PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 2, Operations with IntegersPrepShorts

Chapter 2 · Operations with Integers

number line पर negative numbers, और उन्हें जोड़ना-घटाना

Integers revisited12 मिनट

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जोड़ 25, अंतर minus 11: क्या अंतर minus हो सकता है?

मुख्य idea

signed number एक तरह का संक्षेप (compression) है, और यह section उसकी क़ीमत चुकाने के पक्ष में दलील है। अगर carrom की गोटी को सिर्फ़ एक ही दिशा में मारा जाए, तो उसके लिए एक formula काफ़ी है; अगर उसे दोनों तरफ़ जाने दिया जाए, तो लगता है कि चार formulas चाहिए — दिशाओं के हर मेल के लिए एक। section चार formulas को मना कर देता है। वह दिशा को number के अंदर रख देता है, एक sign की तरह, और वही एक formula बिना बदले बचा रहता है। यही संक्षेप subtraction को भी बचाता है: सात tokens में से अठारह नहीं निकाले जा सकते, पर ऐसी जोड़ियाँ जिनकी क़ीमत कुछ भी नहीं, मुफ़्त में जोड़ी जा सकती हैं; और एक बार यह चाल मान ली जाए, तो हर subtraction किसी inverse का addition बन जाता है और कोई भी subtraction फिर कभी असंभव नहीं रहता।

आपको क्या आना चाहिए

  • दो integers को उनके sum और difference से व्यवस्थित trial के ज़रिए वापस निकालना, और बताना कि यह खोज हमेशा पूरी क्यों हो जाती है
  • समझाना कि दिशा वाली किसी movement को स्वाभाविक रूप से एक signed number से क्यों दर्शाया जाता है, न कि (size, direction) जैसी जोड़ी से
  • carrom के दो strikes के लिए final-position formula बताना, और उसे तब लागू करना जब एक या दोनों strikes बाईं ओर जाएँ
  • number line पर बने arrow diagram को पढ़कर दोनों movements के signs पहचानना, और यह कि किसका magnitude बड़ा है
  • किसी integer के magnitude को उसकी दिशा से अलग करना, और इस शब्द का सही इस्तेमाल करना
  • जिस subtraction में tokens "ख़त्म हो जाते हैं", उसे zero pairs डालकर पूरा करना, और बताना कि उन्हें डालने से कुछ क्यों नहीं बदलता
  • किसी भी subtraction को additive inverse के addition के रूप में दोबारा लिखना, और notation −(−18) को सही पढ़ना

जानने लायक़ शब्द

Termएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
integerपूरी संख्या जिस पर minus sign हो सकता है, zero समेतपूर्णांकchapter के title में छपा, p.24, और p.25 से आगे §2.1 में
sumदो numbers को जोड़ने का नतीजायोग§2.1, p.24 में छपा
differenceपहला number minus दूसरा number, इस section के बताए order मेंअंतर§2.1, p.24 में छपा, और उसी हिस्से में order तय किया गया
number lineनिशान लगी line जिस पर integers रखे जाते हैं, negatives 0 के बाईं ओरसंख्या रेखा"Carrom Coin Integers" में छपा, p.26
magnitudeकोई movement कितनी बड़ी है, यह देखे बिना कि वह किस तरफ़ जाती हैपरिमाणp.27 पर bold में छपा
final positionसारे strikes के बाद गोटी कहाँ पहुँचती है, जिसे P लिखा जाता हैअंतिम स्थिति"Carrom Coin Integers" में छपा, pp.25–26
token+1 या −1 दर्शाने के लिए इस्तेमाल होने वाली गोटीटोकनp.28 पर पूरे पन्ने में छपा
zero pairएक हरा और एक लाल token साथ में, जिनकी क़ीमत कुछ भी नहींशून्य युग्मp.28 पर छपा
additive inverseवह number जो किसी दिए हुए number में जुड़कर zero देता हैयोज्य प्रतिलोमpp.28–29 पर छपा
positive / negativeदाईं ओर / बाईं ओर, एक बार दिशा का चलन तय हो जाने परधनात्मक / ऋणात्मक§2.1 में जगह-जगह छपा
matching paritysum और difference दोनों even हों या दोनों oddसमान सम-विषमताइस पाठ का शब्द; chapter इस शर्त का न नाम लेता है, न इसे बताता है
signed numberऐसा number जो अपनी दिशा को sign के रूप में साथ रखता हैचिह्नित संख्याइस पाठ का वाक्यांश; इस chapter में नहीं छपा

