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Chapter 2 · Operations with Integers

integers के जादुई grids

Multiplying and dividing integers12 मिनट

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16 खानों वाला ग्रिड: हर पंक्ति और हर स्तंभ से एक संख्या घेरो, और गुणा करो। कैसे भी खेलो, जवाब हर बार minus 30240।

मुख्य idea

जादू grid की बनावट में है, उसकी ख़ास values में नहीं। हर खाना असल में एक छिपी हुई row सूची से लिए एक number और एक छिपी हुई column सूची से लिए एक number का product है, इसलिए चुनावों का कोई भी सही set — हर row से एक खाना, हर column से एक — गुणा करने पर हमेशा दोनों पूरी सूचियों के बराबर निकलता है, बस क्रम बदला हुआ। चूँकि multiplication को order या grouping से कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता, क्रम बदलने की कोई क़ीमत नहीं लगती, और पहला घेरा बनने से पहले ही जवाब तय हो चुका होता है। sign भी वहीं से आता है: वह इस पर निर्भर है कि आठ छिपे हुए numbers में से कितनों पर minus है, और इस पर बिल्कुल नहीं कि खिलाड़ी ने कौन से खाने छुए। यह chapter का अपना दो पन्नों का प्रदर्शन है कि जिन नियमों पर वह दलील देता है और जिन्हें जाँचता है, वे रखने लायक़ हैं — यही नियम चौबीस अलग दिखने वाले हिसाबों को एक बना देते हैं। ध्यान दीजिए कि इन दोनों में से सिर्फ़ एक ही यहाँ पाठक पढ़ चुका है: क्रम बदलने वाली बात Part II, p.35 पर तय हो जाती है, पर grouping बदलने वाली बात Part II, pp.39–40 तक नहीं, इसलिए grid एक ऐसा नियम ख़र्च करती है जिस तक chapter अभी पहुँचा ही नहीं।

आपको क्या आना चाहिए

  • grid वाला game सही ढंग से खेलना: घेरा लगाओ, पूरी row और column काट दो, तब तक दोहराओ जब तक कुछ न बचे
  • बताना कि चार-गुणा-चार grid में कितने numbers पर घेरा लगता है, और ठीक एक हर row से और एक हर column से क्यों आता है
  • चार signed integers को सही-सही गुणा करना और नतीजा बताना
  • अलग-अलग चुनावों के साथ grid को कई बार खेलकर दावे को प्रयोग से जाँचना
  • छपी हुई grid की rows की आपस में तुलना करके छिपी हुई row और column सूचियों की एक जोड़ी वापस निकालना
  • commutativity और associativity का इस्तेमाल करके समझाना कि हर सही खेल एक ही product क्यों देता है
  • गुणा करने के बजाय दोनों छिपी हुई सूचियों में negatives गिनकर जवाब के sign का अंदाज़ा लगाना
  • इसी तरह की एक नई grid बनाना, और बताना कि बनाने वाले के पास कितनी आज़ादी है

जानने लायक़ शब्द

Termएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
magic gridइस chapter का integers वाला आयत, जिसका game हमेशा एक ही product पर ख़त्म होता हैजादुई ग्रिडsub-heading "A Magic Grid of Integers", p.37 के रूप में छपा
gridचार-गुणा-चार का वह जाल जिस पर game खेला जाता हैग्रिडpp.37–38 पर छपा
rowचार खानों की एक आड़ी lineपंक्तिgame के निर्देशों में छपा, p.37
columnचार खानों की एक खड़ी lineस्तंभgame के निर्देशों में छपा, p.37 (छपे हुए flow chart में "coloumn" लिखा है — छपे हुए p.37 से मिलाया गया)
productघेरे वाले numbers का गुणा करने पर जो मिलता हैगुणनफलp.38 पर छपा ("what product did you get") और §2.2 में जगह-जगह
multiplyआख़िर में घेरे वाले numbers पर किया जाने वाला operationगुणा करनाgame के निर्देशों में छपा, p.37
commutativeदो factors का क्रम बदलने से product नहीं बदलताक्रमविनिमेयp.35 पर छपा
associativeतीन factors की grouping बदलने से product नहीं बदलतासाहचर्यp.40 पर छपा
transversalखानों का ऐसा set जिसमें हर row से एक और हर column से एक होअनुप्रस्थ चयनइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा, जो इस set को game के नियमों के ज़रिए बताता है। Part I के छपे हुए Chapter 5 में transversal ज़रूर छपा है, दो lines को काटने वाली line के लिए — जो एक अलग विचार है
hidden row list / hidden column listहर दिशा के वे चार numbers जिनके products से खाने भरते हैंगुप्त पंक्ति सूची / गुप्त स्तंभ सूचीइस पाठ के अपने नाम; इस chapter में नहीं छपे
invariantऐसी मात्रा जो खिलाड़ी चाहे जैसे चुने, नहीं बदलतीअपरिवर्तनीयइस पाठ का शब्द; इस chapter में नहीं छपा

