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Chapter 2 · Arithmetic Expressions

minus चिह्न के बाद bracket हटाने पर अंदर का हर term पलट जाता है

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200 घटा, bracket में 40 जमा 3: bracket हटाओ तो ज़्यादातर लोग लिखते हैं 200 घटा 40 जमा 3, और जवाब आता है 163, जबकि सही जवाब 157 है। पूरा हिस्सा घटाना, उसके हर टुकड़े को घटाना है, इसलिए घटा के पीछे का हर term उल्टा होता है।

मुख्य idea

चिह्न का पलटना रटने वाला नियम नहीं है — यह घटाने के मतलब से ही मजबूरन निकलता है। पूरी चीज़ हटाना वैसा ही है जैसे उसके हर हिस्से को बारी-बारी हटाना; और ज़रूरत से ज़्यादा हटा दो, तो कुछ वापस देना पड़ता है। पूरा औचित्य बस इतना ही है, यह उस उलझी हालत को भी सँभाल लेता है जहाँ अंदर का कोई negative बाहर आकर positive बन जाता है, और यह भी समझा देता है कि plus के पीछे बैठा bracket बिना किसी बदलाव के बाहर क्यों आता है। chapter एक box वाली टिप्पणी में यही कहता है: चिह्न कब बदलने हैं यह याद रखने के बजाय, इसे मतलब से निकालो।

आपको क्या आना चाहिए

  • "एक number घटा brackets में रखा एक total" जैसे आकार वाले expression को बिना bracket के फिर से लिखना, बाहर आने वाले हर term का चिह्न बदलते हुए
  • इस बदलाव को कोई नियम दोहराकर नहीं, बल्कि घटाने के मतलब से समझाना
  • वह हालत सँभालना जहाँ bracket के अंदर का कोई negative term बाहर आकर positive बन जाता है
  • बताना कि जिस bracket के आगे minus नहीं है वह अपने terms के चिह्न नहीं छेड़ता, और कहना कि क्यों
  • bracket हटाने के किसी सुझाए गए तरीक़े को दोनों रूप हल करके और तुलना करके जाँचना
  • किसी expression का एक term थोड़ा ऊपर या नीचे खिसकाने पर उसकी value किधर जाएगी, यह बिना दोबारा हिसाब लगाए बताना
  • पहचानना कि जो term ख़ुद negative है, उसे बड़ा करने से total बड़ा होता है, छोटा नहीं

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
removing bracketsexpression को ऐसे फिर से लिखना कि brackets वाला हिस्सा अब brackets में न रहेकोष्ठक हटानायही topic; pp.35–36 पर छपा (Part I, §2.2)
negative signbracket के आगे खड़ा minus, जो तय करता है कि अंदर के चिह्न बदलेंगे या नहींऋण चिह्नयही topic; pp.35–36 पर छपा (Part I, §2.2)
term (of an expression)वे टुकड़े जिनमें कोई sum बँटता हैपदEvery expression can be rewritten as a sum of terms; p.28 पर छपा (Part I, §2.2)
inverseवही आकार और उल्टे चिह्न वाला numberयोज्य प्रतिलोमEvery expression can be rewritten as a sum of terms; p.28 पर छपा (Part I, §2.2)
bracketsजोड़ी वाले चिह्न जो एक हिस्से को पहले निपटाने पर मजबूर करते हैंकोष्ठकBrackets decide which operation happens first; p.27 पर छपा (Part I, §2.2)
valueवह अकेला number जिसके लिए expression खड़ा हैमानWriting a situation as an expression before computing it; p.24 पर छपा (Part I, §2.1)
nudging a termएक term को थोड़ा बदलना और दोबारा हिसाब लगाए बिना total पर उसका असर पढ़ लेना—इस व्याख्या का अपना वाक्यांश; chapter यह अभ्यास अपने एक छपे हुए subheading के तहत कराता है, पर ऐसे किसी operation का नाम नहीं लेता

Hindi column में standard NCERT Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 7 Part I का Hindi संस्करण source corpus में नहीं था, इसलिए ये शब्द इस chapter की Hindi छपाई से नहीं लिए गए हैं, और इस्तेमाल से पहले उससे मिलाकर जाँच लेने चाहिए।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "bracket हटाने का मतलब है उसे मिटा देना।" जो expression बचता है वह चिह्नों की एक अलग लड़ी है। 200 – (40 + 3) और 200 – 40 + 3 एक ही number नहीं हैं, और chapter p.35 पर यह तुलना साफ़-साफ़ करता है।
  • "अंदर का सिर्फ़ पहला term बदलता है।" 40 और 3 दोनों पलटते हैं। यह सबसे आम चूक है, और इसीलिए chapter पहले दो terms वाला bracket इस्तेमाल करता है।
  • "अंदर का सब कुछ negative हो जाता है।" नहीं — हर term उलट जाता है। अंदर का negative term बाहर आकर positive बन जाता है, और ठीक यही −100 के साथ होता है, Example 13 में। जो student उलटने के बजाय सब कुछ negative में बदल देता है, उसे 150 मिलेगा, 350 नहीं, और उसे पता नहीं चलेगा कि क्यों।
  • "plus के बाद वाले bracket के साथ भी यही करना होता है।" Example 14 यही कहने के लिए है कि नहीं, और फ़र्क़ को नियम बनाकर थोपने के बजाय समझाने के लिए।
  • "−15, −16 से छोटा ही होगा, क्योंकि 15, 16 से छोटा है।" chapter इसी को पकड़ने के लिए छेड़छाड़ grid का पूरा पहला column बनाता है, फिर सीधे यही सवाल पूछता है। negative term को बड़ा करने से total बड़ा होता है।
  • "कोई term एक बढ़े तो total भी एक बढ़ता है — हमेशा।" तब सच है जब term बढ़ता है। लेकिन p.38 का एक अभ्यास difference को स्थिर रखने के लिए घटाई जाने वाली रक़म बदलता है, और वहाँ दोनों बदलाव एक ही दिशा में होने चाहिए, उल्टी दिशाओं में नहीं।
  • "दो बदलाव हमेशा एक-दूसरे को काट देते हैं।" छेड़छाड़ grid के तीसरे column में जान-बूझकर अगल-बगल एक जोड़ी है जो कटती है और एक जो नहीं कटती।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 3 Q1, Figure it Out · 3 Q2, Figure it Out · 3 Q3, Figure it Out · 3 Q5, Figure it Out · 3 Q6, Figure it Out · 3 Q7, Figure it Out · 3 Q8, Figure it Out · 3 Q9

पूरा transcript1,725 शब्द

यहाँ 200 में से एक bracket घटाना है, और bracket के अंदर है 40 जमा 3। इसे हल करने के 2 सच्चे रास्ते हैं, और दोनों का जवाब एक ही आना चाहिए। पहला रास्ता, पहले bracket निपटाओ, क्योंकि bracket इसी काम के लिए है। यानी 40 जमा 3 है 43, तो 200 में से 43 घटाना है। जवाब आता है 157। दूसरा रास्ता, पहले 40 घटाओ, और हम पहुँचते हैं 160 पर।

फिर उसमें से 3 भी घटा लो। जवाब फिर से 157। यह इत्तेफ़ाक नहीं है, पूरा हिस्सा घटाना, उसके हर टुकड़े को बारी बारी घटाने जैसा ही है। तो bracket हट सकता है, सवाल बस इतना है कि बाहर आते समय 3 के साथ क्या होता है। अब bracket हटाते समय लगभग हर कोई यह लिखता है। यानी 200 घटा 40, जमा 3। देखने में यह ठीक लगता है, हर निशान अपनी जगह पर है, उसी क्रम में।

पर क्या इसका जवाब भी 157 है? अगर 200 में से 40 घटाओ तो 160, और 3 जोड़ो तो 163। अब 163 और 157 में 6 का फ़र्क है, और 6 ठीक 3 का दोगुना है। एक जवाब में 3 घटाया गया और दूसरे में जोड़ा गया, इसलिए फ़र्क 3 का दोगुना है, सिर्फ़ 3 नहीं। और यह गलत line बेमतलब भी नहीं है, यह किसी और सवाल का सही जवाब है।

यानी 40 घटाओ और फिर 3 वापस पाओ, यह है 200 घटा, bracket में 40 घटा 3, जिसका जवाब भी 163 है। अब इसे ऐसी जगह रखते हैं, जहाँ सही जवाब महसूस हो सके। एक टंकी में 100 लीटर पानी है। सुबह 15 लीटर खर्च होता है, और शाम को 56 लीटर। टंकी में कितना पानी बचा? एक तरीका, पहले कुल खर्च जोड़ो, 15 और 56 से 71। फिर 100 में से 71 घटाओ, तो 29 लीटर बचता है।

दूसरा तरीका, खर्च को बारी बारी घटाओ, 100 में से 15 घटाओ तो 85। और 85 सिर्फ़ एक पड़ाव नहीं है, शाम को कुछ खर्च न होता, तो इतना ही पानी बचता। फिर 85 में से 56 घटाओ, और फिर वही 29। और गलत line कहती है 100 घटा 15 जमा 56, यानी 141। यानी 141 लीटर, टंकी में शुरू में जितना था उससे भी ज़्यादा, जो हो ही नहीं सकता।

अब वह मामला, जहाँ ज़्यादातर लोग हिम्मत हार जाते हैं। यहाँ 500 में से एक bracket घटाना है, और इस बार bracket के अंदर भी घटाना है। और bracket में है 250 घटा 100। पहले bracket निपटाओ तो कोई दिक्कत नहीं, 250 में से 100 घटाओ तो 150। और 500 में से 150 घटाओ तो 350। अब bracket हटाते हैं, और देखते हैं कि क्या करना पड़ता है। घटाना तो 150 है, पर मान लो हम पूरे 250 घटा देते हैं।

तब 250 बचते हैं, और हमने 100 ज़्यादा घटा दिए। इसलिए 100 वापस जोड़ने होंगे, यानी 500 घटा 250 जमा 100। जवाब 350, और अंदर का घटा 100, बाहर आकर जमा 100 बन गया। इसके लिए कोई नियम याद नहीं करना पड़ा, मतलब से ही बात निकल आई। दूसरा उम्मीदवार भी पास ही बैठा है, और उसे ठीक से हराना ज़रूरी है। वह है 500 घटा 250 घटा 100। यह तब मिलता है, जब bracket के अंदर सब कुछ negative बना दें, हर term उल्टा करने की जगह।

इसका जवाब क्या होगा? यहाँ 500 में से 250 घटाओ तो 250, फिर 100 घटाओ तो 150। यह वही 150 है, जो bracket के अंदर का जवाब था। इसीलिए यह गलत जवाब सही लगता है, क्योंकि यह number पहले से सामने लिखा है। सही 350 और गलत 150 में 200 का फ़र्क है, यानी 100 का दोगुना। असल में bracket के अंदर हर term उल्टा होता है, जमा घटा बनता है, और घटा जमा बनता है।

सब negative नहीं बनते, बस उल्टे होते हैं। पर यह हर बार सच है, या सिर्फ़ इन numbers के लिए, यह गिनकर देखते हैं। यहाँ negative 25 से 25 तक के हर a, b और c पर, a घटा, bracket में b जमा c लिखा गया, कुल 132651 lines। जब bracket हटाकर हर term उल्टा किया, तो value हर बार वही रही, 132651 में से 132651 बार। पर सिर्फ़ bracket मिटाने से, value सिर्फ़ 2601 lines में बची।

और उन सभी 2601 में, bracket का आख़िरी term शून्य था। यानी जब तक वह term शून्य न हो, सिर्फ़ bracket मिटाना गलत है। और a घटा, bracket में b घटा c, जहाँ b और c 1 से 25 तक हैं, ऐसी 31875 lines में सब negative बनाने से हर बार जवाब गलत आया। हर बार जवाब ठीक c के दोगुने से कम निकला। अब तक हर bracket के आगे घटा था, अगर आगे जमा हो तो?

एक shelf पर 28 किताबें हैं, और दूसरी shelf पर 35। दूसरी shelf से 10 किताबें निकाल ली जाती हैं। तब line बनती है 28 जमा, bracket में 35 घटा 10। दूसरी shelf पर अब 25 किताबें हैं, और 28 के साथ कुल 53। अब bracket हटाओ, तो कुछ नहीं बदलता, 28 जमा 35 घटा 10, फिर भी 53। यहाँ 35 positive ही रहा, और 10 negative ही रहा। यह कोई दूसरा नियम नहीं है, जो पहले वाले के साथ रटना पड़े।

यहाँ bracket के आगे कोई घटा ही नहीं है, जो कुछ उल्टा करने को कहे, इसलिए कुछ उल्टा नहीं होता। जमा के पीछे का bracket, सारे चिह्न रखकर हटाने से, 132651 में से 132651 lines में सही निकला। अब यह तय करते हैं कि यह सब याद कैसे रखें। इसे एक नियम की तरह रट सकते हो, आगे घटा तो अंदर सब उल्टा, आगे जमा तो कुछ नहीं। यह तब तक काम आता है, जब तक यह याद है कि कौन सा किस तरफ़ जाता है।

पर याद रखने लायक एक बेहतर बात है, जो एक वाक्य में आ जाती है। पूरा हिस्सा घटाना, उसके हर टुकड़े को घटाना है। और अगर ज़्यादा घटा दिया, तो जितना ज़्यादा घटाया उतना वापस जोड़ो। आज के सारे मामले इसी एक बात से निकलते हैं। जैसे 200 में से 40 और 3 वाला bracket, दोनों को घटाओ। और 500 में से वह bracket, जिसमें 100 पहले ही घट चुका था, ज़्यादा घटाओ और 100 वापस जोड़ो।

मतलब से हल करो, तो कभी याद नहीं रखना पड़ेगा कि कौन सा चिह्न क्या करता है। अब कुछ अभ्यास, एक ही numbers पर, 14, 12 और 10। तो सबसे पहले, 14 घटा, bracket में 12 जमा 10। इसमें bracket हटाकर बनेगा 14 घटा 12 घटा 10, दोनों terms उल्टे, जवाब negative 8। अब 14 घटा, bracket में 12 घटा 10। अंदर का घटा 10 बाहर आकर जमा 10 बनता है, 14 घटा 12 जमा 10, यानी 12।

और 14 घटा, bracket में negative 12 जमा 10। यहाँ negative 12 बाहर आकर जमा 12 बनता है, और 10 घटा 10, यानी 14 जमा 12 घटा 10, जवाब 16। हर बार हर term उल्टा हुआ, और bracket वाली value से जाँचने पर हर जवाब मिल गया। यह बात एक पुरानी तरकीब भी समझाती है। अगर 9 घटाना हो, तो 10 घटाओ और 1 वापस जोड़ो। क्या यह तरकीब हर बार चलती है?

हाँ, क्योंकि 9 असल में 10 घटा 1 है, तो a घटा 9 का मतलब है a घटा, bracket में 10 घटा 1। अब bracket हटाओ, हर term उल्टा, और बनता है a घटा 10 जमा 1। यह तरकीब negative 500 से 500 तक के सभी 1001 numbers पर सही निकली। अब थोड़ी अलग बात, और यह आदत बनाने लायक है। मान लो 53 जमा negative 16, इसका जवाब 37 है।

अब बस एक चीज़ बदलो, 54 जमा negative 16। फिर से पूरा जोड़ सकते हो, या देख सकते हो कि 54, 53 से 1 ज़्यादा है। यानी 1 ज़्यादा अंदर गया, तो 1 ज़्यादा बाहर आया, 38। यह हमने दोबारा जोड़ा नहीं, बस बदलाव का पीछा किया। इसी तरह 52 जमा negative 16, 37 से 1 कम, यानी 36। और बदलाव कितना भी हो, एक term 5 बढ़ाओ तो total भी 5 बढ़ता है, जैसे 58 जमा negative 16 है 42।

यहाँ negative 30 से 30 तक के हर जोड़े पर, किसी भी term को d बढ़ाने से total ठीक d बढ़ा, 40931 में से 40931 बार। यह कोई जुगाड़ नहीं है, terms के जोड़ का यही मतलब है। अब इस आदत की असली परीक्षा। याद है, 53 जमा negative 16 है 37, अब दूसरा term बदलकर negative 15 करो। हिसाब से पहले बताओ, total बढ़ेगा या घटेगा? ज़्यादातर लोग कहते हैं घटेगा, क्योंकि 15, 16 से छोटा है।

तो बहस छोड़कर, दोनों numbers को एक line पर रखते हैं। इस line पर negative 16 यहाँ है, और negative 15 उसके दाईं तरफ़, 1 कदम आगे। जो दाईं तरफ़ है वह बड़ा है, यानी negative 15, negative 16 से बड़ा है। तो term 1 बढ़ा, और total भी 1 बढ़ा, 38। यानी 15, 16 से छोटा है, और negative 15, negative 16 से बड़ा है, और दोनों बातें सच हैं।

और 53 जमा negative 17 है 36, ठीक उतना जितना 52 जमा negative 16। आख़िरी सवाल, जब 2 terms एक साथ बदलें, तब क्या होता है। शुरुआत करते हैं negative 87 जमा negative 16 से, जवाब negative 103। अब negative 88 जमा negative 15। पहला term 1 घटा, और दूसरा term 1 बढ़ा। यानी 1 घटा और 1 बढ़ा, ये कट गए, और total नहीं हिला, फिर से negative 103।

अब negative 86 जमा negative 18। पहला term 1 बढ़ा, दूसरा 2 घटा, ये आपस में नहीं कटते। यहाँ 1 बढ़ा और 2 घटा, यानी कुल 1 घटा, negative 104। और negative 97 जमा negative 26, दोनों 10 घटे, एक ही दिशा में, तो कुल 20 घटा, negative 123। गिनती में, negative 12 से 12 तक के जोड़ों पर, negative 4 से 4 तक के हर बदलाव के साथ, 50625 में से 50625 बार total ठीक बदलावों के जोड़ जितना हिला।

और total तभी नहीं हिला, जब दोनों बदलाव बराबर और उल्टे थे। इसलिए यह मत पूछो कि बदलाव कटते हैं या नहीं, बस उन्हें चिह्न समेत जोड़ो। याद रखो, पूरा हिस्सा घटाना, उसके हर टुकड़े को घटाना है। इसलिए घटा के पीछे bracket हटाओ, तो अंदर का हर term उल्टा होता है, जैसे 200 घटा 40 घटा 3, यानी 157। अंदर का negative term बाहर आकर positive बनता है, 500 घटा 250 जमा 100, यानी 350।

जमा के पीछे का bracket हटाने से कुछ नहीं बदलता। और एक term 1 बढ़ाओ तो total भी 1 बढ़ता है, और negative 15, negative 16 से बड़ा है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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