PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 2, Operations with IntegersPrepShorts

Chapter 2 · Operations with Integers

integers और brackets वाले expressions का मान निकालना

The laws integer arithmetic obeys13 मिनट

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पहले योजना, फिर हिसाब: जब चिह्न संख्या के अंदर बैठा हो, तो किसी कदम पर जोड़ें या घटाएँ का फ़ैसला नहीं करना पड़ता।

मुख्य idea

expression किसी हिसाब की एक योजना है, और कोई भी arithmetic करने से पहले योजना लिख लेना ही sign के हिसाब-किताब को फ़ैसले का सवाल नहीं रहने देता। खान के shaft वाला उदाहरण chapter का अपना प्रदर्शन है: एक तरीक़ा पहले दूरी निकालता है और फिर इस पर बहस करता है कि उसे घटाया जाए या नहीं, और जैसे ही lift ज़मीन के स्तर के अलावा कहीं और से शुरू होती है, यह बहस फिर से करनी पड़ती है; दूसरा तरीक़ा नीचे उतरने को एक negative दर गुणा समय की तरह लिखता है, और जब शुरुआत खिसकती है तो उसमें बस एक पद जुड़ जाता है। यही बात pattern machines में उल्टी दिशा से चलती है — सिर्फ़ inputs और outputs देकर तुमसे योजना वापस निकालने को कहा जा रहा है, और brackets उसके चारों ओर सजावट नहीं हैं, वे ख़ुद योजना हैं। उनकी जगह बदलो, तो वही तीन संख्याएँ उसी क्रम में अलग जवाब दे सकती हैं — जैसे ही कोई multiplication किसी addition या subtraction के बग़ल में बैठता है, वे अलग जवाब देती हैं (4 − (8 × −3) = 28, पर (4 − 8) × −3 = 12), और जब हर operation multiplication हो, तब नहीं देतीं। यह दूसरा आधा कोई दबा देने वाली छोटी-सी शर्त नहीं है: p.39 इसका प्रदर्शन छापता है, (5 × −3) × 4 और 5 × (−3 × 4) को अग़ल-बग़ल हल करके एक ही −60 पर पहुँचता है, और p.40 उससे associativity का निष्कर्ष निकालता है। जो explanation कहे कि brackets हमेशा जवाब बदलते हैं, उसे वही पन्ना झुठला देता है जिससे वह पढ़ा रहा है।

आपको क्या आना चाहिए

  • बताई गई किसी स्थिति को मान निकालने से पहले एक अकेले expression में बदलना
  • products, sums, differences और brackets वाले expression का मान सही क्रम में निकालना
  • नीचे की ओर काम करने वाली दर को negative number की तरह दर्शाना, और उसे बीते समय से गुणा करना
  • एक ही स्थिति के दो हल करने के तरीक़ों की तुलना करना और बताना कि शुरुआती हालात बदलने पर कौन सा टिका रहता है
  • किसी pattern machine के inputs और outputs से वह नियम वापस निकालना जो वह लागू कर रही है
  • नियम पता हो जाने पर inputs के नए set के लिए machine का output बताना
  • एक ही दो संख्याओं से बने कई expressions के मानों की तुलना करना और उन्हें क्रम में लगाना, किसी का भी पूरा हिसाब लगाए बिना
  • बताना कि brackets खिसकाने पर या हर जगह sign पलटने पर बताया गया मान कैसे बदलता है

