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Chapter 6 · Perimeter and Area

Area squares में क्यों नापा जाता है, circles में क्यों नहीं

Area9 मिनट

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क्षेत्रफल हमेशा वर्गों में क्यों गिना जाता है — गोलों में क्यों नहीं? एक आयत लीजिए, 6 गोले चौड़ा और 7 से थोड़ा ज़्यादा ऊँचा। सीधी कतारों में 42 गोले आते हैं, और खिसकी हुई कतारों में 44 — वही आयत, वही गोले, 2 अलग जवाब, और दोनों सही। जो नाप चीज़ के बदले बिना बदल जाए, वो नाप ही नहीं।

मुख्य idea

नाप की किसी unit को दो बार एक ही जवाब देना चाहिए। Circles इस जाँच में इसलिए फ़ेल नहीं होते कि वे गोल हैं, बल्कि इसलिए कि वे बीच में ख़ाली जगह छोड़ देते हैं, और किताब की अपनी दो packings यह नुक़सान ठीक-ठीक दिखाती हैं: एक rectangle, दो ईमानदार गिनतियाँ, 42 और 44. जो unit बिना छेद छोड़े किसी region को ढक नहीं सकती, वह सिर्फ़ कम सटीक संख्या नहीं देती — वह कोई संख्या तय ही नहीं कर पाती। Triangles और rectangles यह पहली जाँच पास कर लेते हैं, इसलिए उन पर square की बढ़त कोई दूसरी और ज़्यादा चुपचाप बात होनी चाहिए, और chapter उसे ढूँढ़ने का काम पढ़ने वाले को सौंप देता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • बताना कि area की unit बनने के लिए किसी आकृति को क्या करना होगा
  • समझाना कि units के बीच ख़ाली जगह गिनती को सिर्फ़ ग़लत नहीं, बल्कि बेमतलब क्यों बना देती है
  • किताब की circles वाली दोनों packings पढ़ना और बताना कि दोनों गिनतियाँ सही क्यों हैं
  • grid squares गिनकर किसी गोल region के area का अंदाज़ा लगाना
  • जाँचना कि कोई सुझाई गई unit आकृति किसी region को बिना ख़ाली जगह और बिना overlap के ढकती है या नहीं
  • उन आकृतियों को, जो ढकने की जाँच में फ़ेल होती हैं, उनसे अलग पहचानना जो पास तो होती हैं पर फिर भी चुनी नहीं जातीं
  • square के सुविधाजनक unit होने के कम से कम दो कारण बताना, और उन्हें कारण की तरह चिह्नित करना, किताब के छपे जवाब की तरह नहीं
  • area की standard units को बोलने और लिखने में ठीक से इस्तेमाल करना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
areaकिसी बंद आकृति से घिरे region का आकारक्षेत्रफल§6.2, p.137 पर bold में छपा और परिभाषित
square unitgrid के एक square का area, जिसे गिनती की unit माना जाता हैवर्ग इकाई§6.2, p.140 पर छपा
graph paperlines वाली sheet जिसके squares गिनने के काम आते हैंग्राफ़ पेपर§6.2, p.140 पर छपा
squared paperउसी lines वाली sheet का किताब में दूसरा नामवर्गांकित कागज़§6.2, p.140 पर छपा
diametercircle की चौड़ाई, उसके केंद्र से होकर सीधे आर-पारव्यास§6.2, p.141 पर छपा, जहाँ किताब इसे breadth कहकर समझाती है
circleवह गोल बंद curve जिसे section मुक़ाबले वाली unit की तरह इस्तेमाल करता हैवृत्त§6.2, p.141 पर छपा
gapआपस में न बैठने वाली units के बीच छूटी बिना ढकी जगहअंतराल§6.2, p.141 पर बताया गया; संज्ञा gaps वहीं छपी है
overlapदो units का एक ही जगह को दो बार ढकनाअतिव्यापन§6.2, p.141 पर छपा
unit of areaवह तय आकृति जिसके दोहराव से गिनती बनती हैक्षेत्रफल की इकाईव्याख्या का अपना वाक्यांश; इस chapter में नहीं छपा
tilingकिसी region को एक ही आकृति की प्रतियों से, बिना ख़ाली जगह और बिना overlap के, ढकनाटाइलिंग§6.2, p.138 पर plot पर tiles बिछाने के रोज़मर्रा वाले अर्थ में छपा; यहाँ का तकनीकी अर्थ व्याख्या का अपना है

