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Chapter 1 · Geometric Twins

ASA और AAS: दो angles तीसरे को तय करने के लिए काफ़ी हैं

Congruence criteria for triangles11 मिनट

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एक भुजा और उसके दोनों सिरों पर angles दिए हों, तो त्रिभुज तय होता है, क्योंकि 2 सीधी किरणें ज़्यादा से ज़्यादा 1 बार मिलती हैं: ASA।

मुख्य idea

AAS याद रखने लायक़ एक और नई चीज़ जैसा दिखता है, पर है नहीं। triangle के तीनों angles 180° से बँधे हैं, इसलिए उनमें से दो जान लेने पर तीसरा मुफ़्त में मिल जाता है — तो जो सवाल तुम्हें दो angles और एक ऐसी भुजा देता है जो उनके बीच नहीं है, उसे कोई भी geometry करने से पहले ऐसे सवाल में बदला जा सकता है जो दो angles और वह भुजा देता है जो उनके बीच है। chapter कोई नया नियम घोषित करने के बजाय यह हिसाब वाला बदलाव क़दम-दर-क़दम दिखाता है, और सबक़ यही है: कुछ conditions सच में नई जानकारी होती हैं और कुछ पुरानी ही होती हैं, बस भेस बदलकर। इन्हें अलग पहचान पाना पाँच छोटे नाम रटने से ज़्यादा क़ीमती है।

आपको क्या आना चाहिए

  • ASA condition बताना और angles की दी गई जोड़ी के लिए included side पहचानना
  • एक भुजा और उसके सिरों पर बने दो angles से triangle बनाना
  • साझा midpoint पर होने वाले कटान को SAS वाली हालत के रूप में पहचानना, और बताना कि वह कौन-सी तीन बराबरियाँ देता है
  • vertically opposite angles को ऐसी बराबरी की तरह इस्तेमाल करना जिसके लिए कुछ नापना नहीं पड़ता
  • कटान वाली आकृति में correspondence पढ़ना, और यह निकालना कि दो segments बराबर हैं
  • triangle के दो angles से तीसरा angle निकालना
  • दी गई AAS जानकारी को ASA जानकारी में बदलना, और बताना कि ऐसा करना जायज़ क्यों है
  • समझाना कि AAS एक स्वतंत्र condition क्यों नहीं है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
ASA conditionदो angles और उनके कोनों को जोड़ने वाली भुजा, जिससे congruence पक्की हो जाती हैकोण-भुजा-कोण (ASA) प्रतिबंध§1.2, Part II, p.12 में bold में छपा
AAS conditionदो angles और कहीं और की एक भुजा, जिससे भी congruence पक्की हो जाती हैकोण-कोण-भुजा (AAS) प्रतिबंध§1.2, Part II, p.16 में bold में छपा
included sideदोनों नाम वाले angles के कोनों के बीच चलने वाली भुजाअंतर्गत भुजा§1.2, Part II, p.12 में एक उप-शीर्षक में छपा — "Two Angles and the Included Side"
vertically opposite anglesकिसी कटान के आर-पार आमने-सामने वाले angles की जोड़ी, जो हमेशा बराबर होती हैशीर्षाभिमुख कोण§1.2, Part II, p.13 में छपा
midpointकिसी segment के ठीक आधे रास्ते पर का pointमध्य-बिंदु§1.2, Part II, pp.12–13 में छपा
alternate anglesबराबर angles की वह जोड़ी जो एक transversal दो parallel lines के साथ बनाती है, उसके उलटी तरफ़एकांतर कोण§1.2, Part II, p.13 में, और §1.3, p.20 में छपा
transversalदो lines के आर-पार कटने वाली lineतिर्यक रेखा§1.3, Part II, p.20 में छपा
parallelplane की ऐसी दो lines के लिए जो कभी नहीं मिलतींसमांतर§1.2, Part II, p.13 में, और §1.3, p.20 में छपा
corresponding sidesभुजाओं की वे जोड़ियाँ जो superimposition में मिल जाती हैंसंगत भुजाएँ§1.2, Part II, p.13 में छपा
sum of the anglesयह तथ्य कि triangle के तीनों angles का जोड़ 180° होता हैकोणों का योग§1.2, Part II, p.15 में छपा और इस्तेमाल हुआ
equiangularजिसके सभी angles बराबर होंसमान कोणों वालाइस पाठ का शब्द, इस chapter में नहीं छपा
degreesवह इकाई जिसमें angles नापे जाते हैंअंशकक्षा 6 और उससे पहले से आया — यह शब्द ख़ुद इस chapter में कहीं नहीं छपा, जो सिर्फ़ ° चिह्न इस्तेमाल करता है (67 बार)। यह चिह्न जिस चीज़ को दिखाता है उसके लिए इस पाठ का शब्द।