जानने लायक़ शब्द

Termएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
expressionकिसी हिसाब की लिखी हुई योजना, जिसका मान पूरा एक साथ निकाला जाता हैव्यंजकsub-heading "Expressions Using Integers", p.39 में छपा, और Example 1, p.35 में इस्तेमाल हुआ
bracketsवे निशान जो तय करते हैं कि expression का कौन सा हिस्सा पहले हल होगाकोष्ठकp.44 पर छपा
operationsवे additions, subtractions और multiplications जो कोई machine या expression करता हैसंक्रियाएँpp.41–43 पर छपा
valueमान निकालने के बाद expression जो बनता हैमानअभ्यासों में जगह-जगह छपा, pp.42–44
methodहल तक पहुँचने का एक रास्ता; Example 2 दो देता हैविधिMethod 1 और Method 2 के रूप में bold में छपा, pp.36–37
positionlift कहाँ है, ज़मीन के स्तर से sign के साथ नापा हुआस्थितिExample 2 में जगह-जगह छपा, pp.36–37
speedlift हर minute कितने metre चलती है, उसकी दिशा के लिए sign के साथचालExample 2 में छपा, pp.36–37
marksअंक देने वाले उदाहरणों में हर जवाब पर जुड़ने या घटने वाले अंकअंकExample 1, p.35 में, और item 6, p.43 में छपा
profit / lossहर थैले का फ़ायदा और कमी, positive और negative की तरह दर्शाए गएलाभ / हानिitem 3, p.39 में छपा
temperatureवह मात्रा जो दो अभ्यासों में एक तय दर से गिरती हैतापमानitem 2, p.39 में, और item 8, p.43 में छपा
Collatz Conjectureआधा-करो-या-बदलो वाला नियम जिस पर chapter integers के साथ लौटता हैकोलैट्ज़ अनुमानitem 5, p.42 में छपा
order of operationsयह चलन कि multiplication, addition से पहले किया जाता हैसंक्रियाओं का क्रमइस पाठ का वाक्यांश; इस chapter में नहीं छपा, जो इस चलन को दोबारा बताए बिना उस पर निर्भर रहता है

provenance column के page numbers Part II के हैं, छपे हुए pages 24–46।

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है; Part II की हिंदी छपाई यहाँ इस्तेमाल हुए corpus में नहीं है — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "बाएँ से दाएँ हल करो।" Example 1 ऐसा नहीं करता: पहले दोनों products बनाए जाते हैं और फिर जोड़े जाते हैं। chapter यहाँ यह चलन कभी नहीं बताता — यह Part I के arithmetic expressions वाले chapter से आगे लाया गया है।
  • "negative marking का मतलब है घटाना, तो expression में minus लिखो।" दोनों तरीक़े चलते हैं, पर सिर्फ़ एक बड़े पैमाने पर टिकता है। chapter का चुनाव यह है कि value ख़ुद −2 बना दी जाए और फिर हर जगह जोड़ा जाए, ताकि किसी भी क़दम पर जोड़ने और घटाने के बीच फ़ैसला न करना पड़े। दूसरा तरीक़ा दिखाइए, और दिखाइए कि उसमें ज़्यादा सोचना पड़ता है।
  • "Method 1 और Method 2 एक ही चीज़ हैं, बस अलग तरह से लिखी हुई।" नहीं हैं, और part (b) में दोनों के रास्ते अलग हो जाते हैं: lift ज़मीन के ऊपर से शुरू हो, तो घटाने वाले तरीक़े पर फिर से सोचना पड़ता है, जबकि sign वाली दर वाला तरीक़ा एक शुरुआती स्थिति जमा एक product लेता है और रुक जाता है।
  • "चाल negative नहीं हो सकती।" Example 2 में अकेला number यह भी बताता है कि कितनी तेज़ और यह भी कि किस तरफ़ — वही संक्षेप जो p.26 पर carrom की गोटी ने इस्तेमाल किया था। यह model बनाने का एक चुनाव है, और इसे चुनाव कहकर बताना चाहिए।
  • "brackets बस साफ़-सुथरा दिखाने के लिए होते हैं।" item 15 (p.44) तुम्हें चार संख्याएँ और तीन operations देता है और सबसे बड़ा और सबसे छोटा नतीजा माँगता है; तुम सिर्फ़ यह बदल सकते हो कि brackets कहाँ लगें। यह item इस ग़लतफ़हमी का सबसे मज़बूत जवाब है।
  • "अगर नियम न दिखे, तो कोई formula अंदाज़े से लगाओ और उम्मीद करो।" machines व्यवस्थित ढंग से पढ़ने का इनाम देती हैं: ऐसी row ढूँढो जिसमें कोई input zero जैसा या दोहराया हुआ हो, ऐसी दो rows की तुलना करो जिनमें एक ही input अलग हो, और देखो क्या बदला। तरीक़ा सिखाइए, जवाब नहीं।
  • "जो pattern पाँच rows पर बैठ जाए, वही नियम होगा।" वह एक नियम है। chapter पाठक से machines गढ़ने और साथियों को चुनौती देने को इसीलिए कहता है क्योंकि सीमित table कोई formula पक्का नहीं करती। यह एक बार कह दीजिए — इसमें दस seconds लगते हैं और यह ईमानदार है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 4 Q2, Figure it Out · 4 Q3, Figure it Out · 5 Q6, Figure it Out · 5 Q7, Figure it Out · 5 Q8

