गुणा करने से पहले ही बताना कि गुणनफल में कितने अंक होंगे

0:00board पर 4 डिब्बे हैं, और हर डिब्बे में कुछ गुणा लिखे हैं, पर उनके जवाब ख़ाली छोड़े गए हैं। पहले डिब्बे में है 11 गुणा 11, फिर 111 गुणा 111, और फिर 1111 गुणा 1111। दूसरे में है 3 गुणा 5, फिर 33 गुणा 35, और फिर 333 गुणा 335। तीसरे में 66 गुणा 61, 666 गुणा 661, और 6666 गुणा 6661, और चौथे में 101 गुणा 101, 102 गुणा 102, और 103 गुणा 103।

0:41हिसाब करने से पहले सोचो, क्या तुम हर डिब्बे का अगला जवाब बिना गुणा किए बता सकते हो? आज हम देखेंगे कि pattern क्या बता सकता है, और क्या कभी साबित नहीं कर सकता, और फिर एक ऐसा तर्क देखेंगे जो 8 thousand से ज़्यादा गुणा एक साथ निपटा देता है। पहला डिब्बा भरते हैं, जहाँ 11 गुणा 11 होता है 121, और 111 गुणा 111 होता है 12 thousand 321।

1:08और 1111 गुणा 1111 का जवाब है 12 लाख 34 thousand 321। digits को एक एक करके पढ़ो, तो आख़िरी जवाब है 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, यानी जितने ones थे, उतने तक चढ़ो, और फिर वापस उतरो। इसी तरह अगला, 11111 गुणा 11111, बनता है 12 करोड़ 34 लाख 54 thousand 321, जिसके digits हैं 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1। अब दूसरे डिब्बे में, 3 गुणा 5 है 15, 33 गुणा 35 है 1 thousand 155, और 333 गुणा 335 है 1 लाख 11 thousand 555।

2:04यहाँ पहले कुछ ones आते हैं, फिर उतने ही fives, और हर कदम पर दोनों एक एक बढ़ते हैं। अगला होगा 1 करोड़ 11 लाख 15 thousand 555। तीसरे डिब्बे में 66 गुणा 61 है 4 thousand 26, 666 गुणा 661 है 4 लाख 40 thousand 226, और 6666 गुणा 6661 है 4 करोड़ 44 लाख 2 thousand 226। आख़िरी जवाब के digits पढ़ो, 4, 4, 4, 0, 2, 2, 2, 6।

2:43यानी पहले fours, फिर एक zero, फिर twos, और आख़िर में 6। और चौथे डिब्बे में 101 गुणा 101 है 10 thousand 201, 102 गुणा 102 है 10 thousand 404, और 103 गुणा 103 है 10 thousand 609। चौथे डिब्बे में तुम्हें कौन सा pattern दिखता है? एक pattern बहुत लुभाता है: पहले 1, फिर zero, फिर छोटे number का दोगुना, और आख़िर में उसका square। जैसे 103 के लिए, 3 का दोगुना 6 है, और 3 का square 9 है, तो बनता है 10 thousand 609, जो बिल्कुल सही है।

3:26अगला लो, 104 गुणा 104, जहाँ 4 का दोगुना 8 है, और 4 का square 16, तो pattern कहता है 10 thousand 816, और असली जवाब भी 10 thousand 816 ही है। अब 105 गुणा 105 पर pattern क्या कहेगा? यहाँ 5 का दोगुना 10 है, और 5 का square 25, तो pattern के हिसाब से जवाब बनता है 1 लाख 1 thousand 25। पर 105 गुणा 105 असल में 11 thousand 25 है, तो pattern यहाँ टूट गया।

3:59वजह यह है कि 5 का दोगुना 10 है, जिसमें 2 digits हैं, और वह अपनी जगह में समा नहीं पाता, बल्कि आगे वाली जगह में चढ़ जाता है। तो 4 बार pattern का सही बैठना यह साबित नहीं करता कि वह हमेशा सही है। pattern हमें बस एक अंदाज़ा देता है। किसी बात को हमेशा के लिए पक्का करने के लिए तर्क चाहिए, और अब हम ऐसा ही एक तर्क देखेंगे।

