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Chapter 5 · Connecting the Dots...

Dot plots: फैलाव और जमघट एक नज़र में देखना

Representative values and variability12 मिनट

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2 कस्बों की 12 महीनों की बोरियाँ, 5 बच्चे, 5 पैमाने - और फ़ैसला 2 बनाम 2। सारे आँकड़े एक साथ देखने हों, तो डॉट प्लॉट: हर मान पर एक बिंदु, बार बार आए तो ढेर।

मुख्य idea

dot plot एक table है जिसे number line पर उड़ेल दिया गया हो। वह जान-बूझकर उस क्रम को छोड़ देता है जिसमें values आई थीं — plot बन जाने के बाद आप यह नहीं बता सकते कि किस महीने की क़ीमत ₹25 थी — और बदले में वह आपको वही एक चीज़ देता है जो table छिपाती है: values कहाँ जमा होती हैं, दोनों सिरे एक-दूसरे से कितनी दूर हैं, और कोई value अकेली तो नहीं बैठी। यही सौदा इस तस्वीर का पूरा मक़सद है, और किसी भी data display को परखने का तरीक़ा यह पूछना है कि जो वह दिखाता है उसे दिखाने के लिए उसने क्या छोड़ा।

आपको क्या आना चाहिए

  • values की सूची से dot plot बनाना: हर value के लिए एक dot, और value दोहराए तो dot ऊपर रखा जाए
  • किसी value की stack की ऊँचाई से पढ़ना कि वह कितनी बार आई
  • समझाना कि chapter की क़ीमत वाली line 10 से क्यों शुरू होती है, 0 से क्यों नहीं, और इसकी क़ीमत क्या है
  • किसी data set का वर्णन उसके plot से उन शब्दों में करना जो chapter इस्तेमाल करता है — clustered, spread out, minimum, maximum
  • बताना कि dot plot किन सवालों का जवाब दे सकता है और किनके लिए मूल table अब भी चाहिए
  • दो data sets की तुलना उनके dot plots को एक ही scale पर रखकर करना
  • dot plot पर mean और median mark करना, और पढ़ना कि दोनों में से हर एक जमघट की किस तरफ़ पड़ता है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
dot plotऐसा display जो हर value के लिए number line पर एक dot रखता है, और दोहराई गई values को ऊपर-ऊपर रखता हैबिंदु आलेख§5.2 में छपा, Part II, p.102
variabilityकिसी set की values एक-दूसरे से कितनी अलग हैंपरिवर्तिता§5.2 में छपा, Part II, p.102
clusteredउन values के लिए कहा जाता है जो line पर पास-पास जमा होती हैंगुच्छित§5.2 में छपा, Part II, p.103
spread outउन values के लिए कहा जाता है जो line पर दूर-दूर बैठी हैंफैला हुआ§5.2 में छपा, Part II, p.103
minimumset की सबसे छोटी valueनिम्नतम मान§5.2 में छपा, Part II, p.102
maximumset की सबसे बड़ी valueउच्चतम मान§5.2 में छपा, Part II, p.102
rangeसबसे बड़ी और सबसे छोटी value के बीच का फ़ासलापरिसरSUMMARY में छपा, Part II, p.134; §5.2 (p.102) दोनों सिरों के अंतर के साथ काम करता है, पर उसे यह नाम नहीं देता
occurrenceकिसी ख़ास value का एक बार आना, जिसे एक dot से दिखाया जाता हैघटना§5.2 में छपा, Part II, p.103
scaleline पर एक क़दम कितने के बराबर हैपैमाना§5.3 में छपा, Part II, p.115
data valueset की एक entry, पूरे set के मुक़ाबलेआँकड़ा मान§5.2 में छपा, Part II, p.103
axisवह खींची हुई line जिसके सहारे plot पढ़ा जाता हैअक्षइस पाठ का शब्द, इस chapter में नहीं छपा, जो पूरे §5.2 और §5.3 में horizontal line और vertical line लिखता है
frequencyकोई एक value कितनी बार आती हैबारंबारताइस पाठ का शब्द, इस chapter में नहीं छपा — किताब इसकी जगह number of occurrences कहती है