पूरा transcript1,558 शब्द

एक व्यंजक, यानी हिसाब की योजना, पहले योजना बनाओ, फिर हिसाब करो। जब योजना पहले लिख ली, तो हर कदम पर जोड़ें या घटाएँ, यह सोचने की ज़रूरत खत्म हो जाती है। इसमें 2 उदाहरण, एक परीक्षा और एक खदान, फिर कुछ मशीनें, जिनकी योजना छिपी है। एक परीक्षा, 50 सवाल, सही जवाब पर 5 अंक, गलत पर 2 अंक कटते हैं। एक विद्यार्थी के 30 सही, 20 गलत। कुल अंक कितने, पर पहले योजना बनाओ, हिसाब बाद में?

सही का मान 5, गलत का मान minus 2, कटौती को ही negative संख्या बनाओ। योजना, 30 गुणा 5, जोड़ 20 गुणा minus 2। अब कहीं घटाने का फ़ैसला नहीं, सब कुछ जोड़ है, चिह्न संख्या के अंदर बैठा है। गुणा पहले, 30 गुणा 5, बराबर 150, 20 गुणा minus 2, बराबर minus 40। फिर जोड़, 150 और minus 40, बराबर 110 अंक। और गिनती भी देखो, 30 और 20, कुल 50, सारे सवाल गिने गए।

कोई बाएँ से दाएँ चले, 30 गुणा 5, फिर जोड़ 20, फिर सबको minus 2 से गुणा। जवाब आएगा minus 340, जो बेतुका है। नियम ध्यान रखो, लंबे व्यंजक में गुणा पहले, जोड़ घटाना बाद में, यह भी योजना का हिस्सा है। अब सबसे ज़्यादा और सबसे कम अंक, जो इस परीक्षा में हो सकते हैं? सबसे ज़्यादा, सारे 50 सही, 50 गुणा 5, बराबर 250। सबसे कम, सारे 50 गलत, 50 गुणा minus 2, बराबर minus 100।

यहाँ भी योजना काम आई, सही और गलत की गिनती बदलो, व्यंजक वही रहता है, बस संख्याएँ बदलती हैं। सही, गलत और खाली छोड़े, इनके सभी 1326 बँटवारे जाँचो, इससे बाहर कुछ नहीं। खाली छोड़ा सवाल 0 देता है, और 0, minus 2 से बेहतर है। तो किसी गलत को खाली में बदलो, कुल 2 बढ़ जाता है, जिन 1275 बँटवारों में कोई गलत है, सबमें। इसलिए खाली छोड़ने से न ऊपर की सीमा बदलती है, न नीचे की।

अब एक खदान, उसका सीधा गहरा कुआँ, असल में एक खड़ी number line है। ज़मीन पर 0, ऊपर positive, नीचे negative। एक lift, हर मिनट 3 metre चलती है, ज़मीन से शुरू करके एक घंटा नीचे जाती है। पहला तरीका, दूरी निकालो, 60 मिनट, हर मिनट 3, कुल 180 metre। फिर सोचो, नीचे गई है, तो घटाना है, 0 से 180 घटाओ, minus 180। यहाँ एक फ़ैसला करना पड़ा, जोड़ें या घटाएँ।

दूसरा तरीका, दिशा को चाल के अंदर डालो, नीचे की चाल, minus 3 metre हर मिनट। अब बस गुणा, minus 3 गुणा 60, बराबर minus 180। चाल negative, यह एक चुनाव है, एक संख्या में कितना तेज़ भी, और किधर भी। अब lift ज़मीन से 15 metre ऊपर से शुरू हो, और 45 मिनट नीचे चले, कहाँ पहुँचेगी? दूसरे तरीके से, बस शुरू की जगह जोड़ो, 15 जोड़ minus 3 गुणा 45।

minus 3 गुणा 45, बराबर minus 135, और 15 जोड़कर, minus 120। पहले तरीके में फिर सोचना पड़ता है, lift पहले 5 मिनट ज़मीन के ऊपर है, फिर नीचे। यहाँ 15 बटा 3, यानी 5 मिनट में ज़मीन पार, बाकी समय नीचे। यानी दोनों तरीके एक ही चीज़ नहीं, शुरू की जगह बदली, तो पहले तरीके को फिर से सोचना पड़ा। पक्का करो, शुरू की जगह minus 50 से 50 तक, समय 0 से 60 मिनट।

