PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 6 Mathematics · Chapter 3, Number PlayPrepShorts

Chapter 3 · Number Play

जोड़ को ऐसे फिर से सजाना कि वह मन में ही हो जाए

Calculating cleverly14 मिनट

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38800 बनाना है, और हाथ में सिर्फ़ 5 संख्याएँ — 25000, 400, 13000, 1500, 60000। हर संख्या जितनी बार चाहो ले सकते हो। column बनाकर हासिल लेने की ज़रूरत नहीं: 25000 और 13000 से 38000, और 400 को 2 बार लेकर 800।

मुख्य idea

जोड़ कोई तय मात्रा का काम नहीं है। काम पूरी तरह इस पर टिका है कि तुम उसे किस तरह समूहों में बाँटते हो, और तुम्हें फिर से बाँटने की इजाज़त है क्योंकि जोड़ को क्रम या कोष्ठकों से कोई मतलब नहीं। यही एक इजाज़त है जिसे ये दोनों sections इस्तेमाल करते हैं: §3.8 तुम्हें एक लक्ष्य और कुछ छोटे हिस्से देता है और पूछता है कि कौन-सा समूहन वहाँ पहुँचता है, और §3.9 तुम्हें वही जोड़ एक चित्र में पहले से सजाकर देता है, जिसका आकार बताता है कि कौन-सा समूहन इस्तेमाल करना है। यहाँ मानसिक गणित तेज़ हिसाब नहीं है — यह कम हिसाब है, जो शुरू करने से पहले तोड़ने का तरीक़ा चुनकर ख़रीदा जाता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • दिए गए numbers को जोड़कर, ज़रूरत हो तो दोबारा इस्तेमाल करके, बताए गए कुल तक पहुँचना
  • एक ही कुल तक पहुँचने वाले एक से ज़्यादा मेल दिखाना
  • तय करना कि बताया गया कुल पहुँचा भी जा सकता है या नहीं, और फ़ैसले को सही ठहराना
  • किसी लक्ष्य तक सस्ते में पहुँचने के लिए जोड़ के साथ घटाव का भी इस्तेमाल करना
  • समझाना कि जोड़कर फिर कुछ घटाना, चार बार जोड़ने से बेहतर क्यों हो सकता है
  • अंकों की गिनती वाली बताई गई हालतों के उदाहरण बनाना, और पहचानना कि कौन-सी हालतें असंभव हैं
  • अंकों की गिनती के बारे में किसी कथन को हमेशा, कभी-कभी या कभी नहीं सच के रूप में बाँटना, वजह के साथ
  • pattern वाली किसी व्यवस्था का कुल एक-एक गिनकर नहीं, समूह बनाकर निकालना
  • किसी चित्र के आकार को इस निर्देश की तरह पढ़ना कि समूह कैसे बनाने हैं
  • अपनी ख़ुद की ऐसी व्यवस्था बनाना जिसका जोड़ चुना हुआ कुल हो

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
Mental Mathकाग़ज़ पर नहीं, फिर से समूह बनाकर किए गए हिसाब के लिए किताब का अपना नाममानसिक गणित§3.8, p.65 — वहीं section के शीर्षक की तरह छपा
middle columnशुरू वाली figure में, जोड़ने के लिए उपलब्ध numbers का setमध्य स्तंभ§3.8, p.65 — वहीं छपा
Adding and Subtractingउस रूप के लिए किताब का label जिसमें दोनों संक्रियाओं की इजाज़त है—§3.8, p.66 — वहीं मोटे उप-शीर्षक की तरह छपा
Digits and Operationsअंकों की गिनती वाले अभ्यासों के लिए किताब का label—§3.8, p.66 — वहीं मोटे उप-शीर्षक की तरह छपा
Always, Sometimes, Neverकथन को बाँटने वाले अभ्यास के लिए किताब का label—§3.8, p.67 — वहीं तिरछे शीर्षक की तरह छपा
sumजोड़ने का नतीजायोग§3.8, p.65 — वहीं छपा
differenceघटाने का नतीजाअंतर§3.8, p.66 — वहीं छपा
quicker way§3.9 की असली बात के लिए किताब का अपना वाक्यांश—§3.9, p.67 — वहीं छपा, शुरू वाले सवाल में
groupingव्याख्या का दिया नाम, इस चुनाव के लिए कि कौन-से हिस्से पहले जोड़ने हैंसमूहनव्याख्या का अपना शब्द, किताब में कहीं नहीं छपा
repeated partव्याख्या का दिया नाम, ऐसी value के लिए जो एक व्यवस्था में कई बार आती है—व्याख्या का अपना शब्द, किताब में कहीं नहीं छपा

