PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 6 Mathematics · Chapter 3, Number PlayPrepShorts

Chapter 3 · Number Play

वही बच्चे, अलग numbers: number इस पर टिका है कि क्या गिना जा रहा है

What a number is reporting10 मिनट

यह video load नहीं हो सकी. फिर से कोशिश करने के लिए page reload करें.

Sign in with Google

10 min.

यह lesson English में भी है.Englishहिन्दी

कक्षा 6 की सभी Hindi videos · सभी Hindi videos

8 बच्चे एक कतार में, हर एक के ऊपर एक संख्या — 0, 2, 1, 1, 0, 2, 1, 0। कोई सवाल नहीं लिखा। ये बच्चे क्या गिन रहे हैं?

मुख्य idea

शुरू वाली तस्वीर के आठ बच्चे दोनों drawings के बीच न बड़े होते हैं, न छोटे — फिर भी जो number वे बोलते हैं, वह हर एक बदल जाता है। तो बच्चा जो number कहता है, वह उस बच्चे के बारे में कोई तथ्य नहीं है। वह इस बात की ख़बर है कि बच्चे का अपने दोनों बगल वालों से रिश्ता क्या है, और वह सिर्फ़ इस व्यवस्था की वजह से मौजूद है। यह एक बार दिख जाए, तो तीर दोनों तरफ़ चलता है: numbers की एक पंक्ति सबूत है, और तुम numbers से पीछे की ओर व्यवस्था तक तर्क कर सकते हो — ऐसी पंक्तियों को रद्द करते हुए जिन्हें बच्चों की कोई भी कतार कभी बना ही नहीं सकती — और वह भी एक भी बच्चे को देखे बिना।

आपको क्या आना चाहिए

  • अपने शब्दों में बताना कि तस्वीर का हर बच्चा क्या गिन रहा है
  • जिन बच्चों की ऊँचाई पता हो, उनकी कतार से वह numbers की पंक्ति बनाना जो वे बोलेंगे
  • समझाना कि वही बच्चे जगह बदलें तो numbers क्यों बदल जाते हैं
  • समझाना कि किसी भी किनारे पर खड़ा बच्चा कभी 2 क्यों नहीं कह सकता
  • तय करना कि सुझाई गई numbers की पंक्ति संभव है या नहीं, और फ़ैसले को सही ठहराना
  • दिखाना कि ऊँचाइयाँ कुछ भी हों, कम से कम एक बच्चे को हमेशा 0 कहना ही पड़ेगा
  • पाँच बच्चों की ऐसी व्यवस्था बनाना जो बताई गई पंक्ति दे, या यह तर्क देना कि ऐसी कोई व्यवस्था है ही नहीं
  • पाँच की कतार में एक साथ ज़्यादा से ज़्यादा कितने बच्चे 2 कह सकते हैं, यह ढूँढ़ना, और बताना कि इससे ज़्यादा क्यों संभव नहीं
  • पहचानना कि बिना संदर्भ के बताया गया number पढ़ा ही नहीं जा सकता

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
neighbourकतार में किसी के ठीक बगल में खड़े दोनों लोगों में से कोई एकपड़ोसी§3.1, p.56 — वहीं छपा, taller neighbours के रूप में
arrangementउन्हीं बच्चों का कतार में एक ख़ास क्रमव्यवस्था§3.1, p.55 — वहीं छपा
rearrangeउन्हीं लोगों को किसी दूसरे क्रम में खड़ा करनापुनर्व्यवस्थित करना§3.1, p.55 — वहीं छपा
heightवह गुण जिसकी नियम तुलना करता है, और अकेला गुण जिसे वह देखता हैऊँचाई§3.1, p.56 — वहीं छपा, hint में
tallerनियम जिस तुलना का इस्तेमाल करता है — सख़्त, इसलिए बराबर ऊँचाई नहीं गिनी जातीअधिक लंबा§3.1, p.56 — वहीं छपा
sequenceबोले गए numbers की पंक्ति, कतार के एक सिरे से दूसरे तक पढ़ी हुईअनुक्रम§3.1, p.56 — वहीं छपा, सवाल 5 और 6 में
Math Talkकिताब का अपना margin badge, ऐसे prompt के लिए जिस पर class में बहस होनी है—§3.1, pp.55–56 — वहीं margin badge की तरह छपा
contextक्या गिना जा रहा था; इसके बिना कोई number पढ़ा नहीं जा सकतासंदर्भ§3.1, p.55 — शुरू का वाक्य contexts को वह चीज़ बताता है जिसके साथ numbers बदलते हैं
tallest-child ruleइस व्याख्या का दिया नाम, इस तथ्य के लिए कि पूरी कतार का सबसे लंबा हमेशा 0 बताता है—व्याख्या का अपना शब्द, किताब में कहीं नहीं छपा