Hindi column में standard Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash का Hindi संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल किए गए corpus में नहीं है, इसलिए इन शब्दों को Hindi छपाई से नहीं मिलाया गया — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "Circles ख़राब units हैं क्योंकि वे गोल हैं।" गोलाई दिक़्क़त नहीं है। दिक़्क़त यह है कि circles को बिना बीच में जगह छोड़े अगल-बगल नहीं रखा जा सकता, और यह इस बारे में तथ्य है कि वे आपस में कैसे बैठते हैं, इस बारे में नहीं कि वे कैसे दिखते हैं।
  • "ख़ाली जगहें भी गिन लो, तो सही जवाब आ जाएगा।" तब गिनी जा रही चीज़ circle नहीं रहती, और unit चुपचाप कुछ और बन जाती है। यह बात बोलकर कहो — students यह सुझाव तुरंत देते हैं।
  • "42 या 44, दोनों में से एक गिनती ज़रूर ग़लत है।" दोनों अपनी-अपनी packing की सही गिनतियाँ हैं। दिक़्क़त ठीक यही है: जवाब जमावट पर निर्भर है, इसलिए वह rectangle की ख़ासियत नहीं है।
  • "Squares इसलिए इस्तेमाल होते हैं कि उन्हें बनाना आसान है।" बनाने की आसानी किताब का तर्क नहीं है। तर्क ढकने के बारे में है।
  • "बिना ख़ाली जगह के ढकने वाली कोई भी आकृति square जितनी ही अच्छी है।" Triangles और rectangles दोनों बिना ख़ाली जगह के ढकते हैं, फिर भी किताब पूछती है कि square को बेहतर क्या बनाता है। इस सवाल को ईमानदारी से खुला छोड़ना उसे किसी गढ़े हुए कारण से बंद करने से बेहतर है।
  • "squares गिनकर अंदाज़ा लगाने का मतलब है कि जवाब ग़लत है।" इसका मतलब है कि जवाब लगभग है और सुधारा जा सकता है — छोटा grid ज़्यादा पास का अंदाज़ा देता है। यह तय न हो पाने से अलग बात है, और circle वाली गिनती तय ही नहीं होती।
  • "Area की units बस नाम हैं, cm और m की तरह।" square unit लंबाई की unit से बनाई जाती है। इसे दिखा देना ही चलन को एक कारण में बदल देता है।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript1,454 शब्द

अब तक जितने भी क्षेत्रफल आपने निकाले, सब वर्गों में गिने गए। वर्ग इकाई, वर्ग सेंटीमीटर, वर्ग मीटर — हर जगह वर्ग ही वर्ग। पर एक सवाल, जो लगभग कोई नहीं पूछता — वर्ग ही क्यों? गोले क्यों नहीं? सवाल बिल्कुल जायज़ है। किसी ने आपको कभी इसकी वजह नहीं बताई — वर्ग बस वहाँ था। तो इस सवाल को गंभीरता से लेते हैं — क्योंकि इसका जवाब इस बात में छुपा है कि किसी इकाई को असल में करना क्या होता है।

एक प्रयोग कीजिए। graph paper पर एक गोला बनाइए, जिसका व्यास 3 हो — व्यास यानी बीच से होकर सीधी चौड़ाई। graph paper के खाने छोटे हैं — 1 इकाई के वर्ग में 4 गुणा 4, यानी 16 छोटे खाने आते हैं। अब इसका क्षेत्रफल निकालिए — उसी तरीके से, जो आपके पास है। नीचे के खाने गिनिए। बीच के पूरे खाने गिनना आसान है — ऐसे 88 खाने हैं।

किनारी पर नियम चलते हैं। जो खाना आधे से ज़्यादा ढका है, उसे पूरा गिनिए — ऐसे 24 हैं। जो ठीक आधा ढका हो, उसे आधा गिनिए — यहाँ ऐसा कोई नहीं। और जो आधे से कम ढका है, उसे छोड़ दीजिए — ऐसे 20 हैं। कुल 88 जोड़ 24 — 112 छोटे खाने। 16 खानों की एक इकाई है, तो 112 भाग 16 — 7 वर्ग इकाई। 7 के आसपास — ठीक 7 नहीं।

असली क्षेत्रफल 7 से थोड़ा ज़्यादा है, और गोले का ठीक क्षेत्रफल निकालने का तरीका अभी आपके पास है ही नहीं। पर ये अंदाज़ा सुधारा जा सकता है। 1 इकाई के बड़े खानों से गिनें, तो 4 आता है। आधी इकाई के खानों से 8, और छोटे खानों से 7 — खाने जितने छोटे, अंदाज़ा उतना बेहतर। अंदाज़ा होना गलत होना नहीं है — इसे और सुधारा जा सकता है।