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है; यह Ganita Prakash के हिंदी संस्करण से उतारी नहीं गई है। Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "मानसिक गणित का मतलब है वही जोड़ मन में तेज़ी से करना।" इसका मतलब है एक अलग, छोटा जोड़ करना जिसका जवाब वही हो। column वाले जोड़ से 38,800 और 38,800 को 25,000 + 400 + 400 + 13,000 की तरह, ये बराबर मात्रा का काम नहीं हैं।
  • "किसी लक्ष्य को बनाने का एक ही सही तरीक़ा है।" 28,000 और 63,000 हर एक एक से ज़्यादा तरीक़ों से बन सकते हैं। figure कई रास्तों को बुलाती है, और class को किसी एक जवाब पर सिमटने के बजाय उनकी तुलना करनी चाहिए।
  • "अगर तुम 2,000 बना सकते हो तो 1,000 भी बना सकते हो।" नहीं बना सकते। दो सबसे छोटे हिस्से 400 और 1,500 हैं, और 400s की कोई भी गिनती 1,000 पर नहीं पहुँचती। यह section का पहला असंभवता वाला तर्क है, और इतना छोटा है कि पूरा किया जा सके।
  • "घटाव पीछे की ओर क़दम है, इसलिए वह चीज़ों को जल्दी नहीं कर सकता।" 39,800 तक सबसे तेज़ी से 40,000 तक आगे निकलकर और वापस आकर पहुँचा जाता है। आगे-निकलो-और-सुधारो ही वह पूरी वजह है जिसके लिए दूसरा औज़ार-बक्सा है।
  • "दो 4-digit numbers जोड़ने से 6-digit number मिल सकता है।" नहीं मिल सकता, और Always, Sometimes, Never वाला block ठीक इसी को उजागर करने के लिए बना है। दो 4-digit numbers में से हर एक 10,000 से छोटा है, इसलिए जोड़ 20,000 से छोटा है। दलील दो, नाकाम खोज नहीं।
  • "किसी चित्र का कुल निकालने के लिए उसमें सब कुछ गिनना पड़ता है।" §3.9 ठीक इसी से इनकार करने के लिए है। व्यवस्था ही इशारा है; figure (a) की पंक्तियाँ और figure (c) के दोनों blocks जान-बूझकर वैसे रखे गए हैं।
  • "बिंदुओं वाले grids बस सजावट हैं।" वे भी जोड़ हैं — बिंदुओं के। छहों में वे सबसे कठिन हैं, क्योंकि कुछ भी गिनने से पहले तुम्हें तय करना होता है कि दोहराने वाला हिस्सा क्या है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 3.8 Q1, Figure it Out · 3.8 Q2, End-of-Chapter Figure it Out Q7

पूरा transcript1,820 शब्द

बीच में एक खड़ी कतार है, और उसमें 5 संख्याएँ — 25000, 400, 13000, 1500, और 60000। बाएँ और दाएँ 8 लक्ष्य लिखे हैं। काम ये है — बीच की संख्याएँ जोड़कर हर लक्ष्य तक पहुँचो। और एक छूट है — कोई भी संख्या जितनी बार चाहो, उतनी बार ले सकते हो। तो क्या मन में हिसाब का मतलब है वही जोड़, बस तेज़ी से? नहीं — मन का हिसाब कम हिसाब है।

जोड़ को फ़र्क नहीं पड़ता कि किस क्रम में जोड़ो, या पहले किन्हें साथ रखो। इसी छूट से काम छोटा होता है। पहला लक्ष्य — 38800। 25000 लो, फिर 400, फिर 400 दोबारा, और फिर 13000। 25000 और 13000 मिलकर 38000। 400 और 400 मिलकर 800। तो कुल 38800। और क्रम बदलकर देखो — 400, 13000, 25000, फिर 400 — जवाब फिर भी 38800। जोड़ क्रम की परवाह नहीं करता, इसलिए हम मनचाहे ढंग से साथ रख सकते हैं।

