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Chapter 5 · Connecting the Dots...

Outliers, और median उनके सामने क्यों टिका रहता है

Representative values and variability13 मिनट

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2 परिवार, लंबाइयाँ सेंटीमीटर में। दूसरे परिवार में 5 में से 4 लोग माध्य से ऊपर - क्योंकि एक अकेला 118 माध्य को 9 दशमलव 8 नीचे खींच लेता है।

मुख्य idea

mean total से बनता है, इसलिए हर value अपने ही आकार के बराबर वज़न से वोट देती है; इसलिए बाक़ियों से बहुत दूर बैठी एक value mean को उस जगह से खींचकर दूर ले जा सकती है जहाँ लगभग सारा data असल में बैठा है। median स्थान (position) से बनता है, इसलिए बहुत दूर बैठी value एक ही बार वोट देती है, चाहे वह कितनी भी दूर हो। बनावट का यही एक फ़र्क़ पूरा पाठ है — और इससे एक बोनस भी मिलता है: दोनों numbers की तुलना बताती है कि data किस तरफ़ झुका है। mean, median से नीचे हो तो कोई चीज़ नीचे वाले सिरे से खींच रही है; ऊपर हो तो कोई चीज़ ऊपर वाले सिरे से खींच रही है।

आपको क्या आना चाहिए

  • क्रम में लगी सूची का median निकालना, values की संख्या विषम हो तब भी और सम हो तब भी
  • समझाना कि सम संख्या वाली सूची में बीच साझा करने वाली दो values का औसत क्यों लेना पड़ता है
  • किसी छोटे data set में outlier पहचानना और बताना कि वह किस सिरे पर है
  • हर एक के निकालने के तरीक़े से समझाना कि outlier, mean को median से कहीं ज़्यादा क्यों हिलाता है
  • खिसकाव की दिशा का अनुमान लगाना: नीचे का outlier mean को median से नीचे धकेलता है, ऊपर का outlier ऊपर
  • outlier हटाकर दोनों सारांश दोबारा निकालना और बताना कि क्या बदला
  • किसी दिए गए data set के लिए तय करना कि दोनों में से कौन उसे बेहतर दर्शाता है, और इस चुनाव को सही ठहराना
  • इस जोड़ी के लिए measures of central tendency (केंद्रीय प्रवृत्ति के मापक) वाला वाक्यांश इस्तेमाल करना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
medianक्रम में लगी सूची की बीच वाली value, या जब गिनती सम हो तो बीच साझा करने वाली दो values के ठीक बीच का pointमाध्यक§5.2 में bold में छपा, Part II, p.106
outlierऐसी value जो set की बाक़ी values से बहुत दूर बैठी हो— (Notes देखें)§5.2 में bold में छपा, Part II, p.107
sorted dataवही values, सबसे छोटी से सबसे बड़ी तक दोबारा लगाई हुईक्रमबद्ध आँकड़े§5.2 में छपा, Part II, p.106 और SUMMARY में, Part II, p.134
central tendencyvalues के किसी set का एक केंद्रीय value की ओर खिंचावकेंद्रीय प्रवृत्ति§5.2 में छपा, Part II, p.109
measures of central tendencymean और median के लिए इस chapter का साझा नामकेंद्रीय प्रवृत्ति के मापक§5.2 में छपा, Part II, p.109
meanvalues का total, बटा उनकी संख्यामाध्य§5.2 में bold में छपा, Part II, p.100
averagemean के लिए chapter का रोज़मर्रा वाला शब्दऔसत§5.2 में bold में छपा, Part II, p.100
deviateबाक़ियों से हटकर बैठना — outlier जो करता है उसके लिए chapter की क्रियाविचलित होना§5.2 में छपा, Part II, p.107
resistantऐसे सारांश के लिए कहा जाता है जिसे outlier ज़्यादा हिला नहीं सकताप्रतिरोधीइस पाठ का शब्द; यह chapter p.108 पर यह गुण दिखाता है, पर इसे कोई नाम नहीं देता
skewजब एक पूँछ ज़्यादा लंबी हो, तो वितरण जो झुकाव लेता हैविषमताइस पाठ का शब्द, इस chapter में नहीं छपा, जो इसी झुकाव को mean के outlier की ओर खिसकने के रूप में बताता है

