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Chapter 3 · The World of Numbers

भारत को 10 की घातों के नामों की ज़रूरत क्यों पड़ी

Before there were numerals10 मिनट

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एक खाँचेदार stick सिर्फ़ यह दर्ज कर सकती है कि कितने हैं — किस चीज़ के, किस rate पर, और पहले से कितना बाक़ी था, यह नहीं। दूर के व्यापार ने पहले unit पर सहमति करवाई, फिर इतने बड़े हिसाब खड़े कर दिए जिन्हें बोलना पड़ता था, और जवाब यह निकला कि 10 की हर घात को उसका अपना नाम दे दो। उन नामों में base पहले से बना हुआ है, इसीलिए उस बोली को लिखने से symbols नहीं, places बनते हैं।

मुख्य idea

दस की किसी घात का नाम शब्दावली नहीं है — वह infrastructure है। Lothal और Harappa के मानकीकृत बाटों ने ऐसे हिसाब खड़े कर दिए जो tally में रखने के लिए कहीं ज़्यादा बड़े थे, और भारत में जो जवाब टिका वह यह था कि दस की हर घात को उसका अपना नाम दे दिया जाए — Vedic ग्रंथों में बारहवीं घात तक, और Lalitavistara में तिरपनवीं तक। यह आदत इसलिए मायने रखती है कि जिस naming scheme में हर नाम पिछले नाम का ठीक दस गुना है, उसमें place value पहले से बना हुआ है: base शब्द ख़ुद ढोते हैं। ऐसी बोली को लिखने पर positional notation बनना ही पड़ता है, और positional notation तुरंत वह समस्या खड़ी कर देता है जिसे अगला module हल करता है — जिस place में कुछ नहीं है, वहाँ कौन सा निशान खड़ा हो।

आपको क्या आना चाहिए

  • समझाना कि मानकीकृत बाट और दूर के व्यापार ऐसी मात्राएँ क्यों पैदा करते हैं जिन्हें tally काम के तरीक़े से दर्ज नहीं कर सकता
  • वे सामान और वह व्यापारिक साथी बताना जिन्हें chapter Indus के शहरों से जोड़ता है
  • Vedic ग्रंथों में दस की जो सबसे बड़ी घात नामित है, उसे और उसके नाम को बताना
  • Lalitavistara में दस की जिस घात तक पहुँचा गया है, उसे और उसके नाम को बताना, उस सदी के साथ जो chapter बताता है
  • समझाना कि दस की क्रमिक घातों पर बनी naming scheme अपना base ख़ुद क्यों समेट लेती है, और असंबद्ध symbols पर बनी scheme क्यों नहीं
  • दस की किसी बताई गई घात को positional notation में लिखना और उसके digits गिनना
  • chapter की कारण-शृंखला का पीछा करना — दस की घातों के नामकरण से, place value होते हुए, ख़ाली place के लिए एक symbol की ज़रूरत तक
  • Lothal जैसी जगह पर रखे जाने वाले अनुपात के विनिमय-प्रश्न को हल करना, बीच के क़दम के रूप में प्रति-इकाई rate दिखाते हुए