यहाँ किसी ने column बनाकर हासिल नहीं लिया। बड़े हिस्से साथ रखे, फिर छोटे — और हर कदम आसान रहा। और रास्ता लक्ष्य को पढ़कर ही मिला। 38800 में 2 टुकड़े दिखते हैं — 38000 और 800। 38000 के लिए 25000 और 13000, और 800 के लिए 2 बार 400। पहले लक्ष्य तोड़ो, फिर हिस्से चुनो। दूसरा लक्ष्य — 3400। 1500 और 1500, यानी 3000, और फिर 400। बस 3 हिस्से।

अब 28000 बनाओ। एक रास्ता — 25000, फिर 1500, फिर 1500। 3 हिस्से। दूसरा रास्ता — 13000 और 13000, यानी 26000, फिर 5 बार 400। 7 हिस्से। मंज़िल एक, पर काम 2 गुना से भी ज़्यादा। और 3 हिस्से कम से कम हैं — इससे कम में 28000 नहीं बनता। 63000 में भी कई रास्ते हैं। 60000 और 2 बार 1500 — 3 हिस्से। या 25000, 25000 और 13000 — ये भी 3।

तो सिर्फ़ रास्ता ढूँढना काफ़ी नहीं। असली सवाल है — सबसे सस्ता रास्ता कौन सा? अब एक अलग सवाल। क्या इन हिस्सों से 1000 बन सकता है? 1000 से छोटा हिस्सा सिर्फ़ 400 है। बाकी सब 1000 से बड़े हैं। 400 से चलो — 400, 800, 1200। 1000 पर कदम पड़ता ही नहीं, ऊपर से निकल जाता है। तो 1000 नहीं बनता। यही बात भाग से भी दिखती है। 1000 को 400 से बाँटो — 2.5 आता है।

आधा 400 कोई हिस्सा नहीं है, इसलिए ये रास्ता बंद है। और 200000 तक 1000 के जितने गुणज हैं, उनमें सिर्फ़ यही एक नहीं बनता। क्योंकि 5 बार 400 से 2000 बनता है, और 2 बार 1500 से 3000। फिर 4000 है 2000 और 2000, और 5000 है 2000 और 3000 — इसी तरह आगे हर गुणज। अब 14000, 15000 और 16000 आज़माओ। तीनों बनते हैं — पर कीमत बहुत अलग है।

16000 आसान है — 13000, 1500, 1500। 3 हिस्से। 15000 भी — 13000 और 5 बार 400। 6 हिस्से। वैसे 15000 को 10 बार 1500 से भी बना सकते हो। रास्ता सही है, पर 10 हिस्से — 6 वाले रास्ते से कहीं महँगा। पर 14000 में 13000 काम नहीं आता, क्योंकि बचा हुआ 1000 बनता ही नहीं। तो 1500 और 400 ही बचते हैं — 8 बार 1500 और 5 बार 400।

कम से कम 13 हिस्से। पास-पास के लक्ष्य, और मेहनत 3 से 13 हिस्सों तक। मेहनत लक्ष्य के आकार से नहीं, हिस्सों के मेल से तय होती है। बाकी लक्ष्य भी देखो। 61600 बनाना है — 60000 और 4 बार 400। 5 हिस्से। 20900 के लिए — 13000, फिर 5 बार 1500, और एक 400। 7 हिस्से। और 19500 के लिए — 13000, 3 बार 1500, और 5 बार 400।

कम से कम 9 हिस्से। जहाँ काम छोटे हिस्से को करना पड़ता है, वहाँ हिस्से बढ़ते जाते हैं। इसलिए पहले बड़े हिस्से चुनो, और देखो कि बचा हुआ बनता है या नहीं। अब एक नया डिब्बा। 6 संख्याएँ — 40000, 7000, 300, 1500, 12000, और 800। और नया नियम — अब जोड़ने के साथ घटा भी सकते हो। पहले हर कदम नीचे से ऊपर जाता था, और ठीक लक्ष्य पर रुकना पड़ता था।

अब लक्ष्य से आगे जाकर वापस आ सकते हो — तो लक्ष्य से थोड़ी बड़ी संख्या भी काम की हो गई। क्या घटाना सच में काम छोटा कर सकता है? लक्ष्य है 39800। 40000 से शुरू करो। 800 घटाओ — 39200। फिर 300 जोड़ो, और 300 फिर से — 39800। कुल 4 कदम, और इससे कम में नहीं बनता। ये रास्ता क्यों सूझा? 39800, 40000 से बस 200 कम है।

