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Chapter 1 · Geometric Twins

RHS: right angle वाली ख़ास हालत

Congruence criteria for triangles10 मिनट

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2 भुजाएँ और ऐसा angle जो उनके बीच न हो: SSA, और इसकी कोई गारंटी नहीं, क्योंकि चाप लकीर को 2 बार काटकर 2 अलग त्रिभुज दे सकता है।

मुख्य idea

RHS, SSA वाली चेतावनी पर ऊपर से जोड़ा गया कोई अपवाद नहीं है; यह वह हालत है जिसमें SSA की दुविधा बेनुक़सान हो जाती है। दोनों बार chapter एक base बनाता है, दिए गए angle पर एक ray खड़ी करता है और दी गई radius उसके आर-पार घुमाता है, और दोनों बार arc दो बार काटता है। फ़र्क़ इसमें है कि दूसरा कटान कहाँ गिरता है। angle को right angle बना दो, तो दोनों कटान base के उलटी तरफ़ बैठते हैं, इसलिए दूसरा triangle पहले वाले का पलटा हुआ रूप होता है — और पलटने की छूट तो हमेशा से थी। angle को 30° पर ही रहने दो, जैसा p.11 वाले counterexample में था, तो दोनों कटान एक ही तरफ़ गिरते हैं, जहाँ कोई पलटना तुम्हें नहीं बचा सकता। इसलिए right angle कोई जादुई चीज़ नहीं है; यह वह चीज़ है जो दोनों जवाबों को फिर से दर्पण वाली जगहों पर ले आती है।

आपको क्या आना चाहिए

  • RHS condition बताना, और नाम लेना कि कौन-से तीन हिस्से मेल खाने चाहिए
  • right-angled triangle में hypotenuse पहचानना
  • base, perpendicular और arc से चार क़दमों वाला construction करना
  • समझाना कि arc, perpendicular से base के दोनों ओर ज़रूर क्यों मिलता है
  • base को मोड़ वाली line मानकर तर्क देना कि बनने वाले दोनों triangles congruent हैं
  • ठीक-ठीक बताना कि यह हालत SSA वाले counterexample से कैसे अलग है
  • chapter की पाँच काफ़ी conditions वाली सूची सुनाना, और बताना कि उसमें क्या नहीं है
  • अक्षरों वाले right-angled triangles की एक जोड़ी पर RHS लगाना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
right-angled triangleऐसा triangle जिसका एक angle 90° का होसमकोण त्रिभुज§1.2, Part II, pp.16–17 में, और SUMMARY, p.22 में छपा
hypotenuseright-angled triangle की वह भुजा जो उसके right angle के सामने हैकर्ण§1.2, Part II, p.17 में, और SUMMARY, p.22 में bold में छपा
RHS conditionएक right angle, एक hypotenuse और एक दूसरी भुजा, जिनसे congruence पक्की हो जाती हैसमकोण-कर्ण-भुजा (RHS) प्रतिबंध§1.2, Part II, p.17 में bold में छपा
perpendicularदी गई line से right angle परलंब§1.2, Part II, p.16 में छपा
arccircle का एक हिस्सा, किसी centre से तय radius पर घुमाया हुआचाप§1.2, Part II, pp.16–17 में छपा
sufficientअपने-आप में नतीजे को पक्का करने के लिए काफ़ीपर्याप्त§1.2, Part II, p.17 में, पाँच की सूची के ऊपर वाले bold heading में छपा
guaranteeवह जो कोई condition करती है जब वह congruence को सिर्फ़ मुमकिन नहीं, बल्कि पक्का कर देती हैसुनिश्चित करना§1.2, Part II, pp.12, 16–17 में छपा
special caseएक सँकरी हालत जिसमें आम तौर पर भरोसे लायक़ न होने वाली जानकारी भी काम कर जाती हैविशेष स्थिति§1.2, Part II, p.16 में छपा
extensionबनाई गई line को उस point से आगे बढ़ाना जहाँ वह रुकी थीविस्तार§1.2, Part II, p.17 में छपा
legright-angled triangle की hypotenuse के अलावा किसी भुजा का आम नामसमकोण-भुजाइस पाठ का शब्द, इस chapter में नहीं छपा — किताब इसे बस भुजा कहती है
Pythagoras' theoremright-angled triangle की तीनों भुजाओं के बीच का संबंधपाइथागोरस प्रमेयइस पाठ का हवाला, इस chapter में नहीं छपा — व्याख्या में इसका सहारा मत लेना
fold lineउस line के लिए इस पाठ का नाम जिस पर दूसरा triangle पलटा जाता हैमोड़ रेखाइस पाठ का शब्द, इस chapter में नहीं छपा