ये याद रखिए, क्योंकि अब हम इतनी पक्की बात भी खोने वाले हैं। अब सवाल की दूसरी तरफ़ चलिए। वर्गों से गोला नापने की जगह, गोलों को ही इकाई बना दीजिए। एक आयत लीजिए, और उसे एक जैसे गोलों से भरिए — जितना हो सके, सटाकर। अब उनके बीच देखिए — खाली जगह। जहाँ 4 गोले मिलते हैं, बीच में एक छोटी सी खाली जगह रह जाती है, जहाँ कोई गोला नहीं पहुँचता।

4 गुणा 3 गोलों में ऐसी 6 जगहें हैं। वर्ग ऐसा नहीं करते। वर्गों को सटाकर रखिए, तो जगह पूरी ढक जाती है — न कुछ बचता है, न कुछ दोबारा। और गोलों की ये कमी छोटी नहीं है। सीधी कतारों में रखें, तो आयत का पाँचवें हिस्से से भी ज़्यादा खाली रह जाता है। अब वो तस्वीर, जिस पर ये पूरी बात टिकी है। एक ही आयत — 6 गोले चौड़ा, और 7 से थोड़ा ज़्यादा ऊँचा।

इसे 2 बार भरिए, एक ही नाप के गोलों से, बस अलग तरह से। बाईं ओर सीधी कतारें — हर गोला ठीक नीचे वाले के ऊपर। 7 कतारें, हर कतार में 6। दाईं ओर कतारें थोड़ी खिसकी हुई हैं, ताकि हर कतार नीचे वाली के गड्ढों में बैठ जाए। कतारें बारी-बारी से 6 और 5 की हैं, और अब 8 कतारें आ जाती हैं। बाईं ओर गिनिए — 42। दाईं ओर गिनिए — 44।

वही आयत, वही गोले — और 2 अलग जवाब। मन कहता है कि इनमें से एक गिनती गलत होगी — पर ऐसा नहीं है। दोनों गिनतियाँ सही हैं। एक तरीके से सच में 42 गोले आते हैं, और दूसरे से सच में 44। और मुसीबत यही है। अगर जवाब इस पर टिका है कि आपने इकाइयाँ कैसे सजाईं, तो वो जवाब आयत के बारे में नहीं — आपकी सजावट के बारे में है।

आयत नहीं बदला, आपका नाप बदल गया। जो नाप चीज़ के बदले बिना बदल जाए, वो नाप ही नहीं है। और खिसकी कतारें हर बार बेहतर भी नहीं होतीं। ठीक 6 गुणा 7 के आयत में सीधी कतारें 42 गोले रखती हैं, और खिसकी कतारें सिर्फ़ 39। तो कोई एक तरीका सही नहीं है। असल बात ये है कि गोलों की गिनती, आयत की अपनी कोई संख्या है ही नहीं।

यहाँ हर कक्षा एक ही बचाव सुझाती है — खाली जगहें भी गिन लो, बचे हुए टुकड़े भी जोड़ दो। करके देखिए, और ध्यान दीजिए कि चुपचाप क्या हो गया। अब आप गोलों में नहीं नाप रहे। आप गोलों में, और एक दूसरी, अलग आकार की चीज़ में नाप रहे हैं। आपकी इकाई अब एक आकार की नहीं रही — और जो इकाई 2 आकारों की हो, वो इकाई नहीं है।

और वो पिचकी हुई खाली जगहें नापना उतना ही मुश्किल है, जितना शुरू वाला आयत। आप आगे नहीं बढ़े — वही सवाल, बस छोटा हो गया। तो लिखिए कि किसी आकार को क्षेत्रफल की इकाई बनने के लिए क्या करना होगा। पहली शर्त — उसकी नकलें पूरी जगह ढक दें, कोई खाली जगह न छोड़ें। दूसरी शर्त — वो एक-दूसरे पर न चढ़ें, वरना कुछ जगह 2 बार गिनी जाएगी।

पूरी जाँच बस यही है — और ये जाँच आपस में फ़िट होने की है, गोल होने की नहीं। अक्सर कहा जाता है कि गोले इसलिए फ़ेल हुए, क्योंकि वो गोल हैं। पर गोलाई दिक्कत नहीं है। एक ऐसा टुकड़ा सोचिए, जिसके एक तरफ़ गोल उभार है और दूसरी तरफ़ ठीक वैसा ही गड्ढा। ऐसे टुकड़े एक के बाद एक सटकर पूरी पट्टी ढक देते हैं — मुड़े हुए किनारों के बावजूद।