4:23एक दावा सुनो: कोई भी 2 numbers लो जिनमें 2 digits हों, और उन्हें गुणा करो। दावा यह है कि जवाब में या तो 3 digits होंगे या 4, न कम, न ज़्यादा। जैसे 12 गुणा 15 है 180, जिसमें 3 digits हैं, और 45 गुणा 67 है 3 thousand 15, जिसमें 4 digits हैं। पर क्या यह हर जोड़ी के लिए सच है, और तुम इसे पक्का कैसे करोगे?

4:51सबसे पहले गिनो कि 2 digits वाले numbers कितने हैं: वे 10 से 99 तक जाते हैं, यानी कुल 90। हर number को हर number के साथ गुणा कर सकते हैं, तो 90 गुणा 90, यानी 8 thousand 100 जोड़ियाँ बनती हैं। अगर 12 गुणा 34 और 34 गुणा 12 जैसी जोड़ियों को एक ही गिनो, तब भी 4 thousand 95 जोड़ियाँ बचती हैं। तो क्या दावे को पक्का करने के लिए ये सारे 8 thousand 100 गुणा करने पड़ेंगे?

5:19नहीं, और यही इस topic की सबसे सुंदर बात है, कि सिर्फ़ 2 गुणा इन सारे 8 thousand 100 का फ़ैसला कर देते हैं। सबसे छोटा 2 digit वाला number 10 है, और 10 गुणा 10 होता है 100। फ़र्श के लिए सबसे छोटा case ही लेना पड़ता है, क्योंकि अगर हम 11 गुणा 11 से शुरू करते, तो 10 गुणा 10 बाहर छूट जाता। कोई भी जोड़ी लो, दोनों numbers कम से कम 10 हैं, तो उनका गुणा कम से कम 100 होगा, यानी कम से कम 3 digits।

5:49अब सबसे छोटा 3 digit वाला number लो, 100, और 100 गुणा 100 होता है 10 thousand, जिसमें 5 digits हैं। हर 2 digit वाला number 100 से छोटा है, तो किसी भी जोड़ी का गुणा 10 thousand से छोटा रहेगा, यानी 5 digits तक कभी नहीं पहुँचेगा। तो हर जवाब 100 और 10 thousand के बीच फँसा है, और वहाँ के हर number में 3 या 4 digits होते हैं।

6:13गिन कर देखो तो 8 thousand 100 में से 1 thousand 490 जोड़ियों का गुणा 3 digits का है, और बाकी 6 thousand 610 का 4 digits का। और दोनों सच में होते हैं: 10 गुणा 10 में 3 digits हैं, और 99 गुणा 99, यानी 9 thousand 801, में 4। यहाँ अक्सर लोग सोचते हैं कि सबसे बड़ा गुणा 100 गुणा 100 है। पर 100 तो 2 digit वाला number है ही नहीं।

6:43सबसे बड़ा असली गुणा 99 गुणा 99 है, यानी 9 thousand 801। यहाँ 100 गुणा 100 जान बूझ कर चुना गया है, क्योंकि उसे मन में करना आसान है, और वह हर असली गुणा से ऊपर है। छत के लिए 99 गुणा 99 भी चल जाता, पर उसके लिए पूरा गुणा करना पड़ता, जबकि 100 गुणा 100 मन में हो जाता है, क्योंकि 100 से गुणा करना बस digits को खिसकाना है।

7:08छत को ख़ुद कमरे का हिस्सा होने की ज़रूरत नहीं, उसे बस हर चीज़ से ऊपर होना चाहिए। फिर भी हमने सारे 8 thousand 100 गुणा करके देखे, और हर एक जवाब 100 से ऊपर या बराबर, और 10 thousand से नीचे निकला। अब यही तर्क दूसरे size पर। क्या 3 digit वाले 2 numbers का गुणा 4 digits का हो सकता है? सबसे छोटा case है 100 गुणा 100, और वह पहले से ही 10 thousand है, जिसमें 5 digits हैं।

