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Chapter 2 · Operations with Integers

division का sign नियम, और यह multiplication से क्यों निकलता है

Multiplying and dividing integers11 मिनट

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minus 100 बटा 25 कितना? इसे गुणा की तरह पूछो: 25 को किससे गुणा करें कि minus 100 मिले?

मुख्य idea

integers के division को अपना कोई model नहीं मिलता — न थैला, न tokens, न सीढ़ी — और यह ग़ैरमौजूदगी ही दलील है। यहाँ हर division को एक ऐसे multiplication की तरह फिर से लिखा जाता है जिसमें एक ख़ाली जगह है: (−100) ÷ 25 बन जाता है 25 को किससे गुणा करें कि −100 तक पहुँचें? एक बार सवाल इस तरह पूछ लिया जाए, तो signs के बारे में तय करने को कुछ नया नहीं बचता, क्योंकि multiplication की table पहले ही तय कर चुकी है कि ख़ाली जगह कौन सा factor भरेगा। इसलिए division के चार cases, multiplication के चार cases के साथ याद करने वाला कोई दूसरा नियम नहीं हैं; वे वही चार तथ्य हैं, दाएँ से बाएँ पढ़े हुए। Brahmagupta ने चौदह सदियाँ पहले इन्हें दोनों operations को समेटने वाले एक ही कथन की तरह लिखा था, और ठीक यही उम्मीद की जानी चाहिए उन दो operations से जो असल में एक ही operation हैं, दो दिशाओं से पूछा हुआ।

आपको क्या आना चाहिए

  • integers के किसी भी division को एक अज्ञात factor वाले multiplication के रूप में फिर से कहना
  • पहले से पता multiplication के किसी तथ्य से उस अज्ञात factor वाले सवाल का जवाब देना
  • dividend और divisor के signs से quotient का sign बताना, चारों cases में, और मेल खाते multiplication से उसे सही ठहराना
  • chapter में छपी division की तीन identities को पढ़ना और इस्तेमाल करना, उनके साथ जुड़ी शर्त समेत
  • dividend, divisor और quotient का सही इस्तेमाल करना
  • समझाना कि अज्ञात factor वाले सवाल का जवाब, जब होता है, तो एक ही क्यों होता है
  • पहचानना कि division को नए रूप में कहने से integer जवाब की गारंटी नहीं मिलती, और बताना कि जब divisor, dividend को पूरा-पूरा न बाँटे तो जवाब क्या होता है
  • Brahmagupta के धन-और-ऋण वाले कथन को आज के sign नियमों के बग़ल में रखना, और दोनों को एक ही बात की तरह देखना

जानने लायक़ शब्द

Termएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
divisionवह operation जिसे यहाँ multiplication के रूप में फिर से कहकर integers तक बढ़ाया जा रहा हैभागsub-heading "Division of Integers", p.38 में छपा
quotientdivision का जवाबभागफलSUMMARY, p.45 में, और Brahmagupta वाले हिस्से, p.35 में छपा
dividendवह number जिसे बाँटा जा रहा हैभाज्यSUMMARY, p.45 में छपा
divisorवह number जिससे बाँटा जा रहा हैभाजकSUMMARY, p.45 में छपा
productmultiplication का नतीजा — नए रूप वाला सवाल जिस तक पहुँचना चाहता हैगुणनफल§2.2 में जगह-जगह छपा, pp.29–41
multipliedवह क्रिया जिसमें नया रूप हर division को बदल देता हैगुणा किया गयाp.38 पर नए रूप वाले सवालों में छपा
Brahmaguptaसातवीं सदी के गणितज्ञ, जिनके नियम chapter उद्धृत करता हैब्रह्मगुप्तBrahmagupta वाले हिस्से, p.35 में छपा
fortune / debtpositive और negative मात्रा के लिए Brahmagupta के शब्दधन / ऋणBrahmagupta वाले हिस्से, p.35 में छपा
dhanaवह संस्कृत शब्द जिसका अर्थ chapter fortune बताता हैधनBrahmagupta वाले हिस्से, p.35 में italics में छपा
ṛṇaवह संस्कृत शब्द जिसका अर्थ chapter debt बताता हैऋणBrahmagupta वाले हिस्से, p.35 में italics में छपा
unknown factormultiplication की वह ख़ाली जगह जिसे भरने को division कहता हैअज्ञात गुणनखंडइस पाठ का वाक्यांश; chapter सवाल रखता है पर उसे कोई नाम नहीं देता
exact divisionऐसा division जिसका जवाब ख़ुद एक integer होपूर्ण विभाजनइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा

provenance column के page numbers Part II के हैं, छपे हुए pages 24–46।

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है; Part II की हिंदी छपाई यहाँ इस्तेमाल हुए corpus में नहीं है — Notes देखें।

