हर expression को terms के sum की तरह फिर से लिखा जा सकता है

0:00पिछली बार हमने एक bracket लगाकर तय किया था कि हिसाब में पहले क्या होगा। line थी 30 जमा, bracket में 5 गुणा 4, और जवाब आया 50। पर रोज़ जो lines हमारे सामने आती हैं, उनमें अक्सर कोई bracket होता ही नहीं। जैसे यह line, 30 जमा 5 गुणा 4, जिसमें कहीं कोई bracket नहीं है। तो क्या ऐसी line का कोई पक्का मतलब ही नहीं है? मतलब तो होना ही चाहिए, क्योंकि लोग ऐसी lines रोज़ लिखते हैं और उनसे पक्के जवाब निकालते हैं।

0:33और अच्छी बात यह है कि इसे पढ़ने का तरीका कोई रटा हुआ नियम नहीं है। वह तरीका एक छोटी सी चाल से निकलता है, जो हर expression पर चलती है, और आज हम वही चाल सीखेंगे। सबसे आसान expression से शुरू करते हैं, 12 जमा 7। यह expression 2 टुकड़ों में बँट जाता है, 12 और 7। इन टुकड़ों का एक नाम है, इन्हें expression के terms कहते हैं।

1:01और expression को terms में काटने वाला निशान है जमा का निशान, सिर्फ़ जमा का निशान। यहाँ 12 एक term है, 7 दूसरा term है, और जमा का निशान उन्हें जोड़ने वाली कड़ी है। जो expression सिर्फ़ जमा के निशानों से बना हो, वह सीधे अपने terms में बँट जाता है। पर जिन expressions में घटा या गुणा भी हो, उनके terms कैसे निकलेंगे? सीखते समय हर term के चारों ओर एक घेरा बनाना बहुत मदद करता है।

1:3012 के चारों ओर एक घेरा, 7 के चारों ओर अलग घेरा, और बीच में जमा का निशान। पर यह घेरा बस सीखने का सहारा है, यह असली लिखावट का हिस्सा नहीं है। पक्के जवाब में कोई ये घेरे नहीं बनाता, और आगे चलकर हम भी इन्हें छोड़ देंगे। अभी के लिए ये काम के हैं, क्योंकि पूरी बात इसी पर टिकी है कि कौन से हिस्से आपस में साथ रहते हैं।

1:54अब लेते हैं 83 घटा 14, और इसमें जमा का निशान कहीं नहीं है। तो हम ख़ुद एक जमा बनाते हैं, और यही वह चाल है जिस पर यह पूरा विषय टिका है। याद रखो, 14 का inverse है negative 14, यानी वही आकार, पर उल्टा चिह्न। और negative 14 का inverse है 14, यानी उल्टा करने पर हम फिर वहीं लौट आते हैं। यानी 14 घटाना बिल्कुल वैसा ही है, जैसे negative 14 जोड़ना।

2:23तो 83 घटा 14 को ऐसे लिखते हैं, 83 जमा negative 14। अब जमा का निशान आ गया, तो terms भी आ गए, 83 और negative 14। और value बिल्कुल नहीं बदली, दोनों तरह से जवाब 69 ही है। पर यह चाल जायज़ क्यों है, value बदलती क्यों नहीं? मेज़ पर 6 tokens रखो, और उनमें से 4 tokens उठा लो। अब मेज़ पर 2 tokens बचते हैं। अब फिर से 6 tokens रखो, पर इस बार उनके साथ 4 negative tokens भी रखो।

2:58हर negative token एक token को काट देता है, तो 4 जोड़े मिट जाते हैं। और मेज़ पर फिर से वही 2 tokens बचते हैं। यानी कुछ हटाना, उसका उल्टा जोड़ने के बराबर है, इसीलिए यह चाल हर बार चलती है। negative 40 से 39 तक के हर जोड़े पर जाँचा गया, और 6400 में से 6400 जोड़ों में घटाना और inverse जोड़ना एक ही value देते हैं। सबसे आम गलती यहीं होती है, 83 घटा 14 के terms को 83 और 14 बता देना।

3:33दूसरा term 14 नहीं, negative 14 है, क्योंकि घटा का निशान अपने term के साथ चलता है। चिह्न छूट जाए, तो line बनती है 83 जमा 14, यानी 97, जबकि सही value 69 है। फ़र्क है 28, यानी 14 का दुगना, क्योंकि 14 घटने के बजाय उल्टा जुड़ गया। अब एक और line लेते हैं, negative 18 घटा 3। इसे लिखो negative 18 जमा negative 3, तो terms हैं negative 18 और negative 3, और कुल negative 21।

4:10अब एक line जिसमें गुणा भी है, 6 गुणा 5 जमा 3। इस line में कितने terms हैं? इसमें 3 numbers लिखे हैं, इसलिए जवाब 3 लगता है। पर terms 2 ही हैं, 6 गुणा 5 एक पूरा टुकड़ा है, और 3 दूसरा। काटता सिर्फ़ जमा का निशान है, और यहाँ जमा का निशान एक ही है। गुणा का निशान कुछ नहीं काटता, वह अपने numbers को आपस में जोड़े रखता है।

