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Chapter 5 · Connecting the Dots...

समांतर माध्य (arithmetic mean): सबको बराबर हिस्सा

Representative values and variability13 मिनट

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एक बल्लेबाज़ 5 मैच में 110 रन, दूसरा 4 मैच में 96: कुल में पहला आगे, पर हर मैच का हिस्सा 22 बनाम 24 - दूसरा आगे। अलग आकार के समूहों की तुलना कुल से नहीं, हिस्से से होती है।

मुख्य idea

mean "जोड़ो और भाग दो" नहीं है — वह तो बस उसे निकालने का तरीक़ा है। mean एक बँटवारे वाले सवाल का जवाब है: अगर पूरा total बराबर हिस्सों में वापस बाँट दिया जाए, तो एक हिस्सा कितना बड़ा होगा? इस नज़र से देखें तो भाग देना कोई मनमाना दूसरा क़दम नहीं रहता, वही बँटवारा बन जाता है। और इससे वह एक बात समझ आती है जो total नहीं कर सकता: अलग-अलग आकार के दो समूहों की तुलना उनके हिस्से से की जा सकती है, उनके जोड़ से कभी नहीं — और ठीक इसी गतिरोध में chapter तब फँसता है जब एक batter ने पाँच matches खेले हैं और दूसरे ने चार।

आपको क्या आना चाहिए

  • बताना कि अलग-अलग आकार के दो समूहों की तुलना के लिए किसी समूह का total सही आधार क्यों नहीं है
  • किसी छोटे data set का arithmetic mean उसके total और उसकी गिनती से निकालना
  • mean को बराबर हिस्से की तरह समझाना: वह value जो total को बराबर कर देने पर हर सदस्य के पास होगी
  • बताना कि दर जैसी किसी मात्रा के mean का मतलब क्या है — रोज़ के फूल, प्रति match runs, प्रति व्यक्ति अमरूद
  • जब कोई value ग़ायब हो (कोई match खेला ही न गया हो), तो तय करना कि denominator क्या होना चाहिए, बजाय उसे zero मान लेने के
  • बारिश, mileage, पैदावार और कचरे के बारे में रोज़मर्रा के कथनों में mean पहचानना, और बताना कि हर कथन किस समूह का सारांश है
  • mean को उस भारतीय गणित-परंपरा से जोड़ना जिसने इसका नाम sama, यानी "बराबर", के आधार पर रखा

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
averageवह अकेली value जो values के पूरे समूह की जगह खड़ी होती हैऔसत§5.2 में bold में छपा, Part II, p.100
arithmetic meanvalues का total, बटा उनकी संख्यासमांतर माध्य§5.2 में bold में छपा, Part II, p.100, छोटे रूप A.M. के साथ
meanवही मात्रा, अपने सबसे छोटे नाम सेमाध्य§5.2 में bold में छपा, Part II, p.100
representativeऐसे एक number के लिए कहा जाता है जिसे बहुतों की ओर से बोलने के लिए चुना गया होप्रतिनिधिsection के शीर्षक "Representative Values" में छपा, §5.2, Part II, p.98
fair-sharemean को ऐसे पढ़ना कि total को बराबर बाँटने पर हर सदस्य को कितना मिलता हैसमान बँटवाराउप-शीर्षक "Average as Fair-Share" में छपा, §5.2, Part II, p.100
equal-shareवही पढ़त, chapter के दूसरे शब्दों मेंबराबर हिस्सा§5.2 में छपा, Part II, p.100
totalसमूह की हर value का जोड़योग§5.2 में छपा, Part II, pp.99, 102
consistentऐसे खिलाड़ी के लिए कहा जाता है जिसकी values पास-पास रहती हैंसंगत§5.1 में छपा, Part II, p.97 और फिर §5.2 में, Part II, p.99
samamitimean measure — arithmetic mean का एक संस्कृत नाम, sama यानी बराबर सेसमामिति§5.2 में छपा, Part II, p.101
samarajju628 CE में Brahmagupta का दिया नाम, जिसका अर्थ एक line का mean measure बताया गया हैसमरज्जु§5.2 में छपा, Part II, p.101
denominatorवह गिनती जिससे भाग देते हैं — यहाँ, समूह में कितने सदस्य हैंहरइस पाठ का शब्द; यह chapter number of values कहता है और यहाँ fraction के हिस्सों का नाम नहीं लेता
levellingऊँच-नीच को तब तक बराबर करना जब तक हर हिस्सा एक जैसा न हो जाएसमकरणइस पाठ की व्याख्या का शब्द; इस विचार के लिए chapter का अपना शब्द संस्कृत samīkaraṇa है, जो §5.2, Part II, p.101 पर छपा है