200 कोई हिस्सा नहीं, पर 800 घटाकर 600 वापस जोड़ो — 300 और 300 — तो कुल 200 ही घटता है। सिर्फ़ जोड़कर, कम से कम 6 हिस्से लगते — 3 बार 12000, 2 बार 1500, और 800। 45000 भी ऐसे ही — 40000 और 12000, फिर 7000 घटाओ। 3 कदम। 5900 के लिए — 7000 में से 800 और 300 घटाओ। 17500 के लिए — 12000 और 7000 जोड़ो, फिर 1500 घटाओ।

दोनों 3 कदम में। लक्ष्य के ठीक पार कोई बड़ी गोल संख्या हो, तो आगे निकलकर लौटना सबसे सस्ता रास्ता है। और आख़िरी लक्ष्य 21400 है — उसे तुम खुद आज़माना, 5 कदम काफ़ी हैं। अब सवाल बदलता है — लक्ष्य नहीं, जवाब की लंबाई। 12350 और 24545 का योग है 36895। 5 अंक और 5 अंक, जवाब भी 5 अंक का। और 48952 में से 24547 घटाओ, तो बचता है 24405 — फिर से 5 अंक।

अब सवाल ये है — अगर दोनों संख्याओं के अंक पता हों, तो जवाब में कितने अंक हो सकते हैं? कुछ मेलों के उदाहरण मिल जाते हैं, और कुछ का कोई उदाहरण कभी नहीं मिलता। क्या 4 अंकों वाली 2 संख्याओं का योग 6 अंकों का हो सकता है? यहाँ उदाहरण ढूँढने से बात तय नहीं होगी। सबसे बड़ी 4 अंकों वाली संख्या है 9999। तो सबसे बड़ा योग — 9999 और 9999, यानी 19998।

ये 5 अंकों का है। 6 अंक कभी नहीं। एक ही तर्क से हर जोड़ी जाँच ली, बिना एक भी जोड़ी आज़माए। सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या पूरी हद बता देती हैं। 5 अंकों में भी यही। 99999 और 99999 मिलकर 199998 — 6 अंक। 7 अंक कभी नहीं। यानी बराबर अंकों वाली 2 संख्याओं का योग या तो उतने ही अंकों का होता है, या 1 अंक ज़्यादा।

इससे आगे कभी नहीं। जैसे 4 अंकों में — हर संख्या 10000 से छोटी है, तो योग 20000 से छोटा रहता है, और 20000 से छोटी हर संख्या में 5 से ज़्यादा अंक नहीं होते। सबसे छोटी 4 अंकों वाली संख्या 1000 है, और 1000 और 1000 से 2000 बनता है — 4 अंक। तो योग में कम से कम 4 अंक — हमेशा। 5 अंकों वाला योग? वो कभी-कभी ही बनता है।

5000 और 5000 से बनता है 10000, यानी 5 अंक। पर 1000 और 1000 से सिर्फ़ 4। अब 5 अंकों वाली 2 संख्याओं का अंतर। सबसे बड़ा अंतर है 99999 में से 10000, यानी 89999, जिसमें 5 अंक हैं। 6 अंक कभी नहीं। और अंतर 1 अंक का भी हो सकता है — 99999 में से 99998, बचा 1। हमेशा और कभी नहीं — इनके लिए तर्क चाहिए, सिर्फ़ उदाहरण काफ़ी नहीं।

कभी-कभी के लिए बस 2 उदाहरण — एक हाँ वाला, एक ना वाला। अब यही बात, पर लिखी हुई नहीं, बनी हुई। एक तस्वीर में कई संख्याएँ सजी हैं, और सवाल है — कुल कितना? हर संख्या एक-एक करके जोड़ी जा सकती है, पर तस्वीर उसके लिए नहीं बनी। उसकी बनावट बताती है कि किन्हें साथ रखना है। पहले आकार देखो, फिर तय करो कि कौन सा हिस्सा बार-बार आ रहा है।

