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Chapter 2 · Arithmetic Expressions

Distributive property, और तेज़ हिसाब के लिए उसका इस्तेमाल

The properties that license rearranging13 मिनट

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2 एक जैसी थैलियाँ, हर थैली में 43 कंचे और 24 stickers। जल्दी में लिखा 2 गुणा 43, जमा 24, और जवाब आया 110, जबकि थैलियों में 134 चीज़ें हैं: एक पूरी थैली के stickers गिनती से ग़ायब हैं।

मुख्य idea

Distributivity कोई ऐसी तोड़-मरोड़ नहीं जो brackets के साथ की जाती है — यह एक ही संग्रह को दो तरह से गिनने का record है। पाँच-पाँच वाली सात पंक्तियों को चार पंक्तियाँ जमा तीन पंक्तियाँ की तरह गिना जा सकता है, या सातों पंक्तियाँ एक साथ, और दोनों गिनतियाँ मेल खाती हैं क्योंकि उनके बीच न कुछ जोड़ा गया, न हटाया गया। इस तरह पढ़ो, तो बराबरी याद रखने वाला नियम नहीं रह जाती, बल्कि एक औज़ार बन जाती है: किसी भी अटपटे factor को आसान sum या difference में तोड़ा जा सकता है, और एक मुश्किल गुणा दो आसान गुणा में बदल जाता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • बताना कि किसी total को गुणा करना वैसा ही है जैसे हर हिस्से को गुणा करके जोड़ना, और यही बात difference पर भी लागू होती है
  • इस कथन को कोई नियम दोहराकर नहीं, बल्कि एक बनावट को दो तरह से गिनकर सही ठहराना
  • जब किसी बार-बार होने वाले ख़र्च के दो हिस्से हों, तो वह expression लिखना जो स्थिति ज़रूरी बनाती है
  • उस expression को, जिस पर property लागू होती है, उससे अलग पहचानना जिस पर नहीं होती — जैसे ऐसा गुणनफल जिसके बाद एक अकेला number जोड़ा गया हो
  • किसी factor को sum या difference में ऐसे बाँटना कि गुणनफल आसान हो जाए, और वह बँटवारा चुनना जो मदद करे
  • एक जाने हुए गुणनफल से उसके पड़ोसी गुणनफल को फिर से गुणा किए बिना निकालना
  • property का नाम बताना, और कहना कि chapter में वह नाम असल में कहाँ छपा है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
distributive propertybrackets वाले total को गुणा करना वैसा ही है जैसे उसके हर term को गुणा करके जोड़नावितरण गुणयही topic; नाम सिर्फ़ chapter की SUMMARY में छपा है, p.44 (Part I)
multipleकिसी number को पूरी संख्या जितनी बार लेने का नतीजागुणजयही topic; p.40 पर छपा (Part I, §2.2)
differenceघटाने का नतीजाअंतरयही topic; p.40 पर छपा (Part I, §2.2)
productगुणा का नतीजागुणनफलWriting a situation as an expression before computing it; p.24 पर छपा (Part I, §2.1)
bracketsजोड़ी वाले चिह्न जो एक हिस्से को पहले निपटाने पर मजबूर करते हैंकोष्ठकBrackets decide which operation happens first; p.27 पर छपा (Part I, §2.2)
term (of an expression)वे टुकड़े जिनमें कोई sum बँटता हैपदEvery expression can be rewritten as a sum of terms; p.28 पर छपा (Part I, §2.2)
splitting a factorएक factor को sum या difference की तरह फिर से लिखना ताकि गुणनफल आसान हो जाए—इस व्याख्या का अपना वाक्यांश; chapter हल किए गए उदाहरणों में यह दो बार करता है, पर इस तरीक़े को कोई नाम नहीं देता