हिंदी column में NCERT की standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। इस brief के लिए Ganita Prakash Part II का हिंदी संस्करण उपलब्ध नहीं था — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "RHS साबित करता है कि आख़िरकार SSA काम करता है।" नहीं करता। SSA अब भी नाकाम होता है, और chapter वह नाकामी दर्ज रखता है। RHS यह कहता है कि SSA जैसी यह ख़ास हालत सुरक्षित है, एक ऐसी वजह से जो तस्वीर में दिखती है।
  • "right-angled triangle की कोई भी दो भुजाएँ चलेंगी।" दोनों में से एक hypotenuse होनी चाहिए। उसकी जगह एक right angle और दोनों छोटी भुजाएँ दो, तो तुम SAS वाली हालत में हो, जो भी काम करती है — पर अलग वजह से, और chapter ध्यान से सिर्फ़ hypotenuse वाले रूप को RHS नाम देता है।
  • "hypotenuse नीचे वाली भुजा है" या "तिरछी वाली।" यह वह भुजा है जो right angle के सामने है, triangle page पर चाहे जैसे भी बैठा हो। p.16 के sketch में यह तिरछी है और p.20 की exercise में इसका नाम सिर्फ़ उसके अक्षरों से है — दोनों इस्तेमाल करो।
  • "arc, base के नीचे वाली line से चूक सकता है।" नहीं चूक सकता। base, Q पर l के perpendicular है, इसलिए Q, l का R से सबसे पास वाला point है; arc उससे आगे जितनी भी दूरी तक पहुँचता है, उतना ही ऊपर और उतना ही नीचे पहुँचता है। यह बात शब्दों में कहो, बिना किसी formula के।
  • "दूसरा हल मतलब हमेशा यह कि दी गई जानकारी काफ़ी नहीं थी।" पूरा chapter इसी धारणा के ख़िलाफ़ अभ्यास करा रहा है, और अब तक यह दो बार ग़लत और एक बार सही निकली है। मायने यह रखता है कि दूसरा हल पहले वाले का पलटा हुआ रूप है या नहीं।
  • "पाँच conditions हैं, तो पाँच चीज़ें रटनी हैं।" AAS, angle sum से ASA में बदल जाता है, और RHS एक सुधारा हुआ SSA है। पाँच में से दो नतीजे हैं, मूल मान्यताएँ नहीं।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 1.3 Q2

पूरा transcript1,466 शब्द

त्रिभुजों को congruent साबित करने में एक चेतावनी है, S S A से गारंटी नहीं मिलती। S S A यानी 2 भुजाएँ और एक ऐसा angle जो उनके बीच न हो, तब चाप 2 बार कट सकता है, और 2 अलग त्रिभुज बन सकते हैं। पर एक हालत ऐसी है, जहाँ यही बनावट पक्का जवाब देती है। वहाँ भी चाप 2 बार कटता है, पर दूसरा जवाब पहले का पलटा हुआ रूप निकलता है, और congruent की जाँच में पलटना जायज़ है।

B C बराबर Y Z, 4 सेंटीमीटर। B पर और Y पर right angle, 90 degree। और A C बराबर X Z, 5 सेंटीमीटर। और 2 भुजाएँ और एक angle, जो दोनों भुजाओं के बीच नहीं, यानी दिखने में S S A जैसा। और ऐसी हालत में डर लगता है कि 2 जवाब निकलेंगे, देखते हैं क्या होता है। ध्यान से देखो, A C, B वाले right angle के ठीक सामने है।

right angle के सामने वाली भुजा को hypotenuse कहते हैं। B C, बाकी 2 छोटी भुजाओं में से एक। कौन सी भुजा कौन सी है, यही इस शर्त का असली हिस्सा है। पहले कच्चा चित्र, ऊपर P, नीचे बाएँ Q, जहाँ right angle का छोटा चौकोर निशान, और नीचे दाएँ R। नीचे Q R, 4, और ढलान पर P R, 5। यहाँ P, Q, R, वही काम कर रहे हैं जो A, B, C।

