सीधे गुणा करने के बजाय गुणनखंड करो और दोबारा समूह बनाओ

0:00आज एक छोटी सी चाल देखते हैं, जो एक बड़े गुणा को एक line में निपटा देती है। board पर लिखा है 116 गुणा 5। क्या तुम इसे मन में, बिना कागज़ के, एक ही line में कर सकते हो? चाल यह है कि 5 को सीधे मत देखो। असल में 5 तो 10 को 2 से divide करने पर मिलता है, इसलिए इस गुणा को लिखो 116 गुणा, 10 भाग 2।

0:27अब पहले divide करो, और 116 को 2 से divide करने पर 58 आता है, बिल्कुल पूरा, कुछ भी नहीं बचता। बचा 58 गुणा 10, और 10 से गुणा करना तो मुफ़्त है, इसलिए जवाब है 580। यह चाल असल में 5 के बारे में नहीं है, यह 10, 100 और 1000 के बारे में है। और आज हम यह भी देखेंगे कि किन numbers के साथ यह चलती है, और किनके साथ कभी नहीं चलती।

0:55पर यह चाल सच में सही है, या बस एक अंदाज़ा है? कई लोगों को लगता है कि 2 से divide करने पर number छोटा हो गया, तो रास्ते में कुछ न कुछ तो खोया ही होगा। सोचो कि गुणा का मतलब क्या है: 116 गुणा 10 का मतलब है 116 को 10 बार लेना, और वह बनता है 1 thousand 160। अब उसका आधा लो, यानी 10 में से आधे डिब्बे हटा कर देखो, तो 116 सिर्फ़ 5 बार बचता है, यानी 580।

1:24तो 2 से divide करना और फिर 10 से गुणा करना, 5 से गुणा करने का ही दूसरा नाम है। रास्ते में कुछ भी नहीं खोया, और 116 के बारे में कोई ख़ास बात भी इस्तेमाल नहीं हुई। हमने 2 से 1000 तक के हर उस number पर, जो 2 से पूरा divide होता है, दोनों रास्ते चला कर देखे, और 500 में से 500 बार दोनों एक ही जवाब पर पहुँचे।

1:49अब वही चाल एक size ऊपर आज़माते हैं, 824 गुणा 25। सोचो, 25 किस number को किससे divide करने पर मिलता है? जवाब है 100 को 4 से divide करना, तो लिखो 824 गुणा, 100 भाग 4। पहले 824 को 4 से divide करो, और 206 आता है, फिर से बिल्कुल पूरा। फिर 206 को 100 से गुणा करो, और जवाब है 20 thousand 600। दोनों lines को साथ रखो, तो दिखता है कि 5 की जगह 10 भाग 2 आया, और 25 की जगह 100 भाग 4।

2:28तरीका वही है, बस 10 की power बड़ी हो गई। और अगला कदम है 125, जो 1000 को 8 से divide करने पर मिलता है। पर 10 से गुणा करना मुफ़्त क्यों है? अक्सर कहा जाता है कि 10 से गुणा करना हो, तो पीछे एक zero लगा देना काफ़ी है। असल में होता यह है कि हर digit एक place आगे खिसक जाता है। जैसे 58 में 5 tens की जगह पर था, और 58 को 10 से गुणा करने पर वह hundreds की जगह पर पहुँच गया।

2:58और 8 भी units से खिसक कर tens में चला गया, और units की जो जगह ख़ाली हुई, उसे zero भरता है। इसी तरह 100 से गुणा करने पर हर digit 2 places खिसकता है, और 1000 से गुणा करने पर 3 places। zero लगाना बस इस खिसकने का निशान है, असली काम खिसकना है। आगे जब दशमलव वाले numbers आएँगे, तब यही फ़र्क काम आएगा। इसीलिए 10, 100 और 1000 से गुणा मुफ़्त है।

3:26इसमें कोई हिसाब नहीं करना पड़ता, बस digits को खिसकाना होता है। अब 3 factors वाला एक product लो, 2 गुणा 1768 गुणा 50। क्या इसे उसी क्रम में करना ज़रूरी है, जिस क्रम में यह लिखा है? ज़रूरी नहीं है, क्योंकि गुणा में factors का क्रम बदला जा सकता है, और brackets भी कहीं भी लगाए जा सकते हैं। तो 2 की जोड़ी 50 के साथ बनाओ, क्योंकि 2 गुणा 50 होता है 100।

3:55अब बचा 100 गुणा 1768, जो है 1 लाख 76 thousand 800। इन 3 numbers को जितने भी क्रम में लिखो, कुल 6 क्रम बनते हैं, और brackets किसी भी तरह लगाओ, जवाब हर बार वही आता है। यही बात 72 गुणा 125 पर भी चलती है, क्योंकि 125 है 1000 भाग 8। और 72 को 8 से divide करने पर 9 आता है, तो जवाब है 9 thousand। अब इन सारी चालों की एक table बनाते हैं।

4:27पहली row में 5 है, जो 10 भाग 2 है, और उसके साथ 50, जो 100 भाग 2 है। फिर 25, जो 100 भाग 4 है, 250, जो 1000 भाग 4 है, और 2500, जो 10 thousand भाग 4 है। और 125, जो 1000 भाग 8 है। यह table उलटी तरफ़ से भी चलती है, क्योंकि 4 है 100 भाग 25, और 8 है 1000 भाग 125। table की हर row की शक्ल एक ही है: 10 की कोई power, जो किसी छोटे number से पूरी divide हो गई, और सारी 8 rows ऐसी ही हैं।

