निकटतम पड़ोसी तक पूर्णांकन, और कौन-सा पड़ोसी चुनें

0:00board पर एक number लिखा है, 6 करोड़ 72 लाख 85 thousand 183। अब अगर मैं पूछूँ कि इसका nearest round number क्या है, तो क्या इस सवाल का एक जवाब है? असल में इस सवाल का कोई एक जवाब है ही नहीं, क्योंकि जवाब इस पर depend करता है कि number कितना round चाहिए। nearest thousand एक जवाब है, और nearest 10 thousand दूसरा। फिर nearest लाख, nearest 10 लाख, और nearest करोड़।

0:32यानी 5 सवाल, और 5 अलग जवाब। तो किसी number का एक nearest पड़ोसी नहीं होता, बल्कि हर place के लिए एक, कुल 5 पड़ोसी होते हैं। और यहीं लोग अक्सर फँसते हैं। तुम्हें लगेगा कि place बड़ी होगी तो पड़ोसी बस और दूर खिसकेगा, पर 2 पड़ोसी, सिर्फ़ एक place के फ़ासले पर, number के उलटी तरफ़ बैठते हैं। सबसे आसान सवाल से शुरू करते हैं, nearest thousand से, और उसे ठीक से करते हैं।

1:02हमारा number thousand के 2 multiples के बीच बैठा है। नीचे वाला 85 thousand पर ख़त्म होता है, और ऊपर वाला 86 thousand पर। पूरा सवाल बस इतना है कि इन दोनों में से कौन ज़्यादा पास है? हमारा number नीचे वाले से 183 ऊपर है, और ऊपर वाले से 817 नीचे। तो नीचे वाला जीतता है, और nearest thousand बनता है 6 करोड़ 72 लाख 85 thousand। गौर करो कि हमने क्या नहीं किया।

1:32हमने आख़िरी 3 digits काट कर नहीं फेंके। digits काटने से हमेशा नीचे वाला mark मिलता है। कई बार ऊपर वाला ज़्यादा पास होता है, और तब काटना सीधा गलत है। अब वही number, एक place ऊपर, यानी nearest 10 thousand। अब दोनों उम्मीदवार 80 thousand और 90 thousand पर ख़त्म होते हैं। हमारा number पहले से 5 thousand 183 ऊपर है, और दूसरे से 4 thousand 817 नीचे। इस बार ऊपर वाला जीतता है, और nearest 10 thousand ऊपर जाता है, 6 करोड़ 72 लाख 90 thousand पर।

2:09बस एक place आगे बढ़े, और दिशा बदल गई। आगे चलते हैं, nearest लाख पर। यहाँ उम्मीदवार हैं 6 करोड़ 72 लाख और 6 करोड़ 73 लाख। हम नीचे वाले से 85 thousand 183 आगे हैं, और ऊपर वाले से सिर्फ़ 14 thousand 817 पीछे। तो nearest लाख भी ऊपर जाता है, 6 करोड़ 73 लाख पर। अब nearest 10 लाख, और यहीं बात दिलचस्प होती है। उम्मीदवार हैं 6 करोड़ 70 लाख और 6 करोड़ 80 लाख।

2:45हमारा number नीचे वाले से 2 लाख 85 thousand 183 ऊपर है, और ऊपर वाले से 7 लाख 14 thousand 817 नीचे। तो nearest 10 लाख नीचे जाता है, 6 करोड़ 70 लाख पर। अब इसे ठीक पिछली line के साथ पढ़ो। nearest लाख हमारे number के ऊपर था, और nearest 10 लाख उसके नीचे है। सिर्फ़ एक place का फ़ासला है, और दोनों उस number के उलटी तरफ़ खड़े हैं जिसे वे बता रहे हैं।

3:13इसलिए ये किसी सीढ़ी के डंडे नहीं हैं जिन पर एक एक करके चढ़ते हैं। हर पड़ोसी अपना अलग सवाल है। set पूरा करते हैं, nearest करोड़ से। नीचे 6 करोड़ है, जो हमसे 72 लाख 85 thousand 183 पीछे है, और ऊपर 7 करोड़, जो 27 लाख 14 thousand 817 आगे है। तो nearest करोड़ 7 करोड़ है, और यह ऊपर जाता है। अब सारे पड़ोसी एक साथ देखो, हर एक के बगल में एक तीर।