हिंदी column में जहाँ standard शब्द मौजूद है वहाँ NCERT की standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है, और जहाँ नहीं है वहाँ सीधा-सादा वर्णन — equiangular को नाम देने के बजाय "समान कोणों वाला" कहकर समझाया गया है, क्योंकि सबसे सीधा गढ़ा हुआ शब्द समकोण से टकराता है, जो right angle का शब्द है। इस brief के लिए Ganita Prakash Part II का हिंदी संस्करण उपलब्ध नहीं था — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "ASA और AAS दो अलग नियम हैं जिन्हें रटना है।" ये एक नियम और उसका एक नतीजा हैं। chapter AAS को छह छपी हुई lines में निकालता है, angle sum के सिवा कुछ इस्तेमाल किए बिना। जो student यह निकालना समझ लेता है, वह नियम भूल नहीं सकता।
  • "अगर दी गई भुजा angles के बीच नहीं है, तो तुम अटक गए।" यह SSA वाली आदत को वहाँ लगाना है जहाँ उसकी जगह नहीं। दो angles दिए हों तो तीसरा मुफ़्त है, इसलिए एक भुजा और दो angles की कोई भी बनावट कभी अधूरी तय नहीं होती। p.12 वाली SSA हालत से इसकी तुलना साफ़-साफ़ करो।
  • "तीसरा angle नापना पड़ेगा।" तुम उसे निकालते हो। chapter का 180° में से घटाना काग़ज़ पर हिसाब है, protractor की reading नहीं, और यह ऐसे तरीक़े से बिल्कुल सटीक है जैसे कोई माप नहीं होता।
  • "दो angles triangle को तय कर देते हैं।" वे सिर्फ़ उसका आकार तय करते हैं। p.10 के एक जैसे angles वाले तीनों triangles यह पहले ही दिखा चुके हैं; माप भुजा तय करती है, और AAS को अब भी एक भुजा चाहिए।
  • "यह आकृति ASA वाले heading के नीचे है, तो यह ASA वाला सवाल ही होगा।" pp.12–13 की कटान वाली आकृति उसी उप-शीर्षक के नीचे है और SAS से तय होती है। किताब यही कहती है; जो व्याख्या सिर्फ़ headings पर नज़र डालती है, वह इसे ग़लत समझेगी।
  • "vertically opposite angles सिर्फ़ तब बराबर होते हैं जब आकृति सममित दिखे।" वे हर कटान पर बराबर होते हैं। यहाँ यह तथ्य एक माप के बराबर क़ीमती है, और इसीलिए दो midpoints काफ़ी हैं।
  • "congruence सवाल का अंत है।" कटान वाली आकृति में congruence सवाल का बीच है। सवाल यह पूछता था कि AB की तुलना CD से कैसी है, और congruence बस वह औज़ार है जो इसका जवाब देता है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 3 Q2, Figure it Out · 3 Q3, Figure it Out · 3 Q4, Figure it Out · 1.3 Q3

पूरा transcript1,568 शब्द

त्रिभुज तय करने वाली 2 पक्की सूचियाँ हैं, 3 भुजाएँ, और 2 भुजाएँ, उनके बीच के angle समेत। अब एक और सूची, एक भुजा लो, और उसके दोनों सिरों पर एक एक angle। क्या इतना काफ़ी है, और अगर भुजा angles के बीच न हो, तब क्या? दूसरा सवाल कोई नया नियम नहीं, पुराना ही नियम भेस बदलकर आता है। B C बराबर Y Z, 5 सेंटीमीटर। B पर 50 degree, C पर 30, और वैसे ही Y पर 50, Z पर 30।

भुजा B C ठीक उन 2 कोनों को जोड़ती है जहाँ angles हैं, यानी भुजा दोनों angles के बीच। ऐसे हर सवाल में पहली जाँच यही है, दी हुई भुजा किन angles के बीच है? पहले आधार B C, 5 सेंटीमीटर। B से 50 degree पर एक किरण। C से 30 degree पर दूसरी किरण, पीछे की ओर झुकी हुई। दोनों किरणें जहाँ मिलें, वही तीसरा कोना A। यहाँ 2 सीधी किरणें एक बार मिलती हैं, या बिल्कुल नहीं, 2 बार कभी नहीं।