सभी 1281 मामलों में, एक लकीर वाली योजना, मिनट दर मिनट चलाई lift से मेल खाती है। योजना कागज़ पर हो, तो नई शर्त बस एक नया पद जोड़ती है, सोच नहीं बदलती। अब उल्टा, एक मशीन 3 संख्याएँ लेती है, एक देती है, पर योजना छिपी है। सिर्फ़ अंदर और बाहर की संख्याएँ देखकर, योजना ढूँढनी है। तरीका, 2 पंक्तियाँ मिलाओ जिनमें एक ही संख्या बदली हो, और देखो जवाब कितना हिला।

पहली मशीन, 5, 8, 3 से 10, और 5, 8, minus 3 से 16। सिर्फ़ तीसरी संख्या बदली, 3 से minus 3, और जवाब 6 बढ़ा, यानी तीसरी घटाई जा रही है। योजना, पहली जोड़ दूसरी, घटा तीसरी, सभी 5 पंक्तियों में सही। तो minus 10, minus 12, minus 9 से, minus 13। दूसरी मशीन, 4, 8, minus 3 से minus 29, और 5, 3, 7 से minus 22। एक योजना जो सब पर बैठती है, पहली गुणा दूसरी, जोड़ तीसरी, फिर पूरा चिह्न पलटो।

और 4 गुणा 8, 32, जोड़ minus 3, 29, पलटो, minus 29, सभी 5 पंक्तियों में सही। तो minus 10, minus 12, minus 9 से, minus 111। तीसरी मशीन, 4, 8, minus 3 से 28, और 6, 9, 6 से minus 48। इसकी योजना क्या हो सकती है? पहली में से, दूसरी और तीसरी का गुणा घटाओ, 4 घटा, 8 गुणा minus 3, यानी 4 घटा minus 24, बराबर 28, सभी 5 पंक्तियाँ सही।

तो minus 16, minus 6, minus 9 से, minus 6 गुणा minus 9, 54, और minus 16 घटा 54, बराबर minus 70। अगर कोई बाएँ से दाएँ पढ़े, पहली घटा दूसरी, फिर गुणा तीसरी? अब 4 घटा 8, फिर गुणा minus 3, बराबर 12, 28 नहीं, और 5 में से 0 पंक्ति बैठती है। यानी इस मशीन की योजना पढ़ने के लिए, गुणा पहले वाला नियम जानना ज़रूरी है। एक ईमानदार बात, 5 पंक्तियों पर बैठने वाली योजना, एक योजना है, पक्की योजना नहीं।

कुछ पंक्तियाँ किसी योजना को पूरी तरह तय नहीं करतीं, कोई दूसरी योजना भी इन पर बैठ सकती है। इसलिए खुद मशीन बनाओ, और दोस्तों को उसकी योजना ढूँढने दो। और अगर किसी की योजना अलग निकले पर सब पंक्तियों पर बैठे, तो दोनों सही हैं, जब तक नई पंक्ति फ़ैसला न करे। कोष्ठक सजावट नहीं, योजना हैं, 4 घटा, 8 गुणा minus 3 का, बराबर 28। पर 4 घटा 8 का, गुणा minus 3, बराबर 12।

वही संख्याएँ, वही क्रम, सिर्फ़ कोष्ठक बदला, और जवाब बदल गया। पर कोष्ठक हमेशा जवाब नहीं बदलते। जब सब गुणा ही हो, 5 गुणा minus 3 का, गुणा 4, और 5 गुणा, minus 3 गुणा 4 का, दोनों minus 60। कोष्ठक तब फ़र्क डालते हैं, जब गुणा के पास जोड़ या घटाना बैठा हो। देखो, 4 संख्याएँ, 6, minus 2, 5, minus 3, बीच में घटा, गुणा, जोड़, बस कोष्ठक तुम्हारे हाथ में।