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash Part II का हिंदी संस्करण उपलब्ध नहीं था, और outlier के लिए कोई ऐसा पक्का हिंदी शब्द नहीं मिला जिसकी पुष्टि की जा सके — इसलिए वह ख़ाना अंदाज़े से भरने के बजाय खुला छोड़ा गया है। Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "median पर outliers का कोई असर नहीं पड़ता।" यह बात ज़रूरत से ज़्यादा है, और chapter सावधानी से इसे नहीं कहता — उसके अपने शब्द हैं कि outliers ने उसे ज़्यादा नहीं हिलाया। Poovizhi के परिवार से 118 हटाने पर median 170 से 171.5 हो जाता है, क्योंकि एक value हटाने से यह भी बदल जाता है कि बीच वाला स्थान कौन-सा है। सही कथन तुलना वाला है: उसी बदलाव पर median 1.5 cm खिसका और mean 10.55 cm।
  • "outlier, data में एक ग़लती है।" कभी-कभी होती है; यहाँ वह एक असली बच्चा है। chapter के outliers — एक छोटा भाई या बहन, चालीस कहानियाँ पढ़ने वाला एक student — सब असली values हैं। समस्या सारांश में है, observation में नहीं।
  • "सूची जैसी लिखी है, उसकी बीच वाली value ले लो।" सूची को पहले क्रम में लगाना पड़ता है, और chapter के दोनों उदाहरण पहले से उलट-पुलट दिए गए हैं ठीक इसलिए कि क्रम में लगाने वाला क़दम छोड़ा न जा सके।
  • "सम गिनती में बीच वाली कोई भी value चुन लो।" उनका औसत लिया जाता है, और इसकी वजह एक वाक्य के लायक़ है: median की परिभाषा ऐसी है कि उससे नीचे उतनी ही values हों जितनी ऊपर, और सम गिनती में सूची की कोई भी value यह काम नहीं करती।
  • "median हमेशा बेहतर सारांश है।" यहाँ यह दावा नहीं किया जा रहा। chapter के अपने अख़बार वाले उदाहरण में कोई गंभीर outlier नहीं है और दोनों सारांश मेल खाते हैं; वहाँ mean ठीक है, और वह सिर्फ़ बीच के हिस्से के बजाय पूरे data set का इस्तेमाल करता है। किसे चुनें, यह data के बारे में एक परख है।
  • "mean, median से नीचे है तो data छोटा है।" इसका मतलब है कि कोई चीज़ नीचे वाले सिरे से खींच रही है। खिंचाव की दिशा, आकार नहीं — p.108 की तीन मामलों वाली तुलना ठीक इसी उलझन को तोड़ने के लिए है।
  • "range के सिरे पर बैठी हर value outlier है।" हर set में एक सबसे बड़ी और एक सबसे छोटी value होती है। 118 और 40 को outliers बनाने वाली चीज़ उनके और बाक़ी सब के बीच की ख़ाली जगह है, और यही वह चीज़ है जो dot plot दिखाता है और क्रम में लगी सूची नहीं दिखाती।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 4 Q5

पूरा transcript1,649 शब्द

यहाँ 2 परिवार, सबकी लंबाई सेंटीमीटर में, और हर परिवार का माध्य। एक परिवार का माध्य उसके 5 में से 4 लोगों से छोटा, तो यह औसत किसका हाल बता रहा है? जवाब के लिए एक और तरह का बीच चाहिए, जो कुल से नहीं, जगह से बनता है। पहला परिवार, 6 लोग, 169, 173, 155, 165, 160, 164। बीच ढूँढने से पहले क्रम में लगाओ, छोटे से बड़ा, 155, 160, 164, 165, 169, 173।