Hindi column में standard NCERT Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 7 Part I का Hindi संस्करण source corpus में नहीं था, इसलिए ये शब्द इस chapter की Hindi छपाई से नहीं लिए गए हैं, और इस्तेमाल से पहले उससे मिलाकर जाँच लेने चाहिए।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "Distributive का मतलब है कि bracket के अंदर हमेशा गुणा किया जा सकता है, उसके आसपास चाहे कुछ भी हो।" factor को पूरे bracket से गुणा होना चाहिए। 5 × 4 + 3 में बाद में एक अकेला 3 जोड़ा गया है, और chapter ठीक इसी वजह से असमानता छापता है।
  • "यह तभी चलता है जब bracket में plus हो।" chapter जोड़ वाली हालत के तुरंत बाद difference वाली हालत चलाता है, उसके अपने चित्र के साथ।
  • "जब bracket में difference हो, तो दोनों हिस्से जोड़े जाते हैं।" जो student दूसरे गुणनफल को plus चिह्न के साथ लिखता है, वह exercise 2(c) में पकड़ा जाएगा, जो p.42 पर है और brackets वाले difference को दो गुणनफलों के sum के सामने रखता है।
  • "distributive property brackets के बारे में एक नियम है।" यह एक ही संग्रह को दो तरह से गिनने के बारे में कथन है। parade वाला चित्र इसे दिखा देता है; नियम उसी से निकलता है।
  • "factor को बाँटना हमेशा तेज़ रास्ता है।" यह तब तेज़ है जब एक टुकड़ा गोल हो। 47 को 23 और 24 में बाँटने से किसी का भला नहीं होता। chapter का आख़िरी सवाल student से तय करवाता है कि कौन-से गुणनफल इसके लायक़ हैं।
  • "दोनों रूप बराबर हैं, इसलिए दोनों को हल करने में मेहनत भी बराबर लगती है।" छेड़छाड़ वाला पूरा section इसी पर टिका है कि उनमें मेहनत बराबर नहीं लगती — फिर से लिखने की वजह यही है।
  • "(4 + 3) × 5 को पहले bracket हल करके ही करना होगा, इसलिए यह अलग हिसाब है।" value वही, रास्ता अलग। दोनों जायज़ हैं; एक शायद तेज़ हो।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 4 Q1, Figure it Out · 4 Q2, Figure it Out · 4 Q3, Figure it Out · 4 Q4, Figure it Out · 5 Q1, Figure it Out · 5 Q2, Figure it Out · 5 Q4

पूरा transcript1,777 शब्द

यहाँ 2 तोहफ़े की थैलियाँ हैं, बिल्कुल एक जैसी, और हर थैली में एक ही सामान है। हर थैली में 43 कंचे हैं, और 24 stickers। तो इन 2 थैलियों में कुल मिलाकर कितनी चीज़ें हैं? किसी ने जल्दी में यह line लिखी, 2 गुणा 43, जमा 24। इस line में 2 terms हैं, 2 गुणा 43, और एक अकेला 24। यानी इसने 2 थैलियों के कंचे गिने, पर stickers सिर्फ़ एक थैली के।

जबकि stickers भी 2 थैलियों में हैं, एक में नहीं। यह line किसी और सवाल का सही जवाब है, और इसीलिए यह इतनी सही लगती है। इसका जवाब आता है 110, और यह पूरे 24 कम है। यानी एक पूरी थैली के सारे stickers गिनती से ग़ायब हैं। अब देखते हैं 2 सच्चे तरीके, जिनसे थैलियों का असली सामान लिखा जा सकता है। पहला तरीका, एक थैली में 43 जमा 24 चीज़ें हैं।

यानी 67, और थैलियाँ 2 हैं, तो 2 गुणा 67। जवाब आता है 134। दूसरा तरीका, पहले 2 थैलियों के सारे कंचे गिनो, फिर सारे stickers। यानी 2 गुणा 43, जमा 2 गुणा 24। यानी 86 जमा 48, और फिर से 134। पूरे का 2 गुना लो, या हर हिस्से का 2 गुना लेकर जोड़ो, गिनती वही रहती है। और इसमें 2 थैलियों वाली कोई ख़ास बात नहीं थी। तीसरी थैली आए तो 3 गुणा 67, या 3 गुणा 43 जमा 3 गुणा 24, दोनों तरफ़ 201।

