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Chapter 1 · Geometric Twins

SAS, और angle का included होना क्यों ज़रूरी है

Congruence criteria for triangles12 मिनट

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2 भुजाएँ और एक angle दिए हों, तो त्रिभुज तय होता है या नहीं, यह इस पर टिका है कि angle कहाँ है। दोनों भुजाओं के बीच हो, तो चाप किरण को 1 ही बार काटता है: SAS।

मुख्य idea

SAS में सारा काम शब्द included कर रहा है, और chapter इसे ऐसे साबित करता है कि angle को एक कोना आगे खिसका देता है और सब कुछ ढहते हुए देखता है। दोनों बार construction वही है — एक base, दिए गए angle पर एक ray, दी गई radius का एक arc — और फ़र्क़ बस इतना है कि arc कहाँ गिरता है। जब angle दोनों भुजाओं के बीच वाले कोने पर होता है, तो arc एक बार काटता है और चुनने को कुछ नहीं बचता। angle को दूर वाले कोने पर ले जाओ, तो chapter जो लंबाइयाँ चुनता है उनके साथ arc ray को दो बार काटता है — एक ही तरफ़ — और इससे बनने वाले दोनों triangles एक-दूसरे का पलटा हुआ रूप नहीं होते: वे सच में अलग-अलग आकार हैं जिन पर वही तीन माप लगे हैं। इसीलिए SSS p.5 पर अपने दो कटानों के बाद भी टिका रहा और SSA p.11 पर अपने दो कटानों के बाद नहीं टिकता। chapter ध्यान रखता है कि यह नाकामी अपने-आप होने वाली नहीं, बल्कि शर्त पर टिकी लगे: वह कहता है कि SSA congruence को सुनिश्चित नहीं करता, और p.16 पर वह एक ख़ास हालत पर लौटता है जिसमें SSA करता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • SAS condition बताना और दिए गए triangle में included angle पहचानना
  • समझाना कि तीनों angles जान लेने से triangle तय क्यों नहीं होता
  • included angle वाली दी गई जानकारी को non-included angle वाली जानकारी से अलग पहचानना
  • एक base, एक angle और दूसरी भुजा के लिए तीन क़दमों वाला construction करना
  • construction से दिखाना कि non-included वाली हालत से दो अलग triangles बन सकते हैं
  • समझाना कि SSA वाले दोनों triangles पलटने से क्यों नहीं जुड़ते, और SSS वाले दोनों क्यों जुड़ते थे
  • बताना कि SSA से तुम क्या नतीजा निकाल सकते हो और क्या नहीं
  • अक्षरों वाले triangles की एक जोड़ी दी हो, तो तय करना कि SAS लागू होता है या नहीं

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
included angleउस कोने का angle जहाँ दोनों नाम वाली भुजाएँ मिलती हैंअंतर्गत कोण§1.2, Part II, p.10 में छपा
non-included angleबाक़ी दो कोनों में से किसी पर बना angleअंतर्गत न होने वाला कोण§1.2, Part II, p.10 (उप-शीर्षक और text) में और SUMMARY, p.22 में छपा। p.16 पर नहीं — उस page पर इस वाक्यांश का भुजा वाला रूप है, AAS वाली हालत के लिए, जो एक अलग condition है।
SAS conditionभुजाओं की एक जोड़ी और वह angle जहाँ वे मिलती हैं, जिससे congruence पक्की हो जाती हैभुजा-कोण-भुजा (SAS) प्रतिबंध§1.2, Part II, p.10 में bold में छपा
SSA conditionदो भुजाएँ और एक ऐसा angle जो उनके बीच नहीं है, जिससे congruence पक्की नहीं होतीभुजा-भुजा-कोण (SSA) प्रतिबंध§1.2, Part II, p.12 में bold में छपा
non-congruentऐसी दो आकृतियों के लिए जो congruence की कसौटी पर खरी नहीं उतरतींअसर्वांगसम§1.1, Part II, p.3 में और §1.2, pp.10 और 12 में छपा
baseवह भुजा जिससे construction शुरू किया जाता हैआधार§1.2, Part II, pp.11, 16 में छपा
arccircle का एक हिस्सा, किसी centre से तय radius पर बनाया हुआचाप§1.2, Part II, pp.11, 16–17 में छपा
rough diagramconstruction की योजना बनाने के लिए बनाया गया जल्दी का, बिना scale का sketchकच्चा आरेख§1.2, Part II, pp.11, 16 में छपा
point of intersectionवह point जहाँ दो बनाए गए रास्ते कटते हैंप्रतिच्छेद बिंदु§1.2, Part II, p.11 में छपा
constructionruler और compass वाला तरीक़ा जिससे triangle बनाया जाता हैरचनापूरे §1.2, Part II, pp.5–17 में छपा
AAAतीनों-angles वाली हालत के लिए आम तीन-अक्षर वाला labelकोण-कोण-कोण (AAA)इस पाठ का छोटा नाम, इस chapter में नहीं छपा — chapter pp.9–10 पर इस हालत पर बात करता है पर उसे कोई छोटा नाम नहीं देता
similar trianglesएक जैसे आकार पर अलग-अलग माप वाले triangles का standard नामसमरूप त्रिभुजइस पाठ का शब्द, इस chapter में नहीं छपा — chapter p.10 पर इस संबंध का वर्णन करता है पर उसे कोई नाम नहीं देता