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash Part II का हिंदी संस्करण उपलब्ध नहीं था — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "stack की ऊँचाई एक मात्रा है।" वह एक गिनती है। प्याज़ वाले plot में 42 पर दो dots की stack का मतलब ₹84 नहीं है; इसका मतलब है कि दो महीनों में क़ीमत ₹42 थी। dot plot के साथ यह सबसे आम पहली ग़लती है, और इसे ज़ोर से नाम लेकर बताना चाहिए।
  • "dot plot, dots से बना bar graph है।" bar graph एक line पर कोई श्रेणी (category) और दूसरी पर कोई आकार रखता है। dot plot values को ही line पर रखता है और उन्हें ऊपर की ओर गिनता है। इस chapter में प्याज़ का data दोनों तरह से बना है — p.103 पर dot plot की तरह और p.115 पर clustered column graph की तरह — जिससे फ़र्क़ दिखाना आसान हो जाता है।
  • "जो line zero से शुरू न हो, वह ग़लती है।" chapter जान-बूझकर 10 से शुरू करता है और बताता है क्यों। ईमानदार बात इससे छोटी है: यह एक चुनाव है, यह दिखना चाहिए, और इससे यह बदलता है कि अंतर कितने बड़े लगते हैं। यही मुद्दा 145 cm से शुरू होने वाली खड़ी line के साथ §5.4 में लौटता है, इसलिए इसकी नींव यहीं रखिए।
  • "data को क्रम से लगाने में कुछ नहीं खोता।" क्रम खो जाता है, और chapter January की क़ीमत पूछकर इसे साफ़ कर देता है — ऐसा सवाल जिसका जवाब plot अब नहीं दे सकता। यह कहते समय दोनों displays को एक साथ नज़र के सामने रखिए।
  • "ज़्यादा फैलाव का मतलब बड़ा औसत।" ये स्वतंत्र बातें हैं। Wahapur की क़ीमतें ज़्यादा फैली हुई हैं और उसका total दोनों में छोटा है।
  • "हर dot एक अलग चीज़ है।" एक ही value पर दो dots, एक ही क़ीमत वाले दो महीने हैं, एक महीना दो बार गिना हुआ नहीं — और 39 पर chapter का callout इस बात का ज़्यादा कठिन रूप दिखाता है: एक ही value दो अलग-अलग कस्बों की हो सकती है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 2 Q1, Figure it Out · 2 Q3, Figure it Out · 2 Q5, Figure it Out · 4 Q10

पूरा transcript1,538 शब्द

यहाँ 2 कस्बों की मंडियाँ, और साल भर, हर महीने आई प्याज़ की बोरियों की गिनती। किस कस्बे में प्याज़ ज़्यादा आता है? पहले कस्बे के 12 महीने, 25, 24, 26, 28, 30, 35, 39, 43, 49, 56, 59, 44। हर संख्या एक महीने की बोरियाँ, और क्रम वही, जिसमें महीने आए। दूसरे कस्बे के 12 महीने, 19, 17, 23, 30, 38, 35, 42, 39, 53, 60, 52, 42। अब 5 बच्चे, हर एक अपने अपने तरीके से तुलना करता है।

पहला बच्चा सबसे बड़ी संख्या देखता है, दूसरे कस्बे की 60, पहले की सिर्फ़ 59। उसका फ़ैसला, दूसरा कस्बा। यह पैमाना सिर्फ़ एक महीने को देखता है, बाकी 11 की उसे परवाह नहीं। दूसरा बच्चा सब जोड़ता है, पहले कस्बे के 458, दूसरे के 450। उसका फ़ैसला, पहला कस्बा। यह पैमाना हर महीने को गिनता है, पर एक बहुत बड़ा महीना कुल को अकेले खींच सकता है। तीसरा बच्चा गिनता है, कितने महीने 50 या ज़्यादा, पहले कस्बे में 2, 56, 59, दूसरे में 3, 53, 60, 52।