इसलिए यहाँ चुनने को कुछ नहीं बचता, कोई दुविधा नहीं। और A पर जो angle बनता है, वह 100 degree। B और C पर 1 से 179 तक हर पूरी degree आज़माओ, कुल 32041 जोड़े। इनमें से 15931 जोड़ों में किरणें आधार के सामने एक बार मिलती हैं। और ये ठीक वही जोड़े हैं, जिनके दोनों angles का जोड़ 180 से कम। बाकी 16110 में किरणें कभी नहीं मिलतीं, और कहीं भी 2 बार नहीं।

और अगर दोनों angles का जोड़ ठीक 180 हो, जैसे 100 और 80? तब दोनों किरणें समांतर चलती हैं, कभी नहीं मिलतीं। ऐसे 179 जोड़े हैं, और किसी में भी किरणें नहीं मिलतीं। इसीलिए त्रिभुज के 2 angles मिलकर 180 से कम ही होने चाहिए, तीसरे के लिए जगह बचे। पूरी कक्षा यही बनाए, 200 बार, कहीं भी, किसी भी तरफ़। सभी 200 त्रिभुज, A B C के congruent। और X Y Z, अलग से, उलटा बनाया, वह भी A B C पर बैठ जाता है।

नियम, अगर 2 angles और उनके बीच की भुजा, दूसरे त्रिभुज के 2 angles और उनके बीच की भुजा के बराबर हों, तो congruent। नाम A S A, बीच में S, जैसे भुजा दोनों angles के बीच। S A S में angle बीच में होता है, A S A में भुजा बीच में। अब एक चित्र, ऊपर बाएँ A, ऊपर दाएँ C, नीचे बाएँ B, नीचे दाएँ D। A से D, और B से C, 2 लकीरें, जो O पर एक दूसरे को काटती हैं।

O दोनों का बीच का बिंदु है, A O बराबर O D, और B O बराबर O C। सवाल, A B और D C की लंबाई में क्या रिश्ता है? और 2 बराबरियाँ बीच के बिंदु से मिल गईं। तीसरी किसी ने नापी नहीं, O पर आमने सामने के angles, A O B और D O C, बराबर हैं। अब 200 बेतरतीब कटानों पर जाँचा, सभी 200 में आमने सामने के angles बराबर।

वजह, दोनों ही उसी एक सीधी लकीर के 180 में से, बीच वाला एक ही angle घटाकर बचते हैं। कोई सोचे, यह तभी होता है जब चित्र सुडौल दिखे। नहीं, हर कटान पर, यह चित्र तो टेढ़ा है, फिर भी। और यहाँ यही बात एक नाप के बराबर है, यही वजह है कि 2 बीच वाले बिंदु काफ़ी हैं। यह चित्र A S A के ठीक बाद आया है, तो मन करता है कि A S A ही लगेगा।

पर हमें क्या पता है? A O, D O, B O, C O, और O पर का angle, जो दोनों भुजाओं के बीच है। यानी 2 भुजाएँ और बीच का angle, यह S A S है, A S A नहीं। चित्र कहाँ आया, यह नहीं, दी हुई बातें देखकर नियम चुनो। जोड़ियाँ, A O का जोड़ीदार D O, B O का C O, और O का O। यानी A O B congruent D O C।

ऊपर रखकर देखो, सिर्फ़ यही एक जोड़ी चलती है। जोड़ी हमेशा बराबर भुजाओं और बराबर angles से पढ़ो, चित्र में जगह से नहीं। अब congruent होने से मुफ़्त में क्या मिला? A B और D C, मेल खाती भुजाएँ हैं। इसलिए A B बराबर D C, और यह लंबाई किसी ने नापी नहीं। और 200 बेतरतीब कटानों पर भी, जहाँ O दोनों का बीच हो, हर बार बराबर। सवाल A B और D C का था, congruent होना तो बस बीच का औज़ार था, अंत नहीं।

अब 2 पतले ऊँचे त्रिभुज, ऊपर A, नीचे बाएँ B, नीचे दाएँ C, और वैसे ही X, Y, Z। A और X पर 35 degree, C और Z पर 75, और आधार B C बराबर Y Z, 4। भुजा B C, B और C को जोड़ती है, पर angles A और C पर हैं, तो भुजा उनके बीच नहीं। भुजा angles के बीच में नहीं, तो क्या त्रिभुज पक्का नहीं होगा?