हिंदी column में जहाँ standard शब्द मौजूद है वहाँ NCERT की standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है, और जहाँ नहीं है वहाँ सीधा-सादा वर्णन — non-included angle को नाम देने के बजाय समझाया गया है, क्योंकि अनुवादक सबसे पहले जो नया शब्द गढ़ता है उसे ग़लत पढ़ा जा सकता है। इस brief के लिए Ganita Prakash Part II का हिंदी संस्करण उपलब्ध नहीं था — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "एक जैसे angles मतलब एक ही triangle।" p.10 पर छपे तीनों triangles के angles बिल्कुल एक जैसे हैं और माप अलग-अलग। chapter यह हालत पहले ठीक इसीलिए रखता है कि बाद की काफ़ी शर्तों को हर उस चीज़ की सूची न समझ लिया जाए जो शायद काम कर जाए।
  • "एक जैसे angles का कोई मतलब ही नहीं।" यह दूसरी तरफ़ की ज़्यादती है। तीनों triangles में कुछ साझा तो है — chapter कहता है कि उनका आकार एक जैसा है। जो साझा नहीं है वह माप है, और माप congruence का आधा हिस्सा है।
  • "SAS मतलब कोई भी दो भुजाएँ और कोई भी angle।" topic का पूरा दूसरा आधा हिस्सा इसी भ्रम को तोड़ने के लिए है। हर बार included कहो, और कहते हुए उस कोने की ओर इशारा करो।
  • "दो कटान का मतलब हमेशा दो जवाब।" SSS में भी दो कटान बने थे और सब ठीक था। फ़र्क़ इसमें है कि वे कहाँ बैठते हैं: SSS वाले construction में दोनों points base के दोनों ओर होते हैं और एक triangle दूसरे का पलटा हुआ रूप होता है; SSA वाले construction में दोनों points एक ही ray पर, एक ही तरफ़ होते हैं, और कोई भी पलटना एक triangle को दूसरे पर नहीं ले जाता। यही तुलना व्याख्या का दिल है।
  • "SSA एक नियम है जो कभी-कभी ग़लत होता है।" यह कोई नियम है ही नहीं। यह दी गई जानकारी का एक set है जो triangle को तय नहीं कर पाता। कुछ भी ग़लत हिसाब से नहीं निकाला जा रहा; बस आगे बढ़ने के लिए काफ़ी जानकारी नहीं है।
  • "अगर दोनों triangles अलग दिखते हैं, तो कम से कम एक ग़लत बना होगा।" ΔPQR और ΔPQS दोनों हर दिए गए माप पर ठीक-ठीक खरे उतरते हैं। सही बना होना और तय होना एक बात नहीं है।
  • "क्योंकि SSA नाकाम होता है, इसलिए भुजाओं के बीच न होने वाला angle बेकार है।" chapter ठीक इसी हालत पर दो बार लौटता है — pp.16–17 पर right-angled वाली हालत में और pp.14–16 पर AAS वाली हालत में — और दोनों बार यह काम करता है। आम तौर पर नाकाम होना हमेशा नाकाम होना नहीं है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 3 Q1