और जल्दी वाली line यहाँ 153 कहती, जो और भी कम है। अब यही बात ऐसी चीज़ से, जिसे हम सच में गिन सकते हैं। एक march में नीली टोली 4 कतारों में चलती है, हर कतार में 5 लोग। उसके पीछे हरी टोली 3 कतारों में, और हर कतार में फिर 5। पूरे march में कुल कितने लोग चल रहे हैं? पहले टोलियों के हिसाब से गिनो, 4 गुणा 5 है 20।

और 3 गुणा 5 है 15। यानी 20 जमा 15, कुल 35। अब उसी march को एक block की तरह गिनो, 4 कतारें और 3 कतारें, यानी 7 कतारें। और 7 कतारें, हर एक में 5, कुल फिर 35। बीच में न कोई जुड़ा, न कोई गया, एक ही भीड़ को 2 तरह से गिना, तो जवाब अलग आ ही नहीं सकते थे। और block को घुमाकर देखो, तो 5 कतारें बनती हैं, हर एक में 7, फिर भी 35।

यानी 4 गुणा 5, जमा 3 गुणा 5, बराबर है bracket में 4 जमा 3, गुणा 5। यही पूरी property है, आगे जो भी होगा, वह इसी तस्वीर को चिह्नों में लिखना है। अब इसकी सीमा, क्योंकि सीमा है, और ज़्यादातर गलती यहीं होती है। पहली line, 5 गुणा 4, जमा 3। दूसरी line, 5 गुणा, bracket में 4 जमा 3। दिखने में दोनों लगभग एक जैसी हैं, पर क्या ये बराबर हैं?

यहाँ 5 गुणा 4 है 20, जमा 3, यानी 23। और 4 जमा 3 है 7, और 5 गुणा 7 है 35। यानी 23 और 35, पूरे 12 का फ़र्क। यह फ़र्क 4 गुणा 3 है, क्योंकि दूसरी line में 3 भी 5 बार गिना गया, और पहली में सिर्फ़ एक बार। तो गुणा करने वाली संख्या पूरे bracket पर लगनी चाहिए, बाद में जोड़ी गई अकेली संख्या इसका हिस्सा नहीं है।

और 5 गुणा, bracket में 3 जमा 4, या bracket में 3 जमा 4, गुणा 5, ये भी 35 ही हैं। गिनती में, negative 12 से 12 तक के 15625 तिकड़ों में, ये 2 lines सिर्फ़ 1225 बार बराबर आईं। और हर बार वजह एक ही थी, या तो गुणा करने वाली संख्या 1 थी, या जोड़ी गई संख्या 0 थी। अब देखते हैं कि यह हमेशा क्यों चलता है, सिर्फ़ यह नहीं कि चलता है।

यहाँ 98 को एक line में 10 बार लिखो। फिर उसी line के आख़िर में 3 बार और 98 लिखो। पहला हिस्सा है 10 बार 98, यानी 980। दूसरा हिस्सा है 3 बार 98, यानी 294। दोनों मिलाकर 1274। अब हिस्सों के निशान हटाकर पूरी line को एक साथ देखो। इसमें बस एक के बाद एक 98 लिखे हैं, इन्हें गिनो। कुल 13 बार 98, और वही 1274। यानी 98 गुणा 10, जमा 98 गुणा 3, बराबर है 98 गुणा 13।

कुछ भी नहीं हिला, हमने बस हिस्सों का निशान कहीं और लगाया। अब यही तर्क, पर घटाने के साथ। यहाँ 10 को 14 बार लिखो। इनका जोड़ है 140। अब आख़िरी 6 पर काट का निशान लगाओ। यानी 6 बार 10 गए, कुल 60। तो line पर अब असल में कितना बचा? यहाँ 140 घटा 60, यानी 80। और जो बचे उन्हें गिनो, 8 बार 10, फिर 80। यानी 10 गुणा 14, घटा 10 गुणा 6, बराबर है 10 गुणा 8।