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है; यह Ganita Prakash के हिंदी संस्करण से उतारी नहीं गई है। Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "number बच्चे का अपना है।" वह बच्चे का है, पर उस कतार की उस जगह पर खड़े बच्चे का। pp.55–56 की दोनों drawings वही आठ बच्चे हैं, अलग numbers के साथ, और यही इस मान्यता का सीधा खंडन है। दोनों को एक साथ दिखाओ, एक के बाद एक नहीं।
  • "0 कहने का मतलब है कि तुम छोटे हो।" इसका मतलब है कि तुम्हारे बगल में कोई तुमसे लंबा नहीं — और पूरी कतार के सबसे लंबे बच्चे के साथ हमेशा यही होता है। पहली तस्वीर में तीन बच्चे 0 कहते हैं, और वे तीन सबसे छोटे बच्चे नहीं हैं।
  • "2 कहने का मतलब है कि तुम सबसे छोटे हो।" इसका मतलब है कि तुम्हारे दोनों पड़ोसी तुमसे लंबे हैं, जिससे तुम बस अपने आस-पास का एक गड्ढा बनते हो, पूरी कतार में सबसे छोटे नहीं। ऊँचाइयाँ 3, 1, 4, 2, 5 में दो बच्चे 2 कहते हैं, और उनमें से सिर्फ़ ऊँचाई 1 वाला बच्चा पूरी कतार में सबसे छोटा है; ऊँचाई 2 वाला बच्चा बस एक गड्ढा है, और कुछ नहीं।
  • "0s, 1s और 2s की कोई भी पंक्ति हो सकती है।" ज़्यादातर नहीं हो सकतीं। पाँच 1s वाली पंक्ति किसी भी ऊँचाइयों के लिए असंभव है, क्योंकि कतार के सबसे लंबे बच्चे का कोई लंबा पड़ोसी नहीं होता और उसे 0 कहना ही पड़ता है।
  • "किनारे वाला बच्चा काफ़ी छोटा हो तो 2 कह सकता है।" किनारे वाले बच्चे का एक ही पड़ोसी होता है, इसलिए उसकी गिनती कभी 1 से ज़्यादा नहीं हो सकती। यह बात जगह की है, ऊँचाई की नहीं, और students लगातार इसका जवाब ऊँचाई से देते हैं।
  • "बराबर ऊँचाई भी लंबा गिनी जाती है।" नहीं गिनी जाती। नियम सख़्ती से लंबा पर टिका है। इसी वजह से "सब 0 कहते हैं" तब संभव है जब सब बच्चों की ऊँचाई बराबर हो — और तब असंभव है जब सबकी ऊँचाई अलग-अलग हो।

Worked answers to this chapter’s exercises

पूरा transcript1,541 शब्द

आज एक सीधा सा सवाल। हमारे चारों ओर संख्याएँ काम करती हैं — घर के दरवाज़े पर लिखी संख्या, बस पर लिखी संख्या, जूते का साइज़, खेल का स्कोर। अब सोचो, अगर तीनों जगह 5 लिखा हो। घर पर 5, बस पर 5, और जूते पर 5। तीनों का मतलब बिल्कुल अलग है। यानी संख्या असल में किसी सवाल का जवाब है। सवाल पता न हो, तो संख्या कुछ नहीं बताती।