provenance column के page numbers Part II के हैं, छपे हुए pages 24–46।

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है; Part II की हिंदी छपाई यहाँ इस्तेमाल हुए corpus में नहीं है — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "यह इसलिए चलता है क्योंकि numbers सोच-समझकर चुने गए थे।" आधा सही, और ग़लत आधा ही दिलचस्प है। numbers इस तरह चुने गए थे कि grid एक product table बने; उसके बाद सारा काम जमावट करती है। किताब का Try This वाला सवाल पाठक के सामने ठीक यही दोराहा रखता है।
  • "घेरे दिखाए गए क्रम में ही लगाने होंगे।" छपे हुए panels मुश्किल से ही कोई क्रम दिखाते हैं — चार में से तीन घेरे Round 1 में ही मौजूद हैं। कोई भी क्रम वही जवाब देता है, और यह दिखाना p.38 पर chapter का अपना निर्देश है।
  • "कोई ख़ास diagonal होना चाहिए।" हल किया हुआ खेल diagonal नहीं है — rows में नीचे जाते हुए उसके खाने columns 4, 2, 3, 1 में बैठते हैं। शर्त बस इतनी है कि हर row से एक और हर column से एक, इससे ज़्यादा कुछ नहीं।
  • "अलग खाने, तो अलग factors, तो अलग जवाब।" factors सच में अलग numbers हैं। पर सबको साथ मिलाएँ तो वे हमेशा वही आठ छिपे हुए numbers होते हैं जिनका गुणा हो रहा है, बस अलग तरह से जोड़ी बनाकर — और जोड़ी कैसे बनी, यह multiplication पकड़ ही नहीं सकता।
  • "sign इस पर निर्भर है कि तुम कितने negative खानों पर घेरा लगाते हो।" लुभावना, पर जैसा कहा गया वैसा ग़लत: अलग-अलग खेल अलग-अलग गिनती के negative खानों पर घेरा लगाते हैं। जो नहीं बदलता वह दोनों छिपी हुई सूचियों में negatives की गिनती है। एक negative खाने वाले खेल को तीन negative खानों वाले खेल के बग़ल में दिखाइए, दोनों एक ही negative जवाब पर पहुँचते हुए।
  • "यह सिर्फ़ एक तरकीब है, गणित नहीं।" यह तरकीब commutativity और associativity का चलता-फिरता प्रदर्शन है। इन दो नियमों के बिना दावा ग़लत होता।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript1,425 शब्द

एक खेल, 4 पंक्तियाँ, 4 स्तंभ, हर खाने में एक पूरी संख्या, कुछ plus, कुछ minus। कोई भी एक संख्या चुनो, उस पर घेरा लगाओ। फिर उस संख्या की पूरी पंक्ति और पूरा स्तंभ काटो। जो संख्याएँ बची हैं, उनमें से फिर एक चुनो, घेरा, काटो, और यही तब तक, जब तक कुछ न बचे। आखिर में घेरे वाली सारी संख्याओं का गुणा करो। दावा यह है कि तुम कहीं से भी शुरू करो, कैसे भी चुनो, आखिरी गुणनफल हर बार एक ही आएगा।

खेल खत्म होने तक कितनी संख्याओं पर घेरा लगेगा? हर घेरा एक पंक्ति और एक स्तंभ खा जाता है, तो ठीक 4 घेरे, हर पंक्ति से एक, हर स्तंभ से एक। चुनने के कुल 576 तरीके हैं, पर उनसे घेरों के सिर्फ़ 24 अलग अलग सेट बनते हैं। एक खेल, घेरे लगे minus 6, 14, 18, 20 पर। गुणा करो, minus 6 गुणा 14, बराबर minus 84। फिर गुणा 18, बराबर minus 1512।

और गुणा 20, बराबर minus 30240। अब अलग खानों से खेलो, क्या जवाब भी अलग आएगा? इस बार घेरे 8, 21, minus 6, 30 पर। यहाँ 8 गुणा 21, बराबर 168, गुणा minus 6, बराबर minus 1008। और गुणा 30, फिर से minus 30240, बिल्कुल वही। सभी 24 सेट आज़माओ, हर एक का गुणनफल minus 30240। यह जादू जैसा लगता है, पर अभी यह सिर्फ़ गवाही है, वजह नहीं। असली सवाल, ऐसा क्यों होता है, और क्या यह संख्याओं का कमाल है, या उनकी जमावट का?