कच्चा चित्र इसलिए, ताकि पहले तय हो जाए कि आधार कौन सी भुजा बनेगी, और चाप किस कोने से घुमाना है। पहला कदम, Q R, 4 सेंटीमीटर। दूसरा, Q पर Q R से right angle बनाती एक सीधी लकीर, l। ध्यान रहे, l एक पूरी सीधी लकीर है, आधार के ऊपर भी और नीचे भी। तीसरा, R को केंद्र मानकर 5 radius का चाप, जब तक l को न काटे।

चौथा, कटान का नाम P रखो, और P को R से जोड़ो। नापो तो P Q, 3 सेंटीमीटर, यह हमने हिसाब से निकाला, दिया नहीं गया था। अब असली सवाल, l को Q R के नीचे भी बढ़ाओ, क्या चाप वहाँ भी मिलता है? हाँ, नीचे भी, Q से 3 नीचे, जैसे ऊपर 3 ऊपर था। यानी चाप फिर 2 बार कटा, एक ऊपर, एक नीचे। दूसरा कटान ही S S A की हालत में खतरा बनता है, तो यहाँ ध्यान से देखना होगा।

नीचे वाले बिंदु से भी एक त्रिभुज बनता है। उसमें भी Q पर 90 degree, Q R, 4, और hypotenuse, 5। तो क्या यह कोई दूसरा त्रिभुज है? Q R को मोड़ने वाली लकीर मानो, ऊपर वाला त्रिभुज मुड़कर ठीक नीचे वाले पर गिरता है। यानी दोनों पलटने से मिल जाते हैं। और congruent की जाँच में पलटना जायज़ चाल है। इसलिए यहाँ 2 कटान होना कोई खतरा नहीं, दोनों एक ही जवाब हैं।

दोनों में Q पर 90, Q R, 4, और hypotenuse, 5, सब कुछ मेल खाता है, बस एक ऊपर, एक नीचे। कोई सोचे, हो सकता है नीचे चाप l तक पहुँचे ही नहीं। नहीं, l पर R के सबसे पास का बिंदु Q ही है, 4 दूर, क्योंकि Q पर right angle है। चाप जितना भी इससे आगे पहुँचे, ऊपर और नीचे बराबर पहुँचता है। radius 5 से 12 तक हर चाप, ऊपर नीचे बराबर दूरी पर कटता है।

अब 4 का चाप बस Q को छूता है, और 1 से 3 तक के चाप पहुँचते ही नहीं। सीधे शब्दों में, Q से ऊपर जितना चलो, R से दूरी उतनी ही बढ़ती है जितनी नीचे उतना चलने पर। तुलना के लिए S S A की एक हालत लो, आधार 6, 30 degree, चाप 4। वहाँ भी 2 कटान हैं, पर दोनों आधार के ऊपर, एक ही तरफ़। और उन 2 त्रिभुजों को कोई चाल नहीं मिलाती।

फ़र्क कटानों की गिनती में नहीं, इसमें है कि दूसरा कटान कहाँ गिरता है। वहाँ लकीर 30 degree पर झुकी है, और यहाँ l, Q R से right angle पर खड़ी है। l को 90 की जगह हर पूरी degree पर झुकाकर देखो, 1 से 179 तक। नीचे वाले कटान पर Q का angle, दिए हुए angle के बराबर, सिर्फ़ 90 पर। और दोनों कटान एक दूसरे की परछाईं भी सिर्फ़ 90 पर।

क्योंकि नीचे वाले त्रिभुज में Q पर 180 में से दिया angle घटाकर बचता है, और यह दिए angle के बराबर तभी जब वह 90 हो। तो right angle कोई जादू नहीं, बस वही चीज़ जो 2 जवाबों को परछाईं की जगह पर ले आती है। एक उदाहरण लो, l को 60 degree पर झुकाओ। ऊपर वाले कटान पर Q का angle, 60, जैसा दिया है। नीचे वाले पर, 120, यह तो दी हुई शर्त ही पूरी नहीं करता।

हर झुकाव पर यही होता है, 1 से 179 तक सभी 179 में, नीचे वाला angle, 180 में से झुकाव घटाकर। और 180 में से घटाकर वही बचे, ऐसा सिर्फ़ 90 पर होता है, इसलिए right angle ही खास है। इसी आधार पर S S S, यानी Q से 3 और R से 5 के चाप, भी 2 बार कटते हैं, और दूसरा कटान पहले का पलटा हुआ, कोई दिक्कत नहीं।