तब गिनती लगभग गायब हो जाती है। पहली तस्वीर — 5 पंक्तियाँ। 4 बार 40, फिर 5 बार 50, फिर 4 बार 40, फिर 5 बार 50, और फिर 4 बार 40। 22 संख्याएँ एक-एक करके जोड़ो, तो 21 जोड़। पर यहाँ पंक्तियाँ सिर्फ़ 2 तरह की हैं। 40 वाली 3 पंक्तियाँ — 12 बार 40, यानी 480। 50 वाली 2 पंक्तियाँ — 10 बार 50, यानी 500। 480 और 500 — कुल 980।

21 जोड़ की जगह 2 गुणा और 1 जोड़। दूसरी तस्वीर में ऊपर 32 का एक खंड है — 4 पंक्तियाँ, हर पंक्ति में 8। नीचे 64 का खंड — 4 पंक्तियाँ, हर पंक्ति में 4। ऊपर 4 गुणा 8, यानी 32 बार 32 — 1024। नीचे 4 गुणा 4, यानी 16 बार 64 — ये भी 1024। दोनों खंड बराबर हैं — नीचे टुकड़े आधे, पर हर टुकड़ा 2 गुना।

तो कुल 2048, और हिसाब लगभग किया ही नहीं। ये बराबरी क्यों आई? 64 है 2 गुणा 32, और ऊपर के 32 टुकड़े हैं नीचे के 16 के 2 गुना। एक तरफ़ जो गिनती में बढ़ा, दूसरी तरफ़ वही मान में बढ़ा। तस्वीर इसी बराबरी के लिए बनाई गई है। तीसरी तस्वीर में संख्याएँ नहीं, बिंदु हैं — 8 गुणा 8 का ग्रिड, पासे के 64 चेहरे। 20 चेहरों पर 5 बिंदु हैं, बाकी 44 पर 1।

वो 20 चेहरे 2 गुणा 2 के 5 गुच्छों में बैठे हैं। 20 गुणा 5 — 100। और 44 गुणा 1 — 44। कुल 144 बिंदु। या इसे दूसरे ढंग से बाँटो। हर चेहरे पर कम से कम 1 बिंदु है — ये 64। और 5 वाले हर चेहरे पर 4 बिंदु ज़्यादा — 20 गुणा 4, यानी 80। 64 और 80 — फिर वही 144। यहाँ सबसे पहले तय करना पड़ा कि गिनना क्या है — चेहरे नहीं, बिंदु।

चौथी तस्वीर — एक निशाना। बीच में 1000। उसके चारों ओर 4 बार 500। फिर 8 बार 250। मान हर घेरे पर आधा, गिनती 2 गुना — तो क्या हर घेरा 2000 का है? पहले 2 घेरों में हाँ — 4 गुणा 500, और 8 गुणा 250, दोनों 2000। पर बाहर वाले घेरे को गिनो। उसमें 125 वाले 16 नहीं, 18 गोले हैं। 18 गुणा 125 — 2250। कुल — 1000, 2000, 2000, और 2250, यानी 7250।

पैटर्न पर भरोसा करने से पहले गिनती करो। अगर पैटर्न मान लेते, तो जवाब आता 1000 और 3 बार 2000 — यानी 7000। पूरे 250 कम। पैटर्न ने सवाल छोटा किया, पर गिनती ने जवाब सही किया। अब उल्टा करो — 210 और 390 के बीच कोई संख्या चुनो, और ऐसी तस्वीर बनाओ जिसका कुल वही हो। जैसे 300 — 4 पंक्तियाँ, हर पंक्ति में 5 बार 15। 20 गुणा 15, यानी 300।

या 240 — 3 पंक्तियाँ, हर पंक्ति में 4 बार 20। 12 गुणा 20, यानी 240। दोनों तस्वीरों में हिसाब पंक्तियों से होता है, एक-एक गिनकर नहीं। जो तस्वीर तुम बनाते हो, उसकी बनावट ही उसका हिसाब है। आज की बात। जोड़ का काम तय नहीं होता — वो इस पर निर्भर है कि तुम समूह कैसे बनाते हो। आगे निकलकर लौटना सस्ता हो सकता है, अंकों की हद सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या बताती है, और तस्वीर की बनावट बताती है कि कैसे जोड़ना है।

अब तुम्हारी बारी। पहले डिब्बे की संख्याओं से — 25000, 400, 13000, 1500, 60000 — 31000 को कम से कम कितने हिस्सों में बना सकते हो? अपने जवाब comments में लिखना — और साथ में अपना रास्ता भी।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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