4:38अगर गुणा को भी जमा मान लें, तो line बन जाती 6 जमा 5 जमा 3, यानी 14, जबकि इसकी value 33 है। अब यह line देखो, 2 घटा 10 जमा 4 गुणा 6। घटा को बदलो, तो बनता है 2 जमा negative 10 जमा 4 गुणा 6। numbers 4 हैं पर terms 3, जिनकी values हैं 2, negative 10 और 24, और कुल 16। भाग भी ऐसा ही बर्ताव करता है, किसी number को किसी से भाग देने पर भी पूरा एक ही term बनता है।

5:13अब कुछ lines जल्दी जल्दी देखते हैं, क्योंकि terms गिनना ही यहाँ असली हुनर है। पहली line है 13 घटा 2 जमा 6। इसे लिखो 13 जमा negative 2 जमा 6, तो 3 terms बनते हैं, और value 17। अगली line है 5 जमा 6 गुणा 3, इसमें 2 terms हैं, 5 और 6 गुणा 3, और value 23। अब यह line, 4 जमा 15 घटा 9, इसमें कितने terms होंगे?

5:45इसमें 3 terms हैं, 4, 15 और negative 9, और value 10। और 28 जमा 19 घटा 8 के भी 3 terms हैं, 28, 19 और negative 8, और value 39। हर line के terms जोड़ो, तो value वही आती है, जो पूरी line का सीधा हिसाब करने से आती है। अब एक मुश्किल line, जो लगभग सबको पकड़ लेती है, 23 घटा 2 गुणा 4 जमा 16। इसका बीच वाला term 2 गुणा 4 नहीं है।

6:20वह है negative 2 गुणा 4, क्योंकि घटा का निशान पूरे गुणनफल के आगे बैठा है। तो पूरा गुणनफल negative है, यानी negative 8। तो 3 terms हैं, 23, negative 8 और 16, जो मिलकर बनते हैं 31। बीच वाले term को जमा 8 पढ़ लो, तो जवाब आता 47, जो 16 ज़्यादा है। अब हम उस सवाल पर लौट सकते हैं, जिससे आज की शुरुआत हुई थी। line थी 30 जमा 5 गुणा 4, जिसमें कहीं कोई bracket नहीं था।

6:54इसके terms हैं 30, और 5 गुणा 4। हर term को अलग से निपटाओ, 30 तो 30 ही है, और 5 गुणा 4 है 20। फिर terms जोड़ो, 30 और 20, यानी 50। यही 50 पिछली बार bracket ने दिया था, और यह 140 नहीं है, जो बाएँ से दाएँ पढ़ने पर आता। तो यहाँ bracket की ज़रूरत ही नहीं थी, terms से पढ़ने पर बिना bracket के वही जवाब आता है।

7:21और नियम अब एक वाक्य में, हर term को अलग से निपटाओ, फिर सारे terms जोड़ो। यह नियम किसी ने हमें थमाया नहीं, यह उसी एक चाल से अपने आप निकला है। पर क्या यह तरीका हर line पर चलता है, या बस इन्हीं उदाहरणों पर? इसे परखने के लिए 8 तरह की lines ली गईं, और हर number 1 से 12 तक बदला गया, यानी कुल 13824 lines। यानी 13824 में से 13824 lines में, terms निपटाकर जोड़ना और पूरी line का हिसाब, एक ही value देते हैं।

8:00और इससे एक बड़ी आज़ादी भी मिलती है, terms को किसी भी क्रम में जोड़ा जा सकता है। उन्हीं 13824 lines में, terms को हर संभव क्रम में जोड़ने पर भी total हर बार वही रहा। यह आज़ादी आगे बहुत काम आएगी, जब बड़े बड़े हिसाब आसान बनाने होंगे। अब एक लंबी line, 5 गुणा, bracket में 3 जमा 2, फिर जमा 7 गुणा 8, और जमा 3। देखने में भारी लगती है, पर इसके सिर्फ़ 3 terms हैं।

8:31काट ढूँढो, यानी वे जमा के निशान जो bracket के बाहर हैं, और ऐसे निशान 2 ही हैं। पहला term है 5 गुणा एक bracket, और वह bracket इसी term के अंदर रहता है। उसे निपटाओ, 3 जमा 2 है 5, और 5 गुणा 5 है 25। अगला term है 7 गुणा 8, यानी 56, और आख़िरी term बस 3 है। अब terms जोड़ो, 25, 56 और 3, कुल 84।

8:59bracket ने कोई नया term नहीं बनाया, वह बस एक term के अंदर बैठा रहा। और 25, 56 और 3 को जोड़ने के सारे 6 क्रम, हर बार 84 ही देते हैं। terms का असली फ़ायदा यहाँ दिखता है, किसी situation को भरोसे वाली line में बदलने में। मेज़ पर 4 डिब्बे हैं, हर डिब्बे में 23 crayons, और 5 crayons अलग से खुले पड़े हैं। line बनती है 4 गुणा 23 जमा 5, जिसके 2 terms हैं।