कोष्ठक 5 तरह से लगते हैं, जवाब, 10, 19, 16, 13, 37। सबसे बड़ा 37, सबसे छोटा 10, और बिना कोष्ठक, गुणा पहले, 13। यहाँ 1 घटा 2 जोड़ 3 घटा 4, ऐसे ही 100 तक, जोड़ियों में लो, हर जोड़ी minus 1, कुल minus 50। अब हर चिह्न पलटो, जवाब क्या, दोबारा जोड़े बिना? और 50, क्योंकि हर पद को पलटना, पूरे को minus 1 से गुणा करना है, बँटने वाली आदत एक लकीर में।

अब 6 व्यंजक, 348 और 1064 से बने, 3 जोड़ घटाने वाले, 3 गुणा वाले, इन्हें छोटे से बड़े क्रम में रखो। हिसाब मत करो, पहले चिह्न देखो, फिर मोटा size। negative सिर्फ़ 2, एक गुणा, 348 गुणा minus 1064, और एक जोड़, minus 348 जोड़ minus 1064। गुणा वाले सबसे बड़े size के, तो वे सिरों पर, सबसे छोटा 348 गुणा minus 1064, सबसे बड़ा minus 348 गुणा minus 1064।

बीच में, minus 1412, फिर 716, फिर 1412, फिर 348 गुणा 964। गौर करो, आखिरी गुणा में 964 है, 1064 नहीं। अगर 1064 होता, तो 348 गुणा 1064, और minus 348 गुणा minus 1064, दोनों 370272, बराबर। तब कोई एक क्रम नहीं बनता, इसलिए आखिरी गुणा में 964 ज़रूरी है। एक खेल, 2 तरह की गोटियाँ, एक के 13 अंक, दूसरी के minus 9। अब 85 अंक कैसे बनें, देखो, 10 गोटियाँ 13 वाली, 130, और 5 गोटियाँ minus 9 वाली, minus 45।

जोड़ो, बराबर 85। देखो, 20 के लिए, 13 वाली 5, minus 9 वाली 5, यानी 65 जोड़ minus 45। और 40 के लिए, 10 और 10, यानी 130 जोड़ minus 90। minus 50 के लिए, 13 वाली 1, minus 9 वाली 7, यानी 13 जोड़ minus 63। यहाँ 8 के लिए, 2 और 2, यानी 26 जोड़ minus 18। और 10 के लिए, 7 और 9, यानी 91 जोड़ minus 81।

minus 2 के लिए, 4 और 6, यानी 52 जोड़ minus 54। असली राज़, 13 और 9 में कोई साझा गुणनखंड नहीं, इसलिए 7 गोटियाँ 13 वाली, और 10 minus 9 वाली, 91 जोड़ minus 90, बराबर 1। और 2 गोटियाँ 13 वाली, 3 minus 9 वाली, 26 जोड़ minus 27, बराबर minus 1। 1 वाला गट्ठर सिर्फ़ ऊपर ले जाता है, negative लक्ष्य के लिए minus 1 वाला भी चाहिए।

दोनों हों, तो हर लक्ष्य बनता है, minus 100 से 100 तक, सभी 201। और 3 लगातार संख्याएँ, जिनका गुणा minus 6 हो? गुणा negative, तो negatives विषम, यहाँ तीनों negative, minus 3, minus 2, minus 1, और कोई नहीं। और गुणा 120 के लिए, सिर्फ़ 4, 5, 6। आखिरी खेल, सम हो तो आधा करो, विषम हो तो minus 3 से गुणा करके 1 जोड़ो। minus 7 से, minus 7 विषम, minus 3 गुणा minus 7, 21, जोड़ 1, 22, फिर आधा, 11।

अब 11 विषम, minus 3 गुणा 11, minus 33, जोड़ 1, minus 32, यहाँ चिह्न मत भूलना। फिर minus 16, minus 8, minus 4, minus 2, minus 1, 4, 2, 1, और 1 के बाद फिर minus 2, एक घेरा। पहले योजना बनाओ, फिर हिसाब, चिह्न संख्या के अंदर रखो। गुणा पहले, जोड़ घटाना बाद में। दिशा वाली चाल को negative बनाओ, तो नई शर्त बस एक पद जोड़ती है।

कोष्ठक योजना हैं, जोड़ या घटाने के पास गुणा हो, तो जवाब बदल सकता है, सिर्फ़ गुणा हो, तो नहीं। मशीन की योजना पंक्तियों से ढूँढो, पर ध्यान रहे, बैठ जाना, पक्का होना नहीं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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