घटाने पर भी यह ठीक वैसे ही चलता है जैसे जोड़ पर, और उसी वजह से, हमने चीज़ें काटीं, उन्हें बदला नहीं। तो अब पूरी बात एक line में। किसी total का गुणा करो, या हर हिस्से का गुणा करके जोड़ो, जवाब एक ही आता है। और किसी फ़र्क का गुणा करो, या हर हिस्से का गुणा करके घटाओ, जवाब फिर एक ही। इसी को कहते हैं distributive property। गिनती में, negative 20 से 20 तक के सभी 68921 तिकड़ों पर, जोड़ वाला रूप 68921 में से 68921 बार सही निकला।

और घटाने वाला रूप भी 68921 में से 68921 बार। एक आम गलती है, फ़र्क वाले bracket को खोलते समय दोनों गुणा जोड़ देना। यहाँ 1 से 20 तक के 8000 तिकड़ों में, यह गलती 8000 में से 8000 बार गलत जवाब देती है। पर यह bracket का कोई नियम नहीं है, यह एक ही ढेर को 2 तरह से गिनने की बात है। march किसी नियम को नहीं मान रहा था, वह बस 35 लोग थे।

इसलिए इसे रटना नहीं पड़ता, 7 कतारें, हर एक में 5, इनसे इसे कभी भी फिर बना सकते हो। अब इसे उल्टा चलाते हैं, एक तस्वीर का total 2 तरह से। यहाँ 3 कतारें हैं, हर कतार में 3 खाने, कुछ पर 4 लिखा है और कुछ पर 8। गिनने पर, 5 खानों पर 4 है, और 4 खानों पर 8। पहला तरीका, किस्म के हिसाब से, 5 गुणा 4, जमा 4 गुणा 8।

यानी 20 जमा 32, कुल 52। दूसरा तरीका, कतारों के हिसाब से। पहली कतार 16, दूसरी 20, और तीसरी 16। यानी 16 जमा 20 जमा 16, फिर से 52। एक ही तस्वीर, गिनने के 2 रास्ते, और जवाब एक ही। अब एक बड़ी तस्वीर, 4 कतारें, और हर कतार में 4 खाने। यहाँ खानों पर 5 और 6 बारी बारी से लिखे हैं। गिनने पर, 8 खानों पर 5 है, और 8 खानों पर 6।

किस्म के हिसाब से, 8 गुणा 5, जमा 8 गुणा 6। यानी 40 जमा 48, कुल 88। पर दोनों किस्में बराबर गिनती में हैं, तो हर 5 के साथ एक 6 की जोड़ी बनती है। यानी 8 जोड़ियाँ, हर एक 5 जमा 6, यानी 11, और 8 गुणा 11 है 88। तीसरा रास्ता, कतारें, और हर कतार का जोड़ 22 है। और कतारें 4 हैं, तो 4 गुणा 22, फिर 88।

यहाँ 3 रास्ते, और तीनों का जवाब 88, क्योंकि तस्वीर वही है। मान लो कोई बताता है कि 53 गुणा 18, 954 है। और फिर अचानक पूछता है, 63 गुणा 18 कितना है? शुरू से गुणा कर सकते हो, या देख सकते हो कि 63, असल में 53 जमा 10 है। यानी 63 बार 18, मतलब 53 बार 18, और 10 बार 18 और। पहला हिस्सा तो पहले से पता है, 954।

