PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 1, Geometric TwinsPrepShorts

Chapter 1 · Geometric Twins

congruent आकृतियों को ऐसे नाम देना कि correspondence में कोई दुविधा न रहे

Congruence criteria for triangles10 मिनट

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A B C congruent X Y Z में letters का क्रम सिर्फ़ लिखावट नहीं, वही दावा है: पहला कोना पहले से, दूसरा दूसरे से, तीसरा तीसरे से। सिर्फ़ पहला नाम बदलो, A C B congruent X Y Z, और वाक्य गलत।

मुख्य idea

≅, = नहीं है। ΔABC ≅ ΔXYZ लिखना सिर्फ़ यह ख़बर नहीं देता कि दो triangles मेल खाते हैं; यह छह vertices की एक ख़ास जोड़ी-बंदी का वादा करता है, जो जगह-दर-जगह पढ़ी जाती है, और एक तरफ़ के letters को फेंट देने से सच्चा कथन झूठा हो जाता है, जबकि तस्वीर ज़रा भी नहीं बदलती। chapter यह बात मुश्किल रास्ते से साबित करता है: वह दो ऐसे triangles लेता है जिन्हें वह पहले ही congruent दिखा चुका है, एक सही-सी दिखने वाली जोड़ी-बंदी लिखता है, और दिखाता है कि उस जोड़ी-बंदी के हिसाब से superimpose करने पर एक भुजा अलग लंबाई वाली भुजा पर जा बैठती है। इसलिए notation कोई हिसाब-किताब नहीं है — notation ही दावा है।

आपको क्या आना चाहिए

  • कोई congruence कथन पढ़कर बताना कि किस vertex को किससे मिलता बताया गया है
  • सिर्फ़ congruence कथन से, आकृति देखे बिना, गिनाना कि कौन-से vertices संगत हैं, कौन-सी भुजाएँ संगत हैं और कौन-से angles संगत हैं
  • दिए गए congruence को हर दूसरे सही तरीक़े से फिर से लिखना, और बताना कि ऐसे कितने तरीक़े हैं
  • परखना कि सुझाया गया कथन correspondence को सही ढंग से कहता है या नहीं
  • समझाना कि जब letters सिर्फ़ एक तरफ़ फेंटे जाते हैं तो क्या गड़बड़ होती है
  • diagram के tick marks से यह निकालना कि किस vertex की जोड़ी किससे बननी चाहिए
  • ऐसी आकृति में correspondence ढूँढ़ना जिसमें दो triangles एक-दूसरे पर चढ़े हों या एक भुजा साझा करते हों

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
corresponding verticesकोनों की वे जोड़ियाँ जो एक triangle को दूसरे पर रखते ही आपस में मिल जाती हैंसंगत शीर्ष§1.2, Part II, pp.6–7 में छपा
corresponding sidesभुजाओं की वे जोड़ियाँ जो एक-दूसरे पर आ बैठती हैंसंगत भुजाएँ§1.2, Part II, pp.7, 13 में छपा
corresponding anglesangles की वे जोड़ियाँ जो एक-दूसरे पर आ बैठती हैंसंगत कोण§1.2, Part II, p.7 में छपा
vertextriangle का एक कोनाशीर्ष§1.2, Part II, pp.6–7, 13 में छपा
≅वह चिह्न जिसे "is congruent to" पढ़ा जाता है, दो triangle नामों के बीच एक तय क्रम में लिखा हुआ≅ (सर्वांगसम है)§1.2, Part II, p.7 से आगे छपा
conventionकिसी चीज़ को लिखने का तय किया हुआ तरीक़ा, ताकि हर कोई उसे एक ही तरह पढ़ेपरिपाटीउप-शीर्षक "Conventions to Express Congruence" के रूप में छपा, §1.2, Part II, p.6
incorrectletters फेंटकर लिखे गए congruence पर किताब का अपना फ़ैसलागलत§1.2, Part II, p.7 में bold में छपा
common sideवह भुजा जो तुलना किए जा रहे दोनों triangles की हैउभयनिष्ठ भुजा§1.2, Part II, p.8 में और §1.3, p.18 में छपा
rectangleचार भुजाओं वाली आकृति जिसकी आमने-सामने की भुजाएँ बराबर हैं, यहाँ हल किए गए उदाहरण के रूप मेंआयत§1.2, Part II, pp.7–8 में छपा
correspondenceख़ुद जोड़ी-बंदी, एक पूरी चीज़ मानकरसंगतता§1.2, Part II, p.8 में छपा
diagonalrectangle के आमने-सामने के कोनों को जोड़ने वाला segmentविकर्णइस पाठ का शब्द, इस chapter में नहीं छपा — किताब segment BD को सिर्फ़ उसके सिरों से नाम देती है
order-sensitiveऐसे notation के लिए इस पाठ का छोटा नाम जिसका मतलब उसके letters के क्रम पर टिका हैक्रम-निर्भरइस पाठ का शब्द, इस chapter में नहीं छपा