बीच का मान वह, जिसके नीचे और ऊपर बराबर लोग हों। लोग 6, तो बीच में 2 मान, 164 और 165, क्या इनमें से कोई भी चुन लें? यहाँ 164 के नीचे 2, ऊपर 3, 165 के नीचे 3, ऊपर 2, कोई भी बराबर नहीं बाँटता। इसलिए दोनों का आधा आधा, बीच का मान 164 दशमलव 5, इसके नीचे 3, ऊपर 3। अब माध्य, कुल 986, 6 से भाग, 164 और 165 के बीच।

माध्य और बीच का मान, लगभग एक ही जगह, इस परिवार में कोई दूर वाला मान नहीं। छँटी हुई लंबाइयों के बीच के फ़ासले, 5, 4, 1, 4, 4, बराबर सा फैलाव, कोई फ़ासला अलग नहीं दिखता। हाथ से बीच ढूँढने का तरीका, छँटी हुई सूची के दोनों सिरों से एक एक काटो, सबसे छोटा और सबसे बड़ा, जोड़ी में। पहले परिवार में 2 जोड़ियाँ कटीं, बचे 164 और 165, तो इन दोनों का आधा आधा।

दूसरा परिवार, 5 लोग, 170, 173, 165, 118, 175। क्रम में, 118, 165, 170, 173, 175, लोग विषम, तो बीच में ठीक एक, तीसरा मान, 170। बिना छाँटे बीच वाला लो, तो 165 मिलता, गलत, क्योंकि पहले क्रम में लगाना ज़रूरी। माध्य, कुल 801, 5 से भाग, 160 दशमलव 2। और 5 में से 4 लोग इससे लंबे, डॉट प्लॉट पर माध्य की लकीर, एक बिंदु छोड़कर सबके बाईं ओर।

बीच का मान 170, माध्य 160 दशमलव 2, दोनों के बीच 9 दशमलव 8 का फ़ासला, और यही फ़ासला पूरी कहानी है। माध्य कुल से बनता है, तो हर मान अपने आकार जितना वोट देता है। माध्य से ऊपर वालों के फ़ासले, 9 दशमलव 8, 12 दशमलव 8, 4 दशमलव 8, 14 दशमलव 8, जोड़ 42 दशमलव 2। और नीचे अकेला 118, उसका फ़ासला भी 42 दशमलव 2, अकेले ने 4 का वज़न उठा लिया।

इसीलिए एक दूर का मान, माध्य को वहाँ से खींच लेता है, जहाँ लगभग सारे आँकड़े बैठे हैं। बीच का मान जगह से बनता है, दूर वाला मान बस इतना कहता है, मैं नीचे हूँ, कितना नीचे, इसकी गिनती नहीं। और 118 की जगह 150 होता, या 100, बीच का मान फिर भी 170, बस एक वोट, नीचे वाला। अब 100 से 165 तक, कोई भी लंबाई रखो, कुल 66 बार, बीच का मान हर बार 170, और माध्य 66 अलग अलग मान लेता है।

अब सोचो, वह बच्चा भी बाकियों जितना, 168, तो कुल 851, माध्य 170 दशमलव 2, बीच का मान 170। दोनों एक से भी कम दूर, यानी पूरा फ़ासला सिर्फ़ एक मान से आता है। पहले परिवार में एक 200 सेंटीमीटर का मेहमान जोड़ो, कुल 1186। माध्य 5 से ज़्यादा उछल गया, एक इंसान के आने से। बीच का मान 164 दशमलव 5 से 165, सिर्फ़ 0 दशमलव 5, क्योंकि गिनती विषम हुई और बीच एक जगह खिसका।

क्या 118 कोई गलती है? नहीं, वह परिवार का छोटा बच्चा है, आँकड़ा बिल्कुल सही, गड़बड़ सिर्फ़ इसमें कि माध्य उसे कैसे पढ़ता है। दूर वाला मान अक्सर सच्चा होता है, सवाल बस यह, कौन सा बीच इस परिवार का सच्चा हाल बताए। एक प्रयोग, 118 को हटाकर देखो, बचे 170, 173, 165, 175। कुल 683, माध्य 170 दशमलव 7 5। अब लोग 4, सम, तो बीच के 2, 170 और 173, बीच का मान 171 दशमलव 5।

