PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 2, Arithmetic Expressions
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1023 जमा 125 बड़ा है या 1022 जमा 128? कोई total निकाले बिना: नीला डिब्बा 1 कंचा आगे शुरू होता है, हरे को 3 कंचे ज़्यादा मिलते हैं, तो आख़िर में हरा 2 आगे है। जो ज़्यादा से शुरू हुआ, वही पीछे रह गया।
मुख्य idea
दो expressions में से कौन बड़ा है, यह सवाल उनकी values के बारे में है — लेकिन आम तौर पर इसके लिए दोनों में से किसी की भी value नहीं चाहिए। दोनों को हिस्से के सामने हिस्सा रखकर लगाओ, सिर्फ़ फ़र्क़ों पर नज़र रखो, और जवाब अपने-आप निकल आता है। इसे मुश्किल बनाने वाली अकेली बात यह है कि +1 का बदलाव total को तब ऊपर धकेलता है जब वह किसी जोड़ी जा रही चीज़ पर पड़ता है, और तब नीचे जब वह किसी घटाई जा रही चीज़ पर पड़ता है; इसलिए एक ही बदलाव, इस पर निर्भर करते हुए कि वह कहाँ बैठा है, जवाब को किसी भी तरफ़ ले जा सकता है।
आपको क्या आना चाहिए
- दो expressions के बीच
<,>या=रखना, और समझाना कि चिह्न उनकी values के बारे में एक कथन है - दो sums की तुलना उनके मेल खाते हिस्सों की तुलना करके करना, किसी भी तरफ़ को हल किए बिना
- दो differences की तुलना भी इसी तरह करना, और घटाई जा रही रक़म पर पड़ने वाले बदलाव का असर सही-सही उलटना
- numbers वाली तुलना को दो लोगों की कहानी की तरह फिर से कहना, और जवाब कहानी से पढ़ लेना
- तुलना के labels वाले bar चित्र को पढ़ना और बताना कि चित्र की कौन-सी बात नतीजा उठाती है
- परखना कि कब तर्क सच में तेज़ है और कब सीधे हिसाब लगा लेना ही ईमानदारी है
- कई expressions को value के क्रम में लगाना, हर तुलना के लिए सबसे सस्ता रास्ता चुनते हुए
जानने लायक़ शब्द
| शब्द | एक line में मतलब | हिंदी / क्षेत्रीय समकक्ष | पहली बार कहाँ आया |
|---|---|---|---|
| compare | तय करना कि दो values में से कौन बड़ी है, या कि वे बराबर हैं | तुलना करना | यही topic; p.24 पर छपा (Part I, §2.1) |
| greater than | वह रिश्ता जो > चिह्न दर्ज करता है | से बड़ा | यही topic; p.24 पर छपा (Part I, §2.1) |
| less than | वह रिश्ता जो < चिह्न दर्ज करता है | से छोटा | यही topic; p.24 पर छपा (Part I, §2.1) |
| equal to | वह रिश्ता जो = चिह्न दर्ज करता है | के बराबर | यही topic; p.24 पर छपा (Part I, §2.1) |
| ascending order | सबसे छोटी value से सबसे बड़ी तक का क्रम | आरोही क्रम | यही topic; p.25 पर छपा (Part I, §2.1) |
| value | वह अकेला number जिसके लिए expression खड़ा है | मान | Writing a situation as an expression before computing it; p.24 पर छपा (Part I, §2.1) |
| part-by-part comparison | दो expressions को मेल खाती जगहों पर आमने-सामने रखना और सिर्फ़ जो अलग है उसकी तुलना करना | — | इस व्याख्या का अपना वाक्यांश; chapter इसी तरह तर्क करता है, पर method को कोई नाम नहीं देता |
Hindi column में standard NCERT Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 7 Part I का Hindi संस्करण source corpus में नहीं था, इसलिए ये शब्द इस chapter की Hindi छपाई से नहीं लिए गए हैं, और इस्तेमाल से पहले उससे मिलाकर जाँच लेने चाहिए।
लोग कहाँ चूकते हैं
- "दो expressions की तुलना करने के लिए दोनों को हल करना ही पड़ता है।" Examples 2 और 3 में chapter की पूरी बात यही है कि कोई स्थिति पहले ही तुलना तय कर सकती है। हल करना आख़िरी सहारा है, method नहीं।