7:37इसलिए numbers कितने भी छोटे चुनो, जवाब 4 digits का कभी नहीं हो सकता। और क्या 4 digit वाले number को 2 digit वाले से गुणा करके 5 digits मिल सकते हैं? हाँ, क्योंकि सबसे छोटा case 1000 गुणा 10 है, यानी 10 thousand, 5 digits। और सबसे बड़ा, 9999 गुणा 99, है 9 लाख 89 thousand 901, जिसमें 6 digits हैं। हर बार वही चाल है: सबसे छोटा case और सबसे बड़ा case देखो, और बाकी सब उनके बीच आ जाता है।

8:13अब इन सबकी एक table बनाते हैं, जिसमें हर line बताती है कि कितने digits को कितने digits से गुणा करने पर कितने digits मिलते हैं। पहली line में 1 digit गुणा 1 digit से 1 या 2 digits मिलते हैं। जैसे 2 गुणा 3 है 6, जो 1 ही digit है, और 9 गुणा 9 है 81। यानी गुणा करने से digits हमेशा बढ़ते ही हों, ऐसा ज़रूरी नहीं।

8:37फिर 2 digit गुणा 1 digit से 2 या 3, 2 गुणा 2 से 3 या 4, और 3 गुणा 3 से 5 या 6 digits मिलते हैं। इन lines को आपस में क्या जोड़ता है? दोनों numbers के digits जोड़ो। गुणा में या तो ठीक उतने digits होंगे, या उससे एक कम। वजह समझने के लिए देखो कि 3 digit वाला number कम से कम 100 होता है, यानी 1 के पीछे 2 zeros, और हमेशा 1000 से छोटा रहता है, यानी 1 के पीछे 3 zeros।

9:09सबसे छोटे numbers का गुणा, यानी 1 और उसके पीछे zeros, उसमें एक कम digit देता है, और सबसे बड़े numbers का गुणा पूरे जोड़ जितने। हमने 1 से 13 digits तक, digits की हर जोड़ी पर यह नियम जाँचा, और 169 में से 169 जोड़ियों पर यह सही निकला। table में 3 lines ख़ाली हैं, और अब उन्हें नियम से भरते हैं। पहली ख़ाली line में, 5 digit गुणा 5 digit का जोड़ है 10, तो जवाब में 9 या 10 digits होंगे।

9:43फिर 8 digit गुणा 3 digit में जोड़ है 11, तो 10 या 11 digits मिलेंगे। और 12 digit गुणा 13 digit में जोड़ है 25, तो 24 या 25 digits। अब तुम बताओ, 6 digit वाले number को 4 digit वाले से गुणा करो, तो जवाब में कितने digits होंगे? यहाँ जोड़ है 10, तो जवाब में 9 या 10 digits होंगे। तो क्या यह नियम हमें गुणा का जवाब बता देता है?

10:14बिल्कुल नहीं, यह सिर्फ़ जवाब की लंबाई बताता है, और वह भी 2 विकल्पों में, कि इतने digits या एक कम। इन 2 में से कौन सा होगा, यह जानने के लिए असली numbers देखने पड़ते हैं, जैसे 10 गुणा 10 छोटा निकला, और 99 गुणा 99 लंबा। ऐसे तर्क से हमें जवाब की हद मिलती है, जवाब नहीं, पर कई बार हद ही काफ़ी होती है। तो याद रखो, जो pattern 4 बार सही बैठा, वह पाँचवीं बार टूट भी सकता है, जैसे 105 पर टूटा।

10:45सबसे छोटा और सबसे बड़ा case, बस 2 गुणा, और 8 thousand 100 cases का फ़ैसला हो गया। छत का ख़ुद उन जोड़ियों में से एक होना ज़रूरी नहीं, जैसे 100 गुणा 100। और गुणा के digits या तो दोनों के digits का जोड़ होते हैं या उससे एक कम, पर यह नियम जवाब नहीं, सिर्फ़ उसकी लंबाई बताता है।