3:45तीर इस क्रम में चलते हैं, नीचे, ऊपर, ऊपर, नीचे, और फिर ऊपर। कुल 3 पड़ोसी number के ऊपर हैं, और 2 नीचे। अगर rounding का मतलब digits काटना होता, तो हर तीर नीचे की तरफ़ होता। पर ऐसा नहीं है। rounding एक तुलना है, digits मिटाना नहीं। और यह list न बढ़ती है, न घटती है। यह कोई इकलौता अजूबा नहीं है, इसलिए कुछ और numbers पर देखते हैं।

4:15पहले यह number लो, 3 करोड़ 87 लाख 69 thousand 957। इसका nearest thousand और nearest 10 thousand, दोनों एक ही हैं, 3 करोड़ 87 लाख 70 thousand, जो इससे बस 43 दूर है। यानी बड़ी place ने इसे और दूर नहीं धकेला। और इसके सारे पड़ोसी इसके ऊपर हैं। अब यह number लो, 29 करोड़ 5 लाख 32 thousand 481। इसके तीर हैं नीचे, नीचे, नीचे, ऊपर, और फिर नीचे।

4:51यानी दिशा 2 बार बदलती है। एक बात तीनों numbers पर सच है। place बड़ी होने पर गलती कभी छोटी नहीं होती, पर कभी कभी वही रह जाती है। अब एक shortcut जो आसान लगता है, पर है नहीं। nearest लाख तो पता ही है, तो क्यों न उसी को फिर round करके nearest 10 लाख निकाल लें? एक नए number पर आज़माते हैं, 6 करोड़ 74 लाख 90 thousand।

5:19सीधे पूछो तो कोई शक नहीं। यह 6 करोड़ 70 लाख से 4 लाख 90 thousand ऊपर है, और 6 करोड़ 80 लाख से 5 लाख 10 thousand नीचे। नीचे वाला mark ज़्यादा पास है, और जवाब वही है। अब आलसी रास्ते से चलते हैं। पहले nearest लाख पर round करो, तो तुम 6 करोड़ 75 लाख पर पहुँचते हो, जो दोनों marks के ठीक बीच में है। ठीक बीच वाली जगह ही वह जगह है जो दिशा नहीं बता सकती।

5:48बीच को ऊपर भेजने की आदत हो, तो जवाब 6 करोड़ 80 लाख आता है, पूरे 10 लाख गलत। और यह इस number की बदकिस्मती नहीं है। हमने 2 लाख numbers पर दोनों आदतों के साथ जाँचा, और जहाँ भी यह shortcut गलत हुआ, उसे ठीक बीच वाली जगह ही मिली थी। इसलिए हर बार असली number पर वापस जाओ। अब एक सवाल जिस पर थोड़ा रुकना चाहिए। क्या किसी number के सारे पड़ोसी एक ही हो सकते हैं, मतलब nearest thousand, 10 thousand, लाख, 10 लाख और करोड़, हर एक 5 करोड़?

6:24हाँ, ऐसा हो सकता है, और ऐसा सिर्फ़ एक number नहीं है। इन शर्तों में सबसे सख़्त शर्त कौन सी है? सबसे सख़्त शर्त nearest thousand वाली है। किसी number के लिए 5 करोड़ को अपना nearest thousand बनाने के लिए तुम्हें उससे 500 के अंदर रहना होगा। और इतने पास आ गए, तो बाकी शर्तें अपने आप पूरी हो जाती हैं, क्योंकि तुम हर चौड़ी खिड़की के बीचों बीच हो।

6:49तो जवाब है लगातार 1,000 पूरे numbers, 5 करोड़ के दोनों तरफ़। ठीक कौन से 1,000, यह कोई नहीं बता सकता, क्योंकि ठीक 500 दूर वाली जगह फिर से बीच की जगह है, और बीच वाली जगह कुछ तय नहीं करती। अब यह सब काम में लाते हैं, और हिसाब करना बंद करते हैं। मान लो हमें ये numbers जोड़ने हैं, 4 लाख 63 thousand 128 और 4 लाख 19 thousand 682।

7:18पर इन्हें अभी जोड़ो मत, क्योंकि इसके बजाय 2 अंदाज़े लगाए गए हैं। पहला अंदाज़ा कहता है कि जोड़ 8 लाख के पास है, और उससे ज़्यादा है। दूसरा अंदाज़ा कहता है कि जोड़ 9 लाख के पास है, और उससे कम है। सुनने में यह झगड़ा लगता है, पर है नहीं, क्योंकि 8 लाख के पास और ऊपर, 9 लाख के पास और नीचे, ये दोनों बातें एक ही number के लिए सच हो सकती हैं।