जानने लायक़ शब्द

Termएक पंक्ति में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
powers of 10वे संख्याएँ 10, 100, 1000 और आगे, हर एक अपने पिछले से दस गुनादस की घातें§3.1.2, p. 42 पर छपा
place valueयह सिद्धांत कि किसी digit की क़ीमत इस पर निर्भर करती है कि वह कौन सी position घेरे हुए हैस्थानीय मान§3.1.2, p. 42 पर छपा
decimal place-value systemदस की घातों पर बनी वह positional पद्धति जिसके बारे में chapter कहता है कि उसे भारतीय उपमहाद्वीप में परिपूर्ण किया गयादशमलव स्थानीय मान पद्धति§3.1.1, p. 41 पर छपा
parārdhaदस की बारहवीं घात का Vedic नामपरार्ध§3.1.2, p. 42 पर italics में छपा
tallakṣhaṇaदस की तिरपनवीं घात को Lalitavistara जो नाम देता हैतल्लक्षण§3.1.2, p. 42 पर italics में छपा
Vedasवह प्राचीन ग्रंथ-समूह जिसे chapter दस की बारहवीं घात तक हर घात के नाम देने का श्रेय देता हैवेद§3.1.2, p. 42 पर italics में छपा
Ṛigvedaवह Vedic ग्रंथ जिसे chapter दस की घातों का स्पष्ट रूप से उपयोग करने वाला बताता हैऋग्वेद§3.1.2, p. 42 पर italics में छपा
Lalitavistaraवह बौद्ध ग्रंथ जिसमें यह नामकरण तिरपनवीं घात तक ले जाया गया हैललितविस्तर§3.1.2, p. 42 पर italics में छपा
Indus Valley Civilisationवह सभ्यता जिसके शहरी केंद्रों का हवाला chapter मानकीकृत माप के लिए देता हैसिंधु घाटी सभ्यता§3.1.2, p. 42 पर छपा
standardised weights and measuresवे बाट और माप जिन पर traders आपस में सहमत हों, ताकि एक मात्रा का मतलब दोनों पक्षों के लिए एक ही होमानकीकृत बाट और माप§3.1.2, p. 42 पर छपा
MesopotamiaIndus के व्यापारी के लिए chapter जिस व्यापारिक साथी का नाम लेता हैमेसोपोटामिया§3.1.2, p. 42 पर छपा
base-carrying namesयहाँ जोड़ा गया वाक्यांश, ऐसी naming scheme के लिए जिसके शब्द ख़ुद base को समेटे रहते हैं, क्योंकि हर नाम पिछले का दस गुना है—यहाँ जोड़ा गया शब्द; chapter इस गुण को दिखाता है, उसे कोई नाम नहीं देता

हिंदी column उन Sanskrit शब्दों का लिप्यंतरण देता है जिन्हें chapter ख़ुद italics में रखता है, और बाक़ी जगह मानक हिंदी गणितीय शब्दावली देता है। मैंने Ganita Manjari का कोई हिंदी संस्करण नहीं देखा।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "बड़ी संख्याओं के नाम इसलिए रखे गए कि प्राचीन लोगों को बड़ी संख्याएँ पसंद थीं।" chapter का बताया हुआ कारण प्रशासनिक है: मानकीकृत बाटों और दूर तक फैले व्यापार ने ऐसे हिसाब खड़े किए जिन्हें बोलना पड़ता था। नाम ज़रूरत के पीछे आते हैं।
  • "बाट का मानकीकरण ईमानदारी की बात है, गणित की नहीं।" यह दोनों की बात है, और यहाँ जो मायने रखता है वह गणितीय नतीजा है — एक बार unit तय हो जाए, तो मात्राएँ ऐसी numbers बन जाती हैं जो जुड़ती हैं, और हिसाब बड़े होते चले जाते हैं।
  • "पहले place value बना, फिर दस की घातों के नाम आए।" chapter कारण को दूसरी दिशा में चलाता है: दस की घातों के नामकरण की आदत ने positional पद्धति के लिए मंच तैयार किया। क्रम मायने रखता है, क्योंकि वही समझाता है कि यह पद्धति वहीं क्यों उठी जहाँ उठी।
  • "10⁵³ बस एक बड़ा number है, इसका कोई मक़सद नहीं।" बात आकार की नहीं, व्यवस्थितता की है: जो scheme तिरपनवीं घात को नाम दे सकती है, वह नियम वाली scheme है, और नियम को वहाँ से आगे भी चलाया जा सकता है जहाँ ग्रंथ रुक जाता है।
  • "नामों का कोई भी सेट चल जाएगा।" Roman numerals मात्राओं को नाम देते हैं पर कोई base नहीं समेटते, और ठीक इसी वजह से वे columns वाली गणित का विरोध करते हैं। यह तुलना यहाँ जोड़ी गई है और इसे वैसा ही बताया जाना चाहिए।
  • "भारतीय पद्धति एक ही बार में बन गई।" chapter इसे क़दमों में रखता है — Vedic नामकरण, फिर positional लेखन, फिर §3.2 में कुछ न होने का symbol — और हर क़दम उस समस्या का जवाब देता है जो पिछले क़दम ने पैदा की थी।
  • "10¹² और एक लाख करोड़ अलग-अलग numbers हैं।" ये दो naming systems में एक ही number हैं, और दोनों को अग़ल-बग़ल रख देना 10¹² को कक्षा 9 के छात्र के लिए असली महसूस कराने का सबसे सस्ता तरीक़ा है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Exercise Set 3.1 Q1