उसका फ़ैसला, दूसरा कस्बा। यह पैमाना सिर्फ़ ऊँचे महीने गिनता है, और 50 की सीमा किसने तय की, यह भी एक फ़ैसला है। चौथा बच्चा महीने से महीना मिलाता है, पहला कस्बा 6 महीनों में आगे, दूसरा 5 में, और 1 महीना बराबर। उसका फ़ैसला, पहला कस्बा। यह पैमाना हर महीने की आमने सामने टक्कर देखता है, पर कितने से आगे, यह भूल जाता है। पाँचवाँ बच्चा सिरों का फ़ासला देखता है, पहले कस्बे में 59 घटा 24, बराबर 35, दूसरे में 60 घटा 17, बराबर 43।

पर यह फ़ासला बताता है कि आँकड़े कितने फैले हैं, यह नहीं कि किस कस्बे में ज़्यादा आया। फ़ैसलों की गिनती, 2 बार पहला कस्बा, 2 बार दूसरा। कोई बच्चा गलत नहीं, हर पैमाना सच्चा, पर हर एक अलग सवाल का जवाब देता है। तो पहले सारे आँकड़ों को एक नज़र में देखना चाहिए, और उसके लिए एक तस्वीर। एक पैमाना बनाओ, बराबर दूरी पर निशान, 10 से 60 तक, हर कस्बे का अपना, एक के ऊपर एक।

हर महीने की संख्या पर, पैमाने के ऊपर एक बिंदु, इसे कहते हैं डॉट प्लॉट। पहले कस्बे का पहला महीना, 25, तो 25 के निशान पर एक बिंदु, फिर 24, फिर 26, फिर 28, हर संख्या अपनी जगह पर। बिंदु वहाँ जाता है जहाँ उसकी संख्या है, जिस महीने में आया वहाँ नहीं, यही इस तस्वीर की पहली बात है। पैमाना शून्य से नहीं, 10 से क्यों शुरू? क्योंकि कोई भी संख्या 10 से कम या 60 से ज़्यादा नहीं, सबसे छोटी 17।

यह गलती नहीं, एक फ़ैसला है, पर उसे साफ़ दिखना चाहिए, क्योंकि कटी हुई शुरुआत फ़र्कों को बड़ा दिखाती है। पहले कस्बे के 12 महीने, 12 अलग संख्याएँ, तो हर संख्या पर सिर्फ़ 1 बिंदु। देखो, सबसे छोटा 24, सबसे बड़ा 59, और बिंदु बाएँ से दाएँ लगभग बराबर दूरी पर फैले, कोई बड़ी खाली जगह नहीं। दूसरे कस्बे में 42, 2 बार आया, तो वहाँ बिंदु एक के ऊपर एक, 2 ऊँचा ढेर।

अलग संख्याएँ 11, और सारे ढेरों की ऊँचाई जोड़ो, तो फिर 12, हर महीना ठीक एक बिंदु। सबसे आम गलती, 42 पर 2 बिंदु, यानी 84 बोरियाँ। नहीं, ढेर की ऊँचाई गिनती है, 2 महीने, जिनमें हर एक में 42 बोरियाँ। और 39 देखो, पहले कस्बे में 1 बार, दूसरे में 1 बार, एक ही मान, 2 अलग कस्बे, 19 सिर्फ़ दूसरे कस्बे का। डॉट प्लॉट, बिंदुओं से बना बार ग्राफ़ नहीं।