आज हम बच्चों की एक कतार देखेंगे। हर बच्चा एक संख्या बोलता है — और हमें ढूँढना है कि सवाल क्या था। यहाँ 8 बच्चे एक कतार में खड़े हैं। हर एक के ऊपर एक संख्या है — बाएँ से पढ़ो: 0, 2, 1, 1, 0, 2, 1, 0। कहीं कोई सवाल नहीं लिखा। बस ये संख्याएँ हैं। ध्यान दो, सिर्फ़ 0, 1 और 2 आते हैं — कोई 3 नहीं।

तो ये बच्चे क्या गिन रहे होंगे? एक बात और — बीच में 2 पड़ोसी एक ही संख्या बोल रहे हैं, दोनों 1। एक इशारा मिलता है, बस एक छोटी सी बात — देखो, कौन कितना लंबा है। अब सोचो, अगर कोई बच्चा अपने दोनों पड़ोसियों से लंबा है, तो वो क्या बोलेगा? लंबाई सुनते ही हम पास-पास खड़े बच्चों की तुलना करने लगते हैं। और यही असली चाल है।

तुलना सिर्फ़ पास वालों से है — किसी की असली लंबाई नहीं, सिर्फ़ बगल वाले से बड़ा या छोटा। जवाब है 0। उसके बगल में कोई उससे लंबा नहीं, तो गिनती शून्य है। तो नियम यह है। हर बच्चा बताता है कि उसके ठीक बगल में खड़े लोगों में से कितने उससे लंबे हैं। बीच वाले बच्चे के 2 पड़ोसी हैं, इसलिए वो 0, 1 या 2 ही बोल सकता है।

और किनारे वाले बच्चे का सिर्फ़ 1 पड़ोसी है, तो वो 0 या 1 ही बोलेगा। और लंबा मतलब सच में ज़्यादा लंबा। बराबर लंबाई वाला पड़ोसी गिनती में नहीं आता। यानी हर बच्चा बस बाएँ और दाएँ देखता है। बाकी कतार से उसे कोई मतलब नहीं। अब इन 8 बच्चों को ऐसी लंबाइयाँ देते हैं जो नियम पर बैठें, और कतार में एक-एक करके चलते हैं। पहला बच्चा किनारे पर है, उसका एक पड़ोसी है, और वो छोटा है — तो 0।

दूसरा छोटा है, दोनों तरफ़ लंबे बच्चे — तो 2। तीसरे और चौथे के एक-एक पड़ोसी लंबे हैं — इसलिए दोनों 1। पाँचवाँ अपने दोनों पड़ोसियों से लंबा है — 0। छठा एक गड्ढे में है, दोनों तरफ़ लंबे — 2। सातवें का एक पड़ोसी लंबा है — 1। और आखिरी, जो सबसे लंबा है — 0। पूरी कतार मेल खाती है। ध्यान दो, हमने किसी की असली लंबाई नहीं नापी।

बस ये देखा कि कौन किससे लंबा है। अब वही 8 बच्चे जगह बदल लेते हैं। कोई लंबा या छोटा नहीं हुआ — सिर्फ़ जगहें बदलीं। और अब संख्याएँ हैं — 1, 0, 2, 0, 1, 2, 1, 0। अब हर बच्चे को दोनों कतारों में ढूँढो। पता चलता है कि 8 में से 5 बच्चे अब अलग संख्या बोल रहे हैं। मसलन सबसे छोटे बच्चे को देखो। पहली कतार में वो 2 बोल रहा था, और दूसरी में वो 1 बोलता है।

पर सबसे लंबा बच्चा दोनों बार 0 बोलता है — क्योंकि उससे लंबा कोई है ही नहीं। इसलिए संख्या बच्चे के बारे में कोई पक्की बात नहीं है। वो बताती है कि बच्चा अपने पड़ोसियों के बीच कहाँ खड़ा है। तो क्या 0 बोलने वाला छोटा है? पहली कतार में 3 बच्चे 0 बोलते हैं — और वो 3 सबसे छोटे बच्चे नहीं हैं। उनमें तो सबसे लंबा भी है।