कोई सोचेगा, कोई खास तिरछी कतार होगी। पर पहले खेल के घेरे, ऊपर से नीचे, स्तंभ 4, 2, 3, 1 में थे, कोई तिरछी कतार नहीं। शर्त बस इतनी, हर पंक्ति से एक, हर स्तंभ से एक, और कुछ नहीं। नियम तोड़कर देखो, 8 और minus 4, दोनों ऊपर वाली पंक्ति से, फिर 18 और minus 15। गुणा करो, 8640, minus 30240 से बिल्कुल अलग। यानी हर पंक्ति से एक, हर स्तंभ से एक, यह शर्त असली काम कर रही है।

एक पंक्ति से 2 खाने लो, तो कोई और पंक्ति छूट ही जाती है, और हिसाब बिगड़ जाता है। अब ढाँचा खोजो, दूसरी पंक्ति को पहली से मिलाओ, 8 के नीचे minus 28, minus 4 के नीचे 14। हर खाना, ऊपर वाले का minus 7 बटा 2 गुना, चारों खानों में वही। तीसरी पंक्ति, पहली का 3 बटा 2 गुना, चौथी, 5 बटा 2 गुना। यानी हर पंक्ति, एक ही सूची का कोई गुना है, यह कोई बेतरतीब जमावट नहीं।

इससे 2 छिपी सूचियाँ निकलती हैं, पंक्तियों की, 2, minus 7, 3, 5। और स्तंभों की, 4, minus 2, 6, minus 3। जाँचो, तीसरी पंक्ति, 3 गुणा स्तंभ सूची, यानी 12, minus 6, 18, minus 9, ठीक ग्रिड वाली। और सभी 16 खानों में, खाना बराबर पंक्ति की संख्या गुणा स्तंभ की संख्या। यह ग्रिड असल में गुणा की एक तालिका है, बस ऊपर और बगल वाली सूचियाँ छिपा दी गई हैं।

सूचियाँ कैसे निकलीं, एक एक कदम, ऊपर वाली पंक्ति, 8, minus 4, 12, minus 6, सबमें साझा गुणनखंड 2। इसे आधा करो, स्तंभ सूची मिलती है, 4, minus 2, 6, minus 3। अब पहला स्तंभ, 8, minus 28, 12, 20, इसे स्तंभ सूची की पहली संख्या, 4, से भाग करो। पंक्ति सूची मिलती है, 2, minus 7, 3, 5। ये सूचियाँ ग्रिड पर कहीं लिखी नहीं हैं, ये ग्रिड को ध्यान से देखकर निकलती हैं।

सबसे छोटा उदाहरण, पंक्तियाँ 2 और minus 7, स्तंभ 4 और minus 2। खाने बनते हैं, ऊपर 8 और minus 4, नीचे minus 28 और 14। यहाँ सिर्फ़ 2 खेल, 8 गुणा 14, बराबर 112, या minus 4 गुणा minus 28, बराबर 112। दोनों असल में 2, minus 7, 4, minus 2, इन्हीं चारों का गुणा हैं, बस जोड़ियाँ अलग बनीं। हर घेरे वाला खाना, अपने संग पंक्ति की एक संख्या और स्तंभ की एक संख्या लाता है।

हर पंक्ति से एक, हर स्तंभ से एक, तो आठों छिपी संख्याएँ, हर एक ठीक एक बार आती है। सभी 24 खेलों में यही, बस कौन किसके संग जोड़ी बनाता है, यह बदलता है। गुणा का पहला गुण, क्रम बदलो, गुणनफल नहीं बदलता। दूसरा गुण, कोष्ठक बदलो, यानी पहले किन्हें गुणा करो, तो भी गुणनफल नहीं बदलता। हर खेल में वही 8 संख्याएँ, बस अलग जोड़ियों में बँधी, और गुणा को जोड़ियों का पता ही नहीं चलता।

ये दोनों गुण ही 24 अलग दिखने वाले हिसाबों को एक बना देते हैं। इसलिए यह चाल नहीं, गणित है, अगर गुणा क्रम या कोष्ठक से बदलता, तो यह दावा उसी पल गलत हो जाता। पहले खेल को खोलो, minus 6 असल में 2 गुणा minus 3, 14 असल में minus 7 गुणा minus 2। और 18 बराबर 3 गुणा 6, और 20 बराबर 5 गुणा 4। अब आठों को फिर से बाँधो, पंक्ति वाले एक तरफ़, बराबर minus 210, स्तंभ वाले दूसरी तरफ़, बराबर 144।