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है; संस्कृत वाली पंक्तियाँ किताब के अपने लिप्यंतरण हैं। Ganita Prakash Part II का हिंदी संस्करण उपलब्ध नहीं था — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "बड़ा total जीतता है।" p.100 का अमरूद वाला उदाहरण इसी को ख़त्म करने के लिए बनाया गया है: दो समूह, एक ही total, अलग-अलग हिस्से। किसी भी formula से पहले इसे दिखाइए।
  • "औसत हमेशा शुरुआती numbers में से ही एक होता है।" उलटा उदाहरण chapter ख़ुद देता है: Vaishnavi के पाँच दिन 2, 7, 9, 4, 3 हैं और छपा हुआ औसत 5 है, जो उन पाँच values में से नहीं है (Part II, §5.2, p.100)। उछाल वाला set संयोग है — 6, 2, 9, 5, 4, 6, 3, 5 का औसत भी 5 है, और वहाँ 5 सच में आता है, दो बार (Part II, §5.2, "Figure it Out" 1, p.101)। दोनों को अगल-बगल रखिए, और दाख़िलों वाले आँकड़ों से बात पक्की कीजिए, जिनका औसत ऐसा number है जो किसी भी साल का नहीं था।
  • "values की संख्या से भाग देना बस एक नुस्ख़ा है।" यह बँटवारा ही है। अगर व्याख्या किसी data set के लिए यह नहीं बता सकती कि क्या किनके बीच बाँटा जा रहा है, तो उसने उस data set को समझा नहीं है।
  • "ख़ाली ख़ाना zero गिना जाता है।" Yashasvi के Match 4 में dash का मतलब है कि उसने batting नहीं की; 0 का मतलब होता कि उसने batting की और कुछ नहीं बनाया। दोनों हिसाब अलग-अलग बैठते हैं: उसे 0 गिनने से denominator बदल जाता है और जोड़ वही रहता है; उसे छोड़ देने से कुछ नहीं बदलता। chapter दोनों को बाद में साफ़-साफ़ अलग करता है, Part II, §5.2, p.111 पर — इसकी ओर यहाँ इशारा कीजिए और आगे सौंप दीजिए।
  • "औसत हमेशा हर सदस्य का अच्छा वर्णन करता है।" यहाँ करता है, क्योंकि ये उदाहरण सीधे-सादे हैं। ठीक अगले उप-भाग में यह बुरी तरह नाकाम होता है — इस ग़लतफ़हमी को बंद करने के बजाय खुला रखिए, और Outliers, and why the median survives them को सौंप दीजिए।
  • "औसत और total एक ही विचार के दो शब्द हैं।" वे अलग-अलग सवालों के जवाब हैं: कुल कितना, बनाम हर एक को कितना। chapter की शुरुआती असहमति ठीक यही है कि दो students इन दो शब्दों को ऐसे इस्तेमाल करते हैं मानो ये एक हों।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 5.2 Q1, Figure it Out · 5.2 Q2, Figure it Out · 5.2 Q3, Figure it Out · 5.2 Q4, Figure it Out · 5.2 Q5

पूरा transcript1,636 शब्द

2 बल्लेबाज़, 4 मैच, पहले के रन 0, 17, 21, 90, दूसरे के 67, 55, 18, 35। किसने बेहतर खेला, इस पर बच्चे आपस में बहस कर रहे हैं। एक कहता है बराबर, क्योंकि दोनों 2 मैचों में आगे। दूसरा कहता है पहला, क्योंकि सबसे बड़ी पारी, 90, उसी की। तीसरा कहता है दूसरा, क्योंकि उसके कुल रन 175, पहले के सिर्फ़ 128। और चौथा कहता है, दूसरा ज़्यादा टिकाऊ, उसके रन 18 से 67 तक, फैलाव 49, पहले का फैलाव 90।