असल में 0 का मतलब है — बगल में कोई तुमसे लंबा नहीं। यानी तुम अपनी जगह की एक चोटी हो। और 2 का मतलब है दोनों पड़ोसी लंबे — यानी एक छोटा सा गड्ढा। ज़रूरी नहीं कि तुम पूरी कतार में सबसे छोटे हो। सोचो जैसे छोटी-छोटी पहाड़ियाँ। यहाँ 0 वाला अपनी पहाड़ी की चोटी पर है — पर ज़रूरी नहीं कि पूरी कतार में सबसे ऊँचा हो। अब उल्टा चलते हैं।

कतार की संख्याओं से हम बच्चों के बारे में क्या जान सकते हैं? सबसे पहले किनारे। क्या किनारे वाला बच्चा 2 बोल सकता है? जवाब है कभी नहीं, क्योंकि किनारे वाले का सिर्फ़ 1 पड़ोसी है, तो उसकी गिनती 1 से आगे जा ही नहीं सकती। और ये लंबाई की बात नहीं, जगह की बात है। बच्चा कितना भी छोटा हो, किनारे पर 2 नहीं बोल सकता। हमारी कतारों में भी यही दिखता है।

पहली कतार में दोनों किनारे 0 बोलते हैं, और दूसरी में बायाँ किनारा 1। हमने 8 बच्चों के हर क्रम में दोनों किनारे जाँचे — 80640 जगहें, और एक भी 2 नहीं। अब एक तरकीब। हर 2 पड़ोसियों के बीच एक तीर बनाओ, जो छोटे वाले की तरफ़ इशारा करे। अब देखो — हर बच्चे की संख्या, बस उसकी तरफ़ आने वाले तीरों की गिनती है। पहली कतार पर तीर बनाओ।

दूसरे बच्चे की तरफ़ 2 तीर आते हैं — एक बाएँ से, एक दाएँ से — इसलिए वो 2 बोलता है। और पाँचवें बच्चे की तरफ़ एक भी तीर नहीं आता। इसलिए वो 0। यहाँ 8 बच्चे हैं, तो 7 खाली जगहें और 7 तीर। इसलिए पूरी कतार का जोड़ 7 होना चाहिए — और दोनों कतारों का जोड़ 7 ही है। हमने 8 बच्चों के सारे 40320 क्रम जाँचे — हर बार तीरों की गिनती ही संख्या निकली।

अब सवाल — क्या सारे बच्चे 0 बोल सकते हैं? अगर सबकी लंबाई अलग है, तो नहीं। हर खाली जगह पर एक तीर बनेगा, और जोड़ 0 नहीं हो सकता। पर अब सोचो, 5 बच्चे जिनकी लंबाई बिल्कुल एक जैसी है। कोई किसी से लंबा नहीं, तो सब 0 बोलेंगे। पर तीर तभी बनता है जब एक बच्चा सच में लंबा हो। बराबर लंबाई वाले पड़ोसियों के बीच कोई तीर नहीं।

हमने 3 लंबाइयों से बनी 243 कतारें जाँचीं। सिर्फ़ 3 में सब 0 बोलते हैं — और तीनों में सारे बच्चे बराबर लंबे हैं। यानी जवाब एक ऐसी शर्त पर टिका है, जो सवाल में लिखी ही नहीं — क्या लंबाइयाँ बराबर हो सकती हैं? अब 5 बच्चे, सब अलग लंबाई के। क्या पाँचों 1 बोल सकते हैं? देखो, 5 बच्चों के बीच 4 खाली जगहें, यानी 4 तीर। पर 1, 1, 1, 1, 1 का जोड़ 5 है।

और 5 और 4 बराबर नहीं — तो नामुमकिन। एक दूसरा कारण भी है। सबसे लंबे बच्चे के बगल में कोई लंबा नहीं, इसलिए उसे 0 ही बोलना है। हमने 5 बच्चों के सारे 120 क्रम जाँचे — हर बार सबसे लंबा 0 बोलता है, और सबका 1 बोलना एक बार भी नहीं होता। देखो, जोड़ वाली तरकीब ने ये कतार बच्चों को देखे बिना ही गिरा दी। अब अगर 4 बच्चे 1 बोलें और 1 बच्चा 0 — क्या ऐसा हो सकता है?