provenance column के page numbers Part II के हैं, छपे हुए pages 24–46।

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash Part II का हिंदी संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल हुए corpus में नहीं है, इसलिए इन शब्दों को उससे नहीं मिलाया गया — Notes देखें।

समझाने वालों के लिए एक सावधानी। यह section difference का मतलब पहला minus दूसरा तय करता है, और इसी वजह से यहाँ difference negative हो भी सकता है। जब यह शब्द पहली बार आए, तो order ज़ोर से बोलकर बताइए; जो student पिछली कक्षाओं से "बड़ा minus छोटा" वाली आदत लेकर आया है, वह Rakesh की दूसरी पहेली का कोई मतलब नहीं निकाल पाएगा।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "difference negative नहीं हो सकता।" Rakesh की पहली trial row, (10, 15), chapter की बिल्कुल पहली line पर −5 देती है, और दूसरी पहेली सीधे −11 माँगती है। chapter का तय order — पहला minus दूसरा — ही इसे सुसंगत बनाता है। p.24 से मिलाया गया।
  • "minus sign का मतलब है कि number छोटा है।" sign बताता है किस तरफ़; magnitude बताता है कितनी दूर। तस्वीर 1 में, p.27 पर, negative movement दोनों में से बड़ी है। magnitude और direction को एक ही symbol की दो अलग readings बनाइए।
  • "चार direction cases का मतलब है याद रखने के चार नियम।" section p.26 पर चार cases ठीक इसीलिए खड़े करता है ताकि उन्हें फेंक सके। अगर explanation चार cases गिनाकर फिर चार नियम सिखाए, तो उसने पन्ने का उल्टा सिखा दिया।
  • "zero pairs जोड़ना धोखा है — तुम number बदल रहे हो।" एक हरा और एक लाल मिलकर कुछ भी नहीं के बराबर हैं, इसलिए थैले की value वही रहती है; सिर्फ़ उसके अंदर की चीज़ें बदलती हैं। positives की गिनती 7 से 18 तक बढ़ती दिखाइए, जबकि value 7 ही रहे।
  • "7 − 18 नहीं हो सकता।" सात tokens में से सिर्फ़ निकालकर यह नहीं हो सकता — पन्ना ठीक यही मुश्किल खड़ी करता है। inverses की इजाज़त मिलते ही यह हमेशा हो सकता है। integers में कुछ भी "घटाना असंभव" नहीं है।
  • "−(−18) कोई नया operation है।" यह inverse का inverse है, और वहीं लौट आता है जहाँ से चला था। इसे तस्वीर से जोड़िए: दो बार पीछे मुड़ो और तुम उसी तरफ़ मुँह किए हो जिधर शुरू में थे।
  • "carrom की गोटी की position एक दूरी है, इसलिए negative नहीं हो सकती।" section का P, 0 से नापी गई एक position है, कोई लंबाई नहीं। उसका sign बताता है कि गोटी 0 के किस तरफ़ रुकी।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 2.1 Q1, Figure it Out · 5 Q12

पूरा transcript1,537 शब्द

एक पहेली से शुरू करते हैं, 2 संख्याएँ हैं, उनका जोड़ 25 है। और पहली में से दूसरी घटाओ, तो अंतर 11 आता है। ध्यान रहे, अंतर का मतलब यहाँ हमेशा पहली घटा दूसरी, बड़ी घटा छोटी नहीं। वे 2 संख्याएँ कौन सी हैं, अंदाज़ा लगाओ? पहली कोशिश, 10 और 15, जोड़ 25, अंतर minus 5। पहली ही पंक्ति में अंतर minus में चला गया, क्योंकि पहली संख्या छोटी है।