समझाने वालों के लिए एक सावधानी। Dividend और divisor इस chapter में सिर्फ़ p.45 की SUMMARY में आते हैं, उस section में नहीं जो division सिखाता है। इन्हें ज़रूर बताइए, क्योंकि इन पर सवाल आ सकते हैं और chapter आख़िर में नियम को इन्हीं शब्दों में कहता है, पर ऐसा न जताइए कि सिखाने वाले section ने इनका इस्तेमाल किया था।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "division को अपना sign नियम चाहिए, तो कुल मिलाकर आठ नियम हुए।" तथ्य चार हैं, दोनों दिशाओं में पढ़े जा सकने वाले। section का पूरा तरीक़ा यह है कि कोई भी sign वाला सवाल पूछने से पहले हर division को multiplication में बदल दिया जाए।
  • "भाग देने से चीज़ें छोटी होती हैं, इसलिए negative को negative से भाग देने पर negative आना चाहिए।" आकार और sign अलग सवाल हैं, जैसे products के लिए थे। (−100) ÷ (−4) बराबर 25 है: positive, magnitude में dividend से छोटा, और — काम वाला आधा हिस्सा यही है — magnitude में divisor से बड़ा। भाग देने से जवाब एक input के मुक़ाबले छोटा हुआ और दूसरे के मुक़ाबले बड़ा, इसलिए "भाग देने से चीज़ें छोटी होती हैं" आकार के बारे में भी सही कथन नहीं है, sign की तो बात ही छोड़िए।
  • "p.39 के नियम a और b इस्तेमाल करते हैं, तो a और b कुछ भी हो सकते हैं।" शर्त पढ़िए: p.39 पर letters positive integers के लिए हैं और negatives को −a और −b लिखा गया है। ठीक यहीं वह student पकड़ा जाता है जिसने कथन के बजाय सिर्फ़ उसका आकार रट लिया है।
  • "integers के हर division का जवाब integer होता है।" section ऐसा कोई वादा नहीं करता, और item 11 (p.44) में ऐसे दो हैं जिनका जवाब integer नहीं है। नया रूप सवाल का जवाब तभी देता है जब divisor सच में dividend को पूरा-पूरा बाँटता हो; वरना ख़ाली जगह को कोई integer नहीं भर सकता।
  • "zero से भाग देने पर zero आता है।" chapter अपने सामान्य कथन के साथ यह शर्त जोड़ता है कि b zero के बराबर नहीं है, और बात वहीं छोड़ देता है। नया रूप इसकी वजह बताता है: 0 × ? कभी किसी non-zero number तक नहीं पहुँच सकता, इसलिए सवाल का कोई जवाब ही नहीं है।
  • "Brahmagupta की lines कोई पुराना-सा रूप हैं; असली नियम आधुनिक है।" वे एक ही नियम हैं, और chapter यही कहता है। दिलचस्प बात यह है कि धन और ऋण ने सातवीं सदी को इसे मानने की एक वजह दी, जो वही काम है जो p.30 पर token वाला थैला करता है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 4 Q1, Figure it Out · 4 Q4, Figure it Out · 5 Q2, Figure it Out · 5 Q11

पूरा transcript1,386 शब्द

गुणा को समझने के लिए token की थैली, या सीढ़ी जैसी तस्वीरें काम आती हैं, पर भाग के लिए कोई नई तस्वीर नहीं बनेगी। और यह कमी ही असली बात है, भाग को अपनी तस्वीर की ज़रूरत ही नहीं। क्योंकि हर भाग, असल में एक गुणा है, जिसमें एक जगह खाली छूटी है। मान लो सवाल है, minus 100 बटा 25। इसे ऐसे सोचो, 25 को किस संख्या से गुणा करें, कि minus 100 मिले?

खाली जगह में क्या आएगा, सोचो? गुणा का नियम तय है, 25 गुणा minus 4, बराबर minus 100। तो खाली जगह में minus 4, यानी minus 100 बटा 25, बराबर minus 4। और minus 2000 से 2000 तक खोजकर देखो, कोई और संख्या यह जगह नहीं भरती। चिह्न के बारे में कोई नया फ़ैसला नहीं करना पड़ा, चिह्न गुणा की तालिका से ही आ गया। अब वही minus 100, पर इस बार बटा minus 4।