अब एक दूसरी सीरीज़, पहले ने 5 मैच खेले, रन 23, 7, 10, 52, 18। दूसरे के रन, 26, 53, 2, फिर एक मैच जो उसने खेला ही नहीं, फिर 15। कुल रन, पहले के 110, दूसरे के 96। कुल देखो, तो पहला आगे, 110 बनाम 96, पर क्या यह तुलना ठीक है? पहले ने 5 मैच खेले, दूसरे ने 4, जो ज़्यादा खेला, उसके कुल रन अपने आप ज़्यादा हो सकते हैं।

जब गिनती अलग हो, तब कुल रन तुलना का पैमाना नहीं रहता, बड़ा समूह बड़ा जोड़ बना ही लेता है। तो ऊँची पारियों को नीची पारियों से बराबर करो, कुल रन हर खेले गए मैच में बराबर बाँटो। पहले के 110 रन, 5 मैचों में, हर मैच 22। दूसरे के 96 रन, 4 मैचों में, हर मैच 24। कुल में पहला आगे, पर हिस्से में दूसरा आगे, 24 बनाम 22।

पहली सीरीज़ में दूसरे का हिस्सा, 175 बटा 4, बराबर 43 दशमलव 7 5 रन प्रति मैच। कोई भी पारी 43 दशमलव 7 5 रन की नहीं हो सकती, फिर भी यह हिस्सा ठीक है, क्योंकि यह बाँटा हुआ मान है, बनाया हुआ स्कोर नहीं। अब सवाल उल्टा, अगर दूसरा बल्लेबाज़ वह मैच खेलता, तो कितने रन पर उसका हिस्सा भी 22 हो जाता? यहाँ 5 मैचों में 22 का हिस्सा, यानी कुल 110, उसके रन 96, तो कमी 14, यानी उस मैच में 14 रन।

जाँच, 96 जोड़ 14, बराबर 110, बटा 5, फिर 22। जाँच, 22 गुणा 5, बराबर 110, और 24 गुणा 4, बराबर 96। हिस्सा गुणा गिनती, फिर वही कुल, यानी बाँटना और जोड़ना, एक दूसरे को लौटा देते हैं। नहीं खेले गए मैच को शून्य मत समझो, शून्य का मतलब है खेला, और कुछ नहीं बनाया। अगर उसे शून्य गिनो, तो 96 बटा 5, बराबर 19 दशमलव 2, एक गलत हिस्सा।

शून्य कुल को बदलता है, न खेलना गिनती को, और यही फ़र्क जवाब बदल देता है। पहले बल्लेबाज़ की 52 वाली पारी हटाकर देखो, बाकी 4 मैचों का कुल 58। हिस्सा 14 दशमलव 5, जबकि उस पारी को मिलाकर 22, एक बड़ी पारी ने पूरा हिस्सा ऊपर खींच लिया। यानी माध्य हर मान को सुनता है, बड़े मान को भी। उल्टी गलती भी होती है, पहली सीरीज़ में पहले बल्लेबाज़ का शून्य, असली पारी है, वह खेला और आउट हुआ।

उसे गिनती से हटाओ, तो 128 बटा 3, यानी 42 से ऊपर, जबकि सच्चा हिस्सा 32, जाँच, 32 गुणा 4, बराबर 128। तो नियम साफ़, खेला गया शून्य गिनती में, न खेला गया मैच गिनती से बाहर। नियम एक बार लिख लो, माध्य बराबर, सब मानों का जोड़, बटा मानों की गिनती। इसे औसत भी कहते हैं, एक संख्या जो पूरे समूह की तरफ़ से बोलती है। और इसकी इकाई भी बाँटने से आती है, रन प्रति मैच, अमरूद प्रति बच्चा, फूल प्रति दिन।

पहली सीरीज़ में गिनती बराबर, 4 और 4, तो हिस्से 32 और 43 दशमलव 7 5, और वहाँ कुल और हिस्सा एक ही फ़ैसला देते हैं। अब अमरूद, एक टोली में 5 बच्चे, तोड़े 3, 8, 10, 5, 4। दूसरी टोली में 6 बच्चे, तोड़े 5, 4, 6, 3, 4, 8। दोनों टोलियों का कुल, 30 और 30, बिल्कुल बराबर। कुल बराबर, तो क्या दोनों टोलियों ने बराबर अच्छा काम किया?