पूरा transcript1,649 शब्द

किसी व्यस्त बंदरगाह के गोदाम में हिसाब रखा जाता है, और वह हिसाब रोज़ चलता है। माल आता है, माल जाता है, कुछ उधार रह जाता है, और शाम तक सब कुछ मिलाना पड़ता है। एक खाँचेदार stick सिर्फ़ यह दर्ज कर सकती है कि कितने हैं। किस चीज़ के कितने, किस rate पर, और पहले से कितना बाक़ी था, यह वह नहीं रख सकती। यही वह जगह है जहाँ tally रुक जाता है, और यहीं से यह topic शुरू होता है।

इन शहरों से जो सामान गुज़रता था, उसमें terracotta pottery, lapis lazuli और cotton थे। यहाँ जिन 2 शहरों के नाम आते हैं वे Lothal और Harappa हैं, और समुद्र पार का व्यापारिक साथी Mesopotamia है। यह कोई पास-पड़ोस का व्यापार नहीं है। इतनी दूर से आया सामान ऐसी मात्राओं में आता है जिन्हें कोई भी पक्ष आँख से नहीं जाँच सकता, और जिस मात्रा पर 2 अजनबियों को राज़ी होना है, उसका मतलब रास्ते के दोनों सिरों पर एक ही होना चाहिए।

किसी एक heap को scale पर रखो। जिस trader का unit 60 है, उसके लिए यह heap 60 है। और जिसका unit 45 है, उसके लिए वही heap 80 है। और यह किसी एक heap की बदक़िस्मती नहीं है। जिन 500 heaps पर यह जाँचा गया, उनमें दोनों readings 0 बार एक जैसी निकलीं। अब सोचो कि इसका असर उस बहीखाते पर क्या होगा जो दोनों मिलकर रखते हैं। कोई भी पक्ष जो entry लिखे, वह दूसरे पक्ष के लिए बेकार number है, इसलिए न कुछ जोड़ा जा सकता है और न कोई हिसाब चुकाया जा सकता है।

तो इन 2 readings में सही कौन सी है? जब तक unit पर सहमति नहीं है, तब तक कोई भी नहीं। जिस दिन unit तय हो जाए, उस दिन एक ही मात्रा दोनों traders के लिए एक ही चीज़ बन जाती है। और तब वे मात्राएँ जुड़ने लगती हैं। अब 2 loads को साथ रखो, तो दोनों का reading उन दोनों readings का जोड़ ही निकलता है। यह 1600 जोड़ियों पर जाँचा गया और हर एक पर टिका।

मानकीकरण को आम तौर पर ईमानदारी की बात कहा जाता है। यहाँ जो आधा हिस्सा मायने रखता है वह यह है कि मात्राएँ numbers बन जाती हैं, और numbers बढ़ते जाते हैं। कोई व्यापारी spices के bags देकर copper ingots लेता है, और rate है हर 2 bags पर 15 ingots। वह market में 12 bags लाता है। सवाल यह है कि उसे कितने ingots मिलने चाहिए। इसे एक-एक bag करके देखो।

यहाँ 15 ingots को 2 bags पर बाँटो तो हर bag पर 15 बटा 2 आते हैं, यानी साढ़े 7 ingots। अब 12 bags पर यही rate लगाओ तो 90 ingots मिलते हैं। ध्यान दो कि rate पूरा number नहीं है, जबकि जवाब पूरा number है। अब वह रास्ता लो जिसमें पहले वाला कोई हिसाब इस्तेमाल ही न हो। यह rate 2 bags के lots में बताया गया है, और 12 bags ठीक 6 पूरे lots हैं।

