, चिह्न को पलट देता है, size वही 1 रहता है। अब 3 संख्याएँ हों, तो हर एक plus या minus, कुल 8 तरह के चिह्न।

इनमें से 4 में negatives की गिनती विषम, और जवाब negative। बाकी 4 में गिनती सम, और जवाब positive, बराबर बँटवारा। तो बहुत सारी संख्याओं के गुणा का चिह्न, बिना गुणा किए कैसे पता चले? negative संख्याएँ गिनो, गिनती सम, तो positive, विषम, तो negative। minus 3 से 3 तक, शून्य छोड़कर, 4 संख्याओं की सभी 1296 सूचियों में, यही नियम सही। क्योंकि क्रम की आज़ादी से, negatives को जोड़ियों में बाँध सकते हो, हर जोड़ी positive, और विषम हो, तो एक बच जाता है।

देखो, 100 बार minus 1 का गुणा, जवाब क्या? गुणा करने की ज़रूरत नहीं, 100 सम है, तो जवाब 1। और 101 बार, विषम, तो minus 1। इनका गुणा देखो, minus 2 गुणा minus 1 गुणा minus 5 गुणा minus 3, इसमें 4 negatives, जवाब 30, positive। अब आखिरी को 0 से बदलो, minus 2, minus 1, minus 5, और 0, 3 negatives। पर जवाब 0, न positive, न negative।

तो नियम में शर्त जोड़ो, कोई भी संख्या शून्य न हो, वरना गुणनफल शून्य, और उसका कोई चिह्न नहीं। और एक चूक, लिखे हुए minus के निशान मत गिनो, negative संख्याएँ गिनो। जैसे, minus, minus 2, गुणा 3, इसमें 2 minus दिखते हैं। पर minus 2 का उल्टा 2 है, तो negative संख्या एक भी नहीं, और जवाब 6। अब तीसरी आदत, जोड़ पर बँटना, 5 गुणा, 4 और minus 2 का जोड़, कोष्ठक पहले, 4 और minus 2, बराबर 2।

यहाँ 5 गुणा 2, बराबर 10। अब बाँटकर, 5 गुणा 4, बराबर 20, और 5 गुणा minus 2, बराबर minus 10। जोड़ो, 20 और minus 10, बराबर 10, वही। अब तुम जाँचो, minus 2 गुणा, 4 और minus 3 का जोड़, क्या बाँटकर भी वही आएगा? कोष्ठक पहले, 4 और minus 3, बराबर 1, फिर minus 2 गुणा 1, बराबर minus 2। बाँटकर, minus 2 गुणा 4, बराबर minus 8, और minus 2 गुणा minus 3, बराबर 6।

जोड़ो, minus 8 और 6, बराबर minus 2, वही। पूरी बात, a गुणा, b और c का जोड़, बराबर a गुणा b, जोड़ a गुणा c। इसे distributive गुण कहते हैं, गुणा, जोड़ पर बँट जाता है। minus 6 से 6 तक, सभी 2197 मेलों में सही। और अगर गुणा करने वाली संख्या दाईं तरफ़ हो, 4 और minus 3 का जोड़, गुणा minus 2? कोष्ठक पहले, 1 गुणा minus 2, बराबर minus 2, बाँटकर, minus 8 और 6, वही।

यह नई आदत नहीं, क्रम बदलने वाली आदत से मुफ़्त मिलती है, और सभी 2197 मेलों में सही। घटाने पर भी, क्योंकि घटाना यानी उल्टा जोड़ना, 6 गुणा, 10 घटा 3, यानी 6 गुणा 7, बराबर 42। बाँटकर, 6 गुणा 10, बराबर 60, घटा 6 गुणा 3, बराबर 18, बचे 42। और minus 6 से 6 तक, सभी 2197 मेलों में यही। तो घटाने पर बँटना कोई अलग नियम नहीं, जोड़ पर बँटना ही है, उल्टे के संग।

अब एक तस्वीर, 4 गुणा, 2 और minus 3, बाईं तरफ़ 4 पंक्ति, 2 स्तंभ, 8 हरे token। दाईं तरफ़ 4 पंक्ति, 3 स्तंभ, 12 लाल token। और 8 zero pairs कट जाते हैं, बचते हैं 4 लाल, यानी minus 4। पूरी तस्वीर एक संग देखो, तो 4 गुणा, minus 1, टुकड़ों में देखो, तो 8 और minus 12, एक ही तस्वीर, 2 तरह से। अब वही तस्वीर minus 4 के लिए, minus 4 गुणा, 2 और minus 3।

minus 4 से गुणा यानी उल्टे token रखना, 2 के बदले लाल, तो 8 लाल, minus 3 के बदले हरे, तो 12 हरे। अब 8 जोड़ियाँ कटीं, बचे 4 हरे, यानी 4, जो minus 4 गुणा minus 1 है। सबसे आम गलती, 4 गुणा 2, और बस minus 3 जोड़ देना, बराबर 5। सही जवाब minus 4 है। तस्वीर देखो, दोनों हिस्से 4 पंक्ति गहरे हैं, गुणा करने वाली संख्या जोड़ के हर हिस्से तक पहुँचती है।

ये आदतें सिर्फ़ गुणा की हैं, घटाने में क्रम बदलो, 3 घटा 5, minus 2, पर 5 घटा 3, 2। भाग में भी नहीं, 36 बटा minus 18, minus 2, पर minus 18 बटा 36, minus 1 बटा 2। और जोड़, गुणा पर नहीं बँटता, 2 जोड़ 3 गुणा 4, बराबर 14, पर 2 और 3 का जोड़, गुणा 2 और 4 का जोड़, बराबर 30। तीनों आदतें बचीं, खिंचाव ने कुछ नहीं तोड़ा।

क्रम वाली आदत के लिए पूरा तर्क, बाकी 2 के लिए जाँचें और तस्वीर। और फ़ायदा असली है, किसी भी लंबे गुणा का चिह्न, बस negatives की एक गिनती। a गुणा b, बराबर b गुणा a, size और चिह्न, दोनों क्रम से नहीं हिलते। कोष्ठक बदलो, गुणनफल नहीं बदलता, और दोनों मिलकर किसी भी क्रम की आज़ादी देते हैं। कोई संख्या शून्य न हो, तो negatives सम, जवाब positive, विषम, negative।

गुणा, जोड़ के हर हिस्से तक पहुँचता है। घटाना और भाग, क्रम बदलने पर बदल जाते हैं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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