बराबर बाँटो, 30 अमरूद 5 बच्चों में, हर एक को 6। और 30 अमरूद 6 बच्चों में, हर एक को 5। कुल एक, हिस्से अलग, यही सबूत है कि कुल से फ़ैसला नहीं हो सकता। दोनों टोलियाँ मिलाओ, तो 60 अमरूद, 11 बच्चे। हिस्सा 5 और 6 के बीच, पर हिस्सों का बीच, 5 दशमलव 5, नहीं, उससे थोड़ा कम। क्योंकि बड़ी टोली का हिस्सा छोटा, और उसके बच्चे ज़्यादा, तो वह मिले हुए हिस्से को अपनी तरफ़ खींचती है।

अब तस्वीर सोचो, हर बच्चे के अमरूदों का एक खंभा, कोई ऊँचा, कोई नीचा। सबसे ऊँचे खंभे से एक अमरूद उठाओ, सबसे नीचे पर रखो, बार बार, कोई भाग नहीं। पहली टोली 6 चालों में सपाट, हर खंभा 6, दूसरी 4 चालों में, हर खंभा 5। जितने अमरूद हिस्से से ऊपर, पहली टोली में 6, ठीक उतने ही कमी वाले खंभों में जाते हैं, कमी भी 6। दूसरी टोली में ऊपर वाले 4, नीचे की कमी भी 4।

ऊपर का फ़ालतू और नीचे की कमी, हमेशा बराबर, इसीलिए माध्य को संतुलन का बिंदु कहते हैं। गिनती से भाग, कोई रटा हुआ दूसरा कदम नहीं, वही बाँटना है। हर आँकड़े के लिए कह सको, क्या बँट रहा है, और किनमें, रन मैचों में, अमरूद बच्चों में, तभी माध्य समझ आया। पहली टोली में एक नया बच्चा आए, जो 6 अमरूद लाए, तो हिस्सा वही, 6। पर वह 12 लाए, तो हिस्सा बढ़कर 7, हिस्से से ऊपर वाला मान हिस्से को ऊपर खींचता है।

और दूसरी टोली में हर बच्चा 1 अमरूद और तोड़े, तो हिस्सा ठीक 1 बढ़ता है, 5 से 6। एक गुड़हल का पौधा, 5 दिनों में फूल, 2, 7, 9, 4, 3। कुल 25, हर दिन का हिस्सा 5। मतलब, अगर हर दिन बराबर फूल खिलते, तो रोज़ 5, यह अगर वाली बात ही माध्य है। खंभों से सोचो, 7 और 9 वाले दिनों से 6 फूल उठाकर, कमी वाले दिनों में रखो, सब दिन 5 पर आ जाते हैं।

और ध्यान रहे, 5 फूल इन 5 दिनों में से किसी दिन नहीं खिले। गेंद के टप्पे, 8 कोशिशों में, 6, 2, 9, 5, 4, 6, 3, 5। कुल 40, हर कोशिश का हिस्सा 5। यहाँ भी बराबर करने में 6 चालें, ऊपर का फ़ालतू 1, 4 और 1। यहाँ 5 सच में 2 बार आया, पर यह संयोग है, माध्य का मानों में होना ज़रूरी नहीं। अब सोचो, 9 टप्पों वाली कोशिश में सिर्फ़ 1 टप्पा होता, तो कुल 8 कम, 32।

हिस्सा ठीक 1 घटकर 4, क्योंकि 8 की कमी, 8 कोशिशों में बराबर बँट गई। और 2 धावक, 7 दिन, पहले के सेकंड, 17, 18, 17, 16, 19, 17, 18। दूसरे के, 20, 18, 18, 17, 16, 16, 17। जोड़ो, दोनों के कुल 122 और 122 सेकंड, तो हिस्सा बिल्कुल बराबर, 17 और 18 के बीच। दिन दर दिन फ़र्क देखो, घटा 3, 0, घटा 1, घटा 1, 3, 1, 1, इनका जोड़ 0, इसीलिए हिस्से बराबर।