बार ग्राफ़ में नीचे नाम, जैसे महीने, और ऊपर आकार, डॉट प्लॉट में नीचे खुद संख्याएँ, और ऊपर सिर्फ़ गिनती। अब सवाल, इस तस्वीर से पहले कस्बे का पहले महीने का आँकड़ा पढ़ सकते हो? नहीं, डॉट प्लॉट संख्याओं को छाँटकर रखता है, महीनों का क्रम चला गया। महीनों को उल्टे क्रम में डालो, तस्वीर बिल्कुल वही, तालिका में पहला महीना 25, पर तस्वीर यह नहीं बता सकती। बदले में मिलता है, संख्याएँ कहाँ जमा हैं, सिरे कितने दूर, और कौन सी संख्या अकेली खड़ी है।

एक नज़र में दिखता है, दूसरे कस्बे के 2 महीने 20 से नीचे, 17, 19, पहले कस्बे का एक भी नहीं। यह गिनने के लिए तालिका फिर से पढ़नी नहीं पड़ी, तस्वीर ने समूह खुद बना दिए। अब दहाइयों में गिनो, पहले कस्बे में, 20 के दशक में 4, 30 के में 3, 40 के में 3, 50 के में 2। दूसरे कस्बे में, 10 के दशक में 2, 20 के में 1, 30 के में 4, 40 के में 2, 50 के में 2, और 60 पर 1।

पहले कस्बे के बिंदु नीचे से ऊपर धीरे धीरे चढ़ते हैं, दूसरे के दोनों सिरों पर फैले, बीच में 30 के दशक में जमा। किस महीने सबसे बड़ी छलांग आई, यह सवाल डॉट प्लॉट के पास ले जाओ, तो जवाब नहीं मिलेगा। तालिका से, पहले कस्बे में सबसे बड़ी बढ़त 7, महीना 9 से 10, 49 से 56, और सबसे बड़ी गिरावट 15, महीना 11 से 12, 59 से 44।

दूसरे कस्बे में सबसे बड़ी बढ़त 14, महीना 8 से 9, 39 से 53, क्रम के बिना यह सब गायब। डॉट प्लॉट का हाल शब्दों में, दूसरे कस्बे में सबसे छोटा 17, सबसे बड़ा 60। सबसे घना हिस्सा 30 का दशक, 4 बिंदु, और बाएँ सिरे पर 17 और 19, बाकी से अलग। जमघट, फैलाव, सबसे छोटा, सबसे बड़ा, इन शब्दों से किसी भी डॉट प्लॉट का हाल बताया जा सकता है।

तो दोनों रखो, तस्वीर बताती है जमघट, फैलाव और सिरे, तालिका बताती है, किस महीने कितना। किसी भी तस्वीर को परखने का तरीका, एक सवाल, इसने क्या छोड़ा, ताकि वह दिखा सके जो दिखा रही है। अब माध्य को पैमाने पर एक सीधी मोटी लकीर से दिखाओ, दूसरे कस्बे का, 450 बटा 12, बराबर 37 दशमलव 5। पहले कस्बे का, 458 को 12 से भाग, 38 और 39 के बीच।

और बीच का मान, टूटी लकीर से, पहले कस्बे को छाँटो, बीच के 2, 35, 39, तो बीच 37। दूसरे कस्बे के बीच के 2, 38, 39, तो बीच 38 दशमलव 5। देखो, माध्य में पहला कस्बा आगे, बीच के मान में दूसरा, 37 बनाम 38 दशमलव 5। दोनों अलग सवाल पूछते हैं, बराबर बाँटने पर कितना, और छाँटने पर बीच में कौन। एक और भ्रम, ज़्यादा फैलाव, यानी ज़्यादा औसत।

दूसरा कस्बा ज़्यादा फैला, 43 बनाम 35, फिर भी उसका कुल कम, 450 बनाम 458। अब 2 परिवारों की लंबाइयाँ, सेंटीमीटर में, पहला परिवार, 155, 160, 164, 165, 169, 173। बीच के 2, 164, 165, तो बीच 164 दशमलव 5, और माध्य 164 और 165 के बीच, दोनों लकीरें पास पास। दूसरा परिवार, 118, 165, 170, 173, 175, एक छोटा बच्चा, 118। कुल 801, माध्य 160 दशमलव 2, पर बीच का मान 170।