पूरा transcript1,698 शब्द

3 भुजाएँ नापो, तो त्रिभुज पूरा तय हो जाता है, यही SSS है। अब दूसरा ख्याल, भुजाओं की जगह तीनों angles नाप लें तो? B पर 30, C पर 70, और A पर 80 degree। क्या इतने से त्रिभुज पूरा तय हो जाता है? हमें वह सबसे छोटी सूची चाहिए, जिससे नकल बनाने वाले के पास कोई छूट न बचे। आधार 3 पर बनाओ, फिर 5 पर, फिर 7 पर, हर बार वही angles।

तीनों को नापो, सबमें 30, 70 और 80 degree। पर हर एक पिछले से बड़ा, और 3 जोड़ों में से congruent जोड़े, 0। एक और बात, 3 angles असल में 2 ही खबरें हैं। B पर 30 और C पर 70 हो, तो A पर 180 में से दोनों घटाकर, 80, अपने आप। हर आधार पर यही 80 निकला। तो 3 angles की सूची, दिखने में 3 संख्याएँ, पर नकल बनाने वाले को नया कुछ नहीं बताती, और नाप तो बिल्कुल नहीं।

तीनों में एक चीज़ साझी है, आकार, हर एक पिछले का बढ़ा हुआ रूप। भुजाओं का आपसी अनुपात तीनों में वही। जो साझा नहीं, वह नाप है, और congruent के लिए नाप भी चाहिए। पर यह भी मत सोचो कि angles कुछ नहीं बताते, वे आकार पूरा तय कर देते हैं, बस नाप नहीं। अब 2 भुजाएँ और एक angle, A B और X Y, दोनों 6, A C और X Z, दोनों 5।

और A पर का angle, X पर के angle के बराबर, 30 degree। ध्यान से देखो, angle ठीक A पर है, जहाँ A B और A C मिलती हैं, यानी दोनों भुजाओं के बीच। ऐसे angle को included angle कहते हैं, दोनों भुजाओं के बीच का angle। सवाल, क्या इतनी जानकारी से हर कोई एक ही त्रिभुज बनाएगा? पहला कदम, आधार A B बराबर 6 सेंटीमीटर। दूसरा, A से 30 degree पर एक किरण।

तीसरा, A को केंद्र मानकर 5 radius का चाप। चाप किरण को सिर्फ़ 1 बार काटता है, वही C। ध्यान रहे, चाप का केंद्र वही कोना है जहाँ angle बना है, और किरण भी वहीं से निकलती है। एक ही कटान, तो चुनने को कुछ बचता ही नहीं। पूरी कक्षा यही बनाए, कोई कहीं बनाए, कोई घुमाकर, कोई पलटकर। और 200 नकलें बनाईं, कोनों के नाम भी किसी भी क्रम में, फिर भी सभी 200 पहले वाले के congruent।

अब दूसरा त्रिभुज X Y Z, अलग से बनाओ, X Y बराबर 6, X Z बराबर 5, और X पर 30 degree। इसे उलटा और टेढ़ा बनाओ, जैसे मन हो। फिर भी A B C पर बैठ जाता है, A का X, B का Y, C का Z, बस पलटना पड़ता है। कारण समझने के लिए किरण पर P से बाहर की ओर चलो। किरण के सिरे P से दूरी लगातार बढ़ती है, इसलिए 5 की दूरी 1 ही बार आती है।

पर Q से दूरी पहले घटती है, सबसे कम 3 तक, फिर बढ़ती है। इसलिए 4 की दूरी 2 बार आती है, एक बार घटते हुए, एक बार बढ़ते हुए। यही असली बात है, arc का केंद्र किरण के सिरे पर हो, तो एक कटान, दूर के कोने पर हो, तो 2 हो सकते हैं। नियम, अगर 2 भुजाएँ और उनके बीच का angle, दूसरे त्रिभुज की 2 भुजाओं और उनके बीच के angle के बराबर हों, तो दोनों congruent।