- "जिस तरफ़ पहला number बड़ा है, वही तरफ़ बड़ी है।"
1023 + 125आगे से शुरू होता है और पीछे रह जाता है। p.25 का bar चित्र यह ग़लतफ़हमी दूर करता है। - "कहीं भी 1 जोड़ दो तो value में हमेशा 1 जुड़ता है।" यह तब सच है जब वह 1 किसी जोड़ी जा रही चीज़ पर पड़े।
113 – 25में ज़्यादा वाला 1 निकाली गई रक़म पर पड़ता है और value को नीचे खींचता है, और ठीक इसीलिए Example 3 के दोनों बदलाव एक-दूसरे को काट देते हैं। - "बराबर का मतलब यह होना चाहिए कि किसी ने दोनों तरफ़ हल की हैं।"
113 – 25 = 112 – 24बदलावों का मिलान करके तय होता है; किसी भी total की ज़रूरत नहीं। - "जो तरफ़ लंबी या ज़्यादा उलझी दिखती है, वही बड़ी है।"
13 – 2और4 × 3इसका उल्टा उदाहरण हैं, जो p.25 पर छपा है। - "तर्क हमेशा हिसाब से बेहतर है।" यहाँ बढ़ा-चढ़ाकर दावा करना ही जाल है। p.25 के क्रम वाले काम में पाँच में से तीन expressions के सामने रखने को कुछ नहीं है, और उन्हें हल कर लेना ही समझदारी है। chapter पूछता है कि क्या तुलना उलझे हुए हिसाब के बिना की जा सकती है; वह इसका वादा नहीं करता।
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पूरा transcript1,572 शब्द
ये 3 निशान तुम पहले से जानते हो: छोटा, बड़ा और बराबर। अब तक तुमने इन्हें numbers के बीच लगाया है, जैसे 12 बड़ा है 8 से। पर इन्हें पूरे expressions के बीच भी लगाया जा सकता है। जैसे 10 जमा 2, बड़ा है 7 जमा 1 से। इस line में अकेला कोई number नहीं लिखा, फिर भी यह एक बिल्कुल आम बात है। क्योंकि निशान यह नहीं देखता कि दोनों तरफ़ क्या लिखा दिखता है, वह उनकी values की तुलना करता है।
बाईं तरफ़ की value 12 है और दाईं तरफ़ की 8, तो बड़ा वाला निशान सही है। अब एक ऐसा जोड़ा देखो जिसमें दोनों तरफ़ बिल्कुल अलग दिखती हैं। बाईं तरफ़ 13 घटा 2, और दाईं तरफ़ 4 गुणा 3। इन दोनों में से किसकी value बड़ी है? हिसाब करके देखें तो 13 घटा 2 की value 11 है, और 4 गुणा 3 की value 12। तो 13 घटा 2, छोटा है 4 गुणा 3 से।
पहली नज़र में 13 वाली तरफ़ बड़ी लगती है, पर value में 4 गुणा 3 ही आगे है। दोनों तरफ़ एक जैसी दिखें, यह ज़रूरी नहीं, एक तरफ़ घटा हो और दूसरी तरफ़ गुणा, तब भी निशान सिर्फ़ values की बात करता है। अब तक हमने हर बार दोनों तरफ़ की value निकाली। इससे लगता है कि तुलना करनी हो तो दोनों values निकालनी ही पड़ेंगी। पर क्या सच में दोनों values चाहिए?
कई बार नहीं, क्योंकि दोनों expressions के हिस्सों को आमने सामने रखो, तो जवाब अपने आप दिख जाता है। इसे हिस्सा दर हिस्सा तुलना कहते हैं, जिसमें एक जैसे हिस्से हटा कर सिर्फ़ फ़र्क का हिसाब रखा जाता है। value निकालना बस आख़िरी रास्ता है, पहला तरीका नहीं। इसे एक छोटी सी कहानी से समझते हैं। एक नीले डिब्बे में 1023 कंचे हैं, और उसमें 125 कंचे और डाले जाते हैं।
एक हरे डिब्बे में 1022 कंचे हैं, और उसमें 128 कंचे और डाले जाते हैं। तो नीला डिब्बा है 1023 जमा 125, और हरा डिब्बा है 1022 जमा 128। आख़िर में किस डिब्बे में ज़्यादा कंचे होंगे? जल्दी में लगता है कि नीला, क्योंकि वह ज़्यादा कंचों से शुरू हुआ था। पर जवाब के लिए हम कोई total नहीं निकालेंगे, बस हिस्सों को आमने सामने रखेंगे। दोनों डिब्बों को bars की तरह बनाते हैं।