हिंदी column में NCERT की standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। इस brief के लिए Ganita Prakash Part II का हिंदी संस्करण उपलब्ध नहीं था — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "एक बार पता चल गया कि वे congruent हैं, तो लिखने का कोई भी तरीक़ा चलेगा।" pp.7–8 का rectangle ठीक इसी के लिए chapter का बनाया हुआ counterexample है। triangles सच में congruent हैं और सुझाया गया कथन फिर भी ग़लत है।
  • "ΔABC ≅ ΔXYZ उसी तरह का वाक्य है जैसा AB = XY।" बराबर का चिह्न दो numbers को जोड़ता है और उसे फ़र्क़ नहीं पड़ता कि पहले कौन लिखा गया। ≅ vertices की दो क्रमवार तिकड़ियों को जोड़ता है। यह बात ज़ोर से कहो; topic की बाक़ी हर चीज़ की वजह यही है।
  • "letters का क्रम बदल सकते हो, बस triangle वही रहना चाहिए।" ΔACB सच में उसी triangle का नाम है जिसका ΔABC। ठीक इसीलिए यह जाल काम करता है: तस्वीर नहीं बदलती और दावा बदल जाता है। सिर्फ़ दोनों नामों का एक जैसा फेरबदल ही टिकता है।
  • "letters मेल खाने के लिए ही चुने गए हैं, तो बस उन्हें बाएँ से दाएँ पढ़ लो।" p.6 की छपी जोड़ी में दूसरा triangle अलग झुकाव पर बना है, और दोनों तस्वीरों को बाएँ से दाएँ पढ़ने से सही जोड़ी-बंदी नहीं मिलती। tick marks से मिलती है। आँख को निशानों पर साधो।
  • "जो जोड़ी-बंदी हर letter को एक बार गिनाती है, वह सही ही होगी।" p.8 की नाकाम table हर letter को ठीक एक बार गिनाती है और फिर भी ग़लत है, क्योंकि वह एक triangle की भुजा को दूसरे की ऐसी भुजा पर भेजती है जिसके उससे मेल खाने की कोई वजह नहीं।
  • "congruence लिखने का एक ही सही तरीक़ा है।" एक ही जोड़ी-बंदी को लिखने के छह तरीक़े हैं, और p.8 पर chapter की अपनी exercise बाक़ी पाँच माँगती है। इकलौता होना बात नहीं है; दोनों नामों के बीच तालमेल बात है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 2 Q1, Figure it Out · 2 Q4, Figure it Out · 1.3 Q1, Figure it Out · 1.3 Q4

पूरा transcript1,415 शब्द

बराबर का निशान और congruent का निशान, दिखने में मिलते जुलते, पर काम अलग। A B बराबर X Y, यह 2 लंबाइयों की बात है, पहले कौन लिखा, फ़र्क नहीं पड़ता। पर A B C congruent X Y Z, इसमें हर कोने के नाम की जगह एक वादा है। यहाँ दिखाएँगे कि नामों का क्रम हिसाब किताब नहीं, वही असली दावा है। पहला त्रिभुज, ऊपर C, नीचे बाएँ A, नीचे दाएँ B।

दूसरा, ऊपर X, नीचे बाएँ Y, और दाईं ओर Z, और यह टेढ़ा घुमा हुआ बना है। दोनों congruent हैं, पर कौन सा कोना किससे मेल खाता है? ABC में, A B बराबर 7, B C बराबर 6, और C A बराबर 5, तीनों अलग। इसलिए निशान भी अलग, एक लकीर, 2 लकीरें, 3 लकीरें। X Y Z पर भी यही 3 तरह के निशान, बस अलग जगह पर। नियम सीधा, बराबर निशान वाली भुजा, बराबर निशान वाली भुजा पर ही गिरनी चाहिए।