5:07अब सबसे मज़ेदार वाला, 125 गुणा 40 गुणा 8 गुणा 25। अगर इसे लिखे हुए क्रम में करें, तो क्या होता है? पहले 125 गुणा 40, यानी 5 thousand। फिर 8 से गुणा, यानी 40 thousand। फिर 25 से गुणा, और हम पहुँचते हैं 10 लाख पर। इस रास्ते में कुल 3 बड़े गुणा हुए, और हर कदम पर गलती की गुंजाइश थी। अब जोड़ियाँ सोच समझ कर बनाओ, और 125 को 8 के साथ रखो, तो 1000 बनता है।

5:40और 40 को 25 के साथ रखो, तो फिर से 1000। बचा 1000 गुणा 1000, यानी 10 लाख, और असली हिसाब लगभग कुछ भी नहीं करना पड़ा। यह सब सिर्फ़ इसलिए हो पाया, क्योंकि हमने लिखे हुए क्रम को मानने से मना कर दिया। अब कुछ और खुद आज़माओ, और फिर मेरे जवाब से मिलाओ। पहला है 25 गुणा 12, जिसमें 12 को 4 से divide करो तो 3 आता है, और 3 गुणा 100 है 300।

6:09फिर 25 गुणा 240, जो 6 thousand है, और 250 गुणा 120, जो 30 thousand है। और 2500 गुणा 12 भी 30 thousand ही है। क्या तुम बता सकते हो कि 250 गुणा 120 और 2500 गुणा 12 का जवाब एक ही क्यों है? क्योंकि एक 10 पहले factor से निकल कर दूसरे में चला गया: 250 को 10 से गुणा करो तो 2500 बनता है, और 120 को 10 से divide करो तो 12।

6:37तो क्या यह चाल हर number के साथ चलती है? चलो 3 लेकर देखते हैं, जिसके लिए हमें 10 की कोई ऐसी power चाहिए, जिसे 3 पूरा divide कर दे। पर 10 को 3 से divide करो तो 1 बचता है, 100 को करो तो भी 1 बचता है, और 1000 को करो तो भी 1। वजह सीधी है: 10 है 9 और 1, 100 है 99 और 1, और 1000 है 999 और 1, और 9, 99 और 999, तीनों 3 से पूरे divide होते हैं।

7:08इसलिए हर बार 1 बचता ही है। हमने 10 से शुरू करके 10 की 24 powers जाँचीं, और 3 ने उनमें से एक को भी पूरा divide नहीं किया। इसलिए 3 की ऐसी कोई चाल नहीं है, और कभी होगी भी नहीं। और 7 और 11 का भी यही हाल है, बस वहाँ वजह थोड़ी अलग है। उनका बचा हुआ हिस्सा बदलता रहता है, 7 के लिए 6 अलग values में, और 11 के लिए 2 में, पर zero तक वह कभी नहीं पहुँचता।

7:38तो फिर किन numbers की चाल होती है? जवाब है वे numbers, जो सिर्फ़ 2 और 5 को आपस में गुणा करके बनते हैं। गिनो तो 125 तक ऐसे numbers हैं 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 64, 80, 100 और 125, कुल 16। हमने 20 thousand तक हर number जाँचा। जो numbers 10 की किसी power को पूरा divide करते हैं, वे ठीक वही 55 numbers निकले, जो सिर्फ़ 2 और 5 से बने हैं।

8:14और अगर एक 3 भी घुस जाए, तो खेल ख़त्म, जैसे 6, जो 2 गुणा 3 है, और जिसकी ऐसी कोई चाल नहीं है। इसकी जड़ यह है कि 10 ख़ुद 2 गुणा 5 है, इसलिए 10 की हर power में सिर्फ़ 2 और 5 ही होते हैं, और कुछ नहीं। अब एक और बात, जो अक्सर छूट जाती है। अब तक के सारे examples में division पूरा हुआ, 116 का 2 से, 824 का 4 से, और 72 का 8 से।

8:43पर अब 823 गुणा 25 लो, जहाँ 823 को 4 से divide करो, तो 3 बचता है। तो क्या यहाँ चाल fail हो गई? चाल fail नहीं होती, बस पहले 100 से गुणा करो, तो 82 thousand 300 बनता है, और फिर 4 से divide करो, तो जवाब आता है 20 thousand 575, बिल्कुल सही। यह चाल अब भी पूरी तरह सही है। बस अब यह मन का हिसाब नहीं रहा, कागज़ वाला काम बन गया।

9:12आख़िर में इस चाल को उलटा पढ़ते हैं। क्या तुम ऐसे 2 numbers सोच सकते हो, जिनका गुणनफल 12 करोड़ हो? एक जवाब है 1200 गुणा 1 लाख, और दूसरा है 12 गुणा 1 करोड़। तरीका यह है कि 10 की एक power चुन लो, और जो बाकी बचे, वह दूसरा factor बन जाता है। और इसका जवाब एक नहीं है, क्योंकि 12 करोड़ को 2 पूरे numbers के गुणा की तरह 80 तरीकों से लिखा जा सकता है।

9:41अब तुम खुद कोई ऐसा product लो, जिसमें 5, 25 या 125 हो, और उसे एक line में करके देखो। तो याद रखने वाली बात यह है कि 5 कोई ख़ास number नहीं है। जो numbers 10 की किसी power को किसी छोटे number से divide करके मिलते हैं, जैसे 5, 25 और 125, उनसे गुणा बस एक divide और एक खिसकाना है। factors की जोड़ियाँ सोच समझ कर बनाओ, ताकि 10, 100 या 1000 बने।

10:11और पहले देख लो कि division पूरा होता है या नहीं, क्योंकि चाल हमेशा सही रहती है, पर मन में तभी होती है जब division पूरा हो। और जिन numbers में 3, 7 या 11 जैसा कोई factor छुपा हो, उनकी यह चाल कभी नहीं होती।