पर 30 degree वाली हालत में भी 2 कटान, और दूसरा बिल्कुल अलग आकार, यही दिक्कत है। और यहाँ फिर 2 कटान, दूसरा पलटा हुआ, कोई दिक्कत नहीं। तो दूसरा जवाब मिलने से घबराओ मत, बस यह देखो कि वह पहले का पलटा हुआ रूप है या नहीं। congruent की जाँच का यही सबक है, 2 जवाब अपने आप खतरा नहीं, खतरा तब है जब वे परछाईं न हों। right angle के सामने वाली भुजा, hypotenuse।

यह नीचे वाली भुजा नहीं, न ही ज़रूरी कि तिरछी हो, जो भी right angle के सामने हो, वही। देखो, 200 right angle वाले त्रिभुज, किसी भी तरफ़ घुमे हुए, सभी 200 में hypotenuse सबसे लंबी भुजा। इसीलिए hypotenuse का चाप Q तक की दूरी से बड़ा होना चाहिए, वरना वह l तक पहुँचेगा ही नहीं। नियम, 2 right angle वाले त्रिभुजों में, hypotenuse बराबर और एक और भुजा बराबर, तो दोनों congruent।

नाम R H S, R यानी right angle, H यानी hypotenuse, S यानी एक और भुजा। इसे 200 बार बनाओ, ऊपर वाला कटान या नीचे वाला, कहीं भी, सभी 200 congruent। अगर Q R की जगह दूसरी छोटी भुजा, 3, दी होती? आधार 3, right angle, और 5 का चाप, तीसरी भुजा निकलती है 4। और यह वही त्रिभुज है, P Q R पर बैठ जाता है। यानी hypotenuse और कोई भी एक छोटी भुजा, इतना काफ़ी है।

तो क्या right angle वाले त्रिभुज में कोई भी 2 भुजाएँ चलेंगी? अगर right angle और 2 छोटी भुजाएँ दी हों, 3 और 4, तो right angle उनके बीच है। यह तो S A S है, वह भी यही त्रिभुज देता है, पर दूसरी वजह से। R H S नाम सिर्फ़ उस हालत का है, जिसमें एक भुजा hypotenuse हो। कोई कहे, तो आखिर S S A की बात चल ही गई।

नहीं, S S A की चेतावनी अब भी सही है, आम तौर पर वह त्रिभुज तय नहीं करता। R H S बस इतना कहता है कि S S A जैसी यह एक खास हालत सुरक्षित है, और उसकी वजह चित्र में दिखती है। अब पूरी सूची, 5 शर्तें, S S S, फिर S A S, फिर A S A, फिर A A S, और आखिर में R H S। और S S A इस सूची में नहीं है, जान बूझकर।

क्योंकि वह गारंटी नहीं देता, और सूची में सिर्फ़ पक्की शर्तें हैं। R H S में दूसरा कटान पलटा हुआ निकला, इसलिए वह इस सूची में है। यहाँ 5 नाम, पर 5 अलग बातें रटने की ज़रूरत नहीं। A A S में तीसरा angle 180 में से घटाकर मिलता है, और सवाल A S A बन जाता है। और R H S असल में वही S S A है, जिसे right angle ने सुधार दिया।

यानी 5 में से 2 तो नतीजे हैं, नई बुनियादी बातें नहीं। खुद करो, A B बराबर D F, B पर और D पर right angle, और A C बराबर F E। hypotenuse कौन सी भुजाएँ हैं, और कौन से त्रिभुज congruent निकलते हैं? A C, B के right angle के सामने, और F E, D के सामने, दोनों hypotenuse। right angle, hypotenuse, और एक भुजा, A B बराबर D F, तो R H S।

मान लो A B और D F, 6, और A C और F E, 10। जोड़ी, B का D, A का F, C का E, यानी A B C congruent F D E। और congruent होने से बाकी भुजाएँ भी बराबर, B C और D E, दोनों 8। याद रखो, right angle वाली बनावट में भी चाप 2 बार कटता है। पर दूसरा कटान आधार के दूसरी तरफ़, ठीक परछाईं, पलटा हुआ त्रिभुज।

hypotenuse, right angle के सामने वाली भुजा। right angle, hypotenuse और एक भुजा बराबर, तो congruent। और S S A की चेतावनी आम तौर पर अब भी कायम है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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