लालच होता है कि चित्र में जगह देखकर जोड़ो, ऊपर वाला ऊपर वाले से, नीचे बाएँ वाला नीचे बाएँ वाले से। तब लिखा जाएगा, C A B congruent X Y Z। पर ऊपर रखकर देखो, यह गलत है, भुजाएँ गलत भुजाओं पर गिरती हैं। दूसरा त्रिभुज घुमा हुआ है, इसलिए चित्र की जगह धोखा देती है। गिनो, इस जोड़ी में 3 में से 0 भुजाएँ बराबर भुजाओं पर गिरती हैं, जैसे C A, जो 5 है, X Y पर, जो 7 है।

A, B, C को X, Y, Z से जोड़ने के 6 तरीके हैं। इनमें से सिर्फ़ 1 में हर भुजा बराबर भुजा पर गिरती है। A का जोड़ीदार X, B का जोड़ीदार Y, C का जोड़ीदार Z। यानी निशान देखो, जगह नहीं। एक फ़ैसला, और उससे 3 सूचियाँ निकलती हैं, पहली, मेल खाते कोने। दूसरी, मेल खाती भुजाएँ, A B का जोड़ीदार X Y, B C का जोड़ीदार Y Z, C A का जोड़ीदार Z X।

तीसरी, मेल खाते angles, A का जोड़ीदार X, B का जोड़ीदार Y, C का जोड़ीदार Z। और तीनों भुजाएँ बराबर, तीनों angles बराबर, सब उसी एक जोड़ी से। इसकी लिखावट होती है, A B C congruent X Y Z। पहला कोना पहले से, दूसरा दूसरे से, तीसरा तीसरे से, हर तीर का मतलब, इसका मेल उससे। यानी यह वाक्य सिर्फ़ इतना नहीं कहता कि त्रिभुज मिलते हैं, यह भी कहता है कि कैसे मिलते हैं।

बराबर का निशान 2 संख्याओं के बीच लगता है, congruent का निशान 2 क्रम वाले नामों के बीच। अब सिर्फ़ पहला नाम बदलो, A C B congruent X Y Z। अब वादा है, C का मेल Y से, और B का Z से। ऊपर रखकर देखो, यह गलत है। क्योंकि अब A C, जो 5 है, का जोड़ीदार X Y बनता है, जो 7 है। मज़े की बात, A C B और A B C, एक ही त्रिभुज के नाम हैं, वही 3 कोने।

चित्र ज़रा भी नहीं बदला। फिर भी वाक्य सही से गलत हो गया, क्योंकि दावा चित्र का नहीं, जोड़ी का था। अब दोनों तरफ़ एक जैसा बदलाव, दूसरे और तीसरे कोने के नाम की अदला बदली, A C B congruent X Z Y। जोड़ियाँ वही रहीं, A X, C Z, B Y। और वाक्य सही। नियम, दोनों नाम एक जैसे बदलो, या बिल्कुल मत बदलो। और अगर पूरे नाम ही आपस में बदलें, X Y Z congruent A B C?

यह भी सही, जोड़ियाँ वही, A का X, B का Y, C का Z। इस हद तक यह बराबर जैसा है, A B बराबर X Y, और X Y बराबर A B, दोनों सही। मना है बस एक नाम के अंदर का क्रम अकेले बदलना। सही लिखा वाक्य अपने आप सूचियाँ दे देता है, A C B congruent X Z Y से पढ़ो। पहले 2 कोने, A C का जोड़ीदार X Z, फिर C B का Z Y, फिर B A का Y X।

तीनों जोड़ियाँ सच में बराबर, 3 की 3। और बीच वाले कोने, C और Z, उनके angles भी बराबर। इसीलिए क्रम सही लिखना इतना काम का है, आगे हर हिस्सा बिना चित्र देखे पढ़ा जा सकता है। पहले नाम के 6 क्रम, दूसरे के 6, एक संग लिखने के कुल 36 तरीके। इनमें सही सिर्फ़ 6। और ये 6 वही हैं, जिनमें दोनों नाम एक ही तरह बदले गए। और ध्यान रहे, इन सभी 36 वाक्यों में चित्र हर बार वही था, बदला सिर्फ़ दावा।

खुद करो, H E N congruent B I G। जोड़ियाँ तय हैं, H का जोड़ीदार B, E का जोड़ीदार I, N का जोड़ीदार G। इसी जोड़ी को कितने तरह से लिख सकते हो? सुराग, जोड़ियाँ मत तोड़ो, बस उनका क्रम बदलो। कुल 6, हर एक में जोड़ियों का बस क्रम बदला है। जैसे, E N H congruent I G B, या N E H congruent G I B। दिए हुए के अलावा 5 और।