और 6 lots में हर lot पर 15 ingots, यानी कुल 90 ingots। इस रास्ते में न कोई भाग है और न कोई fraction, फिर भी जवाब वही है। दोनों रास्तों को 4320 exchanges पर आमने-सामने चलाया गया और वे 0 बार अलग निकले। और जिनमें rate fraction था पर जवाब पूरा number था, ऐसे 3240 निकले, यानी यह आम बात है, इसी एक सौदे की ख़ासियत नहीं। ऐसे हिसाब बड़े होते जाते हैं, और किसी बड़ी मात्रा पर बहस करने से पहले उसे बोलना ज़रूरी है।

जो जवाब चला, वह यह था कि 10 की हर घात को उसका अपना नाम दे दो। और Vedic texts में यह नाम-पद्धति 10 की घात 12 तक जाती है। ऋग्वेद वही text है जिसका नाम 10 की घातों को साफ़-साफ़ इस्तेमाल करने के लिए लिया जाता है, इसलिए यह आदत बाद में किसी के जोड़े हुए हिसाब से नहीं निकली। यह सबसे पुरानी परत में ही लिखी हुई है।

और 10 की उसी घात 12 का नाम है परार्ध। अब देखो कि यह ladder अपने पायदानों के बीच करती क्या है। हर पायदान अपने नीचे वाले पायदान का 10 गुना है। यह किसी एक जोड़ी की बात नहीं, पूरी ladder पर यही चलता है। इस ladder के 12 steps में हर पायदान ऊपर वाले को पूरा-पूरा बाँट देता है, और उन 12 भागफलों में हर एक 10 ही है।

लगभग 10 गुना नहीं। ठीक 10 गुना। तो इस पूरी पद्धति में base कहाँ लिखा हुआ है? इस सवाल को थोड़ी देर रोको और 10 की घात 12 को लिखकर देखो। यह 1 है और उसके बाद 12 शून्य। बोलकर यह एक नाम है, लिखकर यह एक लंबा numeral है। अब digits गिनो तो 13 निकलते हैं, 12 नहीं। यानी digits की गिनती हमेशा exponent से 1 ज़्यादा होती है।

इसी number का दूसरी पद्धति में भी नाम है। लाख 10 की घात 5 है, करोड़ 10 की घात 7 है, और लाख करोड़ इन दोनों का गुणा है, यानी 10 की घात 12। यानी number वही, नाम-पद्धति अलग। ललितविस्तर नाम का एक Buddhist text इसी नाम-पद्धति को बहुत आगे तक ले जाता है, 10 की घात 53 तक, और उसे तल्लक्षण कहता है। इस ललितविस्तर को परंपरा से ईसा-पूर्व चौथी सदी में रखा जाता है।

इसे परंपरागत मान्यता की तरह लो, तय हो चुकी तारीख़ की तरह नहीं। लिखकर देखो तो उस घात में 54 digits हैं। और उसे 10 की घात 12 से बाँटो तो बचता है 10 की घात 41, बिलकुल पूरा-पूरा, शेष 0। अब उस सवाल पर लौटो। सिर्फ़ वे values लो जिनके लिए ये नाम हैं, और पूछो कि हर value को अगली तक कौन सा गुणक ले जाता है। नाम हटाकर देखो, base का ज़िक्र मत करो, सिर्फ़ यही पूछो।

जवाब हर बार एक ही आता है, और वह है 10। और base को अलग से लिखना ही नहीं पड़ा, क्योंकि शब्द उसे पहले से लिए चलते हैं। लिखने से पहले ही यह place value है। हर नाम अपने नीचे वाले नाम के 10 के बराबर है, और लिखे हुए numeral में हर place की क़ीमत भी ठीक यही है। अब उसी जाँच के सामने कोई दूसरी पद्धति रखो। ऐसे symbols का समूह लो जिनकी values 1, 5, 10, 50, 100, 500 और 1000 हैं।

यह भी बड़ी मात्राओं के नाम रखती है, बस उन्हें घातों से नहीं बाँधती। हर जोड़ी के बीच का step पूछो तो आता है 5, फिर 2, फिर 5, फिर 2, फिर 5, फिर 2। ये 2 अलग steps हैं, इसलिए उन शब्दों में कोई एक base है ही नहीं, और जाँच ख़ाली हाथ लौटती है। और क़रीब होना काफ़ी नहीं है। ऐसी पद्धति लो जिसकी values 1, 10, 105 और 1050 हैं।