इसका नाम SAS, बीच में A, यानी angle, 2 S के बीच में। नाम में भी angle बीच में है, ठीक वैसे ही जैसे आकृति में। सबसे आम गलती, SAS का मतलब कोई भी 2 भुजाएँ और कोई भी angle। नहीं, angle वही होना चाहिए जहाँ दोनों भुजाएँ मिलती हैं। आदत डालो, हर बार included बोलो, और उस कोने की ओर उंगली करो। अब एक बदलाव, A B और X Y, दोनों 6, A C और X Z, दोनों 4।

और angle B बराबर angle Y, 30 degree। भुजाएँ A B और A C, जो A पर मिलती हैं, पर angle B पर है, एक कोना आगे। पन्ने पर दोनों सवाल लगभग एक जैसे दिखते हैं, 5 की जगह 4, पर असली बदलाव यह है कि angle किस कोने पर है। सवाल वही, क्या इस जानकारी से हर कोई एक ही त्रिभुज बनाएगा? पहले एक कच्चा चित्र, नीचे बाएँ P, नीचे दाएँ Q, ऊपर R।

P Q बराबर 6, R Q बराबर 4, और 30 degree का angle P पर। यहाँ P, B का काम कर रहा है, और Q, A का। पहला कदम, P Q बराबर 6 सेंटीमीटर। दूसरा, P से 30 degree पर किरण। तीसरा, इस बार चाप Q को केंद्र मानकर, 4 radius का। तरीका बिल्कुल वही, फ़र्क बस इतना कि चाप कहाँ गिरता है। Q से किरण की सबसे छोटी दूरी 3 है।

चाप 4 का है, जो इससे बड़ा, इसलिए चाप किरण को 2 बार काटता है। पास वाला बिंदु R, और दूर वाला S। दोनों एक ही किरण पर, आधार की एक ही तरफ़। यही वह पल है जिसके लिए पूरी बनावट की गई। त्रिभुज P Q R, चपटा और फैला हुआ। त्रिभुज P Q S, ऊँचा और झुका हुआ। दोनों में P Q बराबर 6, Q से तीसरे कोने तक 4, और P पर 30 degree, हर दी हुई नाप ठीक ठीक।

अब इन्हें ऊपर रखकर मिलाओ, हर तरह की जोड़ी आज़माओ। कोई जोड़ी नहीं चलती, congruent, नहीं। P R छोटी है और P S लंबी, तीसरी भुजा अलग। वही 3 नापें, पर 2 सच में अलग त्रिभुज। मूल नामों में, A B C पास वाले कटान से, और X Y Z दूर वाले से। दी हुई तीनों बराबरियाँ सच, 6, 4 और 30 degree। फिर भी A B C और X Y Z congruent नहीं।

और यह कोई बारीक फ़र्क नहीं, P Q S का क्षेत्रफल, P Q R के 3 गुने से भी ज़्यादा। Q R और Q S दोनों 4, यानी R और S के बीच एक 2 बराबर भुजाओं वाला त्रिभुज। R पर का angle लगभग 131, और S पर का लगभग 49 degree। दोनों मिलकर 180, एक चौड़ा, एक पतला, इसीलिए 2 अलग आकार। कोई कहे, इनमें से एक ज़रूर गलत बना होगा।

नहीं, दोनों हर शर्त पूरी करते हैं। सही बना होना और एक ही तरह से तय होना, 2 अलग बातें हैं। गलती ढूँढने बैठो, तो कोई नहीं मिलेगी, क्योंकि कोई गलती हुई ही नहीं। पर रुको, SSS की रचना में भी 2 कटान मिलते हैं, और वहाँ सब ठीक रहता है, तो फ़र्क क्या है? वहाँ दोनों बिंदु आधार के आर पार होते हैं, एक ऊपर, एक नीचे, और पलटने से एक दूसरे पर बैठ जाते हैं।