अब जोड़ 4 है, जो 4 तीरों से मेल खाता है। मसलन लंबाइयाँ 1, 2, 3, 4, 5 इसी क्रम में हों, तो कतार बनती है 1, 1, 1, 1, 0। और वो 0 किसी भी जगह आ सकता है — पाँचों जगहों पर। यानी ऐसी 5 कतारें बनती हैं। और हर बार वो 0 वाला सबसे लंबा बच्चा है। बाकी सब उससे दोनों तरफ़ ढलान की तरह छोटे होते जाते हैं।

बिल्कुल पहाड़ की तरह — एक तरफ़ से चढ़ाई 0 तक, फिर दूसरी तरफ़ उतराई। अब बड़ा सवाल। सोचो, 5 अलग-अलग लंबाई वाले बच्चे — असल में कितनी कतारें बन सकती हैं? काग़ज़ पर हर बच्चा 0, 1 या 2 बोल सकता है। तो 3 गुणा 3 गुणा 3 गुणा 3 गुणा 3 — यानी 243 कतारें लिखी जा सकती हैं। पर इनमें से सिर्फ़ 16 ही कभी बनती हैं।

क्योंकि 4 तीर हैं, और हर तीर 2 में से किसी एक तरफ़ इशारा करता है। तो 2 गुणा 2 गुणा 2 गुणा 2 — कुल 16। बाकी 227 कतारें सिर्फ़ काग़ज़ पर हैं। सबके 1 वाली कतार भी उन्हीं में से एक है, जिसे हम पहले ही गिरा चुके। मसलन लंबाइयाँ 5, 4, 1, 2, 3 हों, तो कतार बनती है 0, 1, 2, 1, 0। अब आखिरी सवाल — इन 5 बच्चों में ज़्यादा से ज़्यादा कितने 2 बोल सकते हैं?

यहाँ 2 का मतलब है दोनों तरफ़ के तीर उसी की ओर। यानी एक 2 पूरे 2 तीर खा जाता है — और कुल तीर सिर्फ़ 4 हैं। इसलिए ज़्यादा से ज़्यादा 2 बच्चे। और ऐसा होता भी है — लंबाइयाँ 3, 1, 4, 2, 5 से कतार बनती है 0, 2, 0, 2, 0। यहाँ दूसरा और चौथा बच्चा गड्ढे में हैं, और उनके बीच वाला एक चोटी पर।

सारे 120 क्रमों में से 16 में 2 बच्चे 2 बोलते हैं, और 3 बच्चे एक बार भी नहीं। आज की बात। वही बच्चे, अलग संख्याएँ — क्योंकि संख्या बच्चे की नहीं, उसकी जगह की खबर देती है। और तीरों की मदद से हम उल्टा भी चल सकते हैं — बिना किसी बच्चे को देखे, बहुत सी कतारें नामुमकिन साबित हो जाती हैं। और एक ही नियम से कई बातें निकलीं — किनारे 2 नहीं बोलते, सबसे लंबा 0 बोलता है, और जोड़ तीरों के बराबर होता है।

अब तुम्हारी बारी। अगर 6 बच्चे हों, सब अलग लंबाई के, तो ज़्यादा से ज़्यादा कितने बच्चे 2 बोल सकते हैं? एक क्रम बनाकर दिखाओ — और बताओ, इससे ज़्यादा क्यों नहीं? अपने जवाब comments में लिखना।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

The book

Open in a new tab