क्रम बदलना पहला गुण है, कोष्ठक बदलना दूसरा, और दोनों यहाँ एक संग लगे। तो जवाब, पहला घेरा लगने से भी पहले तय है, पंक्ति सूची का गुणा, minus 210। स्तंभ सूची का गुणा, 144। दोनों का गुणा, minus 30240, वही जो हर खेल में आया। गुणा किए बिना, जवाब का चिह्न कैसे पता चले? छिपी सूचियों में minus गिनो, पंक्ति में 1, स्तंभ में 2, कुल 3। गिनती विषम, तो जवाब negative, और सच में minus 30240।

कोई कहेगा, घेरे में जितने minus खाने, उसी से चिह्न तय होता है। पहले खेल में minus वाला खाना सिर्फ़ 1। पर यह खेल देखो, minus 4, minus 42, minus 9, 20, इसमें minus वाले खाने 3, और जवाब फिर minus 30240। सभी 24 खेलों में यह गिनती 1 या 3 रहती है, बदलती है, पर जो नहीं बदलता, वह छिपी सूचियों के minus की गिनती है। सभी 24 खेल गिनो, 12 खेलों में minus वाला खाना एक, 12 में 3।

फिर भी हर खेल का जवाब वही minus 30240। गौर करो, 1 हो या 3, गिनती हमेशा विषम, और यह भी छिपी सूचियों से ही आता है। एक बात और, छिपी सूचियाँ पूरी तरह एक ही नहीं, दोनों सूचियों के सारे चिह्न पलट दो। पंक्तियाँ minus 2, 7, minus 3, minus 5, स्तंभ minus 4, 2, minus 6, 3, ग्रिड बिल्कुल वही बनता है। पूरी संख्याओं में ऐसे सिर्फ़ 2 बँटवारे, और दोनों का गुणनफल वही minus 30240।

और अगर पंक्ति सूची को आधा करो, और स्तंभ सूची को दुगुना? पंक्तियाँ 1, minus 7 बटा 2, 3 बटा 2, 5 बटा 2, और स्तंभ 8, minus 4, 12, minus 6। फिर भी सभी 16 खाने वही, और गुणनफल वही minus 30240। एक सूची में जो बढ़ा, दूसरी में उतना घटा, इसलिए यह आज़ादी जवाब को छूती भी नहीं। अब सिर्फ़ एक खाना बदलो, 18 की जगह 19। सभी 24 खेल फिर खेलो, अब गुणनफल 2 अलग अलग आते हैं।

क्योंकि अब ग्रिड गुणा की तालिका नहीं रहा, छिपी सूचियाँ बनती ही नहीं। पहले एक छोटा ग्रिड, पंक्तियाँ 1, minus 2, 3, और स्तंभ 2, 5, minus 1। इसके खाने, ऊपर वाली पंक्ति में 2, 5, minus 1, बीच वाली में minus 4, minus 10, 2, नीचे वाली में 6, 15, minus 3। खेलने से पहले सोचो, जवाब क्या होगा, और किस चिह्न का? पंक्ति सूची का गुणा minus 6, स्तंभ सूची का minus 10, दोनों का गुणा 60, और minus चिह्न 2, सम, तो positive।

सभी 6 खेल खेलो, हर बार 60। अब खुद बनाओ, कोई भी पंक्ति सूची लो, जैसे minus 1, 2, 5, 3। और कोई भी स्तंभ सूची, 3, minus 4, 2, 1, हर खाने में पंक्ति गुणा स्तंभ भरो। खेलने से पहले जवाब, minus 30 गुणा minus 24, यानी 720, और minus चिह्न 2, सम गिनती, तो positive। सभी 24 खेल खेलो, हर बार 720। खेल के कितने सेट बनते हैं, ऊपर वाली पंक्ति में 4 स्तंभों में से कोई भी, फिर 3, फिर 2, फिर 1।

तो 2 गुणा 2 ग्रिड पर 2, 3 गुणा 3 पर 6, 4 गुणा 4 पर 24। और 5 गुणा 5 पर 120, हर एक का जवाब, फिर भी एक ही। इतने अलग हिसाब, पर वजह एक, छिपी सूचियाँ, और गुणा के 2 गुण। तो जादू किस में है, संख्याओं में, या उनकी जमावट में? दोनों में, संख्याएँ ऐसे चुनी गईं कि ग्रिड गुणा की तालिका बने। उसके बाद सारा काम जमावट और गुणा के 2 गुण करते हैं, क्रम और कोष्ठक।

हर पंक्ति से एक, हर स्तंभ से एक, ठीक 4 घेरे। ग्रिड एक छिपी गुणा तालिका है, 2 छिपी सूचियों से बनी। हर खेल वही 8 छिपी संख्याएँ इकट्ठा करता है, बस जोड़ियाँ अलग। क्रम और कोष्ठक से गुणा नहीं बदलता, इसलिए जवाब खेल शुरू होने से भी पहले तय। चिह्न, छिपी सूचियों के minus गिनकर, घेरे वाले खाने गिनकर नहीं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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