दूसरी कोशिश, 20 और 5, जोड़ 25, अंतर 15, अब बहुत ज़्यादा। तीसरी, 19 और 6, जोड़ 25, अंतर 13, पास आ रहे हैं। चौथी, 18 और 7, जोड़ 25, अंतर 11, बिल्कुल सही। हर कोशिश के बाद देखो, चाहिए 11 से हम कितनी दूर हैं, पहले 16, फिर 4, फिर 2, और आखिर में 0। अंतर कम पड़ा, तो पहली संख्या बढ़ाओ, ज़्यादा पड़ा, तो घटाओ, हर कोशिश रास्ता बताती है।

यानी यह अंधी तलाश नहीं, हर कदम पिछले से पास। और minus 60 से 60 तक, हर जोड़ी आज़माओ, सिर्फ़ एक चलती है, 18 और 7। अब वही जोड़ 25, पर अंतर minus 11। क्या तुम्हें नया हिसाब करना पड़ेगा, या पुराना जवाब काम आएगा? पुरानी जोड़ी उलट कर लिखो, पहली 7, दूसरी 18, जोड़ वही 25, अंतर minus 11। यहाँ अंतर का minus होना कोई गलती नहीं, बस यह बताता है कि पहली संख्या छोटी है।

अब 6 और पत्ते, पहला, जोड़ 27, अंतर 9, तो संख्याएँ 18 और 9। दूसरा, जोड़ 4, अंतर 12, तो संख्याएँ 8 और minus 4। तीसरा, जोड़ 0, अंतर 10, तो संख्याएँ 5 और minus 5। चौथा, जोड़ 0, अंतर minus 10, तो संख्याएँ minus 5 और 5। पाँचवाँ, जोड़ minus 7, अंतर minus 1, तो संख्याएँ minus 4 और minus 3। और छठा, जोड़ minus 7, अंतर minus 13, तो संख्याएँ minus 10 और 3।

तीसरे और चौथे पत्ते को ध्यान से देखो, जोड़ दोनों में शून्य, अंतर एक में 10, दूसरे में minus 10। और जवाब, एक में 5 और minus 5, दूसरे में minus 5 और 5, बस जगह बदल गई। यह हर पत्ते पर सच है, अंतर का चिह्न पलटो, तो जोड़ी की जगह बदल जाती है, सभी 6 में। क्योंकि पहली घटा दूसरी, उलटने पर दूसरी घटा पहली बन जाता है, और जोड़ पर कोई असर नहीं।

गिनती ध्यान से, जोड़ शून्य वाले पत्ते, 2। जोड़ minus में, 2 पत्ते। और अंतर minus में, 3 पत्ते, ये गिनतियाँ आपस में गड़बड़ मत करना। एक बात हमारी अपनी, सभी 6 पत्तों में, जोड़ और अंतर, या तो दोनों सम, या दोनों विषम। तब जोड़ और अंतर को मिलाकर आधा करो, तो पहली संख्या, घटाकर आधा करो, तो दूसरी। यह तरीका सभी 8 पहेलियों में, तलाश वाला ही जवाब देता है।

पर जोड़ 25 और अंतर 10, एक विषम, एक सम, और तलाश करो, तो एक भी जोड़ी नहीं मिलती। सबसे कठिन पत्ता फिर से, जोड़ minus 7, अंतर minus 13। जोड़ और अंतर मिलाओ, minus 7 और minus 13, बनता है minus 20, आधा, minus 10। जोड़ में से अंतर घटाओ, minus 7 घटा minus 13, बनता है 6, आधा, 3। जाँचो, minus 10 और 3 का जोड़, minus 7, और minus 10 घटा 3, minus 13, दोनों सही।