नीले डिब्बे के 1023 कंचे असल में 1022 और 1 कंचा हैं। तो शुरुआत में नीला डिब्बा, हरे से 1 कंचा आगे है। और हरे डिब्बे में डाले गए 128 कंचे असल में 125 और 3 कंचे हैं। तो डाले गए कंचों में हरा डिब्बा 3 कंचे आगे है। अब 1022 दोनों तरफ़ है, और 125 भी दोनों तरफ़ है, इसलिए इन्हें हटा सकते हैं। बचे बस छोटे टुकड़े: नीले का 1 कंचा, और हरे के 3 कंचे।
पूरी तस्वीर में लंबी bars तो दोनों तरफ़ बराबर हैं, जवाब सिर्फ़ इन छोटे टुकड़ों में छिपा है। अब हिसाब रखना बहुत आसान है। नीला 1 आगे शुरू हुआ, हरे को 3 ज़्यादा मिले, तो आख़िर में हरा डिब्बा 2 आगे है। यानी 1023 जमा 125, छोटा है 1022 जमा 128 से। जो डिब्बा ज़्यादा कंचों से शुरू हुआ था, वही पीछे रह गया। जाँच के लिए totals भी देख लो: नीले में 1148 कंचे और हरे में 1150।
फ़र्क ठीक 2 का है, जैसा हिस्सों ने बताया था, और यह जवाब हमें totals से पहले ही मिल गया था। किसी भी total की ज़रूरत नहीं पड़ी, बस 1 और 3 का फ़र्क गिनना पड़ा। अब यही तरीका घटाने पर आज़माते हैं। नीले डिब्बे में 113 कंचे थे, और उसमें से 25 निकाल लिए गए। हरे डिब्बे में 112 कंचे थे, और उसमें से 24 निकाले गए। तो तुलना है 113 घटा 25 की, और 112 घटा 24 की।
इस बार नीला डिब्बा दोनों जगह 1 ज़्यादा है, शुरुआत में भी, और निकाले गए कंचों में भी। तो क्या नीला डिब्बा आगे रहेगा? दोनों जगह 1 ज़्यादा है, तो लगता है कि नीला डिब्बा आगे होगा, शायद 2 कंचे आगे। हिस्सों को फिर से आमने सामने रखते हैं। नीले के 113 कंचे हैं 112 और 1, तो नीला 1 कंचा आगे शुरू हुआ। पर नीले से निकाले गए 25 हैं 24 और 1, यानी उससे 1 कंचा ज़्यादा निकाला गया।
वह ज़्यादा वाला कंचा ही तो निकल गया, जिसकी वजह से वह आगे था। तस्वीर में नीले का निकालने वाला हिस्सा, हरे वाले से ठीक 1 कंचा आगे तक जाता है, उतना ही जितना नीला आगे शुरू हुआ था। तो दोनों फ़र्क एक दूसरे को काट देते हैं, और दोनों डिब्बों में बराबर कंचे बचते हैं। यानी 113 घटा 25, बराबर है 112 घटा 24 के। जाँच करो तो दोनों तरफ़ 88 कंचे बचते हैं।
बराबर का मतलब यह नहीं कि किसी ने दोनों तरफ़ का हिसाब किया, यहाँ बराबरी फ़र्कों के मिलान से ही तय हो गई। यही इस पूरे विषय की असली मुश्किल है। यह सोचना आसान है कि कहीं भी 1 बढ़ाओ, तो value भी 1 बढ़ ही जाएगी। अगर 1 का बदलाव जोड़े जा रहे हिस्से पर पड़े, तो value 1 बढ़ती है। पर वही 1 का बदलाव निकाली जा रही मात्रा पर पड़े, तो value 1 घटती है।
बदलाव एक ही है, पर वह कहाँ पड़ता है, उससे दिशा पलट जाती है। जोड़ में तो दोनों हिस्से जोड़े जा रहे होते हैं, तो किसी भी हिस्से पर 1 बढ़े, value 1 बढ़ती है, और हमने यह 3200 में से 3200 मामलों में गिन कर देखा। घटाने में भी गिन कर देखा, 1600 में से 1600 जोड़ों में, निकाली गई मात्रा का 1 बढ़ना value को 1 घटाता है।
और हिस्सा दर हिस्सा तरीका, 80000 में से 80000 तुलनाओं में, value निकाल कर मिले जवाब से मिलता है। तो यह तरीका अंदाज़ा नहीं, हर बार सही बैठने वाला नियम है। अब इसी तरीके को 5 जोड़ों पर चलाते हैं, बिना कोई total निकाले। पहला जोड़ा है 245 जमा 289, सामने 246 जमा 285। दाईं तरफ़ पहला हिस्सा 1 ऊपर है, पर दूसरा हिस्सा 4 नीचे, तो कुल 3 नीचे, और बाईं तरफ़ बड़ी है।
दूसरा जोड़ा है 273 घटा 145, सामने 272 घटा 144। दाईं तरफ़ शुरुआत 1 कम है, और निकाली गई मात्रा भी 1 कम, तो दोनों कट जाते हैं, और दोनों बराबर हैं। तीसरा जोड़ा है 364 जमा 587, सामने 363 जमा 589। दाईं तरफ़ पहला हिस्सा 1 नीचे, दूसरा 2 ऊपर, तो कुल 1 ऊपर, और दाईं तरफ़ बड़ी है। चौथा जोड़ा है 124 जमा 245, सामने 129 जमा 245।