माध्य खिसका 160 दशमलव 2 से 170 दशमलव 7 5, यानी 10 दशमलव 5 5 सेंटीमीटर। बीच का मान भी खिसका, 170 से 171 दशमलव 5, यानी 1 दशमलव 5। कारण, 5 लोगों में बीच तीसरा मान, 4 में बीच दूसरे और तीसरे के बीच, बीच की जगह ही बदल गई। तो यह कहना गलत कि बीच का मान दूर वाले मान से बिल्कुल नहीं हिलता, एक मान हटाया, तो बीच की जगह बदली।

सही बात तुलना की है, उसी बदलाव पर माध्य 10 दशमलव 5 5, बीच का मान सिर्फ़ 1 दशमलव 5। अब सवाल, कौन सा परिवार लंबा? माध्य से, पहला, 164 से ऊपर, दूसरा 160 दशमलव 2। बीच के मान से, दूसरा, 170, पहला 164 दशमलव 5। दोनों सारांश उल्टे जवाब देते हैं, और फ़र्क की जड़ वही अकेला 118। दोनों परिवार मिलाओ, 11 लोग, छाँटो, बीच में छठा मान, 165।

कुल 1787, माध्य 162 और 163 के बीच, 118 अब भी माध्य को नीचे खींचता है, पर अब बीच के मान से 3 से भी कम नीचे। अब 15 बच्चे, हर एक बताता है, उसने कितनी कहानियाँ पढ़ीं। जवाब, 6, 3, 0, 8, 2, 5, 7, 15, 12, 10, 40, 5, 0, 1, 8। क्रम में, 0, 0, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 10, 12, 15, 40।

देखो, 15 मान, तो बीच में आठवाँ, यानी 6। डॉट प्लॉट पर, 0 से 40 का पैमाना, 14 बिंदु 15 या उससे नीचे, फिर 25 की खाली जगह, और अकेला 40। जोड़ियाँ काटकर जाँचो, 7 जोड़ियाँ कटीं, और अकेला बचा, 6। शब्दों में, 8 बच्चों ने 6 या कम पढ़ीं, और 8 ने 6 या ज़्यादा, आठवाँ बच्चा दोनों गिनतियों में। माध्य, कुल 122, 15 से भाग, 8 और 9 के बीच।

इस बार माध्य बीच के मान से ऊपर, और 15 में से 11 बच्चे माध्य से कम पढ़ते हैं। कारण, एक बच्चा जिसने 40 कहानियाँ पढ़ीं, वह भी सच्चा मान, पर माध्य को ऊपर खींचता है। माध्य को एक झूले का टेक समझो, ऊपर वालों के फ़ासलों का जोड़, नीचे वालों के फ़ासलों के जोड़ के बिल्कुल बराबर। ऊपर की तरफ़ सबसे ज़्यादा वज़न अकेले 40 का, वह बहुत दूर बैठा है, इसलिए टेक को अपनी ओर खींच लाता है।

एक आम बच्चे ने कितनी कहानियाँ पढ़ीं, इसका जवाब कौन देता है? माध्य कहता है 8 से ज़्यादा, पर 11 बच्चे उससे कम पढ़ते हैं। बीच का मान कहता है 6, आधे इससे कम या बराबर, आधे इससे ज़्यादा या बराबर, यहाँ यह आम बच्चे के ज़्यादा पास। यहाँ 40 हटाओ, बचे 14 बच्चे, कुल 82, माध्य 5 और 6 के बीच। बीच के 2, 5 और 6, बीच का मान 5 दशमलव 5।

माध्य 2 से ज़्यादा गिरा, बीच का मान सिर्फ़ 0 दशमलव 5। अब उल्टा, 40 की जगह 400 रखो, कुल 482। माध्य उछलकर 32 से ऊपर। अब 14 बच्चे माध्य से नीचे, वह औसत किसी का हाल नहीं बताता। और बीच का मान, फिर 6, वह बच्चा अब भी बस सबसे ऊपर वाला एक वोट है। सबसे ऊपर वाले की गिनती 6 से 1000 तक खिसकाओ, कुल 995 बार। बीच का मान हर बार 6 रहता है, 995 में से 995 बार, और माध्य हर बार अलग, 995 अलग मान।