यहाँ minus में से minus घटाना पड़ा, वह कैसे काम करता है, यह आगे token से साफ़ होगा। अब एक खेल, एक पट्टी पर गोटी, जिसे मारो तो वह फिसलती है। पहले सिर्फ़ दाएँ मारने की इजाज़त, पहला धक्का 4, गोटी 4 पर। दूसरा धक्का 3, गोटी 7 पर। आखिरी जगह P, बराबर पहला धक्का और दूसरा, बस एक नियम, a और b का जोड़। अब गोटी को बाएँ भी मार सकते हो।

तो 4 हालात बनते हैं, दाएँ दाएँ, दाएँ बाएँ, बाएँ दाएँ, और बाएँ बाएँ। हर एक का अलग नियम, कहीं जोड़ो, कहीं घटाओ, कहीं उल्टा घटाओ, कहीं जोड़कर बाईं तरफ़ ले जाओ। यहाँ 4 नियम रटने की ज़रूरत नहीं, हम इन्हें फेंकने वाले हैं। एक उदाहरण लो, धक्के 5 और 3, दोनों दाएँ, गोटी 8 पर। पहला दाएँ, दूसरा बाएँ, 5 में से 3 घटाओ, गोटी 2 पर। पहला बाएँ, दूसरा दाएँ, गोटी रुकती है minus 2 पर, यानी 0 के बाएँ।

दोनों बाएँ, गोटी minus 8 पर। हर हालत का अपना नुस्खा, याद रखना भारी, और गलती की पूरी गुंजाइश। पट्टी को number line मान लो, बीच में 0, दाएँ plus, बाएँ minus। तय करो, दाएँ जाना positive, बाएँ जाना negative। अब दिशा अलग से बताने की ज़रूरत नहीं, वह संख्या के अंदर, उसके चिह्न में बैठ गई। और नियम फिर वही एक, P बराबर a और b का जोड़, दिशा चाहे जो हो।

हर धक्का 0 से 12 तक, और चारों दिशाएँ, कुल 676 हालात। सभी 676 में, एक जोड़ वाला नियम, 4 अलग नियमों वाला ही जवाब देता है। plus minus लगाने की कीमत छोटी, और बदले में 4 नियम एक हो गए। अब चिह्न लगाकर, 5 और 3, 5 और minus 3, minus 5 और 3, minus 5 और minus 3। सिर्फ़ जोड़ो, जवाब आते हैं 8, फिर 2, फिर minus 2, और minus 8, वही 4 जवाब, एक ही नियम से।

यही बात हर उस जगह जहाँ दिशा हो, जैसे एक lift, जो 2 मंज़िल ऊपर है और 5 मंज़िल नीचे जाती है। और 2 और minus 5, बराबर minus 3, यानी ज़मीन से 3 मंज़िल नीचे। पहला धक्का 5, दाएँ। दूसरा minus 7, यानी 7 बाएँ। जोड़ो, 5 और minus 7, गोटी minus 2 पर, 0 के बाईं तरफ़। P एक जगह है, 0 से नापी हुई, लंबाई नहीं, इसलिए minus हो सकती है।

अब उल्टा सवाल, पहला धक्का minus 4, और गोटी आखिर में 5 पर। दूसरा धक्का कितना और किस तरफ़ था? minus 4 से 5 तक जाना है, यानी 9 दाएँ। जाँचो, minus 4 और 9, बराबर 5। एक लंबी सूची, पहले 1, फिर minus 2, फिर 3, फिर minus 4, ऐसे ही minus 10 तक, कुल 10 धक्के। इन्हें जोड़ियों में लो, 1 और minus 2, बराबर minus 1, 3 और minus 4, फिर minus 1।

ऐसी 5 जोड़ियाँ, हर एक minus 1। तो गोटी रुकती है minus 5 पर। एक संख्या, 2 बातें, minus 4 में, magnitude 4, और दिशा बाएँ। magnitude यानी कितना, दिशा को छोड़कर। अब 5 और minus 5, दोनों की magnitude 5, फ़र्क सिर्फ़ दिशा का। minus का मतलब छोटा नहीं, minus बताता है किधर, magnitude बताती है कितना। अब तीर वाले 3 चित्र, हर एक में पहले a, फिर b, और आखिर में गोटी P पर।