सवाल, minus 4 को किस से गुणा करें, कि minus 100 मिले? minus 4 गुणा 25, बराबर minus 100, तो जवाब 25। दोनों को पास रखो, बटा 25 से minus 4, बटा minus 4 से 25, चिह्न का खेल दिखने लगता है। तीसरा मामला उल्टी तरफ़ से, पहले एक जाना हुआ गुणा, minus 25 गुणा minus 2, बराबर 50। अब इसे पीछे से देखो, 50 बटा minus 25, खाली जगह में minus 2।

और खोजो तो भी, सिर्फ़ एक संख्या, minus 2। कोई सोचेगा, भाग से चीज़ें छोटी होती हैं, तो minus बटा minus भी minus होना चाहिए। पर minus 100 बटा minus 4, बराबर 25, positive। size में 25, 100 से छोटा है, पर 4 से बड़ा। तो भाग ने जवाब को एक से छोटा, दूसरे से बड़ा बनाया, size और चिह्न 2 अलग सवाल हैं। पर क्या पक्का है कि खाली जगह में सिर्फ़ एक ही संख्या आ सकती है?

मान लो 2 संख्याएँ, दोनों 25 से गुणा होकर minus 100 देती हैं। तो 25 गुणा उनका फ़र्क, बराबर 0 होगा। और 25 से गुणा होकर 0 सिर्फ़ 0 देता है, यानी फ़र्क शून्य, संख्याएँ एक ही। पूरी जाँच, भाजक minus 12 से 12 तक, शून्य छोड़कर, और लक्ष्य minus 144 से 144 तक। कुल 6936 खाली जगहें। एक में भी 2 भरने वाले नहीं मिले, 1804 में ठीक एक, बाकी में एक भी नहीं।

एक ही जवाब हो, तभी हम कह सकते हैं, भाग का जवाब यह है, वरना जवाब शब्द का मतलब ही नहीं बनता। अब चिह्न देखो, दोनों के चिह्न एक जैसे, तो जवाब positive, अलग, तो negative। उसी जाँच में, जहाँ भाग पूरा बैठता है और ऊपर वाली संख्या शून्य नहीं, कुल 1780 भाग। सभी 1780 में, यही पैटर्न। कोई कहेगा, गुणा के 4 नियम, भाग के 4 अलग, कुल 8 याद करने हैं।

नहीं, नियम 4 ही हैं, बाएँ से दाएँ देखो तो गुणा, दाएँ से बाएँ देखो तो भाग। किसी भी 2 संख्याओं का गुणा करो, फिर दूसरी से भाग करो, पहली वापस, minus 12 से 12 तक, शून्य छोड़कर, सभी 576 जोड़ियों में। गुणा और भाग, एक ही काम, 2 दिशाओं से पूछा हुआ। नाम याद रखो, minus 100 बटा minus 4 में, minus 100, dividend है, जिसे बाँटा जा रहा है।

minus 4, divisor है, जिससे बाँटा जा रहा है। और 25, quotient, यानी जवाब। अब नियम इन नामों में, dividend और divisor के चिह्न एक, तो quotient positive, अलग, तो negative। अब 3 बातें एक संग लिखते हैं, मान लो a और b positive पूरी संख्याएँ हैं, और b शून्य नहीं। a बटा minus b, बराबर minus, a बटा b। minus a बटा b, वो भी बराबर minus, a बटा b।

और minus a बटा minus b, बराबर सीधा a बटा b। a 1 से 60 तक, b 1 से 12 तक, जहाँ भाग पूरा बैठे, सभी 184 जोड़ियों में तीनों सही। यहाँ शर्त पर ध्यान देना ज़रूरी है, a और b positive हैं, minus अलग से लिखा गया है। अगर a को minus 12 मान लो, और b को 3, तो minus a असल में 12 है। और minus a बटा b, यानी 12 बटा 3, बराबर 4, positive, भले आगे minus लिखा हो।

आगे का minus, संख्या को negative नहीं बनाता, वह उल्टा बनाता है, शक्ल रटोगे तो यहीं फँसोगे। एक और सावधानी, 32 बटा 648, कौन सी पूरी संख्या 648 से गुणा होकर 32 देती है? कोई नहीं, खाली जगह में कोई पूरी संख्या नहीं बैठती, जवाब 4 बटा 81। वैसे ही minus 300 बटा minus 1215, चिह्न एक जैसे, तो positive, पर पूरा नहीं, 20 बटा 81। यानी भाग पूरा तभी बैठता है, जब divisor, dividend को पूरा बाँटे, वरना जवाब भिन्न में आता है।