7:43और यहाँ दोनों ही सच हैं। इसलिए अंदाज़ा कोई तुक्का नहीं, बल्कि एक दावा है कि जवाब कहाँ रहता है, और दावे जाँचे जा सकते हैं। अगर दोनों सही हैं, तो क्या उनमें कोई फ़र्क नहीं है? फ़र्क ज़रूर है, क्योंकि असली जोड़ 8 लाख 82 thousand 810 है। पहला अंदाज़ा उससे 82 thousand 810 दूर है, और दूसरा सिर्फ़ 17 thousand 190 दूर। दूसरा अंदाज़ा लगभग 5 गुना ज़्यादा पास है, पर 5 गुना से थोड़ा कम।

8:18दोनों सही हैं, पर एक कहीं ज़्यादा काम का है, क्योंकि पास होना और सही होना अलग अलग सवाल हैं। और अब काम की बात। उस जोड़ को बिना जोड़े भी घेरा जा सकता है। क्या यह जोड़ 8 लाख 50 thousand से ऊपर है? हाँ, और इसकी वजह बस एक line की है। पहला number 4 लाख 50 thousand से ऊपर है, और दूसरा 4 लाख से ऊपर। इन दोनों का जोड़ 8 लाख 50 thousand है, तो कुल जोड़ उससे ऊपर ही होगा।

8:49अब दूसरी तरफ़ से दबाते हैं, और यह इस पूरे topic की सबसे सुंदर चाल है। वह दूसरा number, 4 लाख 19 thousand 682, 4 लाख 20 thousand से ज़रा सा कम है, पूरे 318 कम। तो उसकी जगह 4 लाख 20 thousand जोड़ो, और जोड़ बनता है 8 लाख 83 thousand 128। हमने एक number को बड़े number से बदला, इसलिए असली जोड़ इससे नीचे ही होगा, और ठीक 318 नीचे, उतना ही जितना हमने बढ़ाया था।

9:22अब जोड़ 8 लाख 50 thousand और 8 लाख 83 thousand 128 के बीच फँस गया है। यह खिड़की बस 33 thousand 128 चौड़ी है, जबकि शुरू में पूरे 1 लाख की थी। और जोड़ हमने अब तक किया ही नहीं। यही तरीका घटाने पर भी चलता है। अब 14 लाख 63 thousand 128 में से 4 लाख 90 thousand 20 घटाना है। पहला अंदाज़ा कहता है कि जवाब 10 लाख के पास है और उससे कम।

9:53दूसरा कहता है कि 9 लाख के पास है और उससे ज़्यादा। फिर से दोनों सही हैं। असली जवाब 9 लाख 73 thousand 108 है। पर इस बार पहला अंदाज़ा ज़्यादा पास है, वह 26 thousand 892 दूर है, जबकि दूसरा 73 thousand 108 दूर। तो बेहतर अंदाज़ा किसी की ख़ूबी नहीं है, वह सवाल की ख़ूबी है। घेरने वाला तरीका यहाँ भी चलता है। अगर पूरे 5 लाख घटाते, तो ठीक 9 लाख 63 thousand 128 बचते।

10:25हम 5 लाख से 9 thousand 980 कम घटा रहे हैं, इसलिए असली जवाब उससे ठीक उतना ही ऊपर है। जवाब दोनों तरफ़ से घिर गया, और हमने घटाया कुछ नहीं। तो घेरा कब काफ़ी होता है? जब सवाल ऊपर या नीचे का हो। जोड़ 8 लाख 50 thousand से ऊपर है या नहीं, यह घेरे ने बिना जोड़े ही बता दिया। पर अगर पूरा जवाब चाहिए, आख़िरी digit तक, तो घेरा काफ़ी नहीं है, और तब जोड़ना ही पड़ेगा।

10:56अब सवाल को उलटो। अगर जोड़ 8 लाख 50 thousand से नीचे रखना हो, और पहला number 4 लाख 63 thousand 128 ही रहे, तो दूसरा कितना बड़ा हो सकता है? ज़्यादा से ज़्यादा 3 लाख 86 thousand 871। उससे एक भी ज़्यादा हुआ, तो जोड़ पूरे 8 लाख 50 thousand तक पहुँच जाएगा। अब तुम खुद करके देखो। कोई भी 2 numbers लो जिनमें 6 digits हों, और बिना जोड़े उनके जोड़ को 2 round numbers के बीच घेरो।

11:29फिर जोड़ कर देखो कि तुम कितने पास थे। याद रखो, हर पड़ोसी असली number से ही निकलता है, और अच्छा घेरा हिसाब से पहले ही बता देता है कि जवाब कहाँ रहता है।