तो लिखने का एक ही सही तरीका नहीं, ज़रूरी है दोनों नामों का आपस में मेल। अब एक आयत A B C D, 5 गुणा 3, और विकर्ण B D। त्रिभुज A B D और C D B, आयत की 2 बराबरियाँ, और साझी भुजा B D, तो SSS से congruent। पर इसे लिखें कैसे? त्रिभुज सच में congruent हैं, फिर भी गलत वाक्य लिखना आसान है, और यही देखना है।

एक आकर्षक जोड़ी, A का जोड़ीदार C, B का जोड़ीदार B, D का जोड़ीदार D। हर कोना एक बार आया, तो ठीक लगती है? पर इससे A B, जो 5 है, C B पर गिरती है, जो 3 है। दोनों त्रिभुज काटकर इस जोड़ी से रखो, तो नहीं मिलते, यह गलत है। सुधार, बराबर भुजाओं का पीछा करो, A B बराबर C D, तो A B का मेल C D से।

यहाँ 6 जोड़ियों में सिर्फ़ 1 चलती है। A का जोड़ीदार C, B का जोड़ीदार D, D का जोड़ीदार B। यानी A B D congruent C D B, और यह सही। जाँचो, A D, जो 3 है, का जोड़ीदार C B, वह भी 3, और B D का जोड़ीदार D B, वही साझी भुजा। हर कोना एक बार आ जाए, इतने से जोड़ी सही नहीं होती। जाँच, हर भुजा बराबर भुजा पर गिरे।

यानी त्रिभुज सच में congruent हों, तब भी वाक्य गलत लिखा जा सकता है। जोड़ी की परीक्षा भुजाओं से होती है, नामों की गिनती से नहीं। R E बराबर 3 दशमलव 5, E D बराबर 5, D R बराबर 6, और J A बराबर 3 दशमलव 5, A M बराबर 5, M J बराबर 6 सेंटीमीटर। बराबर भुजाएँ जोड़ो, R E का जोड़ीदार J A, तो R का J, E का A, D का M।

R E D congruent J A M, SSS से, और यह सही। और 6 जोड़ियों में यही 1 चलती है। चित्र में J A M पलटा हुआ बना है, फिर भी पलटना जायज़ चाल है, वाक्य सही रहता है। एक तीर जैसी आकृति, ऊपर D, नीचे बाएँ F, नीचे दाएँ G, और बीच में ऊपर धँसा हुआ E। D F बराबर D G, F E बराबर G E, और D E साझी।

सही लिखावट, D F E congruent D G E, यह सही। पर D F E congruent D E G, यह गलत, त्रिभुज वही, जोड़ी गलत। सवाल अक्सर ऐसी ही गलत जोड़ी लिखकर देते हैं, पकड़ना तुम्हारा काम है, निशान देखो, भुजाएँ मिलाओ। एक वर्ग A B C D, विकर्ण A C, त्रिभुज A B C और A D C। यहाँ 2 अलग जोड़ियाँ चलती हैं, A B C congruent A D C, और A B C congruent C D A भी।

जिन 2 त्रिभुजों में हर एक की तीनों भुजाएँ आपस में बराबर हों, उनमें सभी 6 जोड़ियाँ चलती हैं। और जिनकी तीनों भुजाएँ अलग, जैसे A B C और X Y Z, वहाँ सिर्फ़ 1। वर्ग वाले त्रिभुज में A B और B C, दोनों की लंबाई 4, ये 2 बराबर भुजाएँ जगह बदल सकती हैं, इसलिए 2 जोड़ियाँ। और जिसकी कोई 2 भुजाएँ बराबर नहीं, वहाँ अदला बदली की कोई गुंजाइश नहीं।

ध्यान रहे, यहाँ 6 की 2 अलग गिनतियाँ हैं। एक, किसी एक तय जोड़ी को लिखने के 6 तरीके, जैसे H E N और B I G। दूसरी, 2 त्रिभुजों के बीच कितनी अलग जोड़ियाँ चलती हैं, जो 1, 2 या 6 हो सकती हैं। इन दोनों को मिला देना इस विषय की सबसे आसान गलती है। याद रखो, congruent वाला वाक्य एक जोड़ी का वादा है। कोने जगह जगह से मिलते हैं, पहला पहले से, दूसरा दूसरे से।

क्रम बदलो तो दोनों नाम एक जैसे। जोड़ी निशानों से पढ़ो, चित्र की जगह से नहीं। हर भुजा बराबर भुजा पर गिरे, तभी वाक्य सही।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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