अकेला 118, माध्य को बीच से 9 दशमलव 8 नीचे खींच लाया, और डॉट प्लॉट पर यह अकेलापन साफ़ दिखता है। तस्वीर 2 बार में बनाओ, पहले सिर्फ़ माध्य की लकीरें, फिर बीच के मान की टूटी लकीरें जोड़ो। हर प्लॉट पर वही 2 तरह की लकीरें, ताकि आँख तुरंत पहचाने, कौन सा क्या है। एक और प्लॉट, एक कक्षा में 17 लड़के और 11 लड़कियाँ, कुल 28 लंबाइयाँ, 128 से 158 सेंटीमीटर।

पैमाना कहाँ तक, अगर 155 पर रोका, तो 156 और 158 वाले बच्चे पैमाने से बाहर, इसलिए पैमाना 155 से आगे चाहिए। सबसे ऊँचा ढेर 150 पर, 4 बिंदु, 1 लड़का और 3 लड़कियाँ, और 2 के ढेर 6 संख्याओं पर। बीच के मान, लड़कों का 144, लड़कियों का 148, पूरी कक्षा का 145। माध्य, लड़कों का 142 और 143 के बीच, लड़कियों का 146 और 147 के बीच। इसका मतलब यह नहीं कि हर लड़की हर लड़के से लंबी, सबसे लंबा बच्चा 158, एक लड़का।

एक खेल, बच्चे आँख बंद करके एक मिनट का अंदाज़ा लगाते हैं, 2 टोलियाँ, दोनों के प्लॉट एक ही पैमाने पर, 40 से 70 सेकंड। एक टोली के बिंदु बाईं ओर लंबी पतली पूँछ बनाते हैं, कुछ बच्चे बहुत जल्दी रुक गए, और यह पूँछ माध्य को बीच के मान से नीचे खींचती है। दूसरी टोली के बिंदु 60 के पास घने, तो उसका अंदाज़ा ज़्यादा एक जैसा, एक ही पैमाना हो, तभी यह तुलना दिखती है।

अब खुद बनाओ, अख़बार के पन्ने, 16, 18, 20, 22, 26, 16, 10। और 7 संख्याएँ, 16 पर 2 का ढेर, सिरे 10 और 26, और बीच का मान 18। कुल 128 पन्ने, माध्य 128 को 7 से भाग, 18 और 19 के बीच, बीच के मान से ज़रा ऊपर। खजूर के पेड़ों की ऊँचाइयाँ, 29 पेड़, सबसे छोटा 43, सबसे ऊँचा 67। सबसे ऊँचा ढेर, 60 पर, 4 बिंदु।

और 5 संख्याओं पर 2 का ढेर, 52, 54, 55, 56, 61, बीच का मान 56। दहाइयों में, 40 के दशक में 5, 50 के में 13, 60 के में 11। तालिका में ये संख्याएँ बिखरी पड़ी हैं, तस्वीर में तुरंत दिखता है कि ढेर कहाँ ऊँचे हैं। डॉट प्लॉट एक लेन देन है, क्रम छोड़ो, और बदले में पाओ, जमघट, फैलाव, सिरे, और अकेली संख्या। यानी तालिका को पैमाने पर उँडेल दिया, संख्याएँ अपनी जगह पर गिरीं, और क्रम पीछे छूट गया।

डॉट प्लॉट, हर मान पर एक बिंदु, बार बार आए तो ढेर। ढेर की ऊँचाई गिनती है, मात्रा नहीं। पैमाने की शुरुआत एक फ़ैसला है, उसे साफ़ दिखाओ। तस्वीर क्रम खोती है, और जमघट, फैलाव, सिरे दिखाती है। माध्य मोटी लकीर, बीच का मान टूटी लकीर, और अकेली दूर की संख्या माध्य को खींचती है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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