यहाँ दोनों एक ही किरण पर, एक ही तरफ़, और पलटने से भी नहीं मिलते। फ़र्क कटानों की गिनती में नहीं, उनकी जगह में है। SSS में दोनों circles के केंद्र आधार पर होते हैं, इसलिए सब कुछ आधार के आर पार की परछाईं होता है। P Q R को P Q के आर पार पलटो, वह नीचे चला जाता है। और उसका आकार वही चपटा रहता है, P Q S जैसा ऊँचा कभी नहीं बनता।

यानी यहाँ की छूट कोई जायज़ चाल नहीं, सच में अलग आकृति है। इस हालत का नाम SSA, 2 भुजाएँ और एक ऐसा angle जो उनके बीच में नहीं। SSA congruent होने की गारंटी नहीं देता। यह कोई नियम नहीं जो कभी कभी गलत हो जाए, बस जानकारी इतनी नहीं कि त्रिभुज तय हो। कोई हिसाब गलत नहीं हुआ, बस काम चलाने लायक बात कम है। नाम में भी A किनारे पर है, 2 S के बीच में नहीं, यही उसकी कमी है।

आधार 6, angle 30, और चाप का radius 1 से 10 तक बदलो। radius 1 और 2 पर चाप किरण तक पहुँचता ही नहीं। radius 4 और 5 पर 2 कटान, 2 अलग त्रिभुज। और बाकी 6 पर, 3, 6, 7, 8, 9, 10, एक ही कटान, त्रिभुज तय। यानी S S A हमेशा नाकाम नहीं, बस गारंटी नहीं। radius 7 पर क्या होता है? चाप पूरी सीधी लकीर को 2 बार काटता है, पर एक कटान P के पीछे, किरण से बाहर, इसलिए बस 1।

radius 3 पर चाप किरण को बस छूता है, 1 ही बिंदु। और उस बिंदु पर बना angle, ठीक 90 degree। यह वह खास हालत है, जहाँ बीच में न होने वाला angle भी काम कर जाता है। अब वही 6, 4 और 30, पर angle C पर रखो, जो भी एक कोना दूर है। C से किरण, उस पर C A, 4, और A को केंद्र मानकर 6 का चाप।

A से किरण की दूरी सिर्फ़ 2, चाप उससे कहीं बड़ा। फिर भी किरण पर कटान 1 ही, दूसरा C के पीछे चला जाता है। यानी दूर वाला angle कभी 2 जवाब देता है, कभी एक, इसीलिए गारंटी नहीं कहते, नाकामी भी नहीं कहते। तो क्या बीच में न होने वाला angle बेकार है? नहीं, radius 3 पर, और 6 से 10 तक, इसी angle ने त्रिभुज पूरा तय कर दिया।

आम तौर पर गारंटी न होना, हर बार नाकाम होना नहीं है। कब काम करता है और कब नहीं, यह हर बार बनाकर ही पता चलता है। खुद करो, पहले त्रिभुज में A B बराबर 7, B C बराबर 5, और B पर 47 degree। दूसरे में X Z बराबर 7, Y Z बराबर 5, और Z पर 47 degree। क्या ये congruent हैं, और किस जोड़ी से? B पर का angle, A B और B C के बीच, और Z पर का, X Z और Y Z के बीच, दोनों included।

तो यह S A S वाली हालत लगती है। B का जोड़ीदार Z, A का X, C का Y, यानी A B C congruent X Z Y। चित्र में बाएँ से दाएँ पढ़कर यह जोड़ी नहीं मिलती, बराबर भुजाओं और angle से मिलती है। जाँच, A B बराबर 7, उसका जोड़ीदार X Z, वह भी 7, B C बराबर 5, उसका जोड़ीदार Z Y, वह भी 5, और B का angle, Z के angle से।

याद रखो, 3 angles आकार तय करते हैं, नाप नहीं। अब 2 भुजाएँ और उनके बीच का angle, SAS, त्रिभुज तय। included शब्द ही असली काम करता है। angle एक कोना आगे खिसका, तो चाप 2 बार कट सकता है, एक ही तरफ़। इसलिए बगल वाले angle से गारंटी नहीं मिलती, पर हर बार नाकामी भी नहीं। और 2 कटान दिखें, तो गिनती नहीं, उनकी जगह देखो।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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