और 0 से भाग का क्या, अगर सवाल हो 5 बटा 0, तो खाली जगह वाला रूप होगा, 0 गुणा क्या, बराबर 5? कोई नहीं, 0 से गुणा हमेशा 0 देता है, 5 कभी नहीं। और 0 बटा 0 का सवाल, यानी 0 गुणा क्या बराबर 0, इसमें खोजी गई सभी 4001 संख्याएँ चलती हैं। एक में कोई जवाब नहीं, दूसरे में अनगिनत, एक अकेला जवाब किसी में नहीं, इसीलिए divisor शून्य नहीं हो सकता।

पर उल्टा बिल्कुल ठीक है, 0 बटा minus 7, यानी minus 7 गुणा क्या बराबर 0? सिर्फ़ एक संख्या, 0, क्योंकि minus 7 किसी और संख्या से गुणा होकर 0 नहीं देता। minus 12 से 12 तक, शून्य छोड़कर, सभी 24 divisors के लिए यही, 0 बटा कुछ भी, बराबर 0। यानी शून्य ऊपर, dividend में, बिल्कुल चलता है, शून्य नीचे, divisor में, नहीं चलता, और यह फ़र्क खाली जगह वाले सवाल से ही साफ़ होता है।

अब एक तालिका, ऊपर से नीचे पंक्ति के गुणक, 3 से घटते हुए minus 3 तक, शून्य छोड़कर। बाएँ से दाएँ स्तंभ के गुणक, minus 3 से बढ़ते हुए 3 तक, शून्य छोड़कर। ध्यान रहे, नीचे वाली आधी पंक्तियों के गुणक negative हैं। ऊपर बाएँ के सभी 9, और नीचे दाएँ के सभी 9, negative। ऊपर दाएँ के 9, और नीचे बाएँ के 9, सभी positive। यही तालिका भाग की तालिका भी है, कोई खाना चुनो, जैसे ऊपर वाली पंक्ति 3, स्तंभ minus 2, खाना minus 6।

उसे पंक्ति के गुणक से भाग करो, minus 6 बटा 3, बराबर minus 2, ठीक उसका स्तंभ। सभी 36 खानों में यही होता है। अब अभ्यास, नियम नहीं, खाली जगह वाला सवाल, 36 बटा minus 18, minus 18 गुणा क्या बराबर 36? minus 18 गुणा minus 2, बराबर 36, तो जवाब minus 2। minus 46 बटा minus 23, minus 23 गुणा क्या बराबर minus 46? जवाब 2, क्योंकि minus 23 गुणा 2, बराबर minus 46।

अब खुद करो, minus 27 बटा 9, 84 बटा minus 4, और minus 56 बटा minus 2? यहाँ 9 गुणा minus 3, बराबर minus 27, तो पहला minus 3। minus 4 गुणा minus 21, बराबर 84, तो दूसरा minus 21। minus 2 गुणा 28, बराबर minus 56, तो तीसरा 28। एक असली सवाल, तापमान 6 घंटे में बराबर बराबर गिरकर, कुल 24 degree नीचे आया। हर घंटे का बदलाव, minus 24 बटा 6, यानी 6 गुणा क्या बराबर minus 24, जवाब minus 4।

अब अगर तापमान हर घंटे 3 गिरता है, तो अभी से 12 degree ज़्यादा गर्म कब था? और 12 बटा minus 3, बराबर minus 4, यानी 4 घंटे पहले, minus का मतलब यहाँ पीछे का समय। अब 1 से भाग, यानी 1 गुणा क्या बराबर वह संख्या, जवाब वही संख्या। minus 1 से भाग, यानी minus 1 गुणा क्या, जवाब उसका उल्टा, जैसे 7 बटा minus 1, बराबर minus 7।

minus 20 से 20 तक, सभी 41 संख्याओं पर, दोनों बातें सही। यानी minus 1 से भाग, और minus 1 से गुणा, दोनों एक ही काम करते हैं, चिह्न पलटते हैं। खाली जगह कहीं भी हो सकती है, कौन सी संख्या बटा minus 5, बराबर 7? पलटकर देखो, minus 5 गुणा 7, यानी minus 35, सिर्फ़ यही। और minus 48 बटा कौन सी संख्या, बराबर 6? देखो, 6 गुणा क्या बराबर minus 48, जवाब minus 8, और कोई नहीं।

हर बार वही तरीका, भाग को गुणा में बदलो, फिर तालिका से भरो। हर भाग, एक गुणा है जिसमें एक जगह खाली है। खाली जगह गुणा की तालिका भरती है, चिह्न वहीं से आता है। divisor शून्य न हो, तो जगह भरने वाला ज़्यादा से ज़्यादा एक। यहाँ 4 नियम ही हैं, 2 दिशाओं से पढ़े हुए, dividend और divisor के चिह्न एक, तो quotient positive। और हर भाग पूरा नहीं बैठता, 0 से भाग का कोई एक जवाब नहीं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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