पहली नज़र में कोई तेज़ लगे, पर हिसाब के बाद, औसत में कोई आगे नहीं। एक स्कूल में 6 सालों के दाखिले, 1555, 1670, 1750, 2013, 2040, 2126। कुल 11154, हर साल का हिस्सा 1859। एक और औसत, पहले साल 1555, आखिरी साल 2126, बढ़त 571, 5 अंतरालों में, यानी औसतन हर साल 114 दशमलव 2। और 1859 दाखिले किसी भी साल नहीं हुए, माध्य एक बराबर किया हुआ मान है, असली मान नहीं।

एक बात हर बार सच, हिस्सा सबसे छोटे और सबसे बड़े मान के बीच ही रहता है। यहाँ के सारे 11 आँकड़ों में जाँचा, 11 में सच, और हर एक में हिस्सा गुणा गिनती, वापस कुल, 11 में से 11। बराबर करने में ऊँचे घटते हैं, नीचे बढ़ते हैं, तो सपाट स्तर उनके बीच ही बनता है। पुराने भारतीय गणित में इस मान के कई नाम, समरज्जु, साम्य, समामिति, और एक ऐसा नाम जिसका मतलब ही है, बराबर करना।

ये 4 नाम, और हर एक की जड़ में सम, यानी बराबर। बराबर करना, यानी वही जो अमरूदों के खंभों पर होता है, ऊँचे से उठाकर नीचे पर रखना। औसत हमारे चारों ओर है, बस हर बार एक सवाल, किस समूह पर बाँटा गया? बरसात के एक महीने में रोज़ औसतन 37 दशमलव 2 मिलीमीटर बारिश, यहाँ बाँटा गया दिनों पर। इसका मतलब यह नहीं कि रोज़ बरसा, कुछ दिन सूखे, कुछ दिन बहुत भीगे, औसत बस बराबर बाँटा हुआ हिस्सा है।

अब 31 दिन का महीना हो, तो कुल 1153 दशमलव 2 मिलीमीटर, पर हर दिन इतनी नहीं बरसी। एक स्कूटर, एक लीटर में औसतन 45 किलोमीटर, यहाँ बाँटा गया लीटरों पर। देखो, 3 लीटर में लगभग 135 किलोमीटर, चढ़ाई हो या भीड़, हर लीटर बराबर नहीं चलता। गेहूँ की पैदावार, एक इलाके में 4 दशमलव 7 टन प्रति हेक्टेयर, दूसरे में 2 दशमलव 9। यहाँ समूह है खेत के हेक्टेयर, और फ़र्क, औसतन हर हेक्टेयर 1 दशमलव 8 टन।

फ़ोन दिन में औसतन 58 बार देखा जाता है, हफ़्ते में 406 बार। और हर इंसान रोज़ औसतन 0 दशमलव 4 5 किलो कचरा बनाता है, एक मोहल्ले में 1000 लोग हों, तो रोज़ 450 किलो। यहाँ बाँटा गया लोगों पर भी, और दिनों पर भी, इसलिए समूह का नाम लेना ज़रूरी। तो हर औसत के नीचे एक समूह, दिन, लीटर, हेक्टेयर, लोग, वही बताता है कि किस पर बाँटा, और जवाब किसके बारे में है।

कुल और औसत, एक ही बात नहीं। कुल बताता है, सब मिलाकर कितना, औसत बताता है, हर एक का कितना, बल्लेबाज़ों वाली बहस में यही 2 सवाल आपस में उलझ गए। क्या औसत हमेशा हर सदस्य का सही हाल बताता है? यहाँ के आँकड़े सीधे, पर हमेशा ऐसा नहीं होता, एक बहुत बड़ा मान औसत को खींच सकता है, जैसे 52 वाली पारी ने खींचा। जब एक मान बाकी सबसे बहुत दूर हो, तब औसत किसका हाल बताता है, यह सवाल अभी खुला है।

माध्य, अगर कुल को सब में बराबर बाँटा जाए, तो एक का हिस्सा। माध्य बराबर जोड़ बटा गिनती, और भाग ही वह बाँटना है। अलग आकार के समूहों की तुलना कुल से नहीं, हिस्से से। न खेला गया मैच शून्य नहीं, वह गिनती से बाहर। माध्य हमेशा सबसे छोटे और सबसे बड़े के बीच, पर ज़रूरी नहीं कि किसी असली मान के बराबर हो।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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