9:30terms की values हैं 92 और 5, कुल 97 crayons, और एक एक गिनने पर भी 97 ही आते हैं। कोई खुले crayons को हर डिब्बे में गिन ले, तो line बनती 4 गुणा, bracket में 23 जमा 5। वह line 112 देती है, यानी 15 ज़्यादा, क्योंकि खुले crayons 3 बार फ़ालतू गिन लिए गए। खुले crayons अपना अलग term हैं, वे हर डिब्बे के साथ नहीं जुड़ते। डिब्बे 7 हों और खुले crayons वही 5, तो line है 7 गुणा 23 जमा 5, यानी 166, न कि 196।

10:07अब एक खेल, जिसमें 33 बच्चे खेल रहे हैं। कोई एक number पुकारता है, 5, और बच्चे दौड़कर 5 5 के groups बना लेते हैं। इस तरह 6 groups बनते हैं, और 3 बच्चे बच जाते हैं। line है 6 गुणा 5 जमा 3, जिसके 2 terms हैं, और value 33, यानी हर बच्चा गिना गया। अगर 4 पुकारा जाए, तो line क्या होगी? तब बनेगी 8 गुणा 4 जमा 1, यानी 8 groups और एक बच्चा बचा।

10:40और 7 पुकारा जाए, तो 4 गुणा 7 जमा 5, और यहाँ भी कुल 33। कोई भी number पुकारो, 2 से 33 तक, groups वाला term और बचे बच्चों वाला term मिलकर हर बार 33 ही देते हैं। बचे हुए बच्चे अपना अलग term हैं, उन्हें भूल जाओ, तो line गलत हो जाती है। अब चावल की बात, 100 किलो चावल 2 किलो के packets में भरा जाता है। और 4 packets पहले से भरे हुए रखे हैं।

11:11line है 4 जमा 100 भाग 2, जिसके 2 terms हैं, 4, और 100 भाग 2। और 100 भाग 2 है 50, तो कुल 54 packets बनते हैं। यहाँ पूरा भाग एक ही term है, बिल्कुल गुणा की तरह। आख़िरी situation एक पहेली है, तराज़ू के एक पलड़े पर 432 ग्राम का सामान रखा है। दूसरे पलड़े पर बाट रखने हैं, और बाट 1, 5, 10, 20, 50 और 100 ग्राम के हैं।

11:42एक तरीका यह है, 100 ग्राम के 4 बाट, 20 का एक, 10 का एक, और 1 ग्राम के 2 बाट। line बनती है 4 गुणा 100 जमा 1 गुणा 20 जमा 1 गुणा 10 जमा 2 गुणा 1, यानी 4 terms, और कुल 432। एक और तरीका, 50 ग्राम के 8 बाट, 10 का एक, 5 के 4, और 1 के 2 बाट। इसमें भी 4 terms हैं, यह भी 432 बनाता है, पर expression बिल्कुल अलग है।

12:15ऐसे कुल कितने तरीके होंगे? गिनने पर 63900 तरीके निकलते हैं, और यह गिनती 2 अलग अलग तरीकों से करके मिलाई गई। पहले तरीके में 8 बाट लगते हैं, दूसरे में 15, और 8 से कम बाटों में यह वज़न बनता ही नहीं। अब एक चेतावनी, क्योंकि terms हर situation को नहीं ढक पाते। यहाँ blocks की 2 बनावटें हैं। बाईं ओर 5 खानों में 2 2 blocks हैं, और फिर एक खाने में 3 blocks।

12:45यह है 5 गुणा 2 जमा 3, यानी 2 terms, और कुल 13 blocks। दाईं ओर 2 खाने हैं, और हर खाने में ऊपर 5 पीले blocks, और नीचे 3 नीले blocks। अब इसे उन्हीं numbers से terms में लिखने की कोशिश करो, 2 गुणा 5 जमा 3। उसका जवाब 13 आता है, पर गिनो तो blocks 16 हैं, यानी 3 कम। क्योंकि 5 और 3 दोनों दुगने होते हैं, और यह बात bracket से ही लिखी जाती है, 2 गुणा, bracket में 5 जमा 3।

13:19इसे 5 जमा 3 जमा 5 जमा 3, या 5 गुणा 2 जमा 3 गुणा 2 भी लिख सकते हैं, और सब 16 देते हैं। तो दोनों औज़ार असली हैं, ज़्यादातर lines terms का जोड़ होती हैं, और कुछ situations को अब भी bracket चाहिए। हर घटा को उसके inverse के जोड़ में बदलो, तो कोई भी expression terms का जोड़ बन जाता है। terms को सिर्फ़ जमा का निशान काटता है, गुणा और भाग एक term को जोड़े रखते हैं।

13:49चिह्न अपने term के साथ चलता है, इसलिए 83 घटा 14 के terms हैं 83 और negative 14। हर term को अलग से निपटाओ, फिर जोड़ो, और 30 जमा 5 गुणा 4 बिना bracket के 50 है। और terms किसी भी क्रम में जुड़ सकते हैं, यही आज़ादी अगले क़दम की चाबी है।