गोले इसलिए फ़ेल होते हैं, क्योंकि गोले के उभार के लिए कहीं कोई मिलता हुआ गड्ढा नहीं है। अब इस जाँच पर दूसरे आकार आज़माइए। सबसे पहले त्रिभुज। कोई भी त्रिभुज लीजिए, और उसकी एक नकल, उल्टी घुमाकर। दोनों मिलकर एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं — और समांतर चतुर्भुज एक-दूसरे से सटकर, बिना किसी खाली जगह के बिछ जाते हैं। 3 गुणा 2 समांतर चतुर्भुज, यानी 12 त्रिभुज — और पूरी जगह ढकी हुई।

न कोई खाली जगह, न कोई चढ़ाव। और ये कोई ख़ास त्रिभुज नहीं — कोई भी त्रिभुज ऐसा करता है। यानी इकाई का वर्ग होना ज़रूरी नहीं था। त्रिभुज भी चल जाते। आयत भी पास होते हैं — दीवार में ईंटें, फ़र्श पर टाइलें, ये आपने बहुत बार देखा है। 2 गुणा 1 की ईंटें, 2 आड़ी और 4 ऊपर — और 4 गुणा 4 की जगह पूरी ढक जाती है।

तो अब 3 आकार हैं, जो ढकने की जाँच में पास हैं — वर्ग, त्रिभुज, और आयत। ढकने की जाँच बताती है कि गोले बाहर क्यों हैं। वो ये नहीं बताती कि वर्ग ही अंदर क्यों है। इसके आगे जो है, वो सोच-विचार है, कोई तय जवाब नहीं। इसे परखिए, रटिए मत। पहली वजह ये है — आयत को इकाई बनाना हो, तो 2 संख्याएँ बतानी पड़ेंगी — लंबाई और चौड़ाई।

एक भुजा 2 हो, तब भी आयत का क्षेत्रफल 2, 4, 6, 8 या 10 हो सकता है — दूसरी भुजा पर निर्भर है। वर्ग को बस एक संख्या चाहिए — उसकी भुजा। भुजा 2, तो क्षेत्रफल सिर्फ़ 4। पूरा वर्णन एक ही संख्या में। और वर्गों का जाल दोनों दिशाओं में एक जैसा है। graph paper को चौथाई चक्कर घुमाइए — कुछ नहीं बदलता। 2 गुणा 1 की ईंटों का जाल घुमाइए, तो हर ईंट खड़ी हो जाती है — जाल ही बदल गया।

अब लंबाई कौन सी थी, और चौड़ाई कौन सी? दूसरी वजह, जो चुपचाप हर हिसाब के नीचे बैठी है। लंबाई की इकाई आपके पास पहले से है — सेंटीमीटर। 1 सेंटीमीटर लीजिए, उसे right angle पर मोड़िए, और खिसकाइए — आपको 1 सेंटीमीटर भुजा वाला वर्ग मिलता है। और वही है 1 वर्ग सेंटीमीटर। क्षेत्रफल की इकाई, लंबाई की इकाई से ही बनी है — कुछ जोड़ा नहीं गया। इसीलिए इकाइयों के नाम ऐसे हैं — वर्ग मीटर, वर्ग सेंटीमीटर, वर्ग इकाई।

और इसीलिए आयत का क्षेत्रफल लंबाई गुणा चौड़ाई से निकलता है — क्योंकि जिस इकाई में गिन रहे हैं, वो ख़ुद लंबाई गुणा लंबाई है। त्रिभुज को इकाई बना लें, तो ये बात बेमतलब हो जाती है। तो पूरा जवाब, उसी क्रम में, जिसमें तर्क चलता है। गोले बाहर — क्योंकि वो खाली जगह छोड़ते हैं, और खाली जगह छोड़ने वाली इकाई किसी जगह को कोई पक्की संख्या दे ही नहीं पाती।

त्रिभुज और आयत अंदर — वो सच में पूरा ढकते हैं, और इनमें से कोई भी काम कर जाता। वर्ग सुविधा से जीतता है, मजबूरी से नहीं — एक संख्या उसे बता देती है, उसका जाल दोनों दिशाओं में एक जैसा है, और वो सीधा लंबाई की इकाई से बना है। ये 3 वजहें सोच हैं, नियम नहीं। अपनी सूची बनाइए — और देखिए, क्या आप कोई ऐसी वजह ढूँढ पाते हैं, जो यहाँ छूट गई।

और अब असली दुनिया के 2 काम — अपने गलियारे के बाहर के फ़र्श का क्षेत्रफल वर्ग मीटर में निकालिए, और अपने स्कूल के खेल के मैदान का भी। दोनों को वर्गों में ही नापिए — और अब आप बता सकते हैं कि क्यों।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

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