पर यहाँ एक बड़ा फ़र्क है, इस बार 2 angles दिए हैं, और त्रिभुज के angles आपस में बँधे हैं। तीनों का जोड़ हमेशा 180, इसलिए 2 पता हों, तो तीसरा मुफ़्त। यहाँ 180 में से 35 और 75 घटाओ, B पर बचता है 70 degree। और Y पर भी वही 70। यह चाँदे से नापा नहीं, कागज़ पर हिसाब से निकाला, और इसलिए बिल्कुल ठीक। तीसरा angle कोई नई जानकारी नहीं, पहले 2 का ही हिसाब है।

अब वही 2 त्रिभुज फिर बनाओ, बस एक नया निशान जोड़ो, B और Y पर 70। चित्र में और कुछ नहीं बदला, पर अब जो पता है, वह बदल गया। पहले चित्र में भुजा angles के बीच नहीं थी, दूसरे में है, बस एक संख्या लिख देने से। अब दी हुई बातें, B पर 70, B C बराबर 4, और C पर 75। और अब भुजा B C ठीक दोनों angles के बीच, यानी यह वही A S A वाला सवाल है।

इस तरह बनाओ, और A पर नापो, पूरे 35 degree, जैसा दिया था। तो A B C congruent X Y Z, A S A से। अगर B C की जगह A B बराबर 4 दी होती, तो? A पर 35, और हिसाब से B पर 70, और A B उनके बीच, फिर से A S A। बनाओ, और C पर नापो, वही 75 degree। यानी बीच में न होने वाली कोई भी भुजा हो, तीसरा angle उसे बीच में ले आता है।

मान लो किसी ने B का angle चाँदे से नापा, और 70 की जगह 71 पढ़ा। उससे बना त्रिभुज, A पर 34 degree देता है, 35 नहीं। और वह मूल त्रिभुज पर नहीं बैठता। इसीलिए घटाकर निकालना नापने से बेहतर, हिसाब में कोई चूक नहीं। और 2 angles और एक भुजा जो उनके बीच नहीं, इसे A A S कहते हैं। यह नया तथ्य नहीं, एक छोटा रास्ता है, 180 से घटाओ, और A S A।

A S A और A A S, 2 अलग नियम रटने की ज़रूरत नहीं, एक नियम, और उसका नतीजा। A पर और C पर हर पूरी degree के जोड़े लो, जिनमें तीसरे के लिए जगह बचे, ऐसे जोड़े कुल 15931। सभी 15931 में, घटाकर A S A बनाया, और बना त्रिभुज A पर वही angle वापस देता है। यहाँ 2 angles होने से तीसरा मुफ़्त है, इसलिए कोई दुविधा नहीं बचती।

अब 2 angles हों, तो भुजा कहीं भी हो, त्रिभुज एक ही बनता है। तो क्या 2 angles ही काफ़ी हैं? नहीं, वही 35 और 75 degree, पर आधार 8 पर, angles वही, A पर 35। पर यह 4 वाले पर नहीं बैठता, बड़ा है। angles आकार तय करते हैं, भुजा नाप, A A S में भी एक भुजा चाहिए। कुछ शर्तें सच में नई जानकारी होती हैं, जैसे S S S, S A S, A S A।

कुछ पुरानी शर्त का ही भेस हैं, जैसे A A S। इन्हें पहचानना, नाम रटने से ज़्यादा काम का है। खुद करो, ऊपर बाएँ D, ऊपर दाएँ C, नीचे बाएँ A, नीचे दाएँ B। C D और A B समांतर, और दोनों 6, D B और A C, O पर कटती हैं। समांतर लकीरों पर एकांतर angles बराबर, बीच में बराबर भुजाएँ, तो A S A से O D C और O B A congruent।

इसलिए D O बराबर O B, और C O बराबर O A, O दोनों को आधा करता है। ऊपर A, नीचे D, बीच में B C। B पर B C के दोनों तरफ़ 40 degree के बराबर angles, और C पर दोनों तरफ़ 65 degree के। B C साझी, और दोनों सिरों पर बराबर angles, तो A S A, A B C congruent D B C। और D असल में A ही है, B C के आर पार मोड़ा हुआ।

आखिरी, ऊपर बाएँ A, ऊपर दाएँ D, नीचे बाएँ B, नीचे दाएँ C, A C और D B आपस में कटती हैं। दिया है, A B D बराबर D C A, और A C B बराबर D B C। जोड़ो, तो B पर पूरा angle, C पर पूरे angle के बराबर, और B C साझी, A S A। बराबर हिस्से, A B बराबर D C, A C बराबर D B, और A पर का angle D पर के angle के बराबर, कुल 5 जोड़े सच।

याद रखो, 2 angles और उनके बीच की भुजा, A S A, त्रिभुज तय। देखो, 2 किरणें एक ही बार मिलती हैं, इसलिए कोई दुविधा नहीं। यहाँ 2 angles पता हों, तो तीसरा 180 से मुफ़्त। इसलिए बाहर की भुजा वाली यह शर्त, A S A का ही भेस है, नया नियम नहीं। और चित्र कहाँ आया, यह नहीं, दी हुई बातें देखकर नियम चुनो।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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