ऊपर से हर step 10 गुना ही लगता है। पर 105, 10 का पूरा गुणज नहीं है। उसमें 5 बच जाते हैं, इसलिए यह पद्धति भी कोई base नहीं ढोती, और यहाँ ठीक शब्द असली काम कर रहा है। अब देखो कि एक rule से क्या मिलता है। इस पद्धति से वह पायदान माँगो जिसका नाम किसी ने लिखा ही नहीं। घात 53 के आगे अगला पायदान उसका 10 गुना है, और यही step घात 54 पर, घात 100 पर और घात 1000 पर भी 10 ही रहता है।

पर symbols वाला समूह ऐसा नहीं कर सकता। उसकी सबसे बड़ी value 1000 है, और उसके आगे कुछ भी बनाने का उसके पास कोई rule नहीं है। इसलिए 10 की घात 53 board पर इसलिए नहीं है कि वह बड़ी है। वह इसलिए है कि जो पद्धति वहाँ तक पहुँच सकती है उसके पास एक rule है, और rule को उससे आगे भी चलाया जा सकता है जहाँ किसी ने लिखना बंद कर दिया।

यह मान लेना आसान है कि पहले place value बनी और उसके बाद घातों के नाम आए। क्रम इससे उल्टा चलता है। पहले नाम देने की आदत आई, और उस बोली को लिखने से ही positional पद्धति बनती है। और नाम देना बड़े numbers का शौक़ नहीं था। वह ज़रूरत के पीछे-पीछे आया। और यह पूरी पद्धति एक साथ नहीं आई। पहले नाम आए, फिर उन नामों को लिखने से positional लिखावट निकली, और खाली place का निशान उस दिक़्क़त से निकला जो positional लिखावट ने ख़ुद खड़ी की।

हर पड़ाव उसी सवाल का जवाब देता है जो पिछले पड़ाव ने पैदा किया। किसी numeral को ruled columns में लिखो और उसे एक-एक place करके पढ़ो, जहाँ हर digit अपनी दाईं तरफ़ वाले digit के 10 के बराबर है। जब तक ruling है, यह पढ़ना बिलकुल साफ़ है। अब 2, फिर कुछ नहीं, फिर 5 पढ़ो तो मिलता है 2, फिर 20, फिर 205। और 2 फिर 5 पढ़ो तो मिलता है 2, फिर 25।

यानी 205 पढ़ते हुए 25 कभी आता ही नहीं, और वह खाली place सजावट नहीं है। अब ruled columns मिटाओ और खाली place में कुछ भी मत लिखो। तब 205, 25 और 250 के लिए पन्ने पर एक ही निशान बचता है। यानी 3 अलग numbers, और लिखी हुई शक्ल एक। अब 1000 तक जाओ तो 271 numbers अपनी अलग पहचान खो देते हैं। पर जिनमें शून्य आता ही है, वे सिर्फ़ 181 हैं।

यानी नुक़सान उन 90 numerals तक भी पहुँचता है जिनमें अपनी कोई खाली जगह है ही नहीं। और 25 उन्हीं में से एक है। उसके पास खोने को कोई खाली place नहीं, फिर भी वह बरबाद हो जाता है, क्योंकि 205 और 250 दोनों उसी पर आ गिरते हैं। तो 10 की किसी घात का नाम कभी शब्दावली नहीं था। वह ढाँचा था, जो इसलिए बना कि मानकीकृत बाट और लंबे व्यापार ने ऐसे हिसाब खड़े कर दिए जिन्हें बोलना पड़ता था।

जिस पद्धति में हर नाम पिछले नाम का ठीक 10 गुना है, उसमें base शब्दों के अंदर ही बना हुआ है, और इसीलिए उस बोली को लिखने से symbols नहीं, places बनते हैं। और ruling हट जाने के बाद खाली place का निशान ही अकेली चीज़ है जो पूरे 1000 numerals को अलग-अलग रखती है। वह निशान होना क्या चाहिए, यही अगला सवाल है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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