पहला, 3 दाएँ, फिर 5 बाएँ, गोटी minus 2 पर, बाएँ वाला तीर बड़ा। दूसरा, 5 दाएँ, फिर 2 बाएँ, गोटी 3 पर, दाएँ वाला बड़ा। तीसरा, 4 बाएँ, फिर 4 दाएँ, गोटी ठीक 0 पर, दोनों बराबर। चित्र से बिना गिने सोचो, गोटी किस तरफ़ रुकेगी, यह किस से तय होता है? जवाब, जब दोनों तीर उल्टी दिशा में हों, गोटी उसी तरफ़ रुकती है जिसकी magnitude बड़ी। हर magnitude 1 से 12 तक, उल्टी दिशाओं वाली सभी 288 जोड़ियाँ, सब में यही।

और magnitude बराबर हो, तो गोटी ठीक 0 पर। अब एक और औज़ार, हरा token, plus 1। लाल token, minus 1। एक हरा और एक लाल मिलकर, कीमत 0, इसे zero pair कहते हैं। थैली में 7 हरे token, कीमत 7। अब इसमें से 18 घटाना है, यानी 18 हरे निकालने हैं। पर हरे तो सिर्फ़ 7 हैं, 18 कहाँ से निकालोगे? सिर्फ़ निकालने से नहीं होगा, पर इसका मतलब यह नहीं कि यह घटाना नामुमकिन है।

अब थैली में कुछ zero pairs डालो, हर एक की कीमत 0, तो थैली की कीमत नहीं बदलती। कितने डालने होंगे, यह गिनो, 18 में से 7 घटाओ, 11, ठीक इतने, 10 से काम नहीं चलेगा। अब थैली में 18 हरे और 11 लाल, कीमत फिर भी 7। यह चालाकी नहीं, सामान बदला, कीमत नहीं। अब 18 हरे निकालो। बचे 11 लाल, यानी कीमत minus 11। और यही जवाब 7 में minus 18 जोड़ने से आता, minus 11।

यानी 18 घटाना, और minus 18 जोड़ना, एक ही बात। अब उल्टा मामला, 3 में से minus 4 घटाओ, यानी थैली से 4 लाल निकालने हैं। पर थैली में सिर्फ़ 3 हरे हैं, लाल एक भी नहीं। तो 4 zero pairs डालो, कीमत वही 3, अब 7 हरे और 4 लाल। देखो, 4 लाल निकालो, बचे 7 हरे, कीमत 7। यानी minus 4 घटाना, और 4 जोड़ना, एक ही बात, 3 और 4, बराबर 7।

यह हर बार सच है, किसी संख्या को घटाना, उसका उल्टा जोड़ने के बराबर है। minus 15 से 15 तक, हर a और हर b, कुल 961 जोड़ियाँ, token गिनकर। सभी 961 में, token वाला जवाब, और उल्टा जोड़ने वाला जवाब, एक। इसलिए घटाना अटकता नहीं, ज़रूरत हो तो zero pairs जगह बना देते हैं। किसी संख्या का उल्टा, उसके आगे minus लगाकर लिखते हैं, 18 का उल्टा, minus 18।

और minus 18 का उल्टा? minus, minus 18, यानी वापस 18। जैसे 2 बार पीछे मुड़ो, तो फिर उसी तरफ़ मुँह, जिधर शुरू में था। और हर संख्या में उसका उल्टा जोड़ो, तो 0। अंतर यानी पहली घटा दूसरी, इसलिए वह minus भी हो सकता है। दिशा को संख्या के चिह्न में रखो, तो 4 नियम एक हो जाते हैं, P बराबर a और b का जोड़। चिह्न बताता है किधर, magnitude बताती है कितना।

zero pairs कीमत नहीं बदलते, बस घटाने की जगह बनाते हैं। घटाना यानी उल्टा जोड़ना, और उल्टे का उल्टा, वही संख्या।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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