यही असली फ़र्क, माध्य आकार सुनता है, बीच का मान सिर्फ़ जगह। अब अख़बार के पन्ने, 7 दिन, 16, 18, 20, 22, 26, 16, 10। बीच का मान 18, माध्य, 128 को 7 से भाग, 18 और 19 के बीच। कोई दूर वाला मान नहीं, तो दोनों पास पास, एक से कम का फ़र्क। छँटे हुए पन्नों के फ़ासले, 6, 0, 2, 2, 2, 4, सबसे बड़ा सिर्फ़ 6, कोई अलग नहीं खड़ा।

अब सबसे छोटा, 10, हटाओ, बीच का मान 18 से 19, यानी 1 खिसका, और माध्य भी 1 और 1 दशमलव 5 के बीच, दोनों लगभग बराबर हिले। और 3 मामले, दूसरे परिवार में माध्य बीच के मान से नीचे, क्योंकि नीचे एक दूर वाला मान। पढ़ने वालों में माध्य ऊपर, क्योंकि ऊपर एक दूर वाला मान। पन्नों में दोनों पास पास, क्योंकि आँकड़े संतुलित। यानी दोनों की तुलना से पता चलता है, आँकड़े किस तरफ़ झुके हैं।

माध्य बीच से नीचे, इसका मतलब यह नहीं कि आँकड़े छोटे हैं। दूसरे परिवार में माध्य बीच से 9 दशमलव 8 नीचे, खिंचाव नीचे के 118 से, पढ़ने वालों में माध्य ऊपर, खिंचाव ऊपर के 40 से। मतलब सिर्फ़ इतना, नीचे की तरफ़ से कोई खींच रहा है, और ऊपर हो, तो ऊपर से, बात दिशा की है, आकार की नहीं। तो क्या बीच का मान हमेशा बेहतर? नहीं, पन्नों में माध्य ठीक काम करता है, और वह हर मान को इस्तेमाल करता है, सिर्फ़ बीच वाले को नहीं।

पन्नों का माध्य हर दिन के पन्ने गिनता है, बीच का मान सिर्फ़ बीच वाला दिन देखता है, जब आँकड़े संतुलित हों, तो पूरा इस्तेमाल करने वाला माध्य भी भरोसे लायक। कौन सा चुनें, यह आँकड़ों को देखकर तय होता है, पहले डॉट प्लॉट बनाओ, दूर वाले मान खोजो। और अगर दोनों सिरों पर दूर वाले मान हों? हमारे अपने आँकड़े, 20, 50, 51, 52, 53, 54, 85, बीच का मान 52।

माध्य, कुल 365 को 7 से भाग, बीच के मान से एक से भी कम दूर, दोनों खिंचाव एक दूसरे को काट देते हैं। दोनों सिरे हटाओ, बचे 50, 51, 52, 53, 54, माध्य भी 52, बीच का मान भी 52, बिल्कुल बराबर। पर पास होना अच्छा होना नहीं, 20 और 85 का हाल न माध्य बताता है, न बीच का मान, इसके लिए फैलाव भी देखना होगा। हर आँकड़े का एक सबसे छोटा और एक सबसे बड़ा मान होता है, तो क्या हर सिरा दूर वाला?

नहीं, 118 अगले से 47 दूर, 40 अगले से 25 दूर, जबकि पहले परिवार में सबसे बड़ा फ़ासला सिर्फ़ 5। दूर वाला बनाता है फ़ासला, और यह फ़ासला डॉट प्लॉट पर दिखता है, छँटी हुई सूची में छिप जाता है। माध्य कुल से बनता है, हर मान अपने आकार जितना खींचता है। बीच का मान जगह से बनता है, दूर वाला मान बस एक वोट, पर हटाने पर वह भी थोड़ा खिसकता है।

बीच ढूँढने से पहले छाँटो, सम गिनती में बीच के 2 का आधा आधा। माध्य बीच से नीचे, खिंचाव नीचे से, ऊपर, तो ऊपर से। दूर वाला मान गलती नहीं, बस सारांश चुनते समय उसे पहचानो।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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