और 10 गुणा 18 है 180। तो 954 जमा 180, यानी 1134। दूसरी बार लंबा गुणा नहीं करना पड़ा, बस एक जोड़। जो गुणा पहले से पता था, उसी ने ज़्यादातर काम किया, और property ने उसे इस्तेमाल करने दिया। अब सबसे काम की चाल। यहाँ 97 गुणा 25। लंबे तरीके से यह भारी लगता है, पर इसकी ज़रूरत नहीं। यहाँ 97, असल में 100 घटा 3 है। तो 97 बार 25, मतलब 100 बार 25, घटा 3 बार 25।

यहाँ 100 गुणा 25 है 2500। और 3 गुणा 25 है 75। तो 2500 घटा 75, यानी 2425। एक मुश्किल गुणा बन गया एक आसान गुणा, और मन में होने वाला एक घटाव। पहले ऊपर गोल करो, फिर जो ज़्यादा लिया, उसे वापस घटाओ। अब आज़माने के लिए 3 गुणा, और हर एक अलग split माँगता है। पहला, 95 गुणा 8, यहाँ 95 है 100 घटा 5। तो 800 घटा 40, यानी 760।

दूसरा, 104 गुणा 15, यहाँ 104 है 100 जमा 4। तो 1500 जमा 60, यानी 1560। तीसरा, 49 गुणा 50, यहाँ 49 है 50 घटा 1। तो 2500 घटा 50, यानी 2450। हर बार एक हिस्सा गोल था, और दूसरा छोटा। पर क्या यह हर बार तेज़ है, यह अगला उदाहरण बताएगा। तो हर बार split करना ठीक नहीं है, और पहचानने का तरीका यह है। यहाँ 47 गुणा 8 लो, और 47 को 23 जमा 24 में तोड़ो।

इससे मिलता है 23 बार 8, जमा 24 बार 8। एक मुश्किल गुणा की जगह अब 2 मुश्किल गुणा हैं, इस split ने काम और बिगाड़ दिया। अब उसी 47 को 50 घटा 3 में तोड़ो। यहाँ 50 बार 8 है 400, और 3 बार 8 है 24। तो 400 घटा 24, यानी 376, सही भी और आसान भी। और 40 जमा 7 भी चलता है, 320 जमा 56, फिर 376।

तो दिक्कत संख्या में कभी नहीं थी, दिक्कत split में थी। जाँच आसान है, क्या हर हिस्से से एक ही कदम में गुणा हो सकता है, यानी एक अंक, या एक अंक के बाद शून्य। यहाँ 47 के लिए ऐसे बस 2 splits हैं, 40 जमा 7, और 50 घटा 3। अब एक आख़िरी सवाल, कि कहीं कुछ संख्याएँ ऐसी तो नहीं, जिनका कोई अच्छा split ही नहीं। गिनती में, 10 से 99 तक की सभी 90 संख्याओं को जाँचा गया।

और 90 में से 90 के पास ऐसा split है, जिसके दोनों हिस्से आसान हैं। यानी 2 अंकों की कोई भी संख्या बुरी नहीं होती, अच्छा या बुरा सिर्फ़ split होता है। और 2 बराबर lines, हिसाब में बराबर मेहनत नहीं माँगतीं, इसीलिए हम एक को दूसरी में बदलते हैं। हुनर बस इतना है, कि सही split पहचानो। याद रखो, किसी total का गुणा, हर हिस्से के गुणा का जोड़ है, जैसे 2 गुणा 67, यानी 134।

इसलिए stickers भी गिनो, जल्दी वाली line ने एक थैली के 24 stickers छोड़ दिए थे। यह एक ही ढेर को 2 तरह से गिनना है, जैसे 7 कतारें, हर एक में 5, कुल 35। गुणा पूरे bracket पर लगता है, इसलिए 5 गुणा 4 जमा 3, 23 है, 35 नहीं। घटाने पर भी यही होता है, और फ़र्क वाले bracket को जोड़ से मत खोलो। और गुणा आसान बनाने के लिए ऐसा split चुनो जिसका एक हिस्सा गोल हो, जैसे 97, यानी 100 घटा 3।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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