यहाँ 245 दोनों तरफ़ है, और दाईं तरफ़ पहला हिस्सा 5 ऊपर है, तो दाईं तरफ़ बड़ी है। पाँचवाँ जोड़ा है 213 घटा 77, सामने 214 घटा 76। दाईं तरफ़ शुरुआत 1 ज़्यादा है, और निकाली गई मात्रा 1 कम, तो दोनों बदलाव दाईं तरफ़ को ही आगे करते हैं, कुल 2 से। इसलिए इस जोड़े में भी दाईं तरफ़ बड़ी है। अब दूसरे और पाँचवें जोड़े को साथ रख कर देखो।
दोनों में दाईं तरफ़ निकाली गई मात्रा 1 कम हुई, पर एक में जवाब बराबर आया, और दूसरे में दाईं तरफ़ बड़ी निकली। फ़र्क शुरुआत वाले हिस्से ने डाला, दूसरे जोड़े में वह भी 1 कम हुआ, और पाँचवें में 1 ज़्यादा। यानी 5 में से, 1 जोड़े में बाईं तरफ़ बड़ी, 1 में दोनों बराबर, और 3 में दाईं तरफ़ बड़ी, और value निकाल कर भी हर बार यही जवाब आता है।
बराबर का निशान भी ऐसे ही काम आता है, जब एक तरफ़ ख़ाली जगह हो। पहली line है, 22 जमा ख़ाली जगह, बराबर 6 गुणा 5। सोचो, 22 में कितना जोड़ें कि 6 गुणा 5 बने, इसका जवाब सिर्फ़ 8 है। दूसरी line है, 8 गुणा ख़ाली जगह, बराबर 64 भाग 2। यहाँ ख़ाली जगह में सिर्फ़ 4 ही बैठता है। और तीसरी line है, 34 घटा ख़ाली जगह, बराबर 25।
यहाँ 9 आता है, और 1000 से छोटे numbers में कोई दूसरा number इन जगहों में नहीं बैठता। हर line 2 expressions के बीच बराबरी है, सिर्फ़ जवाब लिखने की जगह नहीं। पर क्या हर बार बिना हिसाब के काम चल जाता है? ईमानदार जवाब है कि नहीं, हर बार नहीं चलता। इन 5 expressions को छोटे से बड़े के क्रम में लगाना है: 67 घटा 19, 67 घटा 20, 35 जमा 25, 5 गुणा 11, और 120 भाग 3।
इनमें 67 घटा 19 और 67 घटा 20 का जोड़ा आसान है, शुरुआत एक जैसी, पर दूसरे में 1 ज़्यादा निकाला गया, तो 67 घटा 20 छोटा है। पर बाकी 3 के सामने आमने सामने रखने को कुछ है ही नहीं। यहाँ हिस्सा दर हिस्सा तरीका काम नहीं आता, तो ईमानदारी से values निकालना ही समझदारी है। इनकी values हैं 48, 47, 60, 55 और 40। तो क्रम बनता है, 120 भाग 3, फिर 67 घटा 20, फिर 67 घटा 19, फिर 5 गुणा 11, और सबसे बड़ा 35 जमा 25।
पाँचों values अलग अलग हैं, तो इस क्रम में कोई बराबरी नहीं है। असली सवाल यह है कि क्या बिना भारी हिसाब के तुलना हो सकती है, यह वादा नहीं कि हमेशा हो सकती है। तुलना का निशान expressions की values के बारे में बात करता है, उनकी शक्ल के बारे में नहीं। अक्सर दोनों values निकाले बिना ही, हिस्सों को आमने सामने रख कर जवाब मिल जाता है। जोड़े जा रहे हिस्से पर 1 बढ़े तो value बढ़ती है, और निकाली जा रही मात्रा पर 1 बढ़े तो value घटती है।
इसीलिए 113 घटा 25 और 112 घटा 24 बराबर हैं, बिना कोई total निकाले। और जब आमने सामने रखने को कुछ न हो, तो हिसाब करना ही ईमानदार रास्ता है।
यह कहाँ बैठता है
यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.
किस पर टिका है
- Writing a situation as an expression before computing itकक्षा 7 · Ch 2, Arithmetic Expressions
आगे फिर कहाँ आता है
- Encoding a line-up as a sequence of numbersकक्षा 7 · Ch 6, Number Play
- Evaluating expressions that mix integers and bracketsकक्षा 7 · Ch 2, Operations with Integers
- Finding an unknown by reasoning about what must balanceकक्षा 7 · Ch 7, Finding the Unknown
इसके ठीक पहले और ठीक बाद
- Brackets decide which operation happens firstकक्षा 7 · Ch 2, Arithmetic Expressions