Area, यानी unit squares की गिनती

0:00यहाँ एक आकृति है — और इसके बारे में 2 बिल्कुल अलग सवाल पूछे जा सकते हैं। पहला सवाल — इसकी किनारी पर पूरा चक्कर कितना लंबा है? ये परिमाप है, जिसे हम पहले अच्छी तरह देख चुके हैं। दूसरा सवाल — इसके अंदर कितनी जगह है? ये क्षेत्रफल है। ये एक अलग माप है — इसका जवाब भी अलग, और इसकी इकाई भी अलग। परिमाप वो है, जिस पर आप चल सकते हैं।

0:27क्षेत्रफल वो है, जिसे आपको ढकना पड़ेगा। तो ढकने को नापें कैसे? कोई एक टुकड़ा चुनिए, उससे आकृति को ढकिए, और गिनिए कि कितने टुकड़े लगे। और वो टुकड़ा है ग्रिड का एक खाना — एक छोटा वर्ग। इसे इकाई वर्ग कहते हैं, और इसका क्षेत्रफल है 1 वर्ग इकाई। तो क्षेत्रफल एक गिनती है — कि आकृति के अंदर ऐसे कितने वर्ग समाते हैं। गुणा बाद में आता है, पहले गिनती।

0:58जब इकाई वर्ग की भुजा 1 मीटर हो, तो उसका क्षेत्रफल 1 वर्ग मीटर कहलाता है। भुजा 1 सेंटीमीटर हो, तो 1 वर्ग सेंटीमीटर। और यहीं एक आम गलती होती है — 20 वर्ग मीटर और 20 मीटर को एक ही चीज़ मान लेना। 20 मीटर एक लंबाई है — एक सीधी डोरी, जिस पर आप चलें। 20 वर्ग मीटर है 20 खाने, जिनमें हर खाना 1 मीटर गुणा 1 मीटर का है।

1:26इसलिए हर जवाब के साथ उसकी इकाई भी कहिए। माप बदला, तो इकाई भी बदली। इस वीडियो का हर जवाब अपनी इकाई के साथ आएगा — ध्यान से सुनिए। एक आयत लीजिए — 5 इकाई लंबा और 4 इकाई चौड़ा। और इसे इकाई वर्गों से ढकना शुरू कीजिए। पहली कतार बिछाइए — 1, 2, 3, 4, 5। एक कतार में 5 वर्ग। अब दूसरी कतार — फिर से 5, अब तक 10।

1:59तीसरी कतार — 15। चौथी कतार — 20। अब पूरा आयत भर गया। 20 इकाई वर्ग — तो क्षेत्रफल है 20 वर्ग इकाई। अगर इकाई मीटर हो, तो 20 वर्ग मीटर। अब देखिए आपने असल में क्या किया। हर कतार में 5 थे, और कतारें थीं 4। यानी 5 को 4 बार जोड़ा — 5 गुणा 4। लंबाई गुणा चौड़ाई यहीं से आता है। ये कोई परिभाषा नहीं है — ये कतारें गिनने का तेज़ तरीका है।

2:33और वर्ग का क्या? वो बस ऐसा आयत है, जिसकी लंबाई और चौड़ाई बराबर हैं। 3 की भुजा वाले वर्ग में 3 कतारें, हर कतार में 3 — कुल 9। भुजा गुणा भुजा। और इसी आयत की किनारी? 5 जोड़ 4 जोड़ 5 जोड़ 4 — 18 इकाई। अंदर 20 वर्ग, किनारी 18 इकाई — 2 अलग सवाल, 2 अलग जवाब। और इसी से पता चलता है कि ये नियम कब चलेगा — तभी, जब आकृति बराबर कतारों में बँट जाए।

3:08आयत बँटता है। ज़्यादातर आकृतियाँ नहीं बँटतीं। अब एक कमरे का फ़र्श — 5 मीटर लंबा, 4 मीटर चौड़ा। 5 गुणा 4 — 20 वर्ग मीटर। उस पर एक वर्गाकार कालीन बिछा है, जिसकी भुजा 3 मीटर है। 3 गुणा 3 — 9 वर्ग मीटर। तो फ़र्श का कितना हिस्सा खुला रह गया? 20 में से 9 घटाइए — 11 वर्ग मीटर। और ये घटाना चलता क्यों है? क्योंकि क्षेत्रफल एक गिनती है।

3:4120 खानों में से 9 कालीन के नीचे हैं, और 11 नहीं। आप बस बचे हुए खाने गिन रहे हैं। क्षेत्रफल वैसे ही जुड़ते और घटते हैं, जैसे चीज़ों की गिनती — क्योंकि वो असल में गिनती ही हैं। अब एक ज़मीन — 12 मीटर लंबी, 10 मीटर चौड़ी। यानी 120 वर्ग मीटर। उसके चारों कोनों में एक-एक वर्गाकार क्यारी है, और हर क्यारी की भुजा 4 मीटर है। यहीं ज़्यादातर लोग फिसलते हैं।

4:11एक क्यारी है 4 गुणा 4 — 16 वर्ग मीटर। और 4 क्यारियाँ? 4 गुणा 16 — 64 वर्ग मीटर। 4 गुणा 4 नहीं — वो संख्या सिर्फ़ एक क्यारी की है, और क्यारियाँ 4 हैं। तो बची हुई ज़मीन — 120 में से 64 घटाइए — 56 वर्ग मीटर। 2 कदम, दोनों आसान — पहले एक क्यारी, फिर सारी। एक कदम छोड़ा, तो जवाब गलत। एक बगीचा 25 मीटर लंबा है, और उसका क्षेत्रफल 300 वर्ग मीटर है।

4:47वो कितना चौड़ा है? कतारों में सोचिए। 1 मीटर चौड़ी हर कतार 25 मीटर लंबी है, यानी उसमें 25 वर्ग मीटर। ऐसी कितनी कतारें मिलकर 300 बनाएँगी? 300 भाग 25 — 12। यानी 12 कतारें, तो चौड़ाई 12 मीटर। जाँच कर लीजिए — 25 गुणा 12, पूरे 300। एक और — 50 मीटर लंबा बगीचा, क्षेत्रफल 1000 वर्ग मीटर। 1000 भाग 50 — चौड़ाई 20 मीटर। गुणा ने क्षेत्रफल दिया था।

5:23भाग उसी नियम को उल्टा चलाता है, और छुपी हुई भुजा दे देता है। अब नारियल का एक बाग — 100 मीटर गुणा 50 मीटर। यानी 5000 वर्ग मीटर। हर पेड़ को अपने लिए 25 वर्ग मीटर चाहिए। ज़्यादा से ज़्यादा कितने पेड़ लग सकते हैं? 5000 भाग 25 — पूरे 200 पेड़। और ये भाग असल में क्या पूछ रहा है? 25 वर्ग मीटर का हर टुकड़ा 5 मीटर गुणा 5 मीटर का है।

5:55लंबाई में ऐसे 20 टुकड़े आते हैं, चौड़ाई में 10 — कुल 200। सवाल वही पुराना है — बस ढकने वाला टुकड़ा अब इकाई वर्ग नहीं, 25 वर्ग मीटर का प्लॉट है। इस वीडियो का हर क्षेत्रफल वाला सवाल, अंदर से ढकने का ही सवाल है। अब एक ऐसी आकृति, जो आयत है ही नहीं — सीढ़ी जैसी, जो बाईं ओर नीचे उतरती है। इसकी किनारियाँ ऊपर से पढ़िए — 1 नीचे, 3 बाएँ, 2 नीचे, 2 बाएँ, 4 नीचे, 3 दाएँ, 3 ऊपर, 4 दाएँ।

6:28सब मीटर में। इसके लिए कोई सूत्र नहीं है, और कभी होगा भी नहीं। पर आपको उसकी ज़रूरत भी नहीं। इसे काटकर देखिए — ऐसी हर आकृति आयतों में टूट जाती है — यहाँ सीधी पट्टियों में काटिए, तो 4 आयत बनते हैं। हर पट्टी अलग से — 2 गुणा 1 है 2, 5 गुणा 2 है 10, 7 गुणा 1 है 7, और 3 गुणा 3 है 9। अब जोड़िए — 2 जोड़ 10 जोड़ 7 जोड़ 9 — 28 वर्ग मीटर।

7:00और ये जोड़ सही क्यों है? क्योंकि पट्टियाँ आकृति के हर खाने को ठीक एक बार ढकती हैं — न कोई छूटा, न कोई दोबारा गिना। एक और आकृति — एक मेहराब। ऊपर से 5 चौड़ी, 3 ऊँची, और नीचे बीच में से एक आयताकार टुकड़ा कटा हुआ। कटा हुआ टुकड़ा 3 लंबा और 2 ऊँचा है, और उसके दोनों तरफ़ 1-1 मीटर का पाया बचा है। पूरा ब्लॉक — 5 गुणा 3 — 15।

7:31कटा टुकड़ा — 3 गुणा 2 — 6। 15 में से 6 घटाइए — 9 वर्ग मीटर। या काटकर देखिए — 2 पाये, हर एक 1 गुणा 2, और ऊपर की पट्टी 5 गुणा 1। 2 जोड़ 2 जोड़ 5 — फिर से 9। तो 2 तरीके हैं — काटो और जोड़ो, या पूरा लो और घटाओ। किसी में भी नया नियम नहीं चाहिए। दोनों रास्ते वही खाने गिनते हैं, इसलिए जवाब एक ही आता है।

8:03अब सारी संख्याएँ हटा दीजिए। ये है tangram — एक वर्ग, जो 7 टुकड़ों में कटा है। 2 बड़े त्रिभुज, A और B। एक मंझला त्रिभुज, F। 2 छोटे त्रिभुज, C और E। एक वर्ग, D। और एक समांतर चतुर्भुज, G। कहीं कोई नाप नहीं लिखा, किसी भुजा की लंबाई नहीं, और कोई रूलर भी नहीं। और काम है — इनके क्षेत्रफलों की तुलना कीजिए। सुनने में नामुमकिन लगता है — जब तक आपको याद न आए कि क्षेत्रफल असल में है क्या।

8:40ढकना, और गिनना। 2 क्षेत्रफलों की तुलना के लिए कोई संख्या नहीं चाहिए। एक को दूसरे पर रखिए। C को E पर रखिए। दोनों किनारी से किनारी तक बिल्कुल मिलते हैं। तो C और E का क्षेत्रफल बराबर है — और आपने कुछ नापा ही नहीं। अब C और E दोनों को साथ लेकर D पर रखिए — वो छोटा वर्ग। दोनों मिलकर उसे पूरा ढक देते हैं। तो D बराबर C जोड़ E, और C और E बराबर हैं — यानी D, C का दोगुना है।

9:18ये अंदाज़ा नहीं, पक्का सबूत है — और इसमें एक भी संख्या नहीं। और ये एक पुरानी गलतफ़हमी तोड़ता है — कि वर्ग तो त्रिभुज से बड़ा ही होगा। आकार और क्षेत्रफल 2 अलग चीज़ें हैं। अब C को ही इकाई बना लीजिए, और हर टुकड़े को C से ढकिए। E है 1 C। D है 2। F को C से ढकिए — फिर से 2। G, यानी समांतर चतुर्भुज — वो भी 2।

9:48तो D, F और G तीनों का क्षेत्रफल बिल्कुल बराबर है, जबकि तीनों दिखते बिल्कुल अलग हैं। और बड़े त्रिभुज, A और B — हर एक में 4 C समाते हैं। अब पूरा जोड़िए — 4 और 4 है 8। 2, 2 और 2 है 6। 1 और 1 है 2। 8 जोड़ 6 जोड़ 2 — 16। पूरा वर्ग सबसे छोटे टुकड़े का 16 गुना है — और ये आपने ढककर निकाला, बिना किसी रूलर के।

10:25सातों टुकड़ों को मिलाकर वर्ग बनाइए — 16 C। अब उन्हें तोड़कर किसी भी तरह बिछाइए — एक आयत बनाइए, या बस बिखेर दीजिए। फिर भी 16। कुछ जोड़ा नहीं गया, कुछ हटाया नहीं गया, कुछ काटा नहीं गया। जगह बदलने से मात्रा नहीं बदलती — और काटकर जोड़ने वाला हर सवाल चुपचाप इसी पर टिका है। जब आपने सीढ़ी को 4 पट्टियों में काटा था, तब आप यही इस्तेमाल कर रहे थे — बस ये कभी बोला नहीं गया।

10:58अब एक उल्टा सवाल। एक आयत 5 मीटर गुणा 10 मीटर, दूसरा 2 मीटर गुणा 7 मीटर। दोनों मिलकर — 50 जोड़ 14 — 64 वर्ग मीटर। अब एक ऐसा आयत ढूँढिए, जो अकेला ही इतनी जगह ढक ले। 8 गुणा 8 — चलेगा। 16 गुणा 4 — वो भी। 32 गुणा 2, और 64 गुणा 1 भी। यहाँ एक से ज़्यादा सही जवाब हैं — और ये कोई गड़बड़ नहीं।

11:28शर्त बस इतनी है कि अंदर 64 खाने हों। पर इनकी किनारियाँ देखिए — 8 गुणा 8 का परिमाप 32 मीटर, और 64 गुणा 1 का 130 मीटर। क्षेत्रफल एक, परिमाप बहुत अलग। आख़िर में एक पहेली। एक आयत, जिसे एक खड़ी और एक आड़ी काट से 4 हिस्सों में बाँटा गया है। ऊपर बाएँ — 13 वर्ग सेंटीमीटर। ऊपर दाएँ — 26। नीचे बाएँ — 15। और नीचे दाएँ — खाली।

12:05मुश्किल ये है कि कहीं कोई लंबाई नहीं दी गई। एक भी नहीं। जो है, उसी से काम चलाइए। ऊपर के 2 हिस्सों की ऊँचाई एक ही है। एक 26 है, दूसरा 13 — यानी ठीक दोगुना। ऊँचाई बराबर, और क्षेत्रफल दोगुना — तो दाईं वाली पट्टी, बाईं वाली से दोगुनी चौड़ी है। अब नीचे की कतार। चौड़ाइयाँ वही, और ऊँचाई दोनों की एक। तो नीचे दायाँ, नीचे बाएँ का दोगुना है — 15 का दोगुना — 30 वर्ग सेंटीमीटर।

12:38न रूलर, न लंबाई, न सूत्र। बस ये बात कि क्षेत्रफल खाने गिनता है — और दोगुनी चौड़ाई में दोगुने खाने आते हैं। अब आप करके देखिए — किसी डिब्बे के ढक्कन को एक जैसी चिटों से ढकिए, और गिनिए। फिर लंबाई और चौड़ाई नापकर गुणा कीजिए, और दोनों को मिलाइए। अगली बार का सवाल — ढकने के लिए वर्ग ही क्यों